數(shù)學知識導航獨立性檢驗

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1獨立性檢驗知識梳理1。利用隨機變量來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個隨機變量的______________，常用______________表示。2.用樣本估計總體時，由于抽樣的隨機性，結果并不唯一，因此，由某個樣本得到的推斷有可能正確，也有可能錯誤.利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本量n越大，這個估計______________.3.一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值類A和類B,Ⅱ也有兩類取值類1和類2，可列聯(lián)表如下：Ⅱ合計類1類2Ⅰ類Aaa+b類Bdc+d合計a+ca+b+c+d則χ2=________________________________________________其中n=__________________________為樣本量.要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”的步驟是__________________________（1）______________________________________________________________________（2）______________________________________________________________________（3）______________________________________________________________________知識導學可以利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關系,并且能夠較精確地給出這種判斷的可靠程度，x2的值越大，說明兩個變量有關系的可能性越大，當數(shù)據(jù)a、b、c、d都不小于5時,可用課本中的表1-1-4來判斷。疑難突破1.獨立性檢驗與數(shù)學中的反證法的區(qū)別與聯(lián)系是什么呢？可以用反證法的思想解釋假設檢驗原理，它們的對應關系為：反證法：假設檢驗要證明結論A備擇假設H1在A不成立的前提下進行推理在H1不成立的條件下，即H0成立的條件下推理推出矛盾，意味著結論A成立推出有利于H1成立的小概率事件發(fā)生,意味著H1成立的可能性很大沒有找到矛盾，不能對A下任何結論,即反證法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設從上述對比中可以看出,假設檢驗的思想和反證法類似.不同之處：一是假設檢驗中用有利于H1的小概率事件的發(fā)生代替了反證法中的矛盾；二是假設檢驗中接受原假設的結論相當于反證法中沒有找到矛盾.把假設檢驗的基本思想具體化到獨立性檢驗中，就可以通過隨機變量χ2=當χ2很大時，就認為所涉及的兩個分類變量有關系;否則，就認為沒有充分的證據(jù)顯示這兩個變量有關系.2。獨立性檢驗的一般步驟為：（1）提出假設H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關系；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式χ2=計算χ2的值；(3）把χ2的值與臨界值比較，確定Ⅰ與Ⅱ有關的程序或無關系，具體比較時可參考以下標準；①如果χ2〉10。828，則有99.9%的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；②如果χ2〉7.879，則有99.5%的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；③如果χ2〉6。635，則有99％的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；④如果χ2>5。024,則有97.5％的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；⑤如果χ2>3。841，則有95%的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；⑥如果χ2>2。706，則有90％的把握認為Ⅰ與Ⅱ有關系；⑦如果χ2≤2.706,就沒有充分證據(jù)顯示Ⅰ與Ⅱ有關系,這時就認為Ⅰ與Ⅱ無關系成立,只要χ2≤2.706我們就認為Ⅰ與Ⅱ有關系.典題精講【例1】對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結果如下：又發(fā)作心臟病未發(fā)作過心臟病全計心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別.思路解析:從所給的列聯(lián)表中可知病人有兩種類型：做過心臟搭橋手術和做過血管清障手術.每種類型又有兩種情況，又發(fā)作過心臟病，未發(fā)作過心臟病，問題是：用表中所給出的數(shù)據(jù)來檢驗上述兩種狀態(tài)是否有關系.這是一個獨立性檢驗問題，解決的方法是先計算χ2，用χ2的大小來決定是否又發(fā)作過心臟病與心臟搭橋手術有關還是無關。解:假設做過心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病沒有關系。由于a=39，b=157，c=29，d=167,a+b=196，c+d=196，a+c=68,b+d=324，n=392，由公式可得χ2的觀測值為：χ2===1。78因為χ2=1。78<2。706，所以我們沒有理由說心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病有關系。