《電波與天線》課件第2章

項目二測量地磁場2.1靜磁場的基本規(guī)律2.2介質(zhì)對磁場分布規(guī)律的影響2.3測量地磁場

2.1靜磁場的基本規(guī)律

2.1.1電流電流密度

電荷做定向運動形成電流，規(guī)定正電荷運動的方向為電流的方向。電流可分為傳導(dǎo)電流和運流電流兩類，在金屬導(dǎo)體中和電解液中的電流是傳導(dǎo)電流，在電真空器件中的電子流（或其他帶電粒子流）是運流電流。若在Δt時間內(nèi)穿過截面S的電量為Δq，如圖2－1(線電流示意圖)所示，則電流強度的定義為(2－1)其單位為安培（A）。為了表示電流的分布情況，需要引入電流密度的概念(2－2)其單位是安/米2。式中ΔS是r點處垂直于正電荷運動方向的面積元，ΔI是通過這個面積元的電流元。顯然，r處的電流密度等于垂直于該點處正電荷運動方向上的一個單位面積上流過的電流。在實際問題中，有時會碰到電流只集中在導(dǎo)體表面一薄層內(nèi)的情況，如圖2－2(面電流示意圖)所示，如果該薄層的厚度小到可以忽略的程度，則可認(rèn)為在其中流動的電流為面電流。這時可以定義面電流密度（2－3）其單位是安/米。圖2－1圖2－2

圖2－3(2－4)由于電荷是守恒的。電荷守恒定律可以描述為：單位時間內(nèi)從封閉曲面S內(nèi)流出的電量等于封閉曲面S內(nèi)電量的減少量。根據(jù)電流密度J的物理意義，電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為對于恒定電流，

J和ρ都不隨時間變化，則上式可簡化為(2－5)此式的另一個物理意義可以解釋為：恒定電流的電流線必定是閉合的。2.1.2安培定律磁場磁感應(yīng)強度

安培定律是一個實驗定律，是研究恒定電流磁場的基礎(chǔ)。我們考慮最簡單的情況，其內(nèi)容可描述為：若真空中有兩個靜止的、相互平行且垂直間距為r的、極細(xì)極短的、通有電流的導(dǎo)線I1dl1和I2dl2，它們之間的作用力dF為(2－6)安培定律雷同于靜電場的庫侖定律。因此，類比于電場的引入，我們引入磁場，即認(rèn)為I2dl2受到的力是由I1dl1激發(fā)的磁場引起的。同時引入描述磁場的物理量——磁感應(yīng)強度，類比點電荷產(chǎn)生的電場，可得到電流元產(chǎn)生的磁場大小為(2－7)上面討論的是線電流分布產(chǎn)生的磁場。下面研究體電流分布和面電流分布產(chǎn)生的磁場。若電流以電流密度J(x)分布在體積V中，在體積V中x點處，沿電流方向取長度為dl橫截面積為dS的小電流管，小電流管中的電流元為所以其中，dV是該電流元的體積，所以該電流元在距其垂直距離為r的位置產(chǎn)生的磁場大小為(2-8)整個體電流產(chǎn)生的磁場就是在整個體積上對上式的積分。同理，如果電流以面密度JS(x)分布在面積S中，在S上x點，沿電流方向取長度為dl，寬度為dx的小電流面，小電流面中的電流元為即其中dS是該電流元的面積，所以該電流元在距其垂直距離為r的位置產(chǎn)生的磁場大小為(2－9)整個面電流產(chǎn)生的磁場就是在整個面積上對上式積分。

[例2－1］如圖2－4，求電流為I的無限長直導(dǎo)線激發(fā)的磁場大小。(2－10)所以，無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場大小與距導(dǎo)線的距離成反比。思考：請在圖2－4中標(biāo)出θ角。

