專題20一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)(十大題型)(原卷版+解析)

專題20一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象題型二正比例函數(shù)的性質(zhì)題型三根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)題型四求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值題型五已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍題型六一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題題型七一次函數(shù)的平移問題題型八一次函數(shù)的增減性題型九求一次函數(shù)的解析式題型十一次函數(shù)的規(guī)律探究問題【知識梳理】知識點：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象是一條直線；當(dāng)＞0時，直線是由直線向上平移個單位長度得到的；當(dāng)＜0時，直線是由直線向下平移||個單位長度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：3.、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢，決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．4.兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）與相交；（2），且與平行；直線y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過第一、三象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?？偨Y(jié)：1、y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b為常數(shù)）。2、當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的交點，坐標(biāo)為（0，b）。當(dāng)y=0時，該函數(shù)圖象在x軸上的交點坐標(biāo)為（-b/k，0）。3、當(dāng)b=0時（即y=kx），一次函數(shù)圖象變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。4、函數(shù)圖象性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時，兩直線垂直。5、平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。知識點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一次函數(shù)（，是常數(shù)，≠0）中有兩個待定系數(shù)，，需要兩個獨立條件確定兩個關(guān)于，的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對，的值.要點詮釋：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.分段函數(shù)對于某些量不能用一個解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復(fù)雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點詮釋：對于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應(yīng)的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍.【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象】1．（2023春·八年級單元測試）如圖，9個邊長為1的正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點的直線l將九個正方形組成的圖形面積分為1：2的兩部分，則該直線的解析式為（

）A． B．C．或 D．或2．（2023春·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)圖象經(jīng)過點B．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限C．y隨x的增大而減小D．不論x為何值，總有3．（2023春·吉林四平·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、的坐標(biāo)分別為、．若正比例函數(shù)與線段有交點，寫出一個可能的值為

4．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為，若直線與線段有公共點，則的值可以為（寫出一個即可．）5．（2023春·湖北襄陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知正比例函數(shù)的圖象過點，求：(1)求正比例函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出正比例函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)自變量x滿足時，直接寫出對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍．【經(jīng)典例題二正比例函數(shù)的性質(zhì)】1．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）已知點，是正比例函數(shù)圖象上的兩點，則b、c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果點和點在該函數(shù)的圖像上，那么a和b的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>b C． D．3．（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有，兩點，將沿x軸向右平移后得到，點B的對應(yīng)點F在直線上，則點D的坐標(biāo)為．4．（2023春·江西南昌·八年級校考階段練習(xí)）直線與線段有公共點，已知點，，則的取值范圍.5．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）已知與成正比例，當(dāng)時，(1)求與的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)值；(3)當(dāng)時，求自變量的值．【經(jīng)典例題三根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)】1．（2022春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）若直線經(jīng)過點和，且，則n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，m）在直線y＝﹣2x+1上，點A關(guān)于y軸的對稱點B恰好落在直線y＝kx+2上，則k的值為（）A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣33．（2023秋·安徽淮北·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為．4．（2023·黑龍江大慶·大慶外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）若以關(guān)于的二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點在一次函數(shù)的圖像上，則的值為．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)m、n為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？(2)當(dāng)m、n為何值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？【經(jīng)典例題四求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值】1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若點在直線上，則代數(shù)式的值為（

）A．3 B． C．2 D．02．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎c在直線上，且，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，若直線經(jīng)過和兩點，則代數(shù)式的值為．4．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）將點向右平移3個長度單位，再向上平移a個長度單位得到點Q，點Q恰好在直線上，則a的值為．5．（2023春·山西呂梁·八年級?？茧A段練習(xí)）定義：對于給定的兩個函數(shù)，當(dāng)時，它們對應(yīng)函數(shù)值相等；當(dāng)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)．我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)，例如：一次函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為(1)已知點在一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，則的值為__________；(2)已知一次函數(shù)，①這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為__________；②若點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求的值．【經(jīng)典例題五已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍】1．（2022秋·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）若一次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．或2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，下列說法中，錯誤的是（

）A．，B．若點（－1，）和點（2，）是直線l上的點，則C．若點（2，0）在直線l上，則關(guān)于x的方程的解為D．將直線l向下平移b個單位長度后，所得直線的解析式為3．（2023春·北京東城·八年級北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┤粢淮魏瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)的取值范圍為．4．（2022秋·安徽淮北·八年級校考期中）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則的取值范圍為．5．（2022春·浙江·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)，（k，b是實數(shù)，且）．(1)若函數(shù)的圖象過點，求函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求證：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；(3)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，且過點，求k的取值范圍．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題】1．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象分別為直線和直線，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·遼寧鐵嶺·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸，y軸交于A，B兩點，以為底邊在y軸的右側(cè)作等腰，將沿y軸折疊，使點C恰好落在直線上，則C點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·安徽亳州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)．（1）若該函數(shù)圖象與軸的交點位于軸的負(fù)半軸，則的取值范圍是；（2）當(dāng)時，函數(shù)有最大值，則的值為．4．（2023秋·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線分別與、軸交于、兩點，若在軸上存在一點，使是以為底的等腰三角形，則點的坐標(biāo)是．

5．（2021春·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖像過點和．交x軸于A，交y軸于B．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)若點在函數(shù)圖像上，求a的值；(3)規(guī)定橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點為整點，若此一次函數(shù)圖像與的圖像及y軸圍成的區(qū)域（不含邊界）稱為區(qū)域W，則：①區(qū)域W中整點的個數(shù)有個；②把這個一次函數(shù)圖像至少向上平移個單位，則使得區(qū)域W中的整點個數(shù)為0．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的平移問題】1．（2023秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，以為斜邊在y軸右側(cè)作且，將直線向下平移m個單位，使平移后的直線經(jīng)過點C，則m的值是（

）

A． B．8 C． D．42．（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的頂點，，點C在y軸的正半軸上，，將向左平移得到．若經(jīng)過點，則點的坐標(biāo)為（

