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文檔簡介
湖南省邵陽市隆回縣2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.3.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.5.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.6.已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則()A. B. C. D.7.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.8.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數(shù),則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.9.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.310.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.11.在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.12.已知雙曲線的左右焦點分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.14.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.15.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________16.已知半徑為的圓周上有一定點,在圓周上等可能地任意取一點與點連接,則所得弦長介于與之間的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.18.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.19.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,與圓相交于、兩點,求的取值范圍.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.22.(10分)已知橢圓的右焦點為,過作軸的垂線交橢圓于點(點在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點,過點作直線交橢圓于點,且,直線交軸于點.(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點為橢圓的右頂點時,的坐標(biāo)為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時,,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項,得到符合條件的選項.【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時,令,,則,,排除B、C選項;(2)當(dāng)時,令,,則,排除A選項.故選:D.【點睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項,得到符合條件的選項,是一種簡單有效的方法,屬于中等題.3、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.4、C【解析】
對此分段函數(shù)的第一部分進行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時,,顯然當(dāng)時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應(yīng)極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題5、A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當(dāng)時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結(jié)果,兩個球的號碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率,考查獨立重復(fù)試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗,利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡可得,因為是純虛數(shù),所以,∴,故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
設(shè)點,由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.12、B【解析】
先設(shè)直線與圓相切于點,根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點,因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因為圓與直線的切點為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.14、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為415、0.35【解析】
根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】在圓上其他位置任取一點B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR,則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==;故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用分段討論法去掉絕對值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,則所以不等式的解集為.(2)等價于,而,故等價于,所以或,即或,所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度一般.18、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當(dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當(dāng)時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設(shè),則,所以,解得,所以,所以,設(shè),則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.19、(1)(2)詳見解析【解析】
由題意,根據(jù)平均數(shù)公式求得,再根據(jù),參照數(shù)據(jù)求解.由題意得,獲贈話費的可能取值為,求得相應(yīng)的概率,列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上,由題意得,獲贈話費的可能取值為,,的分布列為:【點睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機變量的分布列及期望,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理與弦長公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長,可得出關(guān)于的函數(shù)表達式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解,涉及韋達定理與弦長公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點面距離即可.【詳解】(1)因為棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分別為AB,BC的中點所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設(shè)點到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點面距離,屬綜合中檔題.22、(1);(2)不存在,理由見解析【解析】
(1)寫出,根據(jù),斜率乘積為-
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