數(shù)學知識導航：周期現(xiàn)象角的概念的推廣

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§1周期現(xiàn)象2角的概念的推廣知識梳理1.周期現(xiàn)象某種動作或現(xiàn)象每隔“一段”就會重復出現(xiàn)，這種現(xiàn)象被稱為周期現(xiàn)象。2。任意角(1）角的定義①靜態(tài)定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。②動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形,所旋轉射線的端點叫做頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。（2)在平面內，一條射線繞它的端點旋轉時，有順時針和逆時針兩個相反的方向。習慣上規(guī)定：按照逆時針方向旋轉而成的角叫做正角；按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角；當射線沒有旋轉時，也把它看成一個角，稱為零角；旋轉生成的角又常稱為轉角.這樣就形成了任意大小的角,即任意角.（3)角的記法用一個希臘字母；用三個大寫的英文字母表示（字母前面要寫“∠”）。(4)角的分類按旋轉方向分為正角、零角、負角；按終邊所在位置分為象限角和軸線角。3.象限角、軸線角（1)定義：將角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么就把角放在了平面直角坐標系中。如果角的終邊（除原點外）在第幾象限，則就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊落在坐標軸上，則這個角不屬于任何象限,稱之為軸線角(或稱為象限界角）。（2）表示方法第一象限角的集合:{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z｝;第二象限角的集合:{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z｝;第三象限角的集合:{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z};第四象限角的集合:｛α｜k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z｝；終邊落在x軸的非負半軸上的角的集合:｛α｜α=k·360°，k∈Z｝;終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合:｛α｜α=k·360°+180°,k∈Z｝;終邊落在x軸上的角的集合:{α|α=k·180°，k∈Z}；終邊落在y軸的非負半軸上的角的集合：{α|α=k·360°+90°，k∈Z｝；終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合：｛α｜α=k·360°+270°，k∈Z｝；終邊落在y軸上的角的集合:｛α｜α=k·180°+90°,k∈Z}；終邊落在坐標軸上的角的集合：{α｜α=k·90°,k∈Z｝；象限角與軸線角的表示形式并不唯一，還有其他的表示形式，如：終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合也可表示為｛x｜x=k·360°-90°，k∈Z}。4。終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.（2）所有與α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z｝,即任一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。知識導學1。結合課本實例,理解生活中的“周而復始”“來回反復”等周期現(xiàn)象.2.復習初中學習過的角的定義、特點、范圍。3.在學習過程中一定要用任意角的觀點看待問題,防止“穿新鞋走老路”，雖然學了任意角，還是以銳角、直角、鈍角來考慮問題。疑難突破1。當角α與角β的終邊相同時，α與β相等嗎？為什么與角α終邊相同的角的集合可以寫成S={β|β=α+k·360°，k∈Z}？剖析:角的定義有兩種:靜態(tài)定義和動態(tài)定義。受思維定勢的影響,往往會先想到用角的靜態(tài)定義來考慮這個問題，那樣就會陷入迷茫。其突破的途徑是用角的動態(tài)定義來分析。若α、β的終邊相同，則它們的關系為：將角α終邊旋轉（逆時針或順時針）k(k∈Z）周即得β，所以α、β的數(shù)量關系為β=k·360°+α(k∈Z),即α、β的大小相差360°的整數(shù)k倍.所以α與β不一定相等.例如：β與30°角的終邊相同，但是β不一定等于30°.將30°的終邊按逆時針旋轉1周即得角β＝1·360°+30°=390°，按逆時針旋轉2周即得角β＝2·360°+30°=750°，…,所以390°，750°，…都與30°的終邊相同.將30°的終邊按順時針旋轉1周即得角β＝(—1)·360°+30°=-330°，按順時針旋轉2周即得角β＝（—2)·360°+30°=-690°,…，所以—330°，-690°，…都與30°角的終邊相同。由以上可看出β與30°角的終邊相同，但是β不一定等于30°，它們的數(shù)量關系是β=k·360°+30°（k∈Z)。因此所有與角α終邊相同的角,連同角α在內，可構成一個集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。理解集合S=｛β｜β=α+k·360°，k∈Z｝要注意以下幾點：（1）式中角α為任意角，它說明終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差3６0°的整數(shù)倍;（2）k∈Z這一條件必不可少；(3）k·360°與α之間是“+”,如k·360°-30°應看成k·360°+（-30°），即與—30°終邊相同的角;（4）終邊相同的角不一定相等,但是相等的角,終邊一定相同；（5）終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍。在求終邊相同的角的問題中關鍵是找到一個與其終邊相同的某一角（一般找0°—360°的角），然后用集合和符號語言表示出來.2。第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、銳角這四類角有什么區(qū)別？剖析:受初中所學角的影響,看到這四種角，往往就說它們相同.其原因是雖然已經(jīng)將角擴充到了任意角,但是解決問題時，考慮的角還是僅僅停留在銳角、直角、鈍角，即初中所學角的范圍上，沒有按任意角來看待.其突破方法是把握住各自的取值范圍.這四種角的范圍用集合表示，分別是：銳角：｛α｜0°＜α＜90°｝,0°—90°的角：｛α｜0°≤α＜90°｝，小于