專題07線段中的動態(tài)模型(原卷版+解析)

專題07線段中的動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點和常考點，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學的內(nèi)容結合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；3）根據(jù)題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。模型1、線段中點、和差倍分關系中的動態(tài)模型例1．（2022·河南·鄭州中學七年級期末）如圖，點C是線段AB上的一點，線段AC＝8m，．機器狗P從點A出發(fā)，以6m/s的速度向右運動，到達點B后立即以原來的速度返回；機械貓Q從點C出發(fā)，以2m/s的速度向右運動，設它們同時出發(fā)，運動時間為xs．當機器狗P與機械貓Q第二次相遇時，機器狗和機械貓同時停止運動．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當x為何值時，機器狗P在點A與機械貓Q的中點處？(3)當x為何值時，機器狗和機械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．例3．（2023秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）操作與探究：（1）已知：如圖線段長為，點從點A以的速度向點運動，點運動時間為，則______，______（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點以的速度從A點沿著運動，運動時間為，用含的式子表示______拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎上，動點從點出發(fā)，沿著線段向點運動，速度為，、同時出發(fā)，運動時間為．其中一點到達終點，另一個點也停止運動．當點在上運動時，為何值時，？模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·浙江·七年級專題練習）如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．例2．（2023秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動點從出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，為的中點，為的中點，設點的運動時間為秒．(1)若點在線段上運動，當時，；(2)若點在射線上運動，當時，求點的運動時間的值；(3)當點在線段的反向延長線上運動時，線段、、有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖一，點在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．（1）填空：線段的中點這條線段的巧點（填“是”或“不是”或“不確定是”）【問題解決】（2）如圖二，點和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點是線段的巧點，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)?！緫猛卣埂浚?）在（2）的條件下，動點從點處，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，當其中一點到達中點時，兩個點運動同時停止，當、、三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點時，直接寫出運動時間的所有可能值．例2．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）點是線段上一點，若（為大于1的正整數(shù)），則我們稱點是的最強點．例如，，，則，稱是的最強點；，則是的最強點．(1)點在線段上，若，，點是的最強點，則______．(2)若，是的最強點，則______．（用的代數(shù)式表示）(3)一直線上有兩點，，，點從點出發(fā)，以每秒的速度向運動，運動到點時停止．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿射線運動，為多少時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．（用的代數(shù)式表示）課后專項訓練1．（2022秋·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)，滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側），，下列結論①，；②當點與點重合時，；③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④2．（2023秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點A、B、D表示的數(shù)分別是，，1，且點C為線段的中點，點O為原點，點E在數(shù)軸上，點F為線段的中點，P、Q為數(shù)軸上兩個動點，點P從點B向左運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點D向左運動，速度為每秒3個單位長度，P、Q同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點E表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點P是線段的中點；其中正確的有．(填序號)

3．（2023·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上點M對應的數(shù)為，點N在點M右側，對應的數(shù)為a，矩形的邊在數(shù)軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對應的數(shù)稱為點Р對應的數(shù)．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）；(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，則．4．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是線段上一點，，動點從出發(fā)以的速度沿直線向終點運動，同時動點從出發(fā)以的速度沿直線向終點運動，當有一點到達終點后，兩點均停止運動．在運動過程中，總有，則．5．（2023?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，點C在線段AB上，且BC＝4厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過多少時間線段PQ的長為5厘米．6．（2022·廣東初一月考）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點，點C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)寫出數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)．(2)動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動．