福建省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題含答案

高二數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘，試卷總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．2．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．168 B．196 C．200 D．2103．已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列從第3項(xiàng)起各項(xiàng)數(shù)值逐漸增大B．當(dāng)時(shí)，取最大值C．是該數(shù)列的項(xiàng)D．?dāng)?shù)列的圖象與的圖象相同5．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切6．已知直線，則這條直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知直線將圓分成面積分別為，的兩個(gè)部分，當(dāng)?shù)闹等∽畲髸r(shí)，的值為（

）A．0 B．2 C． D．8．一個(gè)彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的處，那么在第n次著地后，它經(jīng)過的總路程超過5m，則n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每題的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯(cuò)得0分.9．已知直線，，則下列說法正確的是（

）A．若滿足在軸上的截距與在軸上的截距相等，則B．必過定點(diǎn)C．若，則或4D．若，則10．已知圓，點(diǎn)，直線不全為，則下列說法正確的是（

）A．若與圓相切，則點(diǎn)在上 B．若與圓相交，則點(diǎn)在外C．若與圓相離，則點(diǎn)在內(nèi) D．若與圓相離，則點(diǎn)在外11．斐波那契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，.則（

）A． B．C． D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．.直線與之間的距離是13．已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），動點(diǎn)C滿足，則的面積最大值為.14．定義在上的函數(shù)滿足對任意的x，y都有（為常數(shù)），且，設(shè)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，則t的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.16．已知直線過點(diǎn)，且的一個(gè)法向量是.(1)求直線的方程；(2)若直線與軸交于點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)所對應(yīng)的點(diǎn)為，求直線的方程；(3)在（2）的條件下，求的角平分線所在的直線方程.17．設(shè)數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知直線和圓交于A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長；(2)探究：x軸的負(fù)半軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得x軸平分，如果有，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，如果沒有，說明理由.19．定義：對于數(shù)列若存在常數(shù)，對任意的都有，則稱數(shù)列為和諧數(shù)列.(1)已知數(shù)列，判斷是否為和諧數(shù)列，并說明理由；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：若是和諧數(shù)列，則也是和諧數(shù)列；(3)若、都是和諧數(shù)列，證明也是和諧數(shù)列.

答案1．A解析：直線的斜率為，所以，該直線的方向向量為，故該直線的一個(gè)方向是.故選：A.2．A解析：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：A.3．C解析：對于AC選項(xiàng)，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為正常數(shù)，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，但不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，A錯(cuò)C對；對于BD選項(xiàng)，若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，BD都錯(cuò).故選：C.4．C解析：對于A，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知從起起各項(xiàng)數(shù)值逐漸增大，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可知時(shí)，取最大值，無最大值，故B錯(cuò)誤；對于C，令，可得，解得或，所以是數(shù)列中的項(xiàng)，故C正確；對于D，數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象中橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)，所以數(shù)列的圖象與的圖象不相同，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．B解析：由可得，即圓心，半徑，由圓可得，即圓心，半徑，所以圓心距，所以，所以兩圓相交.故選：B6．D解析：直線的斜率．因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可得．故選：D．7．D解析：由題意可得，直線過定點(diǎn)，且當(dāng)弦長最短時(shí)，的值取最大，此時(shí)直線與直線垂直，圓的圓心為，半徑為3，所以，所以.故選：.8．A解析：設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過的路程為，由題意，，數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第n次著地后經(jīng)過的路程為，即，結(jié)合選項(xiàng)，檢驗(yàn)時(shí)，，時(shí)，成立，故選：A9．BC解析：當(dāng)時(shí)，方程為，也滿足在軸上的截距與在軸上的截距相等，故A錯(cuò)；把變形得，所以，所以必過定點(diǎn)，故B對；若，則滿足或1，故C對；若，則滿足或，故D錯(cuò)；故選：BC10．ABC解析：對于A，因?yàn)榕c圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，即點(diǎn)滿足直線的方程，所以點(diǎn)在上，故A正確；對于B，若與圓相交，所以圓心到直線的距離，所以，即點(diǎn)不滿足直線的方程，所以點(diǎn)在外，故B正確；對于CD，與圓相離，所以圓心到直線的距離，所以，所以點(diǎn)在內(nèi)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC．11．BCD解析：由題設(shè)，，，A錯(cuò)；由，則，故，B對；由，結(jié)合B的結(jié)論有，，，，所以，C對；，D對；故選：BCD12．解析：根據(jù)平行線間距離公式可得兩直線距離為13．解析：設(shè)動點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由題意知，,由，得，化簡得，即動點(diǎn)C在圓上，設(shè)的面積，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.14．解析：由，令，得，則，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，，又，所以?shù)列an是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以滿足，則則t的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2).解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由.所以，即的最小值為.16．(1)(2)(3)解析：（1）因?yàn)橹本€的一個(gè)法向量是，又過點(diǎn)所以可得直線的方程為，化簡得，所以所求直線的方程為.（2）因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，由（1）知的方程為，所以，因?yàn)?，所以，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.由點(diǎn)可知直線方程為，即.（3）設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，，則，所以，的角平分線所在直線的傾斜角為，則的角平分線所在直線的斜率為，因此，的角平分線所在直線的方程為，即.17．(1)(2)解析：（1）依題意有，所以，，，.累加這（）個(gè)式子得，，又，所以顯然滿足上式，所以.（2）由（1）知，所以，，兩式相減得：，所以，整理得.18．(1)；(2)存在，.解析：（1）當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離，圓的半徑為2所以.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1，點(diǎn)坐標(biāo)為x2,y2依題意有平分，則，所以，即，又，所以上式可化為，即.由，得，易知，，，因此，，即，又，則，整理得，因此軸上存在一個(gè)定點(diǎn)符合題意.19．(1)是和諧數(shù)列，理由見