《多傳感器數(shù)據(jù)融合及其應用》課件第2章

第2章狀態(tài)估計2.1卡爾曼濾波器2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器2.3自適應α-β濾波器2.1卡爾曼濾波器2.1.1用數(shù)字濾波器作為估值器

1.非遞歸估值器

根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾波器是一種只有前饋而沒有反饋的濾波器，它的沖擊脈沖響應是有限的，在許多領域有著廣泛的應用?，F(xiàn)在假定用zk表示觀測值，zk=x+nk

(2-1-1)式中：x——恒定信號或稱被估參量；

nk——觀測噪聲采樣。同時假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。設有m個由式(2-1-1)確定的觀測數(shù)據(jù)，用圖2-1給出的非遞歸濾波器進行處理，這與數(shù)字信號處理中采用的頻域分析方法不同：其一，這里采用的是時域分析方法；其二，這里不是濾波，而是估值，或者說是在摻雜有噪聲的測量信號中估計信號x。圖2-1采樣平均估值器

圖中，h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應hj的采樣，或稱濾波器的加權(quán)系數(shù)。由圖2-1可以看出，濾波器的輸出(2-1-2)當h1=h2=…=hm=1/m時，該式表明，估計是用m個采樣值的平均值作為被估參量x的近似值的，故稱其為采樣平均估值器。估計的均方誤差以Pε表示，有當i=j時δij=1，當i≠j時δij=0，有最后，（2-1-3）

由此可以得出兩點結(jié)論：

(1)該估值器的均方誤差隨著m的增加而減少，從這個意義上說它是個好的估值器；

(2)說明該估值器是一個無偏估值器。2.遞歸估值器根據(jù)數(shù)字濾波器的基本原理可知，遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無限的脈沖響應，有階數(shù)少的優(yōu)點，但其暫態(tài)過程較長。關(guān)于信號和噪聲的基本假設與非遞歸情況相同。圖2-2給出了一個一階遞歸濾波器，其輸入輸出信號關(guān)系如下：（2-1-4）式中，zk與非遞歸情況相同；a是一個小于1的濾波器加權(quán)系數(shù)，如果它大于或等于1，該濾波器就不穩(wěn)定了。圖2-2一階遞歸濾波器作估值器第k時刻的輸出yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk

(2-1-5)將zk中的信號和噪聲分開，并代入式(2-1-5)，有輸出(2-1-7)由于│a│＜1，故隨著k值的增加，yk趨近于x/(1-a)。這樣，如果以(1-a)yk作為x的估計值，則(2-1-6)

此時的信號x和估值之間只差一個噪聲項。當k值較大時，估值的均方誤差(2-1-8)而一次取樣的均方誤差(2-1-9)故上一結(jié)果的均方誤差約為一次采樣的（1-a）/（1+a）倍。2.1.2線性均方估計

1.最優(yōu)非遞歸估計由前面知，非遞歸濾波器的估計值及其估計誤差可分別表示為只要對m個參數(shù)逐一求導，并令其等于零，在均值為零的白噪聲的情況下，可得到最小均方誤差和估計：(2-1-10)其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m時，這種估計近似于采樣平均。在噪聲方差σ2n較大時，其性能明顯優(yōu)于非最佳情況。這種最小均方誤差準則下的線性濾波，通常稱作標量維納濾波。必須注意的是，這里的hj與非最優(yōu)情況的不同，這里的濾波器的加權(quán)系數(shù)為2.由最優(yōu)非遞推估計導出遞歸估計由前可知，非遞歸估值器可以表示為(2-1-12)條件與前面相同。對k+1次取樣，相應的估計量(2-1-13)相應的估計誤差(2-1-14)(2-1-15)由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有所以有(2-1-16)(2-1-17)(2-1-18)于是,分成二項：將第一項同時乘、除一個bk，則(2-1-19)最后,有(2-1-20)或(2-1-21)圖2-3兩種遞歸估值器

