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文檔簡介
湖北省名校2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.2.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.303.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③4.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.5.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度7.若,則下列關系式正確的個數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.48.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.9.在直角梯形中,,,,,點為上一點,且,當?shù)闹底畲髸r,()A. B.2 C. D.10.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.11.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,若,,則________.14.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.的展開式中,項的系數(shù)是__________.16.實數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點分別為的中點.(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若在定義域內是增函數(shù),且存在不相等的正實數(shù),使得,證明:.21.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓于,兩點,直線,分別交直線于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.22.(10分)在平面直角坐標系中,點,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點,當時,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學問題考查圓錐體積計算的實際應用,考查學生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.2、C【解析】
由知,展開式中項有兩項,一項是中的項,另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知,,因為展開式的通項為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項,解決這類問題要注意通項公式應寫準確,本題是一道基礎題.3、C【解析】分析:根據(jù)最低點,判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質,屬于中檔題.4、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設,得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關系.5、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.6、C【解析】
依題意可得,且是的一條對稱軸,即可求出的值,再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質以及三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎題.7、D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標,畫出圖象,數(shù)形結合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學生數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.8、D【解析】
構造函數(shù),,利用導數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結合函數(shù)的單調性推導出或,再利用余弦函數(shù)的單調性可得出結論.【詳解】構造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當時,則,;當時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調性的應用,構造新函數(shù)是解本題的關鍵,解題時要注意對的取值范圍進行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.9、B【解析】
由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設,利用向量三角形法則求出,結合題給,得出,進而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點在線段上,設,則,即,又因為所以,所以,當時,等號成立.所以.故選:B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理,以及運用二次函數(shù)求最值,考查轉化思想和解題能力.10、D【解析】
設出坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導數(shù)求最值.【詳解】設,,聯(lián)立,得則,則由,得設,則,則點到直線的距離從而.令當時,;當時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用,考查利用導數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構造函數(shù)關系的方式,然后結合導數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.11、B【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應圖形如下:可知點,,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運用了數(shù)形結合的方法,屬于基礎題.12、A【解析】
由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、127【解析】
已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學生分析問題的能力,難度較易.14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補成長方體是解題的關鍵.15、240【解析】
利用二項式展開式的通項公式,令x的指數(shù)等于3,計算展開式中含有項的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項公式及簡單應用,相對不難.16、10【解析】
畫出可行域,根據(jù)目標函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當經(jīng)過點時,截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法,基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進而可得結論;(2)建立空間直角坐標系,利用向量求得平面的法向量,進而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點,連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系,設,則,,,,,,為面的一個法向量,設面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意中位線和向量法的合理運用,屬于基礎題.18、(1)(2)【解析】
(1)利用消參法以及點求解出的普通方程,根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化求解出直線的極坐標方程;(2)將的坐標設為,利用點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時對應的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標方程為(2)的直角坐標方程為直線的直角坐標方程設的直角坐標為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當,時取得最小值即,∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標和極坐標的互化公式:;(2)求解曲線上一點到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點的坐標設為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.19、(1)(2)【解析】
(1)按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式;(2)不等式轉化為,求出在上的最小值即可,利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無解綜上不等式的解集為.(2)時,,即所以只需在時恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當時,即【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查不等式恒成立問題,解決絕對值不等式的問題,分類討論是常用方法.掌握分類討論思想是解題關鍵.20、(1)當時,在上遞增,在上遞減;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當時,在上遞增;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)證明見解析【解析】
(1)對求導,分,,進行討論,可得的單調性;(2)在定義域內是是增函數(shù),由(1)可知,,設,可得,則,設,對求導,利用其單調性可證明.【詳解】解:的定義域為,因為,所以,當時,令,得,令,得;當時,則,令,得,或,令,得;當時,,當時,則,令,得;綜上所述,當時,在上遞增,在上遞減;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當時,在上遞增;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)在定義域內是是增函數(shù),由(1)可知,此時,設,又因為,則,設,則對于任意成立,所以在上是增函數(shù),所以對于,有,即,有,因為,所以,即,又在遞增,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性及導數(shù)在極值點偏移中的應用,考查學生分類討論與轉化的思想,綜合性大,屬于難題.21、(1);(2)是,定點坐標為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,聯(lián)立方程得到,,計算點的坐標為
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