江蘇省連云港市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024高一月考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（12．1）一、單選題1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集概念計(jì)算即可.【詳解】先求出集合，得到，則.故選：C.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由偶次根式的被開方數(shù)大于等于零，分母不為零求解即可.【詳解】由解得或．故選:D．3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定得解.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定可知，，的否定為，，故選：A4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，是偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減，故正確.對(duì)于，是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上是單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤.

對(duì)于,是奇函數(shù)，不滿足題意，故錯(cuò)誤.對(duì)于，的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱,不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象、二次函以及冪函數(shù)的單調(diào)性，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則，的大小順序是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，再利用單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，由在上單調(diào)遞減，，得，所以.故選：C6.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性可確定每一段函數(shù)的單調(diào)性及分段處函數(shù)值的大小關(guān)系，由此構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】是上的減函數(shù)，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.7.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的、，且，都有不等式，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，計(jì)算可得出，然后分、兩種情況解不等式，即可得出原不等式的解集.【詳解】對(duì)任意的、，且，都有不等式，不妨設(shè)，則，令，則，即函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，即f-x=-f則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，則，解得；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，則，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：（1）先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，并注意定義域；（3）求解關(guān)于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.8.若關(guān)于的不等式恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)為，再對(duì)分類討論分別求出原不等式的解集，然后根據(jù)其解集中恰有3個(gè)整數(shù)解求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，其解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，所以，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，其解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是正確的分類討論，二是要注意在處理滿足整數(shù)解時(shí)等號(hào)的取舍．二、多選題9.下列幾個(gè)命題中正確的是（）A.函數(shù)的最小值為4B.集合，，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為7個(gè)C.已知，，且，則的最小值為D.一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為【答案】CD【解析】【分析】令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解可判斷A；根據(jù)并集的概念寫出滿足條件的集合即可判斷B；由條件得，利用基本不等式中1的妙用求解可判斷C；由條件可知2，3是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可得，代入不等式求解即可判斷D.【詳解】函數(shù)，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取最小值5，∴函數(shù)的最小值為5，故A錯(cuò)誤；集合，，滿足條件的集合有：，共8個(gè)，故B錯(cuò)誤；已知，，且，則，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為，故C正確；一元二次不等式的解集為，則2，3是方程的兩根，且，∴，得，∴不等式可化為，即，即，解得，則不等式的解集為，故D正確.故選：CD.10.設(shè)，為正數(shù)，且且，則（）A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷A，利用基本不等式建立不等式，換元后解不等式判斷BC，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求的最大值，換元后利用二次函數(shù)最值得解判斷D.【詳解】由，所以，對(duì)A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)下時(shí)取等號(hào)，令，則，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由，令，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)D，由可得，所以，令，由B知，則由可知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過對(duì)已知條件恰當(dāng)變形后，利用基本不等式，換元法解不等式是解題的關(guān)鍵所在，對(duì)變形化簡(jiǎn)能力要求很高.11.已知函數(shù)若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則（）A. B.C. D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即可結(jié)合圖象，根據(jù)選項(xiàng)即可求解.【詳解】作出的圖象如下：令，則，故，，A錯(cuò)誤，BC正確，令，則或，結(jié)合圖象可知，D正確.故選：BCD三、填空題12.已知函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】由解析式列出不等式求解即可.【詳解】由題意得，即，即，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.已知，，用含a、b的式子表示____________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出和，然后再將進(jìn)行分解，用求出的和來表示，最后轉(zhuǎn)化為用、表示.【詳解】因?yàn)椋?由,可得，將其代入中，得到.對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，所以..因?yàn)?把代入可得：.故答案為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的值是__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)作出圖象，結(jié)合圖象性質(zhì)分析即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)的圖象，如圖所示：由此可知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又因?yàn)殛P(guān)于方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可得或.故答案為：或.四、解答題15.（1）已知，求的值；（2）計(jì)算的值．【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求出給定式子的值.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算得解.【詳解】（1）由，得，則，兩邊平方得，所以.（2）.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）求a、b的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明；（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知代入即可求解，（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，（3）結(jié)合（2）的單調(diào)性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，分離參數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.【小問1詳解】由于是R上的奇函數(shù)，，即，所以，，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【小問2詳解】在R上單調(diào)遞增，證明如下：由于，可得，設(shè)則，由于，故因此，故在R上單調(diào)遞增，【小問3詳解】由于為奇函數(shù)，故由可得，又在R上單調(diào)遞增，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故，由于對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，故當(dāng)取最小值，因此，故17.某國(guó)產(chǎn)車企在自動(dòng)駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場(chǎng)．已知該車型年固定研發(fā)成本為20億元，受到場(chǎng)地和產(chǎn)能等其它因素的影響，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該車萬臺(tái)（）且全部售完，每臺(tái)售價(jià)20萬元，每年需投入的其它成本為（單位：億元）．（其中，利潤(rùn)＝銷售收入－總成本）（1）寫出年利潤(rùn)（億元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn)；（3）若該企業(yè)當(dāng)年不虧本，求年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤(rùn)為億元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算公式，分別對(duì)不同的產(chǎn)量范圍求出利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式.（2）在每個(gè)分段上分別求函數(shù)的最大值，比較得出整個(gè)定義域上的最大利潤(rùn).（3）對(duì)于不虧本的情況，即利潤(rùn)大于等于，分別在不同分段上求解不等式得出產(chǎn)量的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元（每臺(tái)售價(jià)萬元，萬臺(tái)），總成本為固定研發(fā)成本億元加上其他成本億元.根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入-總成本，可.當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元，總成本為億元.則.所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，圖象開口向下，對(duì)稱軸為.但，所以在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以億元.當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式，有.所以億元，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤(rùn)為億元.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得結(jié)合，知道此時(shí)滿足題意.當(dāng)時(shí)，，即，即，令，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí),.則當(dāng)，恒成立，即恒成立.綜上所得，該企業(yè)當(dāng)年不虧本，則年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的取值范圍為.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若，求的最大值；（2）若，求的最小值；（3）若，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）分類討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）令并分離參數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】當(dāng)，令，即，由，則；【小問2詳解】易知，對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；綜上；【小問3詳解】由在上恒成立，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知t在時(shí)單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，易得，則，分離參數(shù)得在上恒成立，即，令，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，即，所以，即的取值范圍.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式，需多注意式子結(jié)構(gòu)，常用換元法及整體思想轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，換元需注意所換元的范圍即可.19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是為奇函數(shù).若定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).（?。┖瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求m的值.（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍.【答案】（1）4（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)，賦值即可得解；（1）（?。┯深}意由為奇函數(shù)即可得解；（ⅱ）證明的單調(diào)性，求出值域，由題意轉(zhuǎn)化為，再由的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為，分類討論求的值域，滿足上述條件建立不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槎x在上函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問2詳解】（?。┮?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，解得.（ⅱ）先證明在上單調(diào)遞增，設(shè)任意的，且，則，