應用時要注意初始條件，即遞推開始時的初始值的問題。我們希望初始的滿足以使為最佳值。解之，得 ，這時的 。如果E(x)=0，可從零開始遞推運算，即2.1.3最優(yōu)遞歸估值器——標量卡爾曼濾波器

1.模型

1）信號模型設要估計的隨機信號為由均值為0，方差為σ2w的白噪聲激勵的一個一階遞歸過程，即信號對時間的變化滿足動態(tài)方程：x(k)=ax(k-1)+w(k-1) (2-1-22)式中，a——系統(tǒng)參數(shù)；

w(k-1)——白噪聲采樣。如果令x(0)=0，E［w(k)］=0，則由式(2-1-22)定義的過程，稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：(2-1-23)(2-1-24)自相關(guān)函數(shù)(2-1-25)2）觀測模型觀測模型由下式給出：z(k)=cx(k)+v(k)(2-1-26)式中：c——測量因子；

v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪聲。最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型如圖2-4所示。圖2-4最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型2.標量卡爾曼濾波器由前一節(jié)，我們可將遞歸估計的形式寫成：(2-1-27)均方誤差分別對a(k)和b(k)求導，并令其等于0，求其最佳估計，得出a(k)與b(k)的關(guān)系：a(k)=a［1-cb(k)］(2-1-28)最后有遞歸估值器：(2-1-29)b(k)稱濾波器增益，(2-1-30)其中,(2-1-31)均方誤差(2-1-32)

對于給定的信號模型和觀測模型，上述一組方程便稱為一維標量卡爾曼濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖2-5所示。圖2-5標量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

3.標量卡爾曼預測器

標量卡爾曼濾波是對摻雜有噪聲的隨機信號進行線性估計。但經(jīng)常要對信號的未來值進行預測，特別是在控制系統(tǒng)中。在雷達數(shù)據(jù)處理或數(shù)據(jù)融合問題中也經(jīng)常遇到這一問題。我們根據(jù)預測提前時間的多少，把預測分成1步、2步、…、m步預測，通常把1步預測記作?？梢韵胂瘢A測的步數(shù)越多，誤差越大。這里我們只討論1步預測問題。信號模型和觀測模型同前：(2-1-33)根據(jù)前一節(jié)，我們有一步線性預測遞推公式：其中，a(k)和β(k)可以通過使均方預測誤差最小來確定。預測的均方誤差可表示為(2-1-34)將預測方程代入該式，并求導，就會得到一組正交方程：(2-1-35)解之，得a(k)=a-cβ(k)將其代入預測方程，有(2-1-36)進一步可求出：(2-1-37)其中，

由以上表達式可以看出，可根據(jù)均方預測誤差Pε(k/k-1)計算β(k)，然后再給出Pε(k+1/k)的均方預測誤差。圖2-6最優(yōu)一步預測及濾波器(a)最優(yōu)一步預測器；(b)最優(yōu)一步預測及濾波器2.1.4向量卡爾曼濾波器

1.信號向量和數(shù)據(jù)向量

如果要求對q個信號進行同時估計，這q個信號在k時刻的采樣值記作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假設每個信號都是由一階自回歸過程產(chǎn)生的，即第α個信號在時刻k的采樣值為:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1，2，…，q

（2-1-38）每個wα過程都是白的，零均值的，與其它過程的采樣是獨立的。于是把q個信號與q個白噪聲組成的q維向量分別表示成（2-1-39）顯然，X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-40)式中，X(k)，X(k-1)，W(k-1)都是q維向量，A是個q×q階矩陣，即(2-1-41)

如果信號不滿足一階遞歸差分方程，而滿足二階遞歸差分方程，即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)(2-1-42)定義兩個分量x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)于是，有(2-1-43)最后，有X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-44)結(jié)果把一個二階差分方程變成了一個一階二維向量方程，該方程用起來更簡單方便。