［例2－2］計算圓形載流線圈軸線上激發(fā)的磁場大小。我們求圓形載流導(dǎo)線軸線上一點的磁感應(yīng)強度B，如圖2－5所示，A點的電流元Idl在軸線上P點的磁感應(yīng)強度為圖2－5dB垂直于dl和r，將dB分解為與軸線平行的分量dB∥和與軸線垂直的分量dB⊥兩部分。由對稱性可知，在這圓形載流導(dǎo)線上一定存在著另一與Idl對稱的電流元，在P點產(chǎn)生的磁場的垂直分量與dB⊥大小相等但方向相反。不難推得，載流圓導(dǎo)線上所有電流元在P點的磁場的垂直分量的矢量和為零，因而P點的B等于載流圓導(dǎo)線上所有電流元的磁場在平行于軸線方向上的分量的代數(shù)和，即而因AP⊥dl、AO⊥dl，故dl與平面OAP垂直，既然dB垂直于dl和r（AP）所確定的平面，dB必在平面OAP之內(nèi)，即OP、AP、dB三線共面。又因AP⊥dB，故有所以，又，故：所以：積分得：(2－11)這就是圓形載流導(dǎo)線在其軸線上一點的電磁感應(yīng)的表達(dá)式。我們可以討論兩種特殊情況下上述磁場的表達(dá)式：一是當(dāng)a=0時，即考查載流圓導(dǎo)線圓心處的電磁感應(yīng)強度為(2－12)二是當(dāng)a→∞時，即離圓形電流較遠(yuǎn)時的磁場的表達(dá)式為（2-13）在此我們只計算了軸線上的磁場分布，軸線外的磁場計算比較復(fù)雜，可以參閱相關(guān)書籍了解。

［例2-3］求載流螺線管內(nèi)軸線上一點的磁場分布

如圖2-6所示，均勻地繞在圓柱面上的螺線形線圈稱為螺線管，螺線管長度為L，半徑為R，電流強度為I，單位長度的匝數(shù)為n（設(shè)n足夠大，能將螺旋狀電流看作無限靠近的圓形電流），計算螺線管軸線上一點P的磁感應(yīng)強度B。圖2－6如圖，在距場點P為l處，從螺線管上取元段dl，則該元段有線圈ndl匝，而對P點而言，該元段等效于電流強度為Indl的圓形電流，由式（2-11）可知，該圓形電流在P點的磁感應(yīng)強度為：(2－14)其中l(wèi)=Rcosβ，所以又將以上數(shù)據(jù)代入式（2－14）得對式（2－15）做以下討論：（1）當(dāng)L>>R時，對于螺線管中部而言，可認(rèn)為其等效于無限長螺線管，這時β1=0、β2=π，則(2－16)（2）在螺線管任一端口的軸線上，此時β1=0、β2=π/2，則(2－17)可見，螺線管端口中心處的磁感應(yīng)強度是內(nèi)部磁感應(yīng)強度的一半。(2－15)

項目2－2比奧—薩伐爾實驗

任務(wù)要求：理解無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場與距導(dǎo)線距離的反比關(guān)系。

所需設(shè)備：導(dǎo)線、圓盤、小磁針。

演示程序：

①在豎直的長直導(dǎo)線上掛一個水平的有孔圓盤，沿盤的某一直徑對稱地放置一對固定磁棒。如圖2－7所示。

②當(dāng)直導(dǎo)線通以電流I時，其磁場將分別給磁鐵的兩個磁極以相反的兩個作用力f1和f2，磁極與電流之間的距離分別為r1和r2。圖2－7③觀察實驗現(xiàn)象：圓盤不會扭轉(zhuǎn)而是保持平衡狀態(tài)。

說明：實驗時之所以對稱地放置兩個磁棒，有三個作用：

其一,可以平衡重力；

其二,可以消除地磁場的影響；

其三，可以增加實驗的靈敏度。2.1.3磁感線靜磁場的“高斯定理”

在靜電場中，由庫侖定律和場的疊加原理導(dǎo)出了高斯定理和環(huán)路定理，在恒定電流的磁場中，我們從比奧—薩伐爾定律和場的疊加原理出發(fā)，來討論類似的兩個定理。

