2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】函數(shù)模型的應(yīng)用(1)-教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題函數(shù)模型的應(yīng)用（1）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：能夠認識數(shù)學模型的含義，利用已知的函數(shù)模型解決實際問題；體會求解模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本步驟，能夠正確認識數(shù)學求解的結(jié)論與實際問題結(jié)果的差異；感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模核心素養(yǎng).教學重點：利用已知的函數(shù)模型解決實際問題.教學難點：對于碳14半衰期及衰減率的理解及驗證問題中的數(shù)據(jù)與所提供的的數(shù)學模型是否吻合.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動１分鐘15分鐘３分鐘１分鐘新課引入新課講解課堂小結(jié)作業(yè)我們知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來刻畫，面臨一個實際問題，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？我們將用兩節(jié)課的時間繼續(xù)學習函數(shù)模型的應(yīng)用，這節(jié)課我們主要探究利用已知的函數(shù)模型解決實際問題．人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識人口變化的規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型，其中t表示經(jīng)過的時間，表示t=0時的人口數(shù)，表示人口的年平均增長率．根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950年－1959年期間的具體人口增長模型．利用（１）中的模型計算，1951年到1958年各年末的人口總數(shù)，查閱國家統(tǒng)計局，網(wǎng)站公布的我國在1951年至1958年間，各年末的實際人口總數(shù)檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符？以（１）中模型做預(yù)測，大約在什么時候我國人口總數(shù)達到13億？問題1用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型，要確定其中的哪些量？建立我國自1950年起的人口增長模型需要確定其中的人口初始量及年平均增長率．追問1：我國自1950年起的人口增長模型中人口初始量是多少？依題意是1950年末的人口總數(shù)55196萬．追問2：如果1950記為第一年，1959年是第幾年？1950年1959年到經(jīng)過了幾年？1959年是第十年．1950年1959年到經(jīng)過了9年．追問３：如何計算1950年－1959年的年平均增長率？根據(jù)已知得，，，利用人口增長模型可以求出年平均增長率．解：（1）設(shè)1950年至1959年我國各年人口增長率為，由，由計算工具得我國1950年至1959年期間人口增長率．由，則我國1950年至1959年期間人口增長模型為．問題２如何檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符？利用我們確定的人口增長模型求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再與國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)相比較檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符．我們也可以畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)數(shù)據(jù)畫出散點圖，通過函數(shù)圖象觀察所得模型與1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)是否吻合．追問：所得模型與1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)是否吻合？首先我們利用人口增長模型求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)列出下表，相比較知所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本相符．年份19511952195319541955195619571958計算所得人口總數(shù)／萬5641757665589406024361576629386433065753人口數(shù)/萬5630057482587966026661456628286456365994我們也可以根據(jù)1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出圖象，可以看出所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本吻合．教師通過Ggb呈現(xiàn)函數(shù)圖象與實際人口數(shù)據(jù)散點圖．問題３如果利用所得模型計算，那么大約在哪一年我國人口數(shù)達到13億？將代入，得，即．．．①

由計算工具得．那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國人口達到13億．追問：如果對①式進一步變形，通過何種運算可以求解出？對①式在等式兩邊取以為底的對數(shù)，即，．問題４事實上，我國1989年的人口數(shù)為11.27億，直到2005年才突破13億，對由函數(shù)模型所得結(jié)果與實際狀況不符，你有何看法？因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟發(fā)展水平產(chǎn)生了較大的矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，因此，這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了一模型，得到的結(jié)果與實際不符的情況．在人口紅利出現(xiàn)拐點，老齡化加速的背景下我國逐步放開了二胎政策，有興趣的同學可以繼續(xù)關(guān)注國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中有關(guān)人口數(shù)據(jù)探究我國人口變化的規(guī)律．數(shù)學建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題．這個例題是利用已知的函數(shù)模型解決實際問題．在用已知函數(shù)模型刻畫實際問題時，應(yīng)注意模型的適用條件．下面來解決章引言中的問題．例22010年考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？問題5什么是“碳14年代學檢測”？碳14年代學檢測是根據(jù)碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種檢測方法，這一原理通常來測得古生物化石的年代．因為死亡生物機體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)建立函數(shù)模型．問題6什么是“半衰期”？我們在指數(shù)函數(shù)的概念一節(jié)的問題2中涉及過“半衰期”的問題．當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．追問１：設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14的初始含量為，年衰減率為，生物死亡的年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，則與間有何種對應(yīng)關(guān)系？與間對應(yīng)關(guān)系為這個對應(yīng)關(guān)系中有四個參數(shù)，我們需要分析一下哪個參數(shù)是可以通過已知條件確定的．追問２：如果利用這一對應(yīng)關(guān)系由碳14的殘留量推斷此水壩建成的大概年代，需要確定哪個參數(shù)？需要確定年衰減率．追問３：可以利用哪個已知條件確定年衰減率？在指數(shù)函數(shù)的概念一節(jié)的問題2中由已知碳14的半衰期為5730年得出了生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系，即，從而有，即．問題７確定年衰減率后，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系可以進一步確定為什么函數(shù)關(guān)系？生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以進一步確定為．追問：利用模型如何推斷此水壩大概是什么年代建成的？由已知檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，得，即，解得，由計算工具得．因為2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此大壩是公元前2902年建成的．良諸遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良諸鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現(xiàn)這里的巨型城址面積近300萬平方米，包括古城，水壩和多處高及建筑．良渚古城外圍水利系統(tǒng)是迄今所知中國最早的大型水利工程，也是世界最早的水壩．它對研究中華五千年文明的起源具有重要參考價值.本節(jié)課我們嘗試利用已知函數(shù)模型解決實際問題，重在通過運算推理求解模型，并將得到的函數(shù)模型用于描述實際問題的變化規(guī)律，從而解決有關(guān)問題，感受了利用函數(shù)模型解決實際問題的過程．數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)．數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題．問題８本節(jié)課我們感受了數(shù)學建模過程中哪些環(huán)節(jié)？本節(jié)課主要感受了確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果三個環(huán)節(jié)．通過高中數(shù)學課程的學習，我們應(yīng)有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學模型在科學、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升應(yīng)用能力實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神．已知1650年世界人口為５億，當時人口的年增長率為0.3%，1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1%，用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？實際上，1850年前