在雷達跟蹤時，如果用R(k)表示k時刻的距離，R(k)表示k時刻的速度，U(k)表示k時刻的加速度，T表示采樣周期，則.(2-1-45)寫成一般形式：(2-1-46)其中，寫成向量形式：(2-1-47)最后,有(2-1-48)即可寫成一階向量的形式。在對信號向量進行估計的過程中，同時產(chǎn)生r個含有噪聲的測量值，記作z1(k)，z2(k)，…,zr(k)。則得到一組觀測方程:其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個測量參數(shù)，于是有Z(k)=CX(k)+V(k)(2-1-49)式中，Z(k)，V(k)是r維向量，X(k)是q維向量，C是r×q階矩陣。對于r=q，有(2-1-50)C即是觀測矩陣。

2.向量問題的表示

根據(jù)前面的討論，我們完全可以把前面的信號模型動態(tài)方程和觀測方程寫成如下形式:(2-1-51)這里，我們采用標量運算和矩陣運算的等價關(guān)系，把它推廣到多維情況，如下所示：據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，(2-1-52)對兩個信號的情況，則有(2-1-53)同理，也可以把系統(tǒng)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，即(2-1-54)由于系統(tǒng)噪聲采樣互不相關(guān)，該協(xié)方差矩陣的非對角線元素的值均為零。單一信號均方誤差也可變成協(xié)方差矩陣，(2-1-55)

3.向量卡爾曼濾波器現(xiàn)在就可利用前面的概念，直接把標量卡爾曼濾波器公式變成向量卡爾曼濾波器公式：(2-1-56)濾波器增益：(2-1-57)式中，實際上，它是預測協(xié)方差。誤差協(xié)方差矩陣：(2-1-58)這里用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號。具體如圖2-7所示。圖2-7向量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)增益矩陣K(k)的計算流程如圖2-8所示。圖2-8增益矩陣計算流程4.向量卡爾曼預測器根據(jù)與上節(jié)相同的推導方法，我們可以獲得卡爾曼預測器方程組。預測方程：（2-1-59）預測增益:（2-1-60）預測均方誤差:（2-1-61）

它們與標量的情況是一一對應的，只是用G(k)代替了β(k)。這樣，就可以將濾波和預測用同一個方框圖表示出來。

5.總結(jié)卡爾曼濾波器應用廣泛，這里只對其進行簡單歸納。

1）卡爾曼濾波器的主要特性卡爾曼濾波器是一個遞歸、線性、無偏和方差最小的濾波器，如果過程噪聲和觀測噪聲是正態(tài)高斯白噪聲，則它保持最佳特性。2）卡爾曼濾波器模型目標運動模型：（2-1-62）位置測量模型：（2-1-63）狀態(tài)方程:X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t)=E［W(t)W(t)T］（2-1-64）觀測方程:Z(t)=HX(t)+V(t)R(t)=E［V(t)V(t)T］（2-1-65）3)卡爾曼濾波器方程組殘差:（2-1-66）

預測方程:（2-1-67）狀態(tài)估計:（2-1-68）卡爾曼濾波器增益:（2-1-69）

預測協(xié)方差:（2-1-70）估計協(xié)方差:（2-1-71）2.1.5擴展卡爾曼濾波器在通信、雷達、自動控制和其它一些領域中，從被噪聲污染的信號中恢復有用信號的波形，或者估計狀態(tài)，均可采用卡爾曼濾波器。例如航天飛機軌道的估計、雷達目標的跟蹤、生產(chǎn)過程的自動化、天氣預報等?？柭鼮V波主要用來解決目標航跡的最佳估計問題，但它所使用的動態(tài)方程和觀測方程均是線性的。在雷達目標跟蹤等很多實際應用中，傳感器所給出的是目標的斜距、方位角和高低角，數(shù)據(jù)與目標之間又是非線性的，目標的狀態(tài)方程只有在直角坐標系中才是線性的。這就導致若在直角坐標系和極坐標系中只選擇在一個坐標系中建立系統(tǒng)動態(tài)方程，要么是狀態(tài)方程是線性的，測量方程是非線性的；要么是狀態(tài)方程是非線性的，測量方程是線性的。這便是在現(xiàn)代雷達跟蹤中往往采用混合坐標系的原因。