綠色通道：此類問題的一般解法是利用χ2=；求出χ2的值，再此利用χ2與臨界值的大小關系，來判斷假設是否成立.黑色陷阱：在解題時應注意準確代數(shù)與計算，有些同學常把數(shù)代錯，或計算錯誤，用錯公式等，同時，準確進行比較與判斷也非常重要.【變式訓練】在一次惡劣氣候的飛機航程中,調(diào)查了男女乘客在飛機上暈機的情況,如下表所示，請你根據(jù)所給的數(shù)據(jù)判定是否在惡劣氣候飛行中男人比女人更容易暈機？暈機不暈機合計男人243155女人82634合計325789解：由題意可知a=24,b=31，c=8，d=26，a+b=55，c+d=34,a+c=32,b+d=57，n=89,代入公式得，χ2===3.689，因為χ2=3。689＞2。706。因此，我們有90%的把握認為男人比女人更容易暈機?！纠?】在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂，利用獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關系?所得的結論在什么范圍內(nèi)有效？思路分析：把所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，被調(diào)查的人有兩種狀態(tài)：禿頂、不禿頂。每個狀態(tài)又有兩種情況：患心臟病、患其他病.這是一個2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗的問題，因而需求出χ2,用它的大小可以確定是否拒絕原來的假設，從而得出兩個量之間的關系。解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:患心臟病患其他病合計禿頂214175389不禿頂4515971048合計6657721437假設禿頂與心臟病無關。由于a=214，b=175，c=451，d=597,則a+b=389,c+d=1048,a+c=665，b+d=772,n=1437。因此,χ2==≈16.373>10。828.因而我們有99.9%的把握認為禿頂與患心臟病有關系。綠色通道：正確判斷出列聯(lián)表,比較易于觀察，因此對結論的判斷才不會出現(xiàn)偏差?！咀兪接柧殹吭谘芯磕撤N新措施對豬白痢的防治效果問題時，得到以下數(shù)據(jù):存活數(shù)死亡數(shù)合計未采取新措施11436150采取新措施13218150合計24654300試問新措施對防治豬白癡是否有效？解：由題意可知：a=114,b=36,c=132,d=18∴a+b=150,c+d=150，a+c=246，b+d=54,n=300，代入公式可得,χ2===7。317因為χ2=7。317＞6。635因此我們有99%的把握認為新措施對防治豬白痢是有效果的.【例3】(2006年全國高考卷Ⅱ,文19）某批產(chǎn)品成箱包裝,每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗。設取出的第一、二、三箱中分別有0件,1件，2件二等品，其余為一等品。（1）求抽檢的6件產(chǎn)品中恰有1件二等品的概率；（2）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購買的概率.思路分析：本題是相互獨立事件概率公式的應用類問題，要求會用公式P(A·B）=P（A）·P(B)來解決實際問題.解:設Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i=0,1;Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品"，i=0，1,2。（1）由題意可知，所求的概率為P1=P（A1·B0）+P（A0·B1)=P(A1）P（B0）+P(A0）P（B1）=.（2）解法1：所求的概率為P2=1—P（A0·B0)-P1=解法2:所求的概率為P2=P(A1·B1）+P（A0·B2）+P（A1·B2）=P（A1）P（B1）+P(A0)P（B2)+P（A1）P（B2）=。綠色通道：本題考查互斥事件的概率及相互獨立事件的概率計算，考查運用所學知識與方法解決實際問題的能力和合理推理的能力?！咀兪接柧殹看覣和B中各裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率為，從B中摸出一個紅球的概率為P。（1）從A袋中有放回地摸球，每次摸出一個球，共摸5次.求：①恰好有3次摸出紅球的概率；②第一次，第三次，第五次均摸出紅球的概率；（2）若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將兩個袋子中的球混裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率為,求P的值。解：（1）①②P=。（2）設A袋中有m個球，則B袋中有2m個球，由,可求得p=.問題探究問題:把一顆質地均勻的骰子任意投擲一次，設事件A為“擲出偶數(shù)點”，B為“擲出3的倍數(shù)點”.求（1）事件A，B，，的概率，以及事件A∩B,∩B，A∩,∩的概率，(2）判斷P(A∩）與P（A）·P(）,P（A∩B）與P（A)·P（B），P（∩B）與P（）·P（B），P（∩）與P()·P（）的大小關系。導思：要判斷P(A∩）與P(A）·P（)，P（A∩B）與P(A）·P（B)，P（∩）與P（）·P（B），P(∩）與P(）·P()的大小關系，首先要知道P（A∩B）是指A、B同時交事件的概率.即A、B同時發(fā)生的概率，然后再計算P（A∩B）的值。在處理此類問題時,要分清楚是相互獨立事件同時發(fā)生的概率，即交事件還是和事件的概率。探究：（1)P（A)=,P（B）=所以P（）=1—，P（）=1-.P（A∩B）=P（擲出6點）=·=.P（∩B）=P（擲出3點