）．

A． B． C． D．3．（2023秋·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A、B，且，點A坐標(biāo)為，經(jīng)過點A的直線平分的面積，與y軸交于點C，將直線向上平移3個單位長度后得到的直線解析式為．

4．（2022秋·安徽六安·八年級?？计谥校┮阎c，，直線．（1）若直線，則．（2）若直線m與線段有交點，則k的取值范圍為5．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，(1)求這個一次函數(shù)的表達式，并求出圖象與軸、軸的交點坐標(biāo)，(2)如果正比例函數(shù)與所求的一次函數(shù)平行，請直接寫出的值、(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出（1），（2）中的一次函數(shù)圖象和正比例函數(shù)圖象．【經(jīng)典例題八一次函數(shù)的增減性】1．（2023春·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）若一次函數(shù)在的范圍內(nèi)的最大值比最小值大，則下列說法正確的是（

）A．的值為或 B．的值隨的增大而增大C．該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限 D．在的范圍內(nèi)，的最大值為2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知點，在函數(shù)的圖象上，當(dāng)且時，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2021春·安徽蕪湖·八年級?？计谀┮阎c和點，若直線與線段有交點，則的取值范圍是．4（2023春·山東青島·八年級?？奸_學(xué)考試）請寫出一個符合下列要求的m的值：（1）當(dāng)時，一次函數(shù)的值隨x值的增大而減??；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與的圖象平行；（3）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸．5．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)．(1)當(dāng)、為何值時，隨的增大而減?。?2)當(dāng)、為何值時，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的下方？(3)當(dāng)、為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點？【經(jīng)典例題九求一次函數(shù)的解析式】1．（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）對于一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）下表中給出5組自變量及其對應(yīng)的函數(shù)值，其中恰好有一個函數(shù)值計算有誤，則這個錯誤的函數(shù)值是（

）01232581214A．2 B．5 C．8 D．122．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）若與成正比例，且時，，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．3．（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，若平分交于點D，點，則經(jīng)過O、D兩點的直線表達式是．

4．（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點B，過點A作直線l將分成周長相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式為．

5．（2023春·廣東惠州·八年級惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知直線經(jīng)過，兩點．

(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．過B點作直線BP與x軸交于點P，且使，求的面積．(3)點Q是y軸上一點，使得是等腰三角形．①求出一個滿足以上條件的點Q坐標(biāo)；②直接寫出其余滿足條件的點Q的坐標(biāo)？【經(jīng)典例題十一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】【例10】（2023春·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，……，都是等腰直角三角形．其中點，，……，在x軸上，點，，……，在直線上．已知，則的長是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，…依次進行下去，則點的坐標(biāo)為（

）

A． B．C． D．2．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形，，的頂點，，和頂點，，分別在直線和x軸上，用同樣的方式依次放置正方形，，……，，則點的縱坐標(biāo)為．

3．（2021秋·江西撫州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B．已知點是點A關(guān)于y軸的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線l交直線AB于點B，點是點A關(guān)于直線l的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線，交直線AB于點，點是點A關(guān)于的對稱點，作直線……繼續(xù)這樣操作下去，可作直線（n為正整數(shù)，且n≥1）(1)①直接寫出點A，B的坐標(biāo)：A，B．②求出點B，的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)操作規(guī)律，可知點的坐標(biāo)為．可得直線的函數(shù)關(guān)系式為．(3)求的面積．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級?？计谥校┤粢淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，則該一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，那么該函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）若點在直線上，則代數(shù)式的值為（

）A．3 B． C．2 D．04．（2023春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）已知直線，，的圖象如圖所示．若無論取何值，總?cè)。械淖畲笾?，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．5．（2023秋·湖南長沙·九年級長沙市長郡雙語實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，點．有下列結(jié)論：①關(guān)于的方程的解為；②關(guān)于的方程的解為；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，．其中正確的是(

)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知，y是x的一次函數(shù)，則．7．（2023春·山東青島·八年級?？奸_學(xué)考試）請寫出一個符合下列要求的m的值：（1）當(dāng)時，一次函數(shù)的值隨x值的增大而減??；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與的圖象平行；（3）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸．8．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）已知關(guān)于的兩個一次函數(shù)，其中，均為非零常數(shù)．（1）若兩個一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過軸上的同一個點，則；（2）若對于任意實數(shù)，都成立，則的取值范圍是．9．（2023春·山西呂梁·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線與直線之間（不包括邊界），則的取值范圍是．

10．（2023春·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形，，，按如圖所示放置，點，，都在直線上，點，，都在x軸上，則點的坐標(biāo)是．

11．（2023秋·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸與y軸分別相交于點A和點B，點C，D分別為線段，的中點，點P為上一動點，當(dāng)最小時，點P的坐標(biāo)為．

12．（2023春·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過點的直線與直線交于．

(1)求直線對應(yīng)的表達式；(2)求四邊形的面積．13．（2023秋·湖北咸寧·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，直線與軸，軸分別交于兩點，點的坐標(biāo)為．

(1)求的值；(2)若點是直線在第一象限內(nèi)的動點，試確定點的坐標(biāo)，使的面積為12．14．（2023春·吉林長春·八年級校聯(lián)考期中）定義：對于關(guān)于x的一次函數(shù)，我們稱函數(shù)為一次函數(shù)的“a變換函數(shù)”（其中a為常數(shù)）．例如：對于關(guān)于x的一次函數(shù)的“5變換函數(shù)”為

(1)一次函數(shù)的“0變換函數(shù)”為y＝．(2)在網(wǎng)格中補全一次函數(shù)的“2變換函數(shù)”圖象，并完成下列問題：①對于一次函數(shù)的“2變換函數(shù)”，當(dāng)時，求y的值；當(dāng)時，求x的值；②對于一次函數(shù)的“2變換函數(shù)”，當(dāng)時，y的取值范圍是．(3)當(dāng)一次函數(shù)的“a變換函數(shù)”與直線y＝2有一個交點時，直接寫出a的取值范圍．15．（2023春·河北邢臺·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，線段的端點為．

