河北省石家莊市精英中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省石家莊市精英中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④2．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．設(shè)m，n為直線(xiàn)，、為平面，則的一個(gè)充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，5．已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．6．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．7．設(shè)點(diǎn)，，不共線(xiàn)，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件8．如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn)，且，，則（）A． B．C． D．9．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為()A． B．C． D．10．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．11．由曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．12．若雙曲線(xiàn)：繞其對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的__________條件.（填寫(xiě)“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）14．已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__________．15．如圖在三棱柱中，，，，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.16．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤舻拿娣e為，，求和的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí).①求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；②定義其中，求；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿(mǎn)100元減20元；方案二：滿(mǎn)100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球（逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)（1）該商場(chǎng)某顧客購(gòu)物金額超過(guò)100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購(gòu)物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？22．（10分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可判斷③；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，，則，故②正確；對(duì)于③，若，，，當(dāng)，則與不平行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，，則，故④正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因?yàn)?，所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需且．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．3、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，由于不在平面內(nèi)，故無(wú)法得出.對(duì)于B選項(xiàng)，由于，，所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于平面，故無(wú)法得出.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，無(wú)法得出.綜上所述，的一個(gè)充分條件是“，”故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。6、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,7、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn)，，不共線(xiàn)，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】

將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)整理即得漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn)得，則其漸近線(xiàn)方程為，整理得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.12、C【解析】

由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為，又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.14、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長(zhǎng)為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.15、【解析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面，展開(kāi)圖如圖所示，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小為，為直角三角形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解析】

利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求出的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得；所以，其中；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個(gè)不相等實(shí)根，令，計(jì)算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡(jiǎn)得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即：有兩個(gè)不相等實(shí)根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時(shí)，；時(shí)，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因?yàn)樵趩螠p，∴，又，∴即，兩邊取對(duì)數(shù)，并整理得：對(duì)恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線(xiàn)斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線(xiàn)方程，結(jié)合圓心到切線(xiàn)距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線(xiàn)方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，可設(shè)切線(xiàn)的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度偏難．19、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，即可求出角的大小；（Ⅱ）通過(guò)面積公式和，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了運(yùn)算能力.20、（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時(shí)，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據(jù)若對(duì)任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線(xiàn)方程為.②，.令，則,.因?yàn)棰?所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?因?yàn)?，，故，，①此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)、的變化情況如下：—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵，，∴對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件，即令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對(duì)任意，有，即②對(duì)任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件．不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決．21、（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】

（1）計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，獲得8折優(yōu)惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二