若M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN＝CQ，設運動時間為ts(t＞0)．①寫出數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．②t為何值時，原點O恰為線段PQ的中點?7．（2022·廣西七年級期中）已知數(shù)軸上三點M，O，N對應的數(shù)分別為－3，0，1，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．(1)如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點M，點N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發(fā)，那么幾分鐘時點P到點M，點N的距離相等.（直接寫出答案）8．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點，點A對應的數(shù)為，點B對應的數(shù)為100．(1)線段的長度為__________、線段中點M對應的數(shù)__________；(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點C處相遇，求點C對應的數(shù)；(3)若電子螞蟻P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左運動，當兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度時，求點Q對應的數(shù)．9．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點，已知，點M﹑N分別從A、B兩點同時出發(fā)向點C運動．當其中一動點到達C點時，M、N同時停止運動．已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長度為______；(2)當t為何值時，M、N兩點重合？(3)若點P為AM中點，點Q為BN中點．問：是否存在時間t，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．10．（2023秋·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上記原點為點O，已知點C表示數(shù)c，點D表示數(shù)d，且c，d滿足，我們把數(shù)軸上兩點之間的距離，用表示兩點的大寫字母表示，如：點C與點D之間的距離記作．(1)求的值；(2)若甲、乙兩動點分別從C，D同時出發(fā)向右運動，甲的速度為每秒3個單位，乙的速度為每秒1個單位，當甲和乙重合時，甲，乙停止運動．當甲到達原點O時，動點丙從原點O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度也向右運動，當丙追上乙后立即返向甲運動，遇到甲后再立即返向乙運動，如此往返，直到點甲、乙、丙全部相遇就停止運動，設此過程中丙的速度大小不變求在此過程中丙行駛的總路程，以及丙停留的最后位置在數(shù)軸上所對應的有理數(shù)：(3)動點A從C出發(fā)，以每秒2個單位速度往x軸的正方向運動，同時動點B從D出發(fā)，以每秒3個單位速度向點C方向運動，到達C點后立即沿x軸的正方向運動，且點B速度大小不變，設運動時間為t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接寫出t的值：若不存在，說明理由．11．（2023秋·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點，，、兩點分別從、出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線向左運動（在線段上，在線段上），運動的時間為．(1)當時，，請求出的長；(2)若、運動到任一時刻時，總有，請求出的長(3)在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的長．12．（2023秋·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段，稱作互為圓周率伴侶線段．(1)若，則．(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則．【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置．(3)若點、均為線段的圓周率點，求線段MN的長度；(4)在圖2中，點、分別從點、位置同時出發(fā)，分別以每秒2個單位長度、每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒，點追上點Q時，停止運動，當、、三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點時，請直接寫出t的值．13．（2023秋·四川達州·七年級校考期末）如圖，點P是線段上任一點，，C，D兩點分別從點P，B同時向點A運動，且點C的運動速度為，點D的運動速度為，運動的時間為．(1)若，①運動1s后，求的長；②當點D在線段上運動時，與的關系；(2)如果時，，試探索的值．14．（2022·浙江杭州·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為8．點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒（）．（1）填空：①A、B兩點間的距離________，線段AB的中點表示的數(shù)為________；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為________；點Q表示的數(shù)為________；（2）求當t為何值時，；（3）當點P運動到點B的右側時，線段PA的中點為M，N為線段PB的三等分點且靠近于P點，求的值．15．（2022秋·浙江·七年級期末）如圖，P是線段上任意一點，cm，C，D兩點分別從點P，B同時向點A運動，且點C的運動速度為2cm/s，點D的運動速度為3cm/s，運動的時間為ts．（其中一點到達點A時，兩點停止運動）(1)若cm．①運動1s后，求的長；②當點D在線段上運動時，試說明：．(2)如果s時，cm，試探索的長．16．（2023秋·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）如圖，P是線段上任一點，，C、D兩點分別從P、B同時向A點運動，且C點的運動速度，D點的運動速度為，運動的時間為．