類比電場線，為了直觀地描述磁場，我們引入磁感線。磁感線上每點的切線方向與該點的場強方向相同，磁感線的疏密程度表示磁感應(yīng)強度的大小。磁感線是閉合的曲線，這是它不同于電場線最大的特點。磁通量的定義為：dΦ=B·dS。對通過任意曲面S的磁通量，就是將上式在曲面S上進(jìn)行積分研究表明，在穩(wěn)恒電流的磁場中，通過任意閉合曲面S的磁通量恒等于零，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(2－18)由于這個定理沒有特定的名稱，它對應(yīng)于電場中的高斯定理，所以我們稱它為磁場中的“高斯定理”。下面我們首先證明，磁場中的高斯定理對電流元的場成立。

根據(jù)比奧—薩伐爾定律，在距離電流Idl為r處的場點P的磁場的方向，是以Idl為軸線，rsinθ為半徑的圓的切線方向；

B的數(shù)值在圓周上處處相等，如圖2－8所示，該圖即為磁場中的“高斯定理”示意圖。設(shè)在Idl的磁場中有任意閉合曲面S，做以Idl為軸線、其橫截面為矩形的許多無限小圓環(huán)。每一矩形圓環(huán)均與閉合曲線S相交，如圖畫出了其中一個矩形圓環(huán)，它與閉合曲面S的交面分別為dS1（前面）和dS2（后面）。不難理解，閉合曲面S被小矩形圓環(huán)分割為許多這樣成對的小面積元。整個閉合曲面的磁通量等于所有這些成對面元磁通量的代數(shù)和。容易證明，電流元對每個小矩形圓環(huán)的磁通量為零，所以，電流元產(chǎn)生的磁場對整個曲面的磁通量為零。圖2－8對于任意電流來說，可以將其分解為許許多多的電流元，而每個電流元對閉合的曲面的磁通量為零，根據(jù)磁通量疊加原理，可知任意電流激發(fā)的磁場對閉合曲面的磁通量為零，即2.1.4安培環(huán)路定理

以無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場為例，其截面的磁場分布如圖2－9所示，距導(dǎo)線距離為r的點處的磁場為μ0I/2πr，沿半徑為r的圓L作環(huán)路積分得(2－19)進(jìn)一步研究表明，磁感應(yīng)強度B沿任意閉合環(huán)路L積分，等于穿過這個環(huán)路的所有電流強度的代數(shù)和I的μ0倍。可見真空中恒定電流的磁場是一個無源有旋的場。圖2－9圖2－10

［練習(xí)］如圖2－10所示，請對兩種簡單的情況進(jìn)行驗證。（1）沿不包含電流的閉合曲線L1對B進(jìn)行積分。（2）沿包含電流的閉合曲線L2對B進(jìn)行積分。

［例2－4］半徑為R的均勻無限長圓柱載流直導(dǎo)線，設(shè)其電流強度為I，試計算距軸線為r處的磁感應(yīng)強度B。

圖2－11所示為直導(dǎo)線激發(fā)的磁場，先求柱外一點P的場強，由軸對稱性可知，以軸為心，r為半徑的圓周上各點B有相同的數(shù)值。至于B的方向可由以下分析得到。將圓柱體分為許多細(xì)窄柱，每一窄柱可以看成無限長直線電流。如圖所示，窄柱dτ1和dτ2在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為dB1和dB2，它們的合成磁場dB=dB1+dB2,垂直于半徑r，由于整個柱面可以這樣成對地分割為許多對稱的窄柱，每對窄柱的合成磁感應(yīng)強度均垂直于半徑，因而總電流I產(chǎn)生的B的方向必垂直于r，即在圓周的切線方向。圖2－11將安培環(huán)路定理用于此圓周上有：故(2－20)即圓柱外一點B與全部電流集中于柱軸時的線電流產(chǎn)生的B相同。用上述方法同樣可以求得柱內(nèi)一點B，過柱內(nèi)一點作以軸為心的圓周，設(shè)其半徑為r，顯然在此圓上各點的B值相同，方向在圓周的切線方向上，將安培環(huán)路定理應(yīng)用到此圓上，此時圓周所圍的電流為，故所以有：(2－21)可見，柱內(nèi)磁場B的大小正比于該點到軸線的距離r。由以上結(jié)論可做出B對r的函數(shù)曲線，由圖可見在柱表面上的B是連續(xù)的并有最大值。 2.2介質(zhì)對磁場分布規(guī)律的影響

