備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破練15　空間角、空間距離(提升篇)

專(zhuān)題突破練(分值:90分)學(xué)生用書(shū)P175主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.(15分)(2024河北滄州模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠DAB=60°,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為60°,E是PB的中點(diǎn).(1)求異面直線(xiàn)DE與PA所成的角的余弦值;(2)證明:OE∥平面PAD,并求點(diǎn)E到平面PAD的距離.(1)解在菱形ABCD中,AC⊥BD,因?yàn)椤螪AB=60°,所以BD=2OB=2,所以O(shè)A=A因?yàn)镻O⊥平面ABCD,AC,BD?平面ABCD,所以PB與底面ABCD所成的角為∠PBO=60°,PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO=OB·tan60°=3,PO,OB,OC兩兩垂直.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),則AP=(0,3,3因?yàn)辄c(diǎn)E是PB的中點(diǎn),所以E12,0,32,所以DE=32,0,32,所以cos<DE,AP>=323×6=(2)證明連接OE.因?yàn)辄c(diǎn)E,O分別是PB,BD的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PD.又OE?平面PAD,PD?平面PAD,所以O(shè)E∥平面PAD.由(1)可知AP=(0,3,3),AD=(-1,3,0),DE=32,0,3設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令y=1,則x=3,z=-1,所以平面PAD的一個(gè)法向量為n=(3,1,-1),所以點(diǎn)E到平面PAD的距離為|2.(15分)(2024山東濰坊一模)如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=42,DD1⊥DC,M為BC的中點(diǎn).(1)求證:平面CDD1C1⊥平面D1DM;(2)若D1D=4,求直線(xiàn)DM與平面BCC1B1所成的角的正弦值.(1)證明在?ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°.在△DCM中,CD=2,CM=12BC=所以DM=22+42-2×2×4×12=23,所以DM⊥CD.又CD⊥DD1,DD1∩DM=D,DD1,DM?平面D1DM,所以CD⊥平面D1DM.又CD?平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.(2)解在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,過(guò)點(diǎn)A1作A1E∥D1D,交AD于點(diǎn)E,則AE=4,A1E=4.又AA1=42,所以AE2+A1E2=AA12,所以A1E⊥AD,所以D1D又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以D1D⊥平面ABCD.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DM,DC,DD1所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(23,0,0),所以DM=(23,0,0),MC=(-23,2,0),CC1=(0,-設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則MC令y=43,則x=4,z=3,所以平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(4,43,3設(shè)DM與平面BCC1B1所成的角為θ,則sinθ=|cos<DM,n>|=|DM·n||DM||n|=3.(15分)(2024湖北襄陽(yáng)模擬)如圖,在四棱錐A-BCDE中,側(cè)棱AB⊥平面BCDE,底面四邊形BCDE是矩形,AB=BE=4,點(diǎn)P,M分別為棱AE,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱BE上(不與點(diǎn)B,E重合).(1)若BFBE=13,求證:直線(xiàn)BM(2)若BC=2,從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知,證明另外一個(gè)成立.①平面ADE與平面ABC的交線(xiàn)為直線(xiàn)l,直線(xiàn)l與直線(xiàn)CF的夾角的余弦值為25②二面角P-CF-E的余弦值為6(1)證明如圖所示,取AP的中點(diǎn)N,連接BN,MN.因?yàn)镸,N分別為AC,AP的中點(diǎn),所以MN∥PC.因?yàn)锽FBE=13,NPNE=13,所以BN∥PF.又因?yàn)镸N∩BN=N,MN,BN?平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF?平面PCF,所以平面BMN∥平面PCF.又(2)解若條件①為已知:因?yàn)锽C∥DE,BC?平面ADE,DE?平面ADE,所以BC∥平面ADE.又由BC?平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直線(xiàn)l與直線(xiàn)CF的夾角為∠BCF,所以cos∠BCF=BCCF=255,所以CF=以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,BE,BA所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(2,0,0),E(0,4,0),P(0,2,2),F(0,1,0),所以FC=(2,-1,0),FP=(0,1,2).設(shè)平面PCF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m·FC=2x-y=0,m·FP=y+2z=0.令x=1,可得y=2,z=-1,所以平面PCF的一個(gè)法向量為m=(1,2,-1).易知平面CEF的一個(gè)法向量為n若條件②為已知:以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,BE,BA所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BF=m,0<m<4,則C(2,0,0),F(0,m,0),P(0,2,2),則FC=(2,-m,0),FP=(0,2-m,2).設(shè)平面PCF的一個(gè)法向量為p=(x,y,z),則p令z=m-2,可得x=m,y=2,所以平面PCF的一個(gè)法向量為p=(m,2,m-2).易知平面CEF的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),所以|cos<p,n>|=|p·n||p||n|=|m-2|m2+4+(m-2)2=66,解得m=1或m=4(舍去又BC?平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直線(xiàn)l與直線(xiàn)CF的夾角為∠BCF,所以cos∠BCF=BC關(guān)鍵能力提升練4.(15分)(2024山東青島一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1與BB1的距離為3,AB=AC=A1B=2,A1C=BC=22(1)證明:平面A1ABB1⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)N在棱A1C1上,求直線(xiàn)AN與平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值.