（1）直線的函數(shù)解析式為；（2）某同學(xué)設(shè)計了一個動畫：在函數(shù)中，輸入的值，得到直線，其中點在軸上，點在軸上．①當(dāng)?shù)拿娣e為6時，直線就會發(fā)藍(lán)光，則此時輸入的的值為；②當(dāng)直線與線段有交點時，直線就會發(fā)紅光，則此時輸入的的取值范圍是．16．（2023春·山西大同·七年級大同市第三中學(xué)校校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A的橫坐標(biāo)為a，點A的縱坐標(biāo)為b，且實數(shù)a，b滿足．

(1)如圖1，求點A的坐標(biāo)；(2)如圖2，過點A作x軸的垂線，點B為垂足．若將點A向右平移10個單位長度，再向下平移8個單位長度可以得到對應(yīng)點C，連接，，請直接寫出點B，C的坐標(biāo)并求出三角形的面積．(3)在（2）的條件下，記與x軸交點為點D，點P在y軸上，連接，，若三角形的面積與三角形的面積相等，直接寫出點P的坐標(biāo)．

專題20一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象題型二正比例函數(shù)的性質(zhì)題型三根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)題型四求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值題型五已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍題型六一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題題型七一次函數(shù)的平移問題題型八一次函數(shù)的增減性題型九求一次函數(shù)的解析式題型十一次函數(shù)的規(guī)律探究問題【知識梳理】知識點：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象是一條直線；當(dāng)＞0時，直線是由直線向上平移個單位長度得到的；當(dāng)＜0時，直線是由直線向下平移||個單位長度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：3.、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢，決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．4.兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）與相交；（2），且與平行；直線y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過第一、三象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?？偨Y(jié)：1、y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b為常數(shù)）。2、當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的交點，坐標(biāo)為（0，b）。當(dāng)y=0時，該函數(shù)圖象在x軸上的交點坐標(biāo)為（-b/k，0）。3、當(dāng)b=0時（即y=kx），一次函數(shù)圖象變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。4、函數(shù)圖象性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時，兩直線垂直。5、平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。知識點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一次函數(shù)（，是常數(shù)，≠0）中有兩個待定系數(shù)，，需要兩個獨立條件確定兩個關(guān)于，的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對，的值.要點詮釋：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.分段函數(shù)對于某些量不能用一個解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復(fù)雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點詮釋：對于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應(yīng)的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍.【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象】1．（2023春·八年級單元測試）如圖，9個邊長為1的正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點的直線l將九個正方形組成的圖形面積分為1：2的兩部分，則該直線的解析式為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分類討論：當(dāng)下方分得的面積為3時，過點作軸于，如圖，則，則可確定，然后利用待定系數(shù)法求出此時直線的解析式；當(dāng)上方分得的面積為3時，過點作軸于，如圖，則，則可確定，，然后利用待定系數(shù)法求出此時直線的解析式．【詳解】直線將九個正方形組成的圖形面積分成的兩部分，兩部分的面積分別為3和6，當(dāng)下方分得的面積為3時，過點作軸于，如圖，則，，解得，，設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，此時直線的解析式為；當(dāng)上方分得的面積為3時，過點作軸于，如圖，則，，解得，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，此時直線的解析式為，綜上所述，直線的解析式為或．故選：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)；將自變量的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式．也考查了正方形的性質(zhì)．2．（2023春·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)圖象經(jīng)過點B．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限C．y隨x的增大而減小D．不論x為何值，總有【答案】B【分析】直接根據(jù)正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)特點逐項判斷即可得．【詳解】解：A、當(dāng)時，，則函數(shù)圖象不經(jīng)過點，此項錯誤，不符合題意；B、函數(shù)中的，則函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，此項正確，符合題意；C、函數(shù)中的，則隨的增大而增大，此項錯誤，不符合題意；D、只有當(dāng)時，，則此項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·吉林四平·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、的坐標(biāo)分別為、．若正比例函數(shù)與線段有交點，寫出一個可能的值為

【答案】（答案不唯一）【分析】分別求正比例函數(shù)經(jīng)過點和時的值，即可找到的取值范圍，從而可選擇一個合適值．【詳解】解：當(dāng)正比例函數(shù)經(jīng)過點第一象限時，，當(dāng)正比例函數(shù)經(jīng)過點時，，，故答案為：．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)比例系數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求出正比例函數(shù)系數(shù)的范圍是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為，若直線與線段有公共點，則的值可以為（寫出一個即可．）【答案】【分析】將y=3代入求出x=2，再根據(jù)點A、B的坐標(biāo)及直線與線段有公共點即可確定n的取值范圍由此得到答案.【詳解】當(dāng)y=3時，得到，解得x=2，∵點的坐標(biāo)分別為，若直線與線段有公共點，∴，故答案為：3（答案不唯一）.【點睛】此題考查兩直線相交，由點A與確定的直線可以得到點B在直線上或是在直線的右側(cè)，由此求出直線上縱坐標(biāo)為3的點的橫坐標(biāo)，即可確定n的取值范圍，由此解答問題.5．（2023春·湖北襄陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知正比例函數(shù)的圖象過點，求：(1)求正比例函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出正比例函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)自變量x滿足時，直接寫出對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)(2)畫圖見解析(3)【分析】（1）把代入函數(shù)解析式即可；（2）先列表描點，再連線即可；（3）分別求解當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而可得答案．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)的圖象過點，∴，∴，∴正比例函數(shù)為；（2）列表：00描點連線：

