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文檔簡介
云南省楚雄州2025屆高考數學二模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為拋物線的準線,拋物線上的點到的距離為,點的坐標為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.2.方程在區(qū)間內的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.103.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.4.拋擲一枚質地均勻的硬幣,每次正反面出現的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.5.如圖是二次函數的部分圖象,則函數的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.6.為實現國民經濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標,國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比)為.2015年開始,全面實施“精準扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實施的扶貧項目,各項目參加戶數占比(參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比)及該項目的脫貧率見下表:實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍7.某學校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是17.5,30],樣本數據分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()A.56 B.60 C.140 D.1208.若復數()是純虛數,則復數在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.中,,為的中點,,,則()A. B. C. D.210.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.11.正的邊長為2,將它沿邊上的高翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.12.復數的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____.14.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.15.已知是拋物線的焦點,過作直線與相交于兩點,且在第一象限,若,則直線的斜率是_________.16.函數的定義域是____________.(寫成區(qū)間的形式)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某社區(qū)服務中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:最高氣溫天數414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數學期望的取值范圍?18.(12分)已知是公比為的無窮等比數列,其前項和為,滿足,________.是否存在正整數,使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.從①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.19.(12分)過點作傾斜角為的直線與曲線(為參數)相交于M、N兩點.(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.20.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現計劃建造一條自小鎮(zhèn)經小島至對岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側),為保護小島,段設計成與圓相切.設.(1)試將通道的長表示成的函數,并指出定義域;(2)若建造通道的費用是每公里100萬元,則建造此通道最少需要多少萬元?22.(10分)已知函數(1)已知直線:,:.若直線與關于對稱,又函數在處的切線與垂直,求實數的值;(2)若函數,則當,時,求證:①;②.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
設拋物線焦點為,由題意利用拋物線的定義可得,當共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點,準線,過作交于點,連接由拋物線定義,
,
當且僅當三點共線時,取“=”號,∴的最小值為.
故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,體現了數形結合的數學思想,屬于中檔題.2、C【解析】
畫出函數和的圖像,和均關于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數和的圖像,易知:和均關于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,確定函數關于點中心對稱是解題的關鍵.3、B【解析】
根據不等式的性質對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項C:由于,所以,所以,所以成立;選項D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點睛】本題考查不等關系和不等式,屬于基礎題.4、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數,再求出重復數量,可得事件的樣本點數,根據古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復,重復數量為,事件的樣本點數為:個.故不同的樣本點數為8個,.故選:A【點睛】本題考查了分類計數原理與分步計數原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎題5、B【解析】
根據二次函數圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數值正負,即可求出結論.【詳解】∵,結合函數的圖象可知,二次函數的對稱軸為,,,∵,所以在上單調遞增.又因為,所以函數的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數的圖象及函數的零點,屬于基礎題.6、B【解析】
設貧困戶總數為,利用表中數據可得脫貧率,進而可求解.【詳解】設貧困戶總數為,脫貧率,所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選:B【點睛】本題考查了概率與統計,考查了學生的數據處理能力,屬于基礎題.7、C【解析】
試題分析:由題意得,自習時間不少于小時的頻率為,故自習時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應用.8、B【解析】
化簡復數,由它是純虛數,求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數,則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數的除法運算,考查復數的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.9、D【解析】
在中,由正弦定理得;進而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用,考查了學生的運算求解能力.10、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設,得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關系.11、D【解析】
如圖所示,設的中點為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質和線面垂直的性質可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設的中點為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因為,故,因為,故.由正弦定理可得,故,又因為,故.因為,故平面,所以,因為平面,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算,本題有一定的難度.12、C【解析】所對應的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2.【解析】
由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為:本題正確結果:【點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質,涉及到點到直線距離公式的考查,屬于基礎題.14、2【解析】
根據為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎題.15、【解析】
作出準線,過作準線的垂線,利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉化為點到準線的距離,利用平面幾何知識計算出直線的斜率.【詳解】設是準線,過作于,過作于,過作于,如圖,則,,∵,∴,∴,∴,,∴,∴直線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,解題關鍵是利用拋物線的定義,把拋物線上點到焦點距離轉化為該點到準線的距離,用平面幾何方法求解.16、【解析】
要使函數有意義,需滿足,即,解得,故函數的定義域是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值為300,500,600,結合題意及表格數據計算對應概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y與n的函數關系式,得到對應的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數學期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數與概率統計綜合,考查了學生綜合分析,數據處理,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.18、見解析【解析】
選擇①或②或③,求出的值,然后利用等比數列的求和公式可得出關于的不等式,判斷不等式是否存在符合條件的正整數解,在有解的情況下,解出不等式,進而可得出結論.【詳解】選擇①:因為,所以,所以.令,即,,所以使得的正整數的最小值為;選擇②:因為,所以,.因為,所以不存在滿足條件的正整數;選擇③:因為,所以,所以.令,即,整理得.當為偶數時,原不等式無解;當為奇數時,原不等式等價于,所以使得的正整數的最小值為.【點睛】本題考查了等比數列的通項公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數方程消參得到普通方程;(2)寫出直線MN的參數方程,將參數方程代入曲線方程,并將其化為一個關于的一元二次方程,根據,結合韋達定理和余弦函數的性質,即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數方程(是參數),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數方程為(t為參數),將直線MN的參數方程代入曲線,得,整理得,設M,N對應的對數分別為,,則,當時,取得最小值為.【點睛】該題考查的是有關參數方程的問題,涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化,直線的參數方程的應用,屬于簡單題目.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,,,.∴,,.設為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標系是解題關鍵,屬于中檔題.21、(1),定義域是.(2)百萬【解析】
(1)以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系,設,利用直線與圓相切得到,再代入這一關系中,即可得答案;(2)利用導數求函數的最小值,即可得答案;【詳解】以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系.設,則,,.因為,所以直
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