2025屆遼寧省撫順市“撫順六校協(xié)作體”高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆遼寧省撫順市“撫順六校協(xié)作體”高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點為F,過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點,MF的中點恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.2.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.3.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.24.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.7.定義運算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.8.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.849.函數(shù)的圖象在點處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.10.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.11.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.112.已知集合,,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為等比數(shù)列,是它的前項和.若,且與的等差中項為,則__________.14.已知函數(shù),若對于任意正實數(shù),均存在以為三邊邊長的三角形,則實數(shù)k的取值范圍是_______.15.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點,,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過程中,則下列表述:①平面;②四點、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.16.給出下列等式:,,,…請從中歸納出第個等式:______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù),函數(shù)在處取得最小值.(1)求證:;(2)若時,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項公式;若數(shù)列滿足,求的前項和.19.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標準方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.21.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點.已知長為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長為,求的表達式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.22.(10分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè),則MF的中點坐標為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為,右焦點為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點坐標為.代入方程可得,∴,∴,∴(負值舍去).故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意構(gòu)造的齊次方程.2、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題,涉及到的知識點有一元二次不等式的解法,集合的運算,屬于基礎(chǔ)題目.3、B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】

對分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.6、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.7、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項中的圖象符合要求,故選A.8、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.9、A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標,因此截距有正有負,本題屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.11、A【解析】

由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.12、C【解析】

計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進而求出的取值范圍.【詳解】因為對任意正實數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當,即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則;當,即時,,當,即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當時,因為,,所以,解得;當時,,滿足條件;當時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.15、①③【解析】

連接、交于點,取的中點,證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①,連接、交于點,取的中點、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點,為的中點,且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對于命題②,,平面,平面,平面,若四點、、、共面,則這四點可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯誤;對于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過點在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯誤.故答案為:①③.【點睛】本題考查立體幾何綜合問題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.16、【解析】

通過已知的三個等式,找出規(guī)律,歸納出第個等式即可.【詳解】解:因為:,,,等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列,公比為,則角滿足:第個等式中的角,所以;故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)對求導(dǎo),令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析可得存在使得,即,即得證;(2)分,兩種情況討論,當時,轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證;當,有兩個不同的零點,,分析可得的最小值為,分,討論即得解.【詳解】(1)由題意,令,則,知為的增函數(shù),因為,,所以,存在使得,即.所以,當時,為減函數(shù),當時,為增函數(shù),故當時,取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,證畢.(2)由(1)知,的最小值為,①當,即時,為的增函數(shù),所以,,由(1)中,得,即.故滿足題意.②當,即時,有兩個不同的零點,,且,即,若時,為減函數(shù),(*)若時,為增函數(shù),所以的最小值為.注意到時,,且此時,(?。┊敃r,,所以,即,又,而,所以,即.由于在下,恒有,所以.(ⅱ)當時,,所以,所以由(*)知時,為減函數(shù),所以,不滿足時,恒成立,故舍去.故滿足條件.綜上所述:的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,分類討論,數(shù)學(xué)運算能力,屬于較難題.18、,;.【解析】

由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進而求出數(shù)列,的通項公式;當時,由,所以,當時,由,,可得,進而求出前項和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式.數(shù)列的公比,其通項公式.當時,由,所以.當時,由,,兩式相減得,所以.故所以的前項和,.又時,,也符合上式,故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項公式,前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點,由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標系,以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點,連接,又為菱形,故,為的中點.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對應(yīng)的橢圓的上頂點,即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù),結(jié)合橢圓的離心率的大小,求得相應(yīng)的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設(shè)出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標,進一步求得向量的坐標,將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結(jié)果.詳解:(Ⅰ)依題意得對:,,得:;同理:.(Ⅱ)

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