（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)自變量x滿足時，對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解正比例函數(shù)的解析式，畫正比例函數(shù)的圖象，求解函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二正比例函數(shù)的性質(zhì)】1．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）已知點，是正比例函數(shù)圖象上的兩點，則b、c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：正比例函數(shù)解析式為，∴y隨x的增大而增大，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、比較函數(shù)值的大小，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果點和點在該函數(shù)的圖像上，那么a和b的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>b C． D．【答案】B【分析】利用正比例函數(shù)的定義，可求出m的值，進而可得出m-2=-4＜0，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小即可解答．【詳解】解：∵y=（m-2）x+m2-2是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，∴m2-2=0，m-2≠0，解得：m=-2，∴m-2=-2-2=-4＜0，∴y隨x的增大而減?。帧逜（m，a）和B（-m，b）在函數(shù)y=（m-1）x+m2-1的圖像上，m＜-m∴a>b．故答案為：B．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的定義，掌握“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小”是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有，兩點，將沿x軸向右平移后得到，點B的對應(yīng)點F在直線上，則點D的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)求出點的縱坐標(biāo)為3，代入可得點的坐標(biāo)，從而可得平移距離，再根據(jù)點坐標(biāo)的平移變換規(guī)律即可得．【詳解】解：將沿軸向右平移后得到，且，點的縱坐標(biāo)為3，當(dāng)時，，解得，，將沿軸向右平移個單位長度后得到，平移后，點與點是對應(yīng)點，且，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)、點坐標(biāo)的平移變換，熟練掌握點坐標(biāo)的平移變換是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江西南昌·八年級?？茧A段練習(xí)）直線與線段有公共點，已知點，，則的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)過點k取最大值，過點k去最小值計算即可．【詳解】∵過點k取最大值，∴∵過點k去最小值，∴，解得，故的取值范圍，故答案為：．【點睛】本題考查了解析式的確定，交點的意義，熟練掌握求解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）已知與成正比例，當(dāng)時，(1)求與的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)值；(3)當(dāng)時，求自變量的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正比例函數(shù)的定義得出的值，即可得出答案；（2）將代入（1）中函數(shù)解析式進而得出答案；（3）將代入（1）中函數(shù)解析式進而得出答案．【詳解】（1）解：∵與成正比例，∴．∴．∵當(dāng)時，，∴．∴．∴與的函數(shù)表達式為；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，．∴．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法解答是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)】1．（2022春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）若直線經(jīng)過點和，且，則n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出，求出，根據(jù)，求出，即可得出答案．【詳解】解：由題意得，解得：，，，，可以是5，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)關(guān)系式，用n表示出k，得到關(guān)于n的不等式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，m）在直線y＝﹣2x+1上，點A關(guān)于y軸的對稱點B恰好落在直線y＝kx+2上，則k的值為（）A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3【答案】B【分析】由點A的坐標(biāo)以及點A在直線y＝﹣2x+1上，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程可求出m值，即得出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點B的坐標(biāo)，由點B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出k值．【詳解】解：∵點A在直線y＝﹣2x+1上，∴m＝﹣2×2+1＝﹣3，∴點A的坐標(biāo)為（2，﹣3）．又∵點A、B關(guān)于y軸對稱，∴點B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），∵點B（﹣2，﹣3）在直線y＝kx+2上，∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及關(guān)于x、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是求出點B的坐標(biāo)．3．（2023秋·安徽淮北·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義得到且，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：且，解得，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江大慶·大慶外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）若以關(guān)于的二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點在一次函數(shù)的圖像上，則的值為．【答案】【分析】解方程組，先用含k的代數(shù)式表示出x、y，根據(jù)以方程組的解為坐標(biāo)的點在一次函數(shù)的圖像上，得到關(guān)于k的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：得，，∴；得：∴把，代入，得：，解得，，故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解決本題的關(guān)鍵是用含k的代數(shù)式表示出方程組中的x、y．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)m、n為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？(2)當(dāng)m、n為何值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？【答案】(1)(2)n=1，m=-1【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知，且，據(jù)此可以求得、的值；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義知，，據(jù)此可以求得、的值．【詳解】（1）解：當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，，且，解得，，；（2）解：當(dāng)函數(shù)是正比例函數(shù)時，，解得，，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)是一次函數(shù)的一種特殊形式．【經(jīng)典例題四求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值】1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若點在直線上，則代數(shù)式的值為（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把點代入，得出，將其代入進行計算即可．【詳解】解：把點代入得，整理得：，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)都符合一次函數(shù)表達式，以及整式添加括號，若括號前為負(fù)號，要變號．2．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎c在直線上，且，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及，可得出，在不等式的兩邊同時除以b可得出，化簡后即可得出．【詳解】解：∵點在直線上，∴，∴．∵，∴，∴．在不等式的兩邊同時除以b得，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以，以及不等式的性質(zhì)，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及求出b為正值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，若直線經(jīng)過和兩點，則代數(shù)式的值為．【答案】4【分析】把和代入計算即可．【詳解】∵直線經(jīng)過和兩點，∴，整理得，∴，整理得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用整體思想代入求值是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）將點向右平移3個長度單位，再向上平移a個長度單位得到點Q，點Q恰好在直線上，則a的值為．【答案】2【分析】根據(jù)點的平移求得Q的坐標(biāo)，代入即可求得a的值．【詳解】解：∵點向右平移3個長度單位，再向上平移a個長度單位得到點Q，∴點，又∵點在直線上，∴，∴．故答案為：2．【點睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)點的平移求得Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山西呂梁·八年級校考階段練習(xí)）定義：對于給定的兩個函數(shù)，當(dāng)時，它們對應(yīng)函數(shù)值相等；當(dāng)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)．我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)，例如：一次函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為(1)已知點在一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，則的值為__________；(2)已知一次函數(shù)，①這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為__________；②若點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求的值．【答案】(1)；(2)，或．【分析】（）根據(jù)例子中函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，將點代入即可求解；（）根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義即可求解；分，兩種情況求解即可．【詳解】（1）∵，∴點在上，當(dāng)時，∴，故答案為：；（2）根據(jù)題意：一次函數(shù)相關(guān)函數(shù)為：，故答案為：，若點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，∴或．【點睛】此題考查了互為相關(guān)函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍】1．（2022秋·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）若一次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)y隨x的增大而增大可確定，再由函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限圖象與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上或原點，即，進而可求出k的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，且此函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，∴，且，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，下列說法中，錯誤的是（