(1)若，當D在線段上運動時，試說明；(2)若，時，試探索的值．17．（2022·浙江·七年級課時練習）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝_______；（2）設AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當點D在線段AB上運動，求的值；②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．18．（2022·河南·南陽市七年級階段練習）如圖，三點A、B、P在數(shù)軸上，點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣4，12（AB兩點間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應的數(shù)為；（2）C在數(shù)軸上，且AC+BC＝20，求C對應的數(shù)；（3）P從A點出發(fā)以1個單位/秒的速度在數(shù)軸向右運動，Q從B點同時出發(fā)，以2個單位/秒在數(shù)軸上向左運動．求：①P、Q相遇時求P對應的數(shù)；②P、Q運動的同時M以3個單位長度/秒的速度從O點向左運動，當遇到P時，點M立即以同樣的速度（3個單位/秒）向右運動，并不停地往返于點P與點Q之間，求當點P與點Q相遇時，點M所經(jīng)過的總路程是多少？（直接寫出結果）19．（2022·安徽蚌埠·七年級期末）如圖，點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，且滿足．（1）點表示的數(shù)是___________，點表示的數(shù)是____________．（2）若動點從點出發(fā)以每秒3個單位長度向右運動，動點從點出發(fā)以每秒1個單位長度向點運動，到達點即停止運動兩點同時出發(fā)，且點停止運動時，也隨之停止運動，求經(jīng)過多少秒時，第一次相距3個單位長度？（3）在（2）的條件下整個運動過程中，設運動時間為秒，若的中點為的中點為，當為何值時，？20．（2023·湖北·七年級期末）已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點，的中點，的中點，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．

專題07線段中的動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點和?？键c，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學的內(nèi)容結合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；3）根據(jù)題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。模型1、線段中點、和差倍分關系中的動態(tài)模型例1．（2022·河南·鄭州中學七年級期末）如圖，點C是線段AB上的一點，線段AC＝8m，．機器狗P從點A出發(fā)，以6m/s的速度向右運動，到達點B后立即以原來的速度返回；機械貓Q從點C出發(fā)，以2m/s的速度向右運動，設它們同時出發(fā)，運動時間為xs．當機器狗P與機械貓Q第二次相遇時，機器狗和機械貓同時停止運動．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當x為何值時，機器狗P在點A與機械貓Q的中點處？(3)當x為何值時，機器狗和機械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．【答案】(1)16，24．(2)當x=，即運動秒時，機器狗P在點A與機械貓Q的中點處．(3)當x=或x=或x=，即運動x=或x=或x=秒時，機器狗和機械貓之間的距離PQ=2m．【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的長，然后再求出AB的長即可；（2）先確定機器狗P在點A與機械貓Q的中點處只存在一種情況，即機器狗P與機械貓Q第一次相遇之前，再根據(jù)線段AP=AQ列方程求出x的值即可；（3）分三種情況，一是點P在線段AQ上，可根據(jù)AP+2=AQ列方程求出x的值；二是點P在線段BQ上且點P到達點B之前，可根據(jù)AP-2=AQ列方程求出x的值；三是點P在線段BQ上且點P從點B返回時，可根據(jù)2AB減去點P運動的距離等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案為：16，24．(2)解：由題意可得：：機器狗P在點A與機械貓Q的中點處只存在一種情況，即機器狗P與機械貓Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．答：當x=，即運動秒時，機器狗P在點A與機械貓Q的中點處．(3)解：當點P在線段AQ上且PQ=2m時，則6x+2=8+2x，解得x=；當點P在線段BQ上且PQ=2m時，則6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．答：當x=或x=或x=，即運動x=或x=或x=秒時，機器狗和機械貓之間的距離PQ=2m．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的應用、線段上的動點問題的求解等知識點，正確地用含x的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長是解答本題的關鍵.例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點F（異于A，B，C點）在線段AB上，，，確定點F是BC的中點，即可求出AD的長．(1)，，，，如圖1，為中點，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當點在點的左側，如圖2，或∵，，點是的中點，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當點在點的右側，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關系是解答的關鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．例3．（2023秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）操作與探究：（1）已知：如圖線段長為，點從點A以的速度向點運動，點運動時間為，則______，______（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點以的速度從A點沿著運動，運動時間為，用含的式子表示______拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎上，動點從點出發(fā)，沿著線段向點運動，速度為，、同時出發(fā)，運動時間為．其中一點到達終點，另一個點也停止運動．當點在上運動時，為何值時，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根據(jù)點P運動的速度及的長，即可解答；(2)根據(jù)點P運動的速度及、的長，即可解答；(3)分兩種情況，列出方程即可分別求解．【詳解】解：（1）線段長為，點從點A以的速度向點運動，，，故答案為：，；（2），，動點以的速度從A點沿著運動，當點P在上時，，當點P在上時，，故答案為：或；（3）當點在點的左邊時，，即，，解得，當點在點的右側時，，，解得，故為11或13時，．【點睛】本題考查了動點問題，列代數(shù)式，一元一次方程的應用，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·浙江·七年級專題練習）如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結論②的值不變正確，.【分析】（1）設運動時間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長，根據(jù)，可知點在線段上的位置；（2）由可知，當點Q在線段AB上時，等量代換可得，再結合可得的值；當點Q在線段AB的延長線上時，可得，易得的值.（3）點停止運動時，，可求得CM與AB的數(shù)量關系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關系，易知的值.