(1)證明如圖,取棱A1A中點(diǎn)D,連接BD.因?yàn)锳B=A1B,所以BD⊥AA1.又AA1∥BB1,B∈BB1,D∈AA1,所以BD=3因?yàn)锳B=2,所以AD=1,所以AA1=2.因?yàn)锳C=2,A1C=22,所以AC2+AA12=A1C2,所以AC⊥AA1.同理,AC又AA1∩AB=A,AA1,AB?平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1.又AC?平面ABC,所以平面A1ABB1⊥平面ABC.(2)解取AB中點(diǎn)O,連接A1O,則A1O⊥AB.取BC中點(diǎn)P,連接OP,則OP∥AC.由(1)知AC⊥平面A1ABB1,所以O(shè)P⊥平面A1ABB1.又A1O,AB?平面A1ABB1,所以O(shè)P⊥A1O,OP⊥AB.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP,OB,OA1所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),A1(0,0,3),B1(0,2,3),C(2,-1,0),所以A1B1=(0,2,0),A1C=(2,-設(shè)點(diǎn)N(a,0,3),0≤a≤2,則AN=(a,1,3).設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令x=3,則y=0,z=2,所以平面A1B1C的一個(gè)法向量為n=(3,0,2).設(shè)直線(xiàn)AN與平面A1B1C所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,AN>|=|若a=0,則sinθ=217若a≠0,則sinθ=37×1+4a+4a≤37×1+44=427,當(dāng)且僅當(dāng)a=4a,即5.(15分)(2024福建三明模擬)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1和正四棱臺(tái)ABCD-A2B2C2D2中,A2B2=2AB=4,AA2=11(1)求證:CA2∥平面ABC1D1;(2)若點(diǎn)M在線(xiàn)段BB1上,直線(xiàn)A2M與平面A2B2C2D2所成的角的正切值為2105,求二面角M-B2C2-B(1)證明連接B2D2,延長(zhǎng)B1B,由題可知B1B的延長(zhǎng)線(xiàn)與B2D2相交,記交點(diǎn)為點(diǎn)H.易知BH⊥平面A2B2C2D2,B2D2?平面A2B2C2D2,所以BH⊥B2D2.在正四棱臺(tái)ABCD-A2B2C2D2中,因?yàn)锳2B2=2AB=4,所以B2D2=42,所以B2H=14×42=2,所以BH=以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A2(3,-1,-3),所以A2C=(-3,3,3),AB=(0,2,0),AD1=設(shè)平面ABC1D1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=0,z=1,所以平面ABC1D1的一個(gè)法向量為n=(1,0,1),所以n·A2C=-3+0+3=0,又因?yàn)镃A2?平面ABC1D1,所以CA2∥平面ABC1D1.(2)解由點(diǎn)M在線(xiàn)段BB1上,設(shè)M(2,2,a),0≤a≤2,則A2M=(-1,3,a+設(shè)直線(xiàn)A2M與平面A2B2C2D2所成的角為α,則tanα=2105,所以sinα易知平面A2B2C2D2的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),則sinα=|m·A2M||m||A2M|又因?yàn)锽2(3,3,-3),C2(-1,3,-3),B(2,2,0),所以B2C2=(-4,0,0),B2M=(-1,-1,4),B設(shè)平面MB2C2的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則n令z1=1,則x1=0,y1=4,所以平面MB2C2的一個(gè)法向量為n1=(0,4,1).設(shè)平面BC2B2的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令z2=1,則x2=0,y2=3,所以平面BC2B2的一個(gè)法向量為n2=(0,3,1).所以cos<n1,n2>=n1所以二面角M-B2C2-B的余弦值為13核心素養(yǎng)創(chuàng)新練6.(15分)(2024山東日照一模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且傾斜角為θ0<θ<π2的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在x軸上方),且△ABF2的周長(zhǎng)為8.將平面xOy沿x軸向上折疊,使二面角A-F1F2-B為直二面角,如圖所示,(1)當(dāng)θ=π3時(shí)①求證:A'O⊥B'F2;②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成的角的余弦值.(2)是否存在θ0<θ<π2,使得折疊后△A'B'F2的周長(zhǎng)為152?若存在,求tanθ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.折疊前折疊后(1)①證明由橢圓定義可知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△ABF2的周長(zhǎng)為4a=8,所以a=2.因?yàn)闄E圓離心率為12,故ca=12,解得c=1,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為x24+y23=1.F1(-1,0),所以直線(xiàn)l:y-0=tan聯(lián)立y=3(x+1),x24+y23=1當(dāng)x=0時(shí),y=3;當(dāng)x=-85時(shí),y=-335,所以A(0,3),B-85,-335,所以AO⊥F1F2,所以A'O⊥F因?yàn)槎娼茿-F1F2-B為直二面角,所以平面A'F1F2⊥平面F1F2B',平面A'F1F2∩平面F1F2B'=F1F2,A'O?平面A'F1F2,所以A'O⊥平面F1F2B'.又B'F2?平面F1F2B',所以A'O⊥B'F2.②解以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),折疊后的y軸負(fù)半軸所在直線(xiàn)為x軸、x軸為y軸、y軸正半軸所在直線(xiàn)為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A'(0,0,3),B'335,-85,0,F2(0,1,0),所以A'F2=(0,1,-3),B'F2易知平面A'F1F2的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0).設(shè)平面A'B'F2的法向量為n2=(x,y,z),則n令y=3,則x=133,z=1,所以平面A'B'F2的一個(gè)法向量為n2=133,3,1,所以cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n(2)解存在θ,使折疊后△A'B'F2的周長(zhǎng)為15設(shè)折疊前A(x1,y1),B(x2,y2),則折疊后對(duì)應(yīng)的A'(0,x1,y1),B'(-y2,x2,0),所以|AB|=(x1-設(shè)折疊前直線(xiàn)l的方程為my=x+1,則tanθ=1m.因?yàn)?<θ<π2,所以tanθ>0,即1