）A．，B．若點（－1，）和點（2，）是直線l上的點，則C．若點（2，0）在直線l上，則關(guān)于x的方程的解為D．將直線l向下平移b個單位長度后，所得直線的解析式為【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和平移的規(guī)律逐項分析即可．【詳解】解：A.由圖象可知，，，故正確，不符合題意；B.∵-1<2，y隨x的增大而減小，∴，故錯誤，符合題意；C.∵點(2，0)在直線l上，∴y=0時，x=2，∴關(guān)于x的方程的解為，故正確，不符合題意；D.將直線l向下平移b個單位長度后，所得直線的解析式為+b-b=kx，故正確，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及一次函數(shù)的平移，熟練掌握性質(zhì)和平移的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·北京東城·八年級北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┤粢淮魏瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】分兩種情況討論，當(dāng)一次函數(shù)經(jīng)過第二、四象限時，由，可求出的值；當(dāng)一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限時，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得，，即可求出實數(shù)的取值范圍；總是即可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限時，，；當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限時，，．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)關(guān)系和分類討論是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則的取值范圍為．【答案】/【分析】由函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，可知，解不等式組即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，，解不等式組得，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)所過的象限判斷與的符號．5．（2022春·浙江·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)，（k，b是實數(shù)，且）．(1)若函數(shù)的圖象過點，求函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求證：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；(3)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，且過點，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）把點代入，得到，即可得到，令，從而求得函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)．（2）把點代入，得到，即可得到，令，從而求得函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)，即可得證．（3）根據(jù)題意得出，，把點代入，得到，從而得到不等式組，解之即可求得的取值范圍．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴．∴令，則，解得，∴函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為．（2）證明：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴．∴令，則，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（3）解：∵函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，且，∴，．∵函數(shù)的圖象過點，∴，∴．∴解得．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由點的坐標(biāo)得出k與b的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題】1．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象分別為直線和直線，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖示，可得，，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示，可知一次函數(shù)中，；一次函數(shù)中，，∴、，故原選項錯誤，不符合題意；、∵，∴，故原選項正確，符合題意；、∵，且，∴，故原選項錯誤，不符合題意；、∵，∴，故原選項錯誤，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸，y軸交于A，B兩點，以為底邊在y軸的右側(cè)作等腰，將沿y軸折疊，使點C恰好落在直線上，則C點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先求點的坐標(biāo)，根據(jù)“以為底邊在y軸的右側(cè)作等腰”可求C點的縱坐標(biāo)，進而可求C點的對應(yīng)點坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】解：由題意得：點的坐標(biāo)為：∵以為底邊在y軸的右側(cè)作等腰∴C點的縱坐標(biāo)為將沿y軸折疊后，C點的對應(yīng)點縱坐標(biāo)也為∵點C恰好落在直線上∴，即C點的對應(yīng)點坐標(biāo)為則C點的坐標(biāo)為故選：A【點睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、等腰三角形的性質(zhì)等．掌握相關(guān)結(jié)論即可．3．（2023秋·安徽亳州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)．（1）若該函數(shù)圖象與軸的交點位于軸的負(fù)半軸，則的取值范圍是；（2）當(dāng)時，函數(shù)有最大值，則的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意得不等式，解不等式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象與y軸的交點位于y軸的負(fù)半軸，∴，解得：；故答案為：；（2）在一次函數(shù)中，∵，∴y隨x的增大而增大，∵當(dāng)時，函數(shù)y有最大值，∴當(dāng)時，，代入得，，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，與坐標(biāo)軸的交點，增減性，熟練掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山東濟南·八年級校考階段練習(xí)）如圖，直線分別與、軸交于、兩點，若在軸上存在一點，使是以為底的等腰三角形，則點的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】先求出點M和點N的坐標(biāo)，得出，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程求解即可．【詳解】解：把代入得：，∴，則，把代入得：，解得：，∴，則，∵是以為底的等腰三角形，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程求解．5．（2021春·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖像過點和．交x軸于A，交y軸于B．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)若點在函數(shù)圖像上，求a的值；(3)規(guī)定橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點為整點，若此一次函數(shù)圖像與的圖像及y軸圍成的區(qū)域（不含邊界）稱為區(qū)域W，則：①區(qū)域W中整點的個數(shù)有個；②把這個一次函數(shù)圖像至少向上平移個單位，則使得區(qū)域W中的整點個數(shù)為0．【答案】(1)(2)(3)①3；②2【分析】（1）把點和分別代入解析式計算求解即可．（2）把點代入解析式計算求解即可．（3）①畫出圖像，計算即可．②求出直線經(jīng)過和的解析式，根據(jù)平移規(guī)律解答即可．【詳解】（1）把點和分別代入，得，解得，故這個函數(shù)的解析式為．（2）把點代入，得，解得．（3）①畫出圖像如下：

故符合題意的整點有，，，有3個，故答案為：3．②設(shè)向上平移b個單位，故解析式為，當(dāng)直線經(jīng)過時，w有0個整點，此時，解得，故答案為：2．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，平移思想，熟練掌握平移思想，待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的平移問題】1．（2023秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，以為斜邊在y軸右側(cè)作且，將直線向下平移m個單位，使平移后的直線經(jīng)過點C，則m的值是（

）

A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】過點作軸于點，先求出，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，從而可得，再根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律可設(shè)平移后的直線的解析式為，將點代入計算即可得．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