擴展卡爾曼濾波器，是一種采用混合坐標系進行濾波和殘差計算的卡爾曼濾波器，在實際運算時，它所采用的動態(tài)方程和測量方程均是線性的。擴展卡爾曼濾波器與標準卡爾曼濾波器的主要區(qū)別在于：（1）在計算殘差時，采用極坐標系；（2）在跟蹤計算時，采用直角坐標系；（3）輸出數(shù)據(jù)為直角坐標系數(shù)據(jù)；（4）在兩者的交接處進行相應的坐標變換。圖2-9混合坐標系跟蹤濾波流程1.系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程

狀態(tài)方程：（2-1-72）其中,Φ(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。測量方程:Z(k+1)=H(k+1)X(k+1)+V(k+1)（2-1-73）其中,E［V(k)］=0E［V(k)VT(j)］=R(k)δkjH(k+1)為觀測矩陣。

2.觀測方程的線性化眾所周知，雷達的觀測是在極坐標下進行的。對于一個直角坐標為（x，y，z）的空中目標，雷達所測的三個極坐標分別為：（2-1-74）觀測向量Z(k)=［r(k),θ(k),φ(k)］T為目標向量的非線性函數(shù)：Z(k)=F［X(k)］+V(k)（2-1-75）其中，V(k)為觀測噪聲，其協(xié)方差矩陣為

為了使用卡爾曼濾波器在極坐標系中解算殘差，需要將直角坐標系中的預測值近似線性地變換到極坐標系。假定k+1時刻的預測誤差為（2-1-76）球面坐標系中的預測值為（2-1-77）將其以 為中心用泰勒級數(shù)展開，并略去二次以上的高階分量，可得（2-1-78）于是有極坐標系中的目標測量值與預測值之差為（2-1-79）若令則可得（2-1-80）并且有對前面的雷達方程，有（2-1-81）3.擴展卡爾曼濾波方程

預測方程:（2-1-82）

觀測矩陣:（2-1-83）

預測協(xié)方差陣:P(k+1/k)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)（2-1-84）殘差協(xié)方差陣:S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)（2-1-85）

濾波增益矩陣:K(k+1)=P(k+1/k)HT(k+1)S-1(k+1)（2-1-86）

濾波輸出:（2-1-87）（2-1-88）濾波誤差協(xié)方差陣:（2-1-89）或P(k+1)=P(k+1/k)-K(k+1)S(k+1)KT(k+1)

4.濾波器的啟動

1)三點啟動在濾波器工作時，如果目標以勻加速運動，通常要采用三點啟動，即利用航跡的前三個數(shù)據(jù):Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ2］Z(3)=［r3,θ3,φ3］估計令i=1,2,3則航跡起始的狀態(tài)估計（2-1-90）其中T是掃描周期。初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣P(3)=BR′BT

（2-1-91）其中B為相對于3個初始觀測數(shù)據(jù)的Jacobian矩陣，即（2-1-92）R′為擴展的觀測噪聲協(xié)方差矩陣：（2-1-93）（2-1-94）

i=x,y,z

（2-1-95）為x,y,z軸方向的加速度擾動，分別是距離、方位角和高低角方向的噪聲方差。2)二點啟動如果在濾波器工作時，目標以勻速直線運動，則航跡只需兩點啟動。假定前兩點的測量值分別為Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ

2］利用它們來估計和。航跡起始的狀態(tài)估計（2-1-96）其中T是掃描周期。初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣其中B為相對于兩個初始觀測數(shù)據(jù)的Jacobian矩陣，即（2-1-97）R′為擴展的觀測噪聲協(xié)方差矩陣:i=x,y,z（2-1-98）σ2ai為x,y,z軸方向的加速度擾動，分別是距離、方位角和高低角方向的噪聲方差。顯然，H（k+1）是三點啟動時的化簡：（2-1-99）2.1.6卡爾曼濾波器在雷達跟蹤中的應用

1.系統(tǒng)矩陣假定系統(tǒng)矩陣是四維矩陣，即距離、速度、方位角及其變化率,它們分別由R，，θ和表示，距離方向上的加速度和角度方向的加速度分別由ur(k)和uθ(k)表示。狀態(tài)方程為(2-1-100)則系統(tǒng)方程為(2-1-101)用標準符號x1，x2

，x3,x4分別表示R，R,θ,θ。式(2-1-101)中，A為系統(tǒng)矩陣，W(k)為噪聲項。..