【詳解】解：（1）設運動時間為t秒，則，由得，即，，，即所以點P在線段AB的處；（2）①如圖，當點Q在線段AB上時，由可知，②如圖，當點Q在線段AB的延長線上時，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點、運動5秒可得，如圖，當點M、N在點P同側時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；如圖，當點M、N在點P異側時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點睛】本題考查了線段的相關計算，利用線段中點性質轉化線段之間的和差倍分關系是解題的關鍵.例2．（2023秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動點從出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，為的中點，為的中點，設點的運動時間為秒．(1)若點在線段上運動，當時，；(2)若點在射線上運動，當時，求點的運動時間的值；(3)當點在線段的反向延長線上運動時，線段、、有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由見解析．【分析】（1）由中點的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）①當點P在線段上，，②當點P在線段的延長線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結論．【詳解】（1）解：∵為的中點，為的中點，，∴，，∴，∵線段，∴，∴．（2）①當點P在線段上，，如圖，∵，為的中點，∴，解得②當點P在線段的延長線上，，如圖，同理：，解得綜上所述，當時，點P的運動時間t的值為或20．（3）當點P在線段的反向延長線上時，，理由如下：如圖，∵，為的中點，為的中點，∴，，，．【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用，線段中點的含義，線段的和差運算，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關鍵．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖一，點在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．（1）填空：線段的中點這條線段的巧點（填“是”或“不是”或“不確定是”）【問題解決】（2）如圖二，點和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點是線段的巧點，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)?！緫猛卣埂浚?）在（2）的條件下，動點從點處，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，當其中一點到達中點時，兩個點運動同時停止，當、、三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點時，直接寫出運動時間的所有可能值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結合中點把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關系，進行判斷即可；（2）由題意設C點表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．【詳解】（1）因原線段是中點分成的短線段的2倍，所以線段的中點是這條線段的巧點，故答案為：是；（2）設C點表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點”的定義可知：①當AB=2AC時，有60=2（x+20），解得，x=10；②當BC=2AC時，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③當AC=2BC時，有x+20=2（40-x），解得，x=20．綜上，C點表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得，（i）、若0≤t≤10時，點P為AQ的“巧點”，有①當AQ=2AP時，60-4t=2×2t，解得，，②當PQ=2AP時，60-6t=2×2t，解得，t=6；③當AP=2PQ時，2t=2（60-6t）解得，；綜上，運動時間的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15時，點Q為AP的“巧點”，有①當AP=2AQ時，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②當PQ=2AQ時，6t-60=2×（60-4t），解得，；③當AQ=2PQ時，60-4t=2（6t-60），解得，．綜上，運動時間的所有可能值有：t=12；；．故，運動時間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【點睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點與數(shù)的關系，數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)新定義列出方程并進行求解．例2．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀c是線段上一點，若（為大于1的正整數(shù)），則我們稱點是的最強點．例如，，，則，稱是的最強點；，則是的最強點．(1)點在線段上，若，，點是的最強點，則______．(2)若，是的最強點，則______．（用的代數(shù)式表示）(3)一直線上有兩點，，，點從點出發(fā)，以每秒的速度向運動，運動到點時停止．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿射線運動，為多少時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．（用的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)(3)或或或或【分析】（1）根據(jù)“最強點”的定義計算即可；（2）根據(jù)“最強點”的定義列式即可；（3）將點、的運動分成未相遇，相遇后，點經(jīng)過點后，和點到達點后四種階段討論，并且每個階段又有可能有2種不同的點的情況．【詳解】（1）解：點是的最強點，，，，，故答案為：；（2）解：是的最強點，，，又，，，，故答案為；（3）解：根據(jù)題意，當時、相遇，，解得，階段一：點、未相遇時，即時，①設時點為的最強點，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，不滿足題意，舍去；②設時，點為的最強點，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段二：點、相遇后，且點未到達點，即時，③設時，點為的最強點，，，，，，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；④設時，點為的最強點，，，，，，又，即，，∵n為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段三：點經(jīng)過點后，且點未到達點，即時，⑤設時，點為的最強點，，，，，，又，即，，符合題意；⑥設時，點為的最強點，，，，，，又，即，，不符合題意，舍去；階段四：點到達點后，即時，，，點不可能為的最強點；⑦設時，點為的最強點，，，，，又，即，，符合題意；綜上所述，當為或或或或時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．