對于一次函數(shù)，當(dāng)時，，即，∵在中，，，，，在中，，，設(shè)將直線向下平移個單位，使平移后的直線的解析式為，將點代入得：，解得，故選：A．【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的頂點，，點C在y軸的正半軸上，，將向左平移得到．若經(jīng)過點，則點的坐標(biāo)為（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點C的坐標(biāo)為，利用勾股定理分別求出的長，結(jié)合，即可求出點C的坐標(biāo)，求出直線的解析式，即可求出直線的解析式，從而推出直線相當(dāng)于直線向左平移3個單位得到的，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點C的坐標(biāo)為，則由勾股定理得：，，∵，∴，∴或（舍去），∴點C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵是經(jīng)過平移得到的，∴可設(shè)直線的解析式為，∵經(jīng)過點，∴，∴直線的解析式為，∴直線相當(dāng)于直線向左平移3個單位得到的，∴點是由點C向左平移3個單位得到的，∴點的坐標(biāo)為，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的平移，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等等，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A、B，且，點A坐標(biāo)為，經(jīng)過點A的直線平分的面積，與y軸交于點C，將直線向上平移3個單位長度后得到的直線解析式為．

【答案】/【分析】由，點A坐標(biāo)為，可得，由直線平分的面積，可知是中的中線，則，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)上加下減求平移后的解析式即可．【詳解】解：∵，點A坐標(biāo)為，∴，∵直線平分的面積，∴是中的中線，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，∴直線的解析式為，∴直線向上平移3個單位長度后得到的直線解析式為，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，中線的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2022秋·安徽六安·八年級?？计谥校┮阎c，，直線．（1）若直線，則．（2）若直線m與線段有交點，則k的取值范圍為【答案】【分析】（1）設(shè)所在直線的函數(shù)表達式為，把，代入，求出a和b的值，得出所在直線的函數(shù)表達式，即可求解；（2）分別求出當(dāng)直線m經(jīng)過點A和點B時的k值，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)所在直線的函數(shù)表達式為，把，代入得：，解得：，∴所在直線的函數(shù)表達式為，∵，∴；（2）當(dāng)m經(jīng)過點A時：把代入得：，解得：；當(dāng)m經(jīng)過點B時：把代入得：，解得：；∴k的取值范圍為，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟，兩條互相平行的直線k值相等．5．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，(1)求這個一次函數(shù)的表達式，并求出圖象與軸、軸的交點坐標(biāo)，(2)如果正比例函數(shù)與所求的一次函數(shù)平行，請直接寫出的值、(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出（1），（2）中的一次函數(shù)圖象和正比例函數(shù)圖象．【答案】(1)，軸、軸的交點坐標(biāo)分別為：，，圖象見詳解(2)(3)見詳解【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達式，問題隨之得解；（2）將（1）中所得直線函數(shù)，再通過平移即可得到，可知兩個直線的自變量系數(shù)相同，問題隨之得解；（3）按要求作圖即可．【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，∴，解得：，即一次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，即圖象與軸、軸的交點坐標(biāo)分別為：，，作圖如下：

（2）將一次函數(shù)向上平移3個單位可得正比例函數(shù)，∵平行的兩條直線通過平移可以重合，又∵正比例函數(shù)與一次函數(shù)平行，∴一次函數(shù)通過平移得到正比例函數(shù)，∴正比例函數(shù)的解析式為：，∴；（3）作圖如下：

【點睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等知識，掌握平行的兩條直線通過平移可以重合，待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八一次函數(shù)的增減性】1．（2023春·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）若一次函數(shù)在的范圍內(nèi)的最大值比最小值大，則下列說法正確的是（

）A．的值為或 B．的值隨的增大而增大C．該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限 D．在的范圍內(nèi)，的最大值為【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分，分別求得最大值與最小值，根據(jù)在的范圍內(nèi)的最大值比最小值大，求得的值，繼而逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，則當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，，解得，根據(jù)題意，當(dāng)時，則當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值，，解得，的值為或，故選項正確，選項不正確，當(dāng)時，一次函數(shù)為經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)時，一次函數(shù)為經(jīng)過第一、二、四象限，故選項不正確，當(dāng)時，一次函數(shù)為，在的范圍內(nèi)，的最大值為當(dāng)時，一次函數(shù)為在的范圍內(nèi)，的最大值為故選項不正確，故選：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求解出的值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知點，在函數(shù)的圖象上，當(dāng)且時，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先畫出圖像，根據(jù)圖像可知當(dāng)、時，，則要想、則必有，求解即可．【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)在左側(cè)時，畫出圖象如上圖由題意可知當(dāng)、時，要想、則必有∵∴∴當(dāng)在右側(cè)時，函數(shù)為增函數(shù)滿足即可∵且∴即∴故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象及絕對值等知識點，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021春·安徽蕪湖·八年級校考期末）已知點和點，若直線與線段有交點，則的取值范圍是．【答案】或【分析】當(dāng)直線經(jīng)過點時，，解得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，，解得；確定范圍即可．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過點時，得，解得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，得，解得；故直線與線段有交點，則的取值范圍是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的確定，性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4（2023春·山東青島·八年級?？奸_學(xué)考試）請寫出一個符合下列要求的m的值：（1）當(dāng)時，一次函數(shù)的值隨x值的增大而減??；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與的圖象平行；（3）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸．【答案】（答案不唯一，即可）（答案不唯一，即可）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)時，y的值隨x值的增大而減小即可，寫出符合的m的值即可；（2）根據(jù)兩直線平行k值相等即可得到答案；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸，判斷，寫出符合的m的值即可．【詳解】（1）由一次函數(shù)的值隨x值的增大而減小，得，∴m可取，故答案為：（答案不唯一，即可）；（2）由兩直線平行k值相等，得，故答案為：；（3）由一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過，得y的值隨x值的增大而增大，∴，∴m可取，故答案為：（答案不唯一，即可）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)．(1)當(dāng)、為何值時，隨的增大而減?。?2)當(dāng)、為何值時，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的下方？(3)當(dāng)、為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點？【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）當(dāng)，隨的增大而減??；（2）當(dāng)，，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的下方；（3）當(dāng)，，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．【詳解】（1）解：當(dāng)，即，隨的增大而減小，所以當(dāng)，為任何實數(shù)，隨的增大而減??；（2）解：當(dāng)，，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的下方，解不等式得，，，所以當(dāng)，時，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的下方；（3）解：當(dāng)，，函數(shù)圖象經(jīng)過原點，解不等式、方程得，，，所以當(dāng)，時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．【點睛】本題考查了一次函數(shù)（，，為常數(shù)）的性質(zhì)．它的圖象為一條直線，當(dāng)，圖象經(jīng)過第一，三象限，隨的增大而增大；當(dāng)，圖象經(jīng)過第二，四象限，隨的增大而減小；當(dāng)，圖象與軸的交點在軸的上方；當(dāng)，圖象過坐標(biāo)原點；當(dāng)，圖象與軸的交點在軸的下方．【經(jīng)典例題九求一次函數(shù)的解析式】1．（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）對于一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）下表中給出5組自變量及其對應(yīng)的函數(shù)值，其中恰好有一個函數(shù)值計算有誤，則這個錯誤的函數(shù)值是（