2.觀測矩陣

假定觀測值只有距離和方位兩個，即R和θ，分別用z1和z2來表示。它們是由狀態(tài)值和測量噪聲組成的，且測量噪聲是相互獨立的零均值的白噪聲。測量方程：(2-1-102)則有其中，x1(k)=r(k)，x3(k)=θ(k)。

以上兩個問題實際上是建立模型問題。

3.觀測噪聲協(xié)方差矩陣

在計算濾波器增益時，需知觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。由于只有兩個參數(shù)，因此(2-1-104)這里利用了方位和距離觀測噪聲相互獨立的條件，故左下角和右上角項為零。

4.系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣

假定目標作勻速運動，但由于大氣湍流等因素的影響，目標產(chǎn)生隨機加速度，在距離和方位上都存在隨機擾動,于是有且因為得輸入擾動的協(xié)方差矩陣(2-1-105)

5.濾波器的初值在運算之前，必須對濾波器進行初始化。首先利用一種比較簡單的方法確定，可利用時刻1和時刻2兩點的距離和方位測量值，即z1(1)，z1(2)，z2(1)，z2(2)，建立，而忽略隨機加速度。(2-1-106)6.均方誤差矩陣由濾波器初值，有誤差矢量從而，（2-1-107）初始誤差的協(xié)方差矩陣(2-1-108)由于u，v相互獨立，且各噪聲采樣之間也獨立，則(2-1-109)式中,這樣，所需要的參數(shù)均已具備，可以進行迭代運算了。2.1.7擴展卡爾曼濾波器在目標跟蹤和衛(wèi)星軌道確定方面的應用

1.目標跟蹤假設被跟蹤的目標是在二維空間內(nèi)運動，要根據(jù)所測量的距離和方位數(shù)據(jù)實現(xiàn)對目標的跟蹤。所采用的坐標系為直角坐標系［x(t)，y(t)］，其速度以 表示，目標狀態(tài)表示為四維矢量：（2-1-110）我們把目標的加速度看作高斯白噪聲，目標的動態(tài)方程便可以表示為（2-1-111）其中，W(t)是連續(xù)時間二維高斯白噪聲矢量過程，并有其中Q是2×2階協(xié)方差矩陣。

觀測是由觀測者(也可能是雷達系統(tǒng))進行的，它位于坐標原點。觀測數(shù)據(jù)包括距離r(ti)和方位θ(ti)。(2-1-112)距離以米表示，方位以弧度表示（1rad=57.29578°）,如圖2-10所示。圖2-10一個簡單的目標跟蹤

我們假設，觀測夾雜著高斯白噪聲，于是就可以將觀測矢量Z(tk)寫成(2-1-113)其中Vk是二維離散時間高斯白噪聲矢量過程，有每5s采樣一次，如表2-1所示。下面的參數(shù)用來產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)序列：表2-1目標跟蹤問題的數(shù)據(jù)

為了驗證程序的正確性，利用以下給出的初始估計和初始協(xié)方差矩陣:并利用R，Q的值，得出濾波器的列表輸出。利用該程序確定不同的R值對估值的影響。并討論什么樣的R值是最好的。2.衛(wèi)星軌道確定這里的任務是確定圍繞地球運行的衛(wèi)星的軌道。我們假設衛(wèi)星被限定在一個圓形軌道上運行，并且把地球看作為一個質(zhì)點。衛(wèi)星的二維位置和速度由下面的參量描述：v(t)——衛(wèi)星速度，以km/s表示；γ(t)——由本地水平線測量的飛行路徑角，以rad表示；

