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文檔簡介
舟山市重點中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)曲線在點處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.42.關(guān)于函數(shù),有下列三個結(jié)論:①是的一個周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域為.則上述結(jié)論中,正確的個數(shù)為()A. B. C. D.3.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.4.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為,圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.25.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,給出四個命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④6.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.7.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.如圖,在中,點是的中點,過點的直線分別交直線,于不同的兩點,若,,則()A.1 B. C.2 D.39.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.610.下列選項中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件11.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.14.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.15.的二項展開式中,含項的系數(shù)為__________.16.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)把曲線向下平移個單位,然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標不變),設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.18.(12分)某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì),特推出一款運動計步數(shù)的軟件,所有用戶都可以通過每天累計的步數(shù)瓜分紅包,大大增加了用戶走步的積極性,所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”,統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù),規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達人”,步數(shù)在8000以下的為“非運動達人”,采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶,得到如下列聯(lián)表:運動達人非運動達人總計男3560女26總計100(1)(i)將列聯(lián)表補充完整;(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”?(2)將頻率視作概率,從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶,求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附:19.(12分)已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點.為線段上的點,且.(1)證明:為線段的中點;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.21.(12分)在中,、、分別是角、、的對邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點為,當變化時,點構(gòu)成曲線,證明:過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因為,且在點處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題2、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數(shù),又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調(diào)遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數(shù)只有一個,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.3、B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點M和點N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處,根據(jù)平面上兩點間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.5、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯誤;對于②,若,,則,故②正確;對于③,若,,,當,則與不平行,故③錯誤;對于④,若,,,則,故④正確;故選:D【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.7、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.8、C【解析】
連接AO,因為O為BC中點,可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點共線可知,其表達式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點可得,,、、三點共線,,.故選:C.【點睛】本題考查了向量的線性運算,由三點共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當且僅當時,取等號.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.10、D【解析】
對于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡單題.11、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當函數(shù)為冪函數(shù)時,,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),以為原點,為軸建系,則,,設(shè),,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解:設(shè),以為原點,為軸建系,則,,設(shè),,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,建系是關(guān)鍵,屬于難題.14、【解析】
依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
寫出二項展開式的通項,然后取的指數(shù)為求得的值,則項的系數(shù)可求得.【詳解】,由,可得.含項的系數(shù)為.故答案為:【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式,屬于基礎(chǔ)題.16、27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當且僅當時取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得,進而可化簡得出曲線的直角坐標方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點的坐標為,利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標方程為,向下平移個單位得到,縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點到直線的距離為,當時,最小為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點到直線的距離最值的求解,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)(i)填表見解析(ii)沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)詳見解析【解析】
(1)(i)由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表,(ii)計算出后可得;(2)由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為,的取值為,,由二項分布概率公式計算出各概率得分布列,由期望公式計算期望.【詳解】解(1)(i)運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100(ii)由列聯(lián)表得所以沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為,.易知所以的分布列為0123.【點睛】本題考查列聯(lián)表,考查獨立性檢驗,考查隨機變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點在于認識到.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)設(shè)為中點,連結(jié),先證明,可證得,假設(shè)不為線段的中點,可得平面,這與矛盾,即得證;(2)以為原點,以分別為軸建立空間直角坐標系,分別求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【詳解】(1)設(shè)為中點,連結(jié).∴,,又平面,平面,∴.又分別為中點,,又,∴.假設(shè)不為線段的中點,則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線,從而平面,這與矛盾,所以為線段的中點.(2)以為原點,由條件面面,∴,以分別為軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量為所以取,則,.同法可求得平面的法向量為∴,由圖知二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù)條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,運用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值,考查了學(xué)生的運算求解能力.21、(1).(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式,化簡得到,再根據(jù)為銳角三角形,求得,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意知,∴,由余弦定理可知,,又∵,∴.(2)由正弦定理可知,,即∴,又∵為銳角三角形,∴,即,則,所以,綜上的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題,對于解三角形問題,通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系,利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系,利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角,
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