）01232581214A．2 B．5 C．8 D．12【答案】D【分析】試算，將數(shù)表中兩組值代入一般式中，確定函數(shù)解析式，再將其它值代入，若僅有一組不能滿足解析式，即為所求．【詳解】解：將，代入，得，解得，于是，將其它數(shù)組代入，可知，滿足解析式；不滿足解析式．故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式；掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）若與成正比例，且時，，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，待定系數(shù)法求出的值即可．【詳解】解：由題意，設(shè)，∵時，，∴，解得：；∴，∴；故選B．【點睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握正比例函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·吉林長春·八年級校考期中）如圖，在四邊形中，，若平分交于點D，點，則經(jīng)過O、D兩點的直線表達式是．

【答案】【分析】由平分，可得，由，可得，則，即，，設(shè)經(jīng)過O、D兩點的直線表達式為，將代入求解，進而可得結(jié)果．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)經(jīng)過O、D兩點的直線表達式為，將代入得，，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點B，過點A作直線l將分成周長相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式為．

【答案】【分析】先利用確定，，則根據(jù)勾股定理計算出，直線l交于C點，設(shè)，由于直線l將分成周長相等的兩部分，所以，解方程求出t得到，然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式．【詳解】解：當(dāng)時，，解得，∴，當(dāng)時，，∴，∴，直線l交于C點，如圖，設(shè)，

∵直線l將分成周長相等的兩部分，∴，即，解得，∴，設(shè)直線l的解析式為，把，分別代入得，解得，∴直線l的解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東惠州·八年級惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€經(jīng)過，兩點．

(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．過B點作直線BP與x軸交于點P，且使，求的面積．(3)點Q是y軸上一點，使得是等腰三角形．①求出一個滿足以上條件的點Q坐標(biāo)；②直接寫出其余滿足條件的點Q的坐標(biāo)？【答案】(1)直線的函數(shù)解析式為；(2)的面積為或4；(3)①；②其他符合條件的點Q坐標(biāo)為或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先令求出的值，再令求出的值即可得出兩點的坐標(biāo)，根據(jù)，要分類討論點的方向，點可以在點的左側(cè)或者右側(cè)兩種情況，求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）分三種情況討論：當(dāng)A為頂點時、B為頂點時、為底邊時，求出相應(yīng)線段，根據(jù)點在坐標(biāo)軸上的位置選擇合適的符號，進而寫出坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)解析式為；（2）解：令，則，得，令，則，則兩點的坐標(biāo)為：，分兩種情況：①當(dāng)點P位于y軸左側(cè)時；，∴，則；②當(dāng)點P位于y軸右側(cè)時；，∴，則，∴的面積為或4；