r(t)——衛(wèi)星對地球中心的距離，以km表示；φ(t)——衛(wèi)星與赤道的夾角，以rad表示。圖2-11衛(wèi)星狀態(tài)參量在沒有擾動的情況下，衛(wèi)星的軌跡可由以下差分方程確定：（2-1-114）其中，μ=398602.8225km3/s2是地球的引力常數(shù)。衛(wèi)星的狀態(tài)由下式表示：其動態(tài)特性(2-1-115)式中，W(t)表示未知擾動，如空氣阻力、地球引力場變化等。我們把W(t)看作一個四維的連續(xù)時間高斯白噪聲過程，有其中Q是4×4階協(xié)方差矩陣。

為了簡單起見，我們假設φ(k)和γ(k)是可直接觀測的，這樣一來，觀測矢量（2-1-116）其中而Vk是離散時間高斯白噪聲過程,EKF的預測值（2-1-117）其中， 是非線性微分方程 在時刻tk+1的解，以tk

時刻的 值作為初始條件。這個解通常是利用數(shù)字的方法得到的。對于這個問題,利用歐拉（Euler）法，我們把區(qū)間［tk

，tk+1］分成L個子區(qū)間［tk，tk，1］，［tk，1

，tk，2］，…，［tk，L-1，tk+1］。我們根據(jù) 計算 ，有（2-1-118）

實現(xiàn)EKF也要求由矩陣 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t,tk)。對于這個問題，可以利用下面的近似式:這里的l選3或4。

用于模擬的數(shù)據(jù)見表2-2。這個數(shù)據(jù)的Q=0，即無過程噪聲；R的值為數(shù)據(jù)采樣間隔為200s；初始條件為用Euler法根據(jù) 計算預測值 的步長為200。換句話說，即2.1.8目標機動檢測1.歸一化殘差功率法

歸一化殘差功率法的基本思想是從當前時刻開始，連續(xù)檢測前m個采樣時刻的跟蹤濾波器的短時間平均殘差功率，根據(jù)它的先驗分布，然后按照尼曼—皮爾遜準則，給定一個虛警率，信號第一次超過預先設定的門限，就認為機動開始。我們將短時間平均殘差功率定義為式中：ε(k)——濾波器的殘差，等于 ；

P(k)——濾波器的誤差方差；

m——窗口寬度，通常取m=5～8。(2-1-119)

由式(2-1-119)可以看出，S（k）是一個歸一化的殘差平均功率。在跟蹤的過程中，就相當于存在一個窗口，其寬度為m，每次都將窗口內(nèi)的m個殘差平方求和。所以要對它進行平方求和，就是要構(gòu)造一個統(tǒng)計特性已知的統(tǒng)計量，以便對它進行估計。我們知道，濾波器殘差服從均值為0的高斯分布，m個高斯分布的隨機變量之和服從自由度為m的χ2分布；當目標進行機動時，就相當于在高斯隨機變量中增加了一個機動分量，使平均值迅速增加，m個殘差平方之和就變成了非中心的Γ分布。這樣，給定一個虛警率，如10-6，計算出一個門限T，只要信號超過該門限，按照尼曼—皮爾遜準則，檢測到目標機動的概率就是最大的。

2.衰減記憶法衰減記憶法實際上也是一種χ2檢驗法。首先定義一個歸一化的殘差平方變量S(k)=ε(k)TP-1(k)ε(k)(2-1-120)式中，ε(k)是殘差。與前一種方法相同，P是殘差的誤差協(xié)方差矩陣。然后定義一個檢驗統(tǒng)計量(2-1-121)其中，0＜λ＜1。由于該式可迭代運算，顯然λ起到了一個衰減因子的作用，所以有時將這種方法稱為衰減記憶法。S(k)服從自由度為m1的χ2分布，這里的m1與前一種方法的m意義不同，這里表示測量的維數(shù)，如進行的是一維測量，則m1=1。構(gòu)造了檢驗統(tǒng)計量之后，我們首先想到的是，若要進行統(tǒng)計檢驗，必須知道μ(k)的概率分布，然后給定虛警率以確定門限。我們知道，式(2-1-121)在穩(wěn)態(tài)時，有(2-1-122)對兩側(cè)取平均，就可以得到μ(k)服從自由度為mΔ的χ2分布的隨機變量，其中Δ=(1-λ)-1