2.2.1磁矩

通有電流的線圈在磁場中會受到力矩的作用，圖2－12所示為磁矩示意圖，當(dāng)線圈平面和磁場方向平行時，線圈所受磁場力的力矩大小為(2－22)它與線圈的面積S和線圈的形狀無關(guān)。圖2－12定義線圈的磁矩它是矢量，規(guī)定其方向為載流線圈的法線方向（滿足右手螺旋關(guān)系）。顯然，載流線圈所受的力偶矩的一般表達(dá)式可寫為(2－24)這個力偶矩總是試圖使這個線圈的磁矩pm轉(zhuǎn)到B的方向上去，當(dāng)pm與B的夾角為π/2時，力偶矩最大，當(dāng)pm與B的夾角為0時，力偶矩最小。引入了磁矩以后，就可以用磁矩表示平面載流線圈的磁場。

利用比奧—薩伐爾定律，可求得圓形載流導(dǎo)線的軸線上任一點的磁感應(yīng)強度大小為(2－25)其中R是圓形載流導(dǎo)線的半徑，r為考查點到線圈圓心的距離。當(dāng)r>>R時，上式變?yōu)?2－26)可將上式改寫為(2－27)理論研究表明，不但是圓形載流體軸線上，而且在遠(yuǎn)離載流體空間各點的B，都由空間的位置和磁矩pm所決定。綜上所述，無論在產(chǎn)生磁場方面，還是在磁場中所受力偶方面，只要載流線圈的磁矩pm相同，它們的效果就相同，所以磁矩pm

是反映載流線圈的一個重要物理量。2.2.2有介質(zhì)存在時磁場的分布特點

在磁場作用下能發(fā)生變化并能反過來影響磁場的介質(zhì)叫磁介質(zhì)。磁介質(zhì)在磁場的作用下的變化叫磁化。事實上，任何物質(zhì)在磁場作用下都或多或少地發(fā)生變化并反過來影響磁場，因此任何物質(zhì)都可以看成磁介質(zhì)。

磁介質(zhì)的磁化可以用安培的分子電流假說來解釋。安培認(rèn)為；由于電子的運動，每個磁介質(zhì)分子相當(dāng)于一個環(huán)形電流，叫分子電流。分子電流的磁矩叫分子磁矩。在沒有外加磁場時，磁介質(zhì)中各個分子電流的取向是雜亂無章的，所以宏觀上磁介質(zhì)不顯磁性，當(dāng)外界存在磁場時，磁介質(zhì)內(nèi)部各分子電流的磁矩或多或少地轉(zhuǎn)向磁場方向，這就是磁介質(zhì)的磁化。如圖2－13是均勻磁介質(zhì)在均勻磁場中磁化的例子。在螺線管內(nèi)充滿某種均勻磁介質(zhì)，當(dāng)螺線管線圈通有電流時，螺線管內(nèi)出現(xiàn)沿軸線方向的磁場，在它的作用下，磁介質(zhì)中每個分子電流會變向，取向趨于一致，為簡單起見，考慮磁介質(zhì)中的一個截面，并假定每個分子電流的取向都變成如圖方向，從宏觀上看，磁介質(zhì)表面則相當(dāng)于有電流流過，這是分子電流規(guī)則排列的宏觀效果。這種因磁化而出現(xiàn)的宏觀電流叫做磁化電流（相當(dāng)于電介質(zhì)極化時的極化電荷）。值得注意的是，磁化電流是分子電流因磁化而呈現(xiàn)的宏觀電流，它不伴隨著帶電粒子的宏觀位移，而一般意義上的電流叫自由電流（相對于電介質(zhì)極化時的自由電荷）。是伴隨著帶電粒子的宏觀位移的。圖2－13

