廣東省東莞市虎門外語學校2024-2025學年高三上學期10月月考數學試題

虎門外語學校2024—2025學年度第一學期10月月考高三數學試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.設全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，根據集合的運算求解即可．【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，∵，∴．故選：B．2.已知復數，其中i為虛數單位，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】化簡復數為，利用復數模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，復數，可得.故選：C.3.已知直線，和平面（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據線面關系的判定定理和性質分別判斷即可．【詳解】對A，若，，則或，故A錯誤；對B，若，，則或異面，故B錯誤；對C，若，，則由線面垂直的性質可得，故C正確；對D，若，，則或，故D錯誤.故選：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【詳解】∵等價于，當或時，不成立；∴充分性不成立；又∵等價于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5.如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點（包含端點），O為AC的中點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：設，然后用，分別表示出，，從而由平面向量的數量積運算并結合的范圍求得結果；法二：以A為坐標原點建立平面直角坐標系，設，然后求出，，從而由向量的坐標運算并結合m的范圍求得結果．【詳解】法一：設，因為O為AC的中點，所以，所以．又，所以，因為，所以，所以；法二：以A為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設，所以，，所以．因為，所以，即.故選：A．6.已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構造方程求解即可.【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，運用勾股定理，知道根據．由雙曲線定義，知道，即，解得，故離心率為：.故選：C.7.已知正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，體積為，則正四棱臺的側棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出相應圖形，借助正四棱臺的性質及體積公式可得其高，結合線面角定義計算即可得解.【詳解】如圖所示，作于點，則，即，，則，由正四棱臺的側棱與底面所成角即為與底面所成角，設其為，則，即.故答案為：.8.若函數與的圖象有且僅有一個交點，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將條件與只有1個交點轉換為函數只有1個零點，參數分離求出a，再構造函數，利用其單調性求解即可.【詳解】函數與的圖象有且僅有一個交點，即只有一個零點，即只有一個零點.令，則，.當時，h'x>0，所以hx當時，h'x<0，所以hx在1,+所以，，.函數hx因為，所以.原不等式，即.令，顯然時，該函數為增函數，且，所以，的解集為.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.）9.已知事件滿足，，則下列說法正確的是（）A.若事件A與事件B相互獨立，則它們的對立事件也相互獨立B.事件A與事件B可能對立事件C.若事件A與事件B相互獨立，則D.若事件A與事件B互斥，則【答案】ACD【解析】【分析】選項A，利用相互獨立事件的定義，即可求解；選項B，利用對立事件的概率和為1，即可求解；選項C，利用相互獨立事件的概率公式，即可求解；選項D，利用互斥事件的概率公式，即可求解.【詳解】對于選項A，根據相互獨立事件的定義易知選項A正確；對于選項B，對立事件的概率和為1，但．故選項B錯誤；對于選項C，根據相互獨立事件的定義，，故選項C正確；對于選項D，事件A與事件B互斥，則，故選項D正確.故選：ACD．10.已知函數的圖象上，對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列結論正確的是（）A.函數的一個對稱點為B.當時，函數的最小值為C.若，則的值為D.要得到函數的圖象，只需要將的圖象向右平移個單位【答案】BC【解析】【分析】由周期求出ω，由圖象的對稱性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角函數的性質以及函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．【詳解】因為函數f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象上，對稱中心與對稱軸x＝的最小距離為×＝，∴ω＝2．再根據，可得，故,令可得，故A錯誤；當時，，故當時，函數f（x）的最小值為，故B正確；若，則，故C正確；將的圖象向右平移個單位，可得y＝2cos（2x﹣）的圖象，故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點睛：根據三角函數的圖象與性質確定對稱中心，最值，利用三角恒等變換求值，根據平移得解析式是解題的關鍵，屬于中檔題.11.已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（）A.B.關于點對稱C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假設，可判斷選項A；對進行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項B；對兩邊求導，可得，根據可判斷的周期性和對稱性，再根據特殊值關系，即可判斷選項C；由特殊值關系得到，，化簡，即可判斷選項D.