(2-1-123)其它與第一種方法完全相同。

這里需要強調(diào)的是，不管前面介紹的方法，還是后面將要用到的方法，要想檢測到目標的機動,必須注意三點：

(1)在跟蹤的過程中，目標進行機動時，在跟蹤濾波器的哪一點上的信號能夠反映目標的機動，顯然，這就是殘差；

(2)知道殘差的統(tǒng)計特性，然后構(gòu)造一個什么樣的已知特性的統(tǒng)計量，最后對它進行檢測；

(3)我們是把目標機動信號當作“信號”看的，然后在噪聲中對它進行檢測。把握了這些基本原則，就可能構(gòu)造出各種各樣的自適應濾波器。2.1.9自適應卡爾曼濾波器

1.非零均值相關(guān)加速度正態(tài)截斷模型目標機動就意味著目標加速度的變化。假設目標加速度的均值不為0，即它不是一個平穩(wěn)的隨機過程，因此，可用非零均值相關(guān)模型來描述目標的機動：（2-1-124）通過典型離散化處理，可以得到離散化狀態(tài)方程為（2-1-125）其中,（2-1-126）為常數(shù)矩陣,（2-1-127）

正態(tài)分布是自然界中最常見的分布，許多隨機過程都服從正態(tài)分布或可用正態(tài)分布來近似，或以正態(tài)分布為極限，有些分布可通過正態(tài)分布來導出。所以，將目標的機動加速度模擬為正態(tài)分布是首先想到的。在每一種具體的戰(zhàn)術(shù)場合，人們所關(guān)心的僅是機動加速度的“當前”概率密度,即目標機動的當前可能性，當目標正以某一加速度機動時，它在下一瞬時的加速度取值范圍是有限的，而且只能在“當前”加速度領域內(nèi)。因此，在描述機動加速度的概率密度時，完全沒有必要考慮機動加速度取值的所有可能性。

目標的機動是由未知的飛行指令產(chǎn)生的，而飛行指令的產(chǎn)生受到大氣湍流、地面火力變化、氣候變化等多種因素制約。加上有人駕駛飛行器中操作人員和飛行器本身對加速度承受能力的限制，所以在考慮目標機動加速度的當前模型時假設：

(1)目標最大加速度是有界的，現(xiàn)階段目標機動可達5g～6g(g=9.8m/s2)，假設目標最大加速度amax=8g；

(2)如果a很大，則下一時刻目標a的變化范圍就很小，反之亦然。

對于正態(tài)分布的隨機變量，隨機變量與數(shù)學期望的偏差落在3σ的范圍之外的概率上限為0.003。所以我們假設則方差與均值之間的關(guān)系為(2-1-128)

2.σ2a的實時獲取

如果是Kalman濾波器的一個狀態(tài)變量，則Kalman濾波器的輸出本身包含目標機動的統(tǒng)計信息。由最優(yōu)估計理論可知，狀態(tài)的估計值即為給定輸入的條件均值,（2-1-129）其中：Zk={Z(1),Z(2),Z(3),…,Z(k)}，所以可用代替，則有（2-1-130）這樣擾動協(xié)方差矩陣Q即可以實時更新，從而達到自適應跟蹤濾波的目的。如果用代替，可得到預測表達式和轉(zhuǎn)移矩陣Φ1(k)。3.濾波算法狀態(tài)預測方程為(2-1-131）預測協(xié)方差矩陣為(2-1-132）測量預測值為(2-1-133）新息協(xié)方差矩陣為S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)(2-1-134）其中，

增益矩陣為（2-1-135）狀態(tài)濾波估值為（2-1-136）估值誤差協(xié)方差矩陣為（2-1-137）2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器2.2.1目標運動模型對于勻速和勻加速運動的目標，有目標運動模型(2-2-1)(2-2-2)式中，w(k)為均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，T