正如有電介質(zhì)時電場E是由自由電荷與極化電荷共同產(chǎn)生一樣，有磁介質(zhì)時的磁場B也是由自由電流與磁化電流共同產(chǎn)生的，即：(2－28)其中B0是自由電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，B′是磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。為了描述磁介質(zhì)磁化的程度，在磁介質(zhì)中取一個物理無限小體積元Δτ，磁化前，體元中各分子磁矩方向雜亂無章，整個體元內(nèi)分子磁矩矢量和為零，磁化后，由于各分子磁矩的取向趨于一致，體元內(nèi)磁矩的矢量和不為零，磁化越強，這個矢量和越大。因此，我們把單位體積內(nèi)的分子磁矩的矢量和叫做磁化強度，用它來描述磁介質(zhì)被磁化的程度，記做：(2－29)其中pmi表示物理無限小體積元Δτ內(nèi)第i個分子的磁矩，因為Δτ是物理無限小，所以M就能描述不同宏觀點的磁化程度。如果磁介質(zhì)中各點的M相同，就說它是均勻磁化的。

研究表明，磁介質(zhì)可按其磁特性分為三類：順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)。順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)的磁特性與鐵磁質(zhì)有很大不同，合稱為非鐵磁質(zhì)，非鐵磁質(zhì)又有各向同性與各向異性之分。實驗表明，對于各向同性非鐵磁質(zhì)中的每一點，其磁化強度M與磁感應(yīng)強度B大小成正比，方向和B平行，即：(2－30)

g的數(shù)值可以為正，也可以為負(fù)，取決于磁介質(zhì)的性質(zhì)。當(dāng)g>0時，M與B同向，這種磁介質(zhì)是順磁質(zhì)；當(dāng)g<0時，M與B反向，這種磁介質(zhì)是抗磁質(zhì)。2.2.3磁化電流

電流強度是針對一個面定義的，通過某面的電流強度等于單位時間內(nèi)流過該面的電量。由于磁介質(zhì)內(nèi)布滿了分子電流，磁介質(zhì)磁化后分子電流又有一定的取向，所以，討論磁化電流，就是討論通過磁介質(zhì)內(nèi)任一曲面S的磁化電流強度I′。圖2－14設(shè)曲面S的邊界線為L，如圖2－14所示，只有那些環(huán)繞曲線L的分子電流對I′才有貢獻(xiàn)，因為其他分子電流要么不穿過曲面S，要么沿相反方向兩次穿過S而抵消，因此，求出環(huán)繞L的分子電流個數(shù)再乘以分子電流值便可求得I′。在曲線L取一小段dl，由于dl很短，可以認(rèn)為dl內(nèi)各點的M相同（盡管M在整個曲線上的值可以不同），為簡單起見，假定dl附近各分子磁矩取向與曲面的法線方向垂直，如示方向。以dl為軸線做一圓柱體，其兩底邊與分子電流所在平面平行，底的半徑等于分子電流的半徑。這樣，只有中心在圓柱體內(nèi)的分子電流才環(huán)繞dl，設(shè)單位體積的分子數(shù)為N，則中心在柱體內(nèi)的分子數(shù)為NSdlcosθ，其中S是柱底的面積，θ是M與dl的夾角，則這些分子貢獻(xiàn)的電流是其中，Im是每個分子電流的強度，故ImS是分子磁矩的大小，NImS是磁化強度M的大小，因此

整個曲面S的磁化電流強度就是沿曲面S的邊界L對上式積分，即(2－31)上面討論的電流是體磁化電流。它可以看做是在磁介質(zhì)內(nèi)部體積中流過的一種電流。討論磁介質(zhì)磁化時，往往需要使用“面電流”的概念，當(dāng)電荷集中于兩種介質(zhì)界面附近的一個薄層內(nèi)運動，而所研究的場點與薄層的距離遠(yuǎn)大于薄層厚度時，可以近似認(rèn)為電流只在一個幾何面（介質(zhì)的交界面）上流動，這種電流就叫面電流。面電流的分布可以用面電流密度來描述，我們定義界面上的面電流密度是一個矢量，其方向和該點的電荷運動方向相同，大小等于單位時間流過該點處與電荷運動方向垂直的單位長度的電量。由上面討論可得到以下兩個結(jié)論：