【點睛】本題考查了解一元一次方程，列一元一次方程解應用題，線段上的動點問題，運用分類討論的思想，正確地列出代數(shù)式表示出線段的長是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2022秋·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)，滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側），，下列結論①，；②當點與點重合時，；③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)平方式和絕對值的非負性求出，，即可判斷①結論；根據(jù)點與點重合時，得到點表示的數(shù)為2，即可判斷②結論；設點對應的數(shù)是，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離公式得出，，，即可判斷③結論；先根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離公式得到，再利用線段中點得到，即可判斷④結論．【詳解】解：，，，，，①結論正確；點所對應的數(shù)是，點所對應的數(shù)是4，，，當點與點重合時，且點在點的左側，點表示的數(shù)為2，，②結論錯誤；當點與點重合時，點對應的數(shù)是4，點對應的數(shù)是2，設點對應的數(shù)是，則，，，，③結論正確；，，，為線段的中點，為線段的中點，，，④結論正確，結論正確的是①③④，故選D．【點睛】本題考查了數(shù)軸的性質，解題關鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式，線段中點的含義．2．（2023秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點A、B、D表示的數(shù)分別是，，1，且點C為線段的中點，點O為原點，點E在數(shù)軸上，點F為線段的中點，P、Q為數(shù)軸上兩個動點，點P從點B向左運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點D向左運動，速度為每秒3個單位長度，P、Q同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點E表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點P是線段的中點；其中正確的有．(填序號)

【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點的定義以及點D、E可確定點C、F表示的數(shù)，進而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點E在點D的右側時以及點E在點D的左側時，可得到點E表示的數(shù)，由點F為線段的中點可得點F表示的數(shù)，進而得到的長度；③當時，可得到的長，從而確定點P、Q，即可得到的長；④當時，可得到的長，從而確定點P、Q，進而判斷．【詳解】解：①若點E表示的數(shù)是3，∵點F為線段的中點，D表示的數(shù)是1，∴，即F表示的數(shù)是2，∵數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是?9，?1，點C為線段的中點，∴點C表示的數(shù)為，∴，故①正確；②若，當點E在點D的右側時，則點E表示的數(shù)是4，∵點F為線段的中點，∴，即F表示的數(shù)是，∴，當點E在點D的左側時，則點E表示的數(shù)是，∵點F為線段的中點，∴，即F表示的數(shù)是，∴，綜上，或，故②不正確；③當時，，∵B、D表示的數(shù)分別是，1，∴P、Q表示的數(shù)分別是，∴，故③正確；④當時，，，∴P、Q表示的數(shù)分別是，，∵點P在D、Q的左側，不可能是線段的中點，故④不正確；故答案為：①③．【點睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．3．（2023·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上點M對應的數(shù)為，點N在點M右側，對應的數(shù)為a，矩形的邊在數(shù)軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對應的數(shù)稱為點Р對應的數(shù)．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）；(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，則．【答案】(1)(2)(3)100【分析】（1）根據(jù)線段的和與差可得，即可求得；（2）根據(jù)P的速度和矩形的周長，求得P運動的總時間，進一步求得矩形的速度，即可求得；（3）根據(jù)點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度，求解即可．【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點A的速度也為l，則運動的距離為，故，即的值為；故答案為：．（2）解：點P的速度為2，則運動總時間為（秒），從M到N，長度為70，所以矩形運動速度為，所以當點Р在邊上時，點Р對應的數(shù)為，故答案為：．（3）解：點P對應的數(shù)不變，說明矩形向右運動，點Р向左運動，二者速度“抵消”了，所以矩形的運動速度與點P的運動速度相等，所以，解得，故答案為：100．【點睛】本題看了數(shù)軸，矩形的周長，動點問題等，根據(jù)點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度是解題的關鍵．4．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是線段上一點，，動點從出發(fā)以的速度沿直線向終點運動，同時動點從出發(fā)以的速度沿直線向終點運動，當有一點到達終點后，兩點均停止運動．在運動過程中，總有，則．【答案】/6厘米【分析】設運動時間為秒，，將圖中線段用和的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：設運動時間為秒，，則，依題意得，，，，根據(jù)在運動過程中，總有得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查線段的和差關系及一元一次方程的應用，熟練掌握線段的和差關系及一元一次方程的應用是解題的關鍵．5．（2023?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，點C在線段AB上，且BC＝4厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過多少時間線段PQ的長為5厘米．解：設運動時間為t秒．①如果點P向左、點Q向右運動，由題意，得：t+2t＝5﹣4，解得；②點P、Q都向右運動，由題意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；③點P、Q都向左運動，由題意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．④點P向右、點Q向左運動，由題意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3．綜上所述，經(jīng)過或1或3秒9秒時線段PQ的長為5厘米．6．（2022·廣東初一月考）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點，點C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)寫出數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)．