為對目標的采樣周期。2.2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器

對于勻速運動的目標，可以采用方差和最小的準則進行濾波和預測，這就是我們要介紹的α-β和α-β-γ濾波器。常系數(shù)α-β濾波器定義如下。濾波方程：(2-2-3)預測方程：(2-2-4)濾波方程和預測方程也可以分別寫成如下形式：濾波器和預測器如圖2-12和圖2-13所示。圖2-12α-β位置平滑濾波器流程圖圖2-13α-β預測器流程圖常系數(shù)α-β-γ濾波器定義如下：濾波方程：(2-2-5)預測方程：(2-2-6)對α-β-γ濾波器，濾波和預測方程也可寫成(2-2-7)(2-2-8)α，β，γ為系統(tǒng)增益，分別稱為位置增益、速度增益和加速度增益。2.2.3常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)

α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)可以通過頻域分析得到。

1.α-β濾波器的系數(shù)(2-2-9)2.α-β-γ濾波器的系數(shù)(2-2-10)式中：ω0——濾波器的固有頻率；ωd——濾波器的阻尼固有頻率；ξ——阻尼系數(shù)；d——濾波器的實根。分析表明，為了保證濾波器的穩(wěn)定工作，濾波系數(shù)α和β應滿足如下的關(guān)系：

由于這些參數(shù)均為對應模擬濾波器的參數(shù)，使用起來比較復雜，這里直接給出一組用臨界阻尼法、最佳選擇法給出的系數(shù)。對α-β濾波器，通常在給定α值的情況下，計算β值:(1)(2)一般取α=0.3～0.5。對α-β-γ濾波器，其參數(shù)如下：(2-2-12)給定α，得R，最后得β和γ。式中R是系統(tǒng)特征方程三重正實根。(2-2-13)這組系數(shù)也是在給定α的情況下，計算β和γ。在進行頻率分析時我們會看到，α-β和α-β-γ濾波器是低通濾波器。位置平滑是將位置測量值通過低通濾波器而得到的；而速度和加速度平滑是在足夠低的頻率上，通過對位置測量值的微分得到的。當濾波器的實根d=1時，α-β-γ濾波器降為α-β濾波器。2.2.4變系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)1.α-β濾波器假定濾波器采用兩點啟動在啟動后的N步中，時刻k的濾波器參數(shù)(2-2-14)N+3步后，α保持不變，β和α的關(guān)系為這時有預測方程和濾波方程：預測方程:(2-2-15)濾波方程:(2-2-16)2.α-β-γ濾波器

濾波器采用三點啟動，啟動時α=1,在啟動后的N步中，時刻k的濾波器參數(shù)(2-2-17)N+3步后，α保持不變，β、γ與α的關(guān)系為(2-2-18)2.2.5α-β和α-β-γ組合濾波器對于勻速和勻加速運動的目標，可以將α-β和α-β-γ濾波器聯(lián)合使用。在濾波參數(shù)不變的情況下，可以得到更高的跟蹤精度。組合濾波器結(jié)構(gòu)如圖2-14所示。圖2-14組合濾波器結(jié)構(gòu)圖2-14中，其輸出(2-2-19)是組合濾波器的濾波輸出;分別為α-β、α-β-γ濾波器的濾波輸出;d1(k)、d2(k)分別為α-β、α-β-γ濾波器的殘差：、(2-2-20)

這里參數(shù)的選擇可采用上邊給出的變參選擇方法。其基本思想是：目標在穩(wěn)態(tài)時，濾波器采用穩(wěn)態(tài)濾波參數(shù)；目標機動后，為防止目標丟失，增加濾波器增益，并使濾波器進入暫態(tài)過程，這就是變參的基本思想。目標機動與否，可根據(jù)一步預測方差的大小來判斷。2.3自適應α-β濾波器2.3.1目標運動方程和觀測方程

運動方程：X(k+1)=Φ(k)X(k)+W(k)（2-3-1）其中,E［W(k)］=0,E［W(k)WT(j)］=