（1）磁介質(zhì)內(nèi)磁化電流密度由磁化強度M決定。在均勻磁介質(zhì)內(nèi)部，其電流密度為零。

（2）兩磁介質(zhì)界面上的面磁化電流密度為(2－32)為證明上式，只需在界面附近做一個極窄的小矩形，如圖2－15所示。其證明過程可參考相關(guān)文獻(xiàn)。圖2－152.2.4磁場強度有介質(zhì)時的磁場環(huán)路定理

當(dāng)空間的傳導(dǎo)電流分布及磁介質(zhì)的性質(zhì)（各點的g值）已知時，理論上應(yīng)能求得空間各點的磁感應(yīng)強度B，然而，如果從比奧—薩伐爾定律出發(fā)求B，必須知道全部電流（包括傳導(dǎo)電流和磁化電流）的分布，而磁化電流依賴于磁化強度M，磁化強度又依賴于總的磁感應(yīng)強度B，這就形成了計算上的循環(huán)。在電介質(zhì)理論中我們遇到過類似的情況，解決的辦法是列出足夠數(shù)量的方程然后聯(lián)立求解。為了求解方便，還設(shè)法從方程中消去極化電荷并引入一個輔助物理量D，最后得出關(guān)于D的高斯定理，其表達(dá)式中不再帶有極化電荷。磁介質(zhì)的問題也可以用完全類似的方法解決。根據(jù)磁場的安培環(huán)路定理，磁感應(yīng)強度B沿任一閉合曲線L的積分為其中I是通過以L為邊線的曲面的電流強度，當(dāng)場中存在磁介質(zhì)時，只要把I理解為既包括傳導(dǎo)電流又包括磁化電流，則上式仍然成立。以I0和I′分別表示穿過閉合曲線L的傳導(dǎo)電流和磁化電流，則(2－33)將I′=∮LM·dl代入上式可得即（2－34）為方便起見，引入一個輔助性的矢量H，其定義為（2－35）由上式便可寫為（2－36）這就是有磁介質(zhì)時的安培環(huán)路定理。把真空看成磁介質(zhì)的特例，其M=0，則由式（2－35）可知，H=B/μ0，故式（2－36）可以寫成（2－37）這就是真空中的安培環(huán)路定理，因此，有磁介質(zhì)的安培環(huán)路定理可以看做是真空中環(huán)路定理的推廣形式。

將M=gB代入（2－35）式可得令，則：或(2－38)這是描寫各向同性非鐵磁介質(zhì)中B與H之間關(guān)系的重要表達(dá)式，即磁介質(zhì)的性能方程。一般各向同性非磁介質(zhì)的μ都是正的常數(shù)，所以由上式可知，各向同性非鐵磁介質(zhì)內(nèi)每點的B與H方向相同，大小成正比。μ叫做磁介質(zhì)的絕對磁導(dǎo)率，是描寫磁介質(zhì)性質(zhì)的宏觀點函數(shù)，把真空看成磁介質(zhì)的特例，此時μ=μ0，μ0是真空的絕對磁導(dǎo)率。某種磁介質(zhì)的絕對磁導(dǎo)率與真空的絕對磁導(dǎo)率的比值，叫該磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，記做μr，即(2－39)通過查閱相關(guān)資料，完成下表。

［例2－5］在密繞螺線管中充滿均勻非鐵磁質(zhì)，已知螺繞環(huán)的傳導(dǎo)電流為I，單位長度匝數(shù)為n，螺線管的截面積比導(dǎo)線的截面積大得多，非鐵磁質(zhì)的絕對磁導(dǎo)率為μ，求環(huán)內(nèi)外的磁場強度H和磁感應(yīng)強度B。