(2)動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動．若M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN＝CQ，設運動時間為ts(t＞0)．①寫出數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．②t為何值時，原點O恰為線段PQ的中點?【答案】（1）A點表示-10；B點表示2；（2）①點M表示的數(shù)是-10+3t；點N表示的數(shù)是6-t；②t=.【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離即可求出A、B表示的數(shù)；（2）①根據(jù)距離=速度×時間可得AP=6t，CQ=3t，根據(jù)中點性質可得AM=3t，根據(jù)CN＝CQ可得CN=t，根據(jù)線段的和差關系即可得答案；②根據(jù)中點定義可得OP=OQ，再根據(jù)數(shù)軸的性質解答即可.【解析】（1）∵C表示的數(shù)為6，BC=4，∴OB=6-4=2，∴B點表示2，∵AB=12，∴AO=12-2=10，∴A點表示-10；（2）①由題意得：AP=6t，CQ=3t，∵M為AP中點，∴AM=AP=3t，∴在數(shù)軸上點M表示的數(shù)是-10+3t，∵點N在CQ上，CN＝CQ，∴CN=t.∴在數(shù)軸上點N表示的數(shù)是6-t.②∵原點O恰為線段PQ的中點，∴OP=OQ，∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，∴-10+6t與6-3t互為相反數(shù)，∴-10+6t=-(6-3t)，解得：t=，∴t=時，原點O恰為線段PQ的中點.【點睛】本題主要考查中點的定義、線段之間的和差關系及數(shù)軸的性質，熟練掌握線段中點知識的運用是解題關鍵.7．（2022·廣西七年級期中）已知數(shù)軸上三點M，O，N對應的數(shù)分別為－3，0，1，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．(1)如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點M，點N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發(fā)，那么幾分鐘時點P到點M，點N的距離相等.（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分鐘或t=2分鐘時點P到點M，點N的距離相等．【分析】（1）根據(jù)三點M，O，N對應的數(shù)，得出NM的中點為：x=（-3+1）÷2進而求出即可；（2）根據(jù)P點在N點右側或在M點左側分別求出即可；（3）分別根據(jù)①當點M和點N在點P同側時，②當點M和點N在點P兩側時求出即可．【解析】解：（1）∵M，O，N對應的數(shù)分別為-3，0，1，點P到點M，點N的距離相等，∴x的值是．故答案為：；（2）存在符合題意的點P；∵點M為-3，點N為1，則點P分為兩種情況，①點P在N點右側，則，解得：；②點P在M點左側，則，解得：；∴.（3）設運動t分鐘時，點P對應的數(shù)是-3t，點M對應的數(shù)是-3-t，點N對應的數(shù)是1-4t．①當點M和點N在點P同側時，因為PM=PN，所以點M和點N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝，符合題意．

②當點M和點N在點P兩側時，有兩種情況．情況1：如果點M在點N左側，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因為PM=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此時點M對應的數(shù)是-5，點N對應的數(shù)是-7，點M在點N右側，不符合題意，舍去．情況2：如果點M在點N右側，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因為PM=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此時點M對應的數(shù)是-5，點N對應的數(shù)是-7，點M在點N右側，符合題意．綜上所述，三點同時出發(fā)，分鐘或2分鐘時點P到點M，點N的距離相等．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸的應用以及一元一次方程的應用，根據(jù)M，N位置的不同進行分類討論得出是解題關鍵．8．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點，點A對應的數(shù)為，點B對應的數(shù)為100．(1)線段的長度為__________、線段中點M對應的數(shù)__________；(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點C處相遇，求點C對應的數(shù)；(3)若電子螞蟻P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左運動，當兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度時，求點Q對應的數(shù)．【答案】(1)120，40(2)20(3)或【分析】（1）利用兩點間的距離公式，和中點公式，進行求解即可；（2）設經(jīng)過x秒后，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點C處相遇，根據(jù)題意，列出方程，求出的值，進而求出點C對應的數(shù)即可；（3）分點在點的右側和點在點的左側，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：，線段中點M對應的數(shù)為；故答案為：；（2）解：設經(jīng)過x秒后，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相遇．由題意，得：，解得：，，∴C對應的數(shù)為20．（3）解：由（1）知：．①設電子螞蟻P和電子螞蟻Q運動t秒時，Q在P左側相距10個單位長度．依題意，得，解得，∴點Q表示的數(shù)為：；②設電子螞蟻P和電子螞蟻Q運動y秒時，Q在P右側相距10個單位長度．依題意，得，解得：，∴點Q對應的數(shù)為：．綜上：當兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度時，求點Q對應的數(shù)為：或．【點睛】本題考查一元一次方程的應用．熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，列出一元一次方程，是解題的關鍵．9．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點，已知，點M﹑N分別從A、B兩點同時出發(fā)向點C運動．當其中一動點到達C點時，M、N同時停止運動．已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長度為______；(2)當t為何值時，M、N兩點重合？(3)若點P為AM中點，點Q為BN中點．