；（3）解：∵，∴，；∴，分三種情況：①當(dāng)A為頂點時：∵，，則，∴；②當(dāng)B為頂點時：，Q位于B點上方時，，Q位于B點下方時，；當(dāng)為底邊時：，即時，設(shè)點的坐標(biāo)為，，解得，∴；∴符合條件的其他點Q的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想．本題要求求出相應(yīng)線段后，注意根據(jù)點在坐標(biāo)軸上的位置選擇合適的符號，進而寫出坐標(biāo)．【經(jīng)典例題十一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】1、（2023春·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，……，都是等腰直角三角形．其中點，，……，在x軸上，點，，……，在直線上．已知，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】，利用，逐次求出，，，，據(jù)此可得，由此即可求解．【詳解】解：∵，點，，……，在x軸上，點，，……，在直線上，則，，則，則，則，，則，……，以此類推可得則，故選：B．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及點坐標(biāo)規(guī)律探索，通過計算找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，…依次進行下去，則點的坐標(biāo)為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點等的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化即可找出變化規(guī)律“，，，為自然數(shù)”，依此規(guī)律結(jié)合即可找出點的坐標(biāo)．【詳解】當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；同理可得：，，，，，，，，，，，為自然數(shù)，點的坐標(biāo)為，即故選A．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的特點；能夠根據(jù)作圖特點，發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形，，的頂點，，和頂點，，分別在直線和x軸上，用同樣的方式依次放置正方形，，……，，則點的縱坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)題意求出，，，，，進而找出坐標(biāo)規(guī)律，進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為．∵四邊形為正方形，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為．∵為正方形，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，同理，可知：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，…，∴的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，∴點的縱坐標(biāo)為（是正整數(shù)），故答案為：．【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)下點的規(guī)律探究．同時考查了正方形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象上的點．熟練掌握相關(guān)知識點，抽象概括出點的坐標(biāo)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·江西撫州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B．已知點是點A關(guān)于y軸的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線l交直線AB于點B，點是點A關(guān)于直線l的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線，交直線AB于點，點是點A關(guān)于的對稱點，作直線……繼續(xù)這樣操作下去，可作直線（n為正整數(shù)，且n≥1）(1)①直接寫出點A，B的坐標(biāo)：A，B．②求出點B，的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)操作規(guī)律，可知點的坐標(biāo)為．可得直線的函數(shù)關(guān)系式為．(3)求的面積．【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3(2)，(3)【分析】（1）①由一次函數(shù)y=x+1即可求得A、B的坐標(biāo)；②先求出A(-1，0)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)(1，0)．將x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出點A關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)(3，0)．設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）先求出點A關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)(7，0)．由的坐標(biāo)規(guī)律可得點的橫坐標(biāo)為．再求出的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）由，可得，再利用三角形面積公式求出即可．【詳解】（1）①∵一次函數(shù)y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B，∴，故答案為：(-1，0)，(0，1)；②∵A(-1，0)，B(0，1)，∴點A關(guān)于y軸的對稱點是(1，0)．當(dāng)x=1時，y=2，∴B(1，2)．點A關(guān)于直線的對稱點是(3，0)．設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b(k≠0)，∴，解得，∴直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+3；（2）∵A(﹣1，0)，(3，0)．由題意過點作x軸的垂線，點是點A關(guān)于的對稱點得，∴(7，0)．由(1，0)，(3，0)，(7，0)，可得點的坐標(biāo)為(，0)，直線的函數(shù)關(guān)系式為．故答案為：；（3）∵，∴，∴的面積．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，解決本題的關(guān)鍵是一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級?？计谥校┤粢淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，則該一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點即與軸交于負(fù)半軸，再由可得圖象經(jīng)過二四象限即可得出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴圖象與軸交于負(fù)半軸，故選項A、C錯誤，不符合題意，∴該一次函數(shù)的，故圖象經(jīng)過二四象限，故選項B錯誤．∵D圖象經(jīng)過二四象限，與軸交于負(fù)半軸．故D正確．故選D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．掌握k，b的大小與一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，那么該函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】描點、連線，畫出直線，觀察圖象，即可得出該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限．【詳解】解：描點、連線，畫出直線，如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，利用兩點法畫出一次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）若點在直線上，則代數(shù)式的值為（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把點代入，得出，將其代入進行計算即可．【詳解】解：把點代入得，整理得：，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)都符合一次函數(shù)表達式，以及整式添加括號，若括號前為負(fù)號，要變號．4．（2023春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）已知直線，，的圖象如圖所示．若無論取何值，總?cè)?，，中的最大值，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】讀懂題意，根據(jù)圖象分段找到y(tǒng)的值應(yīng)該屬于那條直線上的部分，在從范圍內(nèi)找到最低點，求值即可．【詳解】解：過的交點作y軸的平行線l，過的交點作y軸的平行線m，由題意根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，符合條件的y的取值如圖所示，∴y的最小值是交點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)值．聯(lián)立兩直線解析式：，解得，代入或解析式求得．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵要能靈活運用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析各種情況，找到符合題意的那一種．5．（2023秋·湖南長沙·九年級長沙市長郡雙語實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，點．有下列結(jié)論：①關(guān)于的方程的解為；②關(guān)于的方程的解為；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，．其中正確的是(

)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題即可判斷①②③④，逐項分析、判斷即可求解．【詳解】解：①由一次函數(shù)的圖象與軸點()知，當(dāng)時，，即方程的解為，故此項正確；②由一次函數(shù)的圖象與軸點，當(dāng)時，，即方程的解為，故此項正確；③由圖象可知，的點都位于軸的下方，即當(dāng)時，，故此項正確；④由圖象可知，位于第二象限的直線上的點的縱坐標(biāo)都大于，即當(dāng)時，，故此項錯誤，所以正確的是①②③，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系、一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是會利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知，y是x的一次函數(shù)，則．【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的定義列出關(guān)于m的不等式組，求出m的值即可．【詳解】解：因為是x的一次函數(shù)，可得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的定義，根據(jù)一次函數(shù)的定義列出關(guān)于m的不等式是解答此題的關(guān)鍵．7．（2023春·山東青島·八年級校考開學(xué)考試）請寫出一個符合下列要求的m的值：（1）當(dāng)時，一次函數(shù)的值隨x值的增大而減??；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與的圖象平行；（3）當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸．【答案】（答案不唯一，即可）（答案不唯一，即可）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)時，y的值隨x值的增大而減小即可，寫出符合的m的值即可；（2）根據(jù)兩直線平行k值相等即可得到答案；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸，判斷，寫出符合的m的值即可．【詳解】（1）由一次函數(shù)的值隨x值的增大而減小，得，∴m可取，故答案為：（答案不唯一，即可）；（2）由兩直線平行k值相等，得，故答案為：；（3）由一次函數(shù)的圖象與x軸的交點位于正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過，得y的值隨x值的增大而增大，∴，∴m可取，故答案為：（答案不唯一，即可）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于的兩個一次函數(shù)，其中，均為非零常數(shù)．（1）若兩個一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過軸上的同一個點，則；（2）若對于任意實數(shù)，都成立，則的取值范圍是．【答案】5且【分析】根據(jù)兩個一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過軸上的同一個點，得到當(dāng)時，函數(shù)值，，解方程即可得到結(jié)論；根據(jù)對于任意實數(shù)，都成立，推出與平行，且在的上面，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：兩個一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過軸上的同一個點，當(dāng)時，函數(shù)值，，，；故答案為：；對于任意實數(shù)，都成立，與平行，且在的上面，，，，解得，的取值范圍是且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，兩直線相交與平行問題，正確地列出不等式是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·山西呂梁·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線與直線之間（不包括邊界），則的取值范圍是．

【答案】【分析】首先計算出當(dāng)點在直線上時的值，再計算出當(dāng)點在直線上時的值，即可得答案．