首先證明螺線管內(nèi)任一點的B的方向平行于軸線方向。我們用反證法：設(shè)通電螺線管在P點的B如圖2－16所示，偏離了軸線方向。由于螺線管無限長，可認(rèn)為P點位于中心位置，過P做直線zz′垂直于軸線oo′。現(xiàn)以zz′為軸將螺線管轉(zhuǎn)180°，則P點的磁感應(yīng)強度必為與B對稱的矢量B′，再令螺線管電流反向，按照比奧—薩伐爾定律，電流反向，磁感應(yīng)強度必反向，因此這時P點的磁感應(yīng)強度必為-B′，而此時螺線管的狀態(tài)完全等同于螺線管未繞zz′轉(zhuǎn)動前的狀態(tài)，因此-B′應(yīng)與B′重合，與原假設(shè)磁感應(yīng)強度和軸線偏離矛盾，故P點的B只能取與軸線平行的方向。圖2－16再將安培環(huán)路定理應(yīng)用于圖2－17中的abcda矩形閉合曲線，其中bc段在軸線上，并注意該曲線所包圍的電流為零，所以在ab、cd段，各處B與垂直，因而：由于螺線管無限長，在bc段各點的磁感應(yīng)強度B相等，同理da段各點上的磁感應(yīng)強度也相等，所以故再由式（2－16），并結(jié)合有磁介質(zhì)時的環(huán)路定理可知，無限長螺線管內(nèi)部為勻強磁場，其磁感應(yīng)強度大小為磁場強度大小為（2-40）（2-41）再沿adef積分可得，無限長螺線管外部的磁感應(yīng)強度為零。圖2-172.2.5磁場的能量

上一章我們了解了電場具有能量，建立了“場的能量”的概念，并從特例推出了電能體密度的表達(dá)式為與此對應(yīng)，現(xiàn)在討論磁場的能量。雖然磁場力對單一的運動電荷不做功，但對載流導(dǎo)線，在導(dǎo)線通以電流建立磁場的過程中，外來能源將提供一定的能量。根據(jù)能量守恒定律，外來能源將被轉(zhuǎn)換為儲存在導(dǎo)線周圍的磁能而被儲存起來。當(dāng)螺線管不通電時，螺線管中沒有磁場，這時無磁能存在。線圈通電后，電源必須克服線圈的自感電動勢的反作用而做功，直至線圈電流從零增加到穩(wěn)定值I為止。根據(jù)能量守恒定律，外電源克服自感電動勢所做的功，被轉(zhuǎn)化為儲存在線圈內(nèi)的磁能。由電工知識可知，其磁能的大小為式中L是線圈自感系數(shù)，I是最終流過線圈的穩(wěn)態(tài)電流。我們知道，I與磁場強度H有關(guān)，L與磁通量Φm有關(guān)。故可將式（2－32）改寫成以上推導(dǎo)中利用了下列關(guān)系式如果設(shè)l為螺線管中心線長度，則V＝Sl。因此該磁場的磁能密度（即單位體積內(nèi)的磁能）為(2－42)這里H為環(huán)形螺線管中心線上的磁場強度值。若磁能Wm的單位為焦耳（J），則磁能密度Wm的單位為焦耳／米3（J／m3）。公式（2－42）雖然是從特例得出的，但可以證明它對任何磁場均實用。

對于非均勻磁場，可在整個磁場對上式進(jìn)行積分求得(2－43)

2.3測量地磁場的水平分量

2.3.1地磁場

地球是一個大磁體，地球本身及其周圍空間存在著電磁場，地球磁場的強度和方向隨地點、時間而發(fā)生變化。地磁場的NS極所在的軸線和地球自轉(zhuǎn)軸斜交了一個角度θ0≈11.5°。所以地磁極與地理南北極相近但不相同。

地球表面任何一點的地磁場的磁感應(yīng)強度B具有一定的大小和方向，在地理坐標(biāo)系中如圖2－18所示。O點表示測量的點，x軸指向北，y軸指向東，z軸垂直于地平面指向地下。xOy面代表地平面。地磁場B在xOy平面上的投影稱為地磁場的水平分量，水平分量偏離地理南北方向的夾角D稱為磁偏角，我們規(guī)定，磁偏角東偏為正，西偏為負(fù)。B偏離水平面的角度I稱為磁傾角，規(guī)定下傾為正，上仰為負(fù)，則在北半球的大部分地區(qū)的磁傾角為正。圖2－182.3.2正切電流計

亥姆霍茲線圈是由一對