問：是否存在時間t，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，當或時，【分析】（1）直接根據(jù)路程=時間×速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分點P在Q的左邊和點P在Q的右邊，利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點M的速度為每秒2個單位長度，運動時間為t秒，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，，由得，∴當時，M、N兩點重合；（3）解：存在時間t，使．由題意，，，則，當分點P在Q的左邊時，，解得；當點P在Q的右邊時，，解得，故當或時，．【點睛】本題考查一元一次方程的應用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結合思想和分類討論思想求解是解答的關鍵．10．（2023秋·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上記原點為點O，已知點C表示數(shù)c，點D表示數(shù)d，且c，d滿足，我們把數(shù)軸上兩點之間的距離，用表示兩點的大寫字母表示，如：點C與點D之間的距離記作．(1)求的值；(2)若甲、乙兩動點分別從C，D同時出發(fā)向右運動，甲的速度為每秒3個單位，乙的速度為每秒1個單位，當甲和乙重合時，甲，乙停止運動．當甲到達原點O時，動點丙從原點O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度也向右運動，當丙追上乙后立即返向甲運動，遇到甲后再立即返向乙運動，如此往返，直到點甲、乙、丙全部相遇就停止運動，設此過程中丙的速度大小不變求在此過程中丙行駛的總路程，以及丙停留的最后位置在數(shù)軸上所對應的有理數(shù)：(3)動點A從C出發(fā)，以每秒2個單位速度往x軸的正方向運動，同時動點B從D出發(fā)，以每秒3個單位速度向點C方向運動，到達C點后立即沿x軸的正方向運動，且點B速度大小不變，設運動時間為t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接寫出t的值：若不存在，說明理由．【答案】(1)19(2)丙的運動的總路程為26，丙對應的有理數(shù)為19.5(3)存在，t的值為：1，，，19【分析】（1）根據(jù)絕對值及偶次冪的非負性可得，然后問題可求解；（2）當甲到達原點O時，丙從原點O出發(fā)，則甲到達O點需要3秒，然后可得乙的位置，進而可得丙的運動時間，最后問題可求解；（3）由（1）可知，然后根據(jù)題意可分①當點A、B分別在點O的左側和右側時，②當點A、B都在點O的左側時，③當點B到達點C返回時，此時點A在點O的右側，④當點B到達點C返回時，點A、B都在點O的右側，進而分類求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴；（2）解：當甲到達原點O時，丙從原點O出發(fā)，則甲到達O點需要秒，此時乙的位置為，設丙運動t秒后停止，由題意得，解得，此時丙的位置在，即丙對應的有理數(shù)為19.5，丙的運動的總路程為；（3）解：存在，使得，理由如下：由（1）可知：，∴，由題意可分：①當點A、B分別在點O的左側和右側時，存在，∵，∴，∴，解得：；②當點A、B都在點O的左側時，存在，即點A、B重合，∴，∴，解得：；③當點B到達點C返回時，此時點A在點O的右側，存在，∴，∴，解得：；④當點B到達點C返回時，點A、B都在點O的右側，存在，∴，∴，解得：；綜上所述：當t的值為：1，，，19時，存在．【點睛】本題主要考查線段的和差關系、數(shù)軸上的動點問題及一元一次方程的應用，熟練掌握數(shù)軸上的動點問題及一元一次方程的應用是解題的關鍵．11．（2023秋·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點，，、兩點分別從、出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線向左運動（在線段上，在線段上），運動的時間為．(1)當時，，請求出的長；(2)若、運動到任一時刻時，總有，請求出的長(3)在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由題意，當時，，，則，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分類討論，當點在線段上時和點在的延長線上時，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)、的運動速度知：，，則，∵，∴，即，∴，，∴，則；（2）根據(jù)、的運動速度知：∵，∴，即，∴；（3）當點在線段上時，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；當點在的延長線上時，．綜上所述，或12cm．【點睛】本題考查線段的和差運算，動點問題，數(shù)形結合，理解圖形中的等量關系式解題的關鍵．12．（2023秋·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段，稱作互為圓周率伴侶線段．(1)若，則．(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則．【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置．(3)若點、均為線段的圓周率點，求線段MN的長度；(4)在圖2中，點、分別從點、位置同時出發(fā)，分別以每秒2個單位長度、每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒，點追上點Q時，停止運動，當、、三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點時，請直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)(4)，，，【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點的定義以及相關線段的大小比較即可；（3）由題意可知，點表示的數(shù)是，設點離點近，且，根據(jù)題意可得關于的一元一次方程，求解即可；（4）根據(jù)題意分類討論計算即可，①點在左側，；②點在左側，；③點在點，點之間，且；④點在點，點之間，且．【詳解】（1）解：，，，，故答案為：；（2）解：，，，，；故答案為：；（3）解：由題意可知，點表示的數(shù)是，若點，為線段的圓周率點，設點離點近，且，根據(jù)題意可得：，解得：，；（4）解：由題意可知，點，，所表示的數(shù)分別為：，，，當，，三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點時，有下列四種情況：①點在左側，；，解得：，②點在左側，；，解得：，③點在點，點之間，且；，解得：，④點在點，點之間，且；，解得：，符合題意的的值為：，，，．【點睛】本題考查了一元一次方程在新定義類動點問題中的應用，數(shù)軸上的點表示的數(shù)，數(shù)軸上兩點間的距離，數(shù)形結合、分類討論是解題關鍵．13．（2023秋·四川達州·七年級校考期末）如圖，點P是線段上任一點，，C，D兩點分別從點P，B同時向點A運動，且點C的運動速度為，點D的運動速度為，運動的時間為．(1)若，①運動1s后，求的長；②當點D在線段上運動時，與的關系；(2)如果時，，試探索的值．【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①先求出與的長度，然后利用即可求出答案．②用t表示出的長度即可求證；（2）當時，求出的長度，分兩種情況：D點在C點的左邊和D點在C點的右邊，即可求解．【詳解】（1）解：①由題意可知：，∵，，∴，∴；

②由題意可知：

∴，∴，

∴；（2）解：當時，，當點D在C的右邊時，∵，∴，∴，∴；

