2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)-教學(xué)設(shè)計

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期上學(xué)期課題兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：借助圓的旋轉(zhuǎn)對稱性和三角函數(shù)的定義推導(dǎo)兩角差的余弦公式，并利用公式進(jìn)行簡單的求值；在公式推導(dǎo)中，體會特殊與一般，數(shù)形結(jié)合的思想，感受知識間內(nèi)在聯(lián)系；在公式的推導(dǎo)和應(yīng)用中，發(fā)展數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo).教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動溫故知新知識回顧這是我們最熟悉的兩個誘導(dǎo)公式即終邊相同角的三角函數(shù)值相同。類似的誘導(dǎo)公式還有很多。利用這些公式對三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形，可以達(dá)到化簡、求值或證明的目的。這種利用公式對三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變形就是三角恒等變換.利用誘導(dǎo)公式化簡，，，.探究新知引發(fā)思考.之前的三角恒等變換中，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角的差的余弦，變換后的結(jié)果都與這個任意角正弦或余弦有關(guān)，如果把特殊角化為任意角β（α），則的公式展開式會與哪些值有關(guān)呢？對比特殊角與任意角差的余弦，α-β的余弦與sinα，cosα,sinβ,cosβ有關(guān).那么有著怎樣的具體關(guān)系呢？我們共同探索利用問題鏈，推導(dǎo)公式.教師引領(lǐng)：為了探索與sinα，cosα,sinβ,cosβ的等量關(guān)系，我們借助圖形加以研究。思考：我們借助哪些工具探究cos(α-β)與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關(guān)系？根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：誘導(dǎo)公式即用到了三角函數(shù)的定義，x=cosα,y=sinα，根據(jù)單位圓的特殊對稱性。如圖單位圓上的任意一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)2kπ,仍然在單位圓上，且此時位置不變的特征，推導(dǎo)公式。類比誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，單位圓推導(dǎo)?；顒?：動手作圖：以x軸非負(fù)半軸為始邊，任取兩角α、β，終邊分別交單位圓于A1，P1，學(xué)生可能出現(xiàn)以下幾類情況：師：由于角的終邊情況比較復(fù)雜，不妨從簡單的情況入手討論，設(shè)角α，β為銳角，且α>β．活動2：如何確定橫坐標(biāo)為cos(α-β)的點(diǎn)p？度量α-β的角度，OA逆時針旋轉(zhuǎn)該角度，終邊交單位圓于p.我們現(xiàn)在找到了這樣三個特殊的點(diǎn).活動3：如何發(fā)現(xiàn)cos(α-β)與sinα，cosα,sinβ,cosβ的等量關(guān)系？需要關(guān)注單位圓中α-β、α、β相關(guān)的恒量關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：.活動4：指明線段A1P1=AP的依據(jù).（法一）扇形AOP繞著點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)A、P分別點(diǎn)A1，P1重合，則，所以.與推導(dǎo)誘導(dǎo)公式用到的圓的特殊對稱性不同，這里是單位圓上任意一個點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)任意角度后仍在單位圓上，即反映了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性。（法二），在單位圓中，所以.活動5：下面利用兩條線段相等的關(guān)系，推導(dǎo)cos(α-β)與α、β三角函數(shù)值的關(guān)系.平面上任意兩點(diǎn)平面上任意兩點(diǎn),如圖可得，AB間的距離為根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分別表示線段AP與A1P1,.....即.當(dāng)α=β＋2kπ,k∈Z時，上式仍成立。.由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，點(diǎn)A、P分別點(diǎn)A1，P1重合，則，所以，對于任意角α，β有.稱為差角的余弦公式，簡記作C(α-β)（四）歸納結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，總結(jié)記憶方法.公式對任意角α、β都成立；左邊的角是，右邊的角是；公式特點(diǎn)是：同名相乘，符號相加.典例剖析例1利用公式C(α-β)證明:,.證明：..點(diǎn)撥：和（差）角公式可以看成誘導(dǎo)公式的一般化表達(dá)，誘導(dǎo)公式可以看成和（差）角公式的特例.當(dāng)α,β中有一個角是的整數(shù)倍時，用誘導(dǎo)公式更簡便..思考:觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式，不難發(fā)現(xiàn)，欲求的值，必先知道的值，然后利用公式即可求解.從已知條件看，還少與的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出，但是這里必須注意利用同角的平方和關(guān)系式時，角所在的象限，準(zhǔn)確判斷它們的