【詳解】假設，則，則，與都為偶函數，則所設函數符合題意，此時，故A錯誤；因為為偶函數，所以，即，令，則，所以關于點對稱，故B正確；因為為偶函數，所以，所以函數的圖象關于直線對稱，即，即，因為，所以，所以，則，故，所以，所以，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，由，得，則，所以，由知函數周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD.【點睛】結論點睛：對稱性有關結論：若，則關于直線對稱；若，則關于直線對稱；若，則關于點中心對稱；若，則關于點中心對稱；周期性結論：若，則函數的周期為.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.的展開式中常數項是__________（用數字作答）．【答案】【解析】【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數項.【詳解】其二項式展開通項：當，解得的展開式中常數項是：.故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.13.設等差數列的前項和為，若，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用等差數列性質求出公差，再求出的值.【詳解】等差數列an中，由，得，解得，于是數列an的公差，，所以.故答案為：14.如下圖，對大于或等于2的自然數的次冪進行如下方式的“分裂”：仿此，的“分裂”中最大的數是___________；的“分裂”中最大的數是___________；【答案】①.11②.【解析】【分析】分析“分裂”所得到的數，由此確定出最大的數；歸納“分裂”時最大的數的規(guī)律，由此確定出的“分裂”中最大的數.【詳解】因為“分裂”可得到的數為：，所以的“分裂”中最大的數是；由“分裂圖”可歸納出：(為奇數)的“分裂”的最大數是，所以的“分裂”中最大的數為：，故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于分析“分裂”的方式，注意的奇偶對分裂的影響，對“分裂”所得到數字個數的影響.四.解答題：（本題共5小題，共77分.）15.已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求函數的極值．【答案】（1）單調增區(qū)間和，單調減區(qū)間為（2）極大值16，極小值【解析】【分析】（1）對求導，利用導數與單調性的關系即可求解；（2）根據函數的單調性，求出函數的極值即可.【小問1詳解】函數的定義域為，導函數，令，解得，則，隨的變化情況如下表：200取極大值取極小值故函數的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為;【小問2詳解】由小問1知，當時，函數取得極大值16;當時，函數取得極小值．16.中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，，則得到周長.【小問1詳解】中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.【小問2詳解】，的面積為，∴，解得.由余弦定理可得：化為.聯立，解得∴，所以周長為6.17.如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，點M為AC的中點．（1）求證：平面平面PAB；（2）線段PC上是否存在點N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據面面垂直的判定定理可得證；（2）過點M作垂足為F，根據線面垂直的判定可證平面BMN，然后根據平面幾何知識求出，進而求出即可得.【小問1詳解】因為平面平面ABC，平面，，平面平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，又，，所以,又，所以，所以，又，是平面內的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面PAB【小問2詳解】存，當時，平面BMN，過點M作垂足為F，由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，又點M為AC的中點，，所以，，是平面內的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，，是平面BMN內的兩條相交直線，所以平面BMN，由已知得，又，即，又，所以，所以，故當時，平面BMN，18.已知動圓P過點，并且與圓外切，設動圓的圓心P的軌跡為C.（1）直線與圓相切于點Q，求的值；（2）求曲線C的方程；（3）過點的直線與曲線C交于E，F兩點，設直線，點，直線交于點M，證明直線經過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2），；（3）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切的幾何性質，結合勾股定理，即可求解；（2）由圓與圓的位置關系，構造雙曲線的定義，即可求解；（3）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，并聯立直線與雙曲線方程，利用韋達定理表示，即可求解定點.【小問1詳解】由直線與圓的位置關系可知，，所以點；【小問2詳解】由題意可知，設動圓半徑為，，，，即，所以點是以為焦點的雙曲線的右支，，，則，所以曲線的方程為，；【小問3詳解】當直線的斜率不存在時，，，直線，當，得，即，直線，此時直線過點1,0，當直線的斜率存在時，設直線，，，直線，當時，，，聯立，得，，，，下面證明直線經過點，即證，，把，代入整理得，即，所以直線經過點1,0，綜上可知，直線經過定點，定點坐標為1,0.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.19.題目：給定一個嚴格單調遞增正項數列，任意給定，稱滿足的三元子集為數列的一個集，其個數記作，出現集的概率記為.（1）已知是數列A：1，2，3，4，5，6的一個集，求j；（2）已知，，，并且都是數列的集，求數列A的通項公式；（3）已知，，，并且都是數列的集，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據給定的集定義，將已知代入等式求解；（2）利用集的定義建立數列相鄰項之間的關系，從而推導出通項公式；（3）先求出表達式，再通過分析數列的性質來證明其范圍.【小問1詳解】根據集的定義，已知是數列的一個集，，，，，，未知.由，即.設，則.等式兩邊同乘，得，解得，所以.【小問2詳解】因為都是數列