當點D在C的左邊時，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查兩點間的距離，涉及列代數(shù)式，分類討論的思想，屬于中等題型．14．（2022·浙江杭州·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為8．點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒（）．（1）填空：①A、B兩點間的距離________，線段AB的中點表示的數(shù)為________；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為________；點Q表示的數(shù)為________；（2）求當t為何值時，；（3）當點P運動到點B的右側時，線段PA的中點為M，N為線段PB的三等分點且靠近于P點，求的值．【答案】（1）①10；3；②點P表示的數(shù)為-2+3t，點Q表示的數(shù)為8-2t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）①根據(jù)點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為8，即可得到A、B兩點間的距離以及線段AB的中點表示的數(shù)；②依據(jù)點P，Q的運動速度以及方向，即可得到結論；（2）由t秒后，點P表示的數(shù)-2+3t，點Q表示的數(shù)為8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到結論；（3）依據(jù)PA的中點為M，N為PB的三等分點且靠近于P點，運用線段的和差關系進行計算，即可得到的值．【詳解】解：（1）①8-（-2）=10，-2+×10=3，故答案為：10，3；②由題可得，點P表示的數(shù)為-2+3t，點Q表示的數(shù)為8-2t；故答案為：-2+3t，8-2t；（2）∵t秒后，點P表示的數(shù)-2+3t，點Q表示的數(shù)為8-2t，∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，又=×10=5，∴|5t-10|=5，解得：t=1或3，∴當t=1或3時，；（3）∵PA的中點為M，N為PB的三等分點且靠近于P點，∴|MP|=|AP|=×3t=t，|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=×（3t-10）=2t-，∴=t-（2t-）=5．【點睛】本題考查了實數(shù)和數(shù)軸以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是掌握點的移動與點所表示的數(shù)之間的關系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程求解．15．（2022秋·浙江·七年級期末）如圖，P是線段上任意一點，cm，C，D兩點分別從點P，B同時向點A運動，且點C的運動速度為2cm/s，點D的運動速度為3cm/s，運動的時間為ts．（其中一點到達點A時，兩點停止運動）(1)若cm．①運動1s后，求的長；②當點D在線段上運動時，試說明：．(2)如果s時，cm，試探索的長．【答案】(1)①cm；②見解析(2)的長為11cm或13cm【分析】（1）①先求出、與的長度，然后利用即可求出答案；②用t表示出、、的長度即可求證；（2）當時，求出、的長度，由于沒有說明D點在C點的左邊還是右邊，故需要分情況討論．【詳解】（1）①當時，cm，cm，∵cm，cm，∴cm，∴cm；②∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．（2）當時，cm，cm，當點D在C的右邊時，如圖：，∴cm；當點D在C的左邊時，如圖：，∴cm；綜上可得，AP的長為11cm或13cm．

【點睛】本題考查了兩點間的距離，涉及列代數(shù)式，注意分類討論是解題關鍵．16．（2023秋·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）如圖，P是線段上任一點，，C、D兩點分別從P、B同時向A點運動，且C點的運動速度，D點的運動速度為，運動的時間為．

(1)若，當D在線段上運動時，試說明；(2)若，時，試探索的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）用t表示出、、的長度，即可證得；（2）當時，求出、的長度，分點D在C的右邊和點D在C的左邊兩種情況，分別根據(jù)線段的和差關系進行計算．【詳解】（1）解：由題意可知：，，∴，，∴，

∴；（2）解：當時，，，當點D在C的右邊時，∵，∴，∴，∴；

當點D在C的左邊時，可得，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，線段的和差計算，正確分類討論是解題的關鍵．17．（2022·浙江·七年級課時練習）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝_______；（2）設AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當點D在線段AB上運動，求的值；②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關系即可得到結論；（2）①設運動的時間為t秒，表示出線段長即可得到結論；②分和兩種情況，根據(jù)三等分點求出BD的長，進而求出運動時間，求出MD、NB的長即可．【詳解】解：（1）圖形補充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），設運動的時間為t秒，cm，cm，，②當時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運動時間為：18÷3=6（秒），則cm，cm，cm，∵M，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，當時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運動時間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm，∵M，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【點睛】本題考查了線段的計算，解題關鍵是準確識圖，熟練表示出線段長．18．（2022·河南·南陽市七年級階段練習）如圖，三點A、B、P在數(shù)軸上，點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣4，12（AB兩點間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應的數(shù)為；（2）C在數(shù)軸上，且AC+BC＝20，求C對應的數(shù)；（3）P從A點出發(fā)以1個單位/秒的速度在數(shù)軸向右運動，Q從B點同時出發(fā)，以2個單位/秒在數(shù)軸上向左運動．求：①P、Q相遇時求P對應的數(shù)；②P、Q運動的同時M以3個單位長度/秒的速度從O點向左運動，當遇到P時，點M立即以同樣的速度（3個單位/秒）向右運動，并不停地往返于點P與點Q之間，求當點P與點Q相遇時，點M所經(jīng)過的總路程是多少？（直接寫出結果）【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16．【分析】（1）根據(jù)中點的定義可得；（2）設點C表示的數(shù)為x，分點C在A、B之間，點C在點A左側和點C在點B