試卷解析：廣東省汕頭市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

汕頭市2023~2024學(xué)年度普通高中畢業(yè)班期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A.8B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，則.故選：A.2.設(shè)表示“向東走10km”，表示“向南走5km”，則所表示的意義為（）A.向東南走B.向西南走C.向東南走D.向西南走【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的可交換性與意義即可得解.【詳解】因?yàn)楸硎尽跋驏|走10km”，表示“向南走5km”，所以所表示的意義為“向東走10km”，再“向南走10km”，等價(jià)于向東南走.故選：A.3.已知全集，，則集合為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用韋恩圖即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C.4.已知直線：和：平行，則實(shí)數(shù)（）A.2或B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】由兩直線的不相交可得的值，進(jìn)而分類討論平行和重合的情形即可..【詳解】當(dāng)：，：平行得，解得或，當(dāng)時(shí)，：，：，即，此時(shí)直線和直線重合，故不符合題意，當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)直線和直線平行，符合題意；故選：D5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦倍角公式和誘導(dǎo)公式化解原式，再用降冪公式即可求出答案.【詳解】由，解得，又由，解得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，得，所以．故選：C．6.關(guān)于橢圓與雙曲線的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）A.焦點(diǎn)相同B.頂點(diǎn)相同C.焦距相等D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程分別考慮其性質(zhì)即可得解.【詳解】對(duì)于橢圓，顯然恒成立，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，所以，則，則，所以橢圓焦點(diǎn)為，焦距為，頂點(diǎn)和離心率是變化的；對(duì)于雙曲線，顯然其焦點(diǎn)在軸上，只需考慮焦距即可，不妨設(shè)其焦距為，則，故，所以雙曲線的焦距為；所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故C正確，其余選項(xiàng)都不正確.故選：C.7.已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分別求出每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的表達(dá)式，確定其定義域，結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷，即可得答案.【詳解】由于，定義域?yàn)楣剩x域?yàn)?，，即不是奇函?shù)，A錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，D正確，故選：D8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)和、前項(xiàng)和分別為、、，則“為等比數(shù)列”的一個(gè)必要條件為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分析得所選條件由“為等比數(shù)列”推得成立，再舉反例排除ACD，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推得B選項(xiàng)的條件成立，從而得解.【詳解】依題意，要成為“為等比數(shù)列”的必要條件，則“為等比數(shù)列”推出該條件成立，對(duì)于ACD，當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，不妨取數(shù)列，，則，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；此時(shí)，故C錯(cuò)誤；此時(shí)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，所以，即，所以，故B正確故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析出“為等比數(shù)列”的必要條件是由其推出，再舉反例輕松排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得解.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個(gè)人年齡的（）年齡454036322928人數(shù)121321A.中位數(shù)是34B.眾數(shù)是32C.第25百分位數(shù)是29D.平均數(shù)為34.3【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)的定義計(jì)算判斷即可.【詳解】把10個(gè)人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯(cuò)誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD10.已知定義在上的函數(shù)滿足：，，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法可判斷AC；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合題設(shè)條件可判斷B，利用條件推得，從而利用累加法與等差數(shù)列的求和公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，令，得，則，故A正確；對(duì)于C，令，得，則，所以，故C正確；對(duì)于B，設(shè)且，則，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，則，，，，上述各式相加，得，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是120小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是30小時(shí)，則（）A.且B.在10℃的保鮮時(shí)間是60小時(shí)C.要使得保鮮時(shí)間不少于15小時(shí)，則儲(chǔ)存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時(shí)間將超過(guò)150小時(shí)【答案】AB【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出是減函數(shù)，且，可判斷出正確；根據(jù)及，可得，則可求得的值，判斷出正確；解不等式得，則錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可求得，則錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)樵撌称吩?℃的保鮮時(shí)間是120小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是30小時(shí)，易得是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結(jié)合，不等式化為，即，又，所以，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：12.在三棱錐中，平面，，是底面上（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是三棱錐的外接球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在線段上時(shí)，B.的最大值為4C.當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：通過(guò)證明面來(lái)判斷；對(duì)于B：三棱錐補(bǔ)成正方體，求其外接圓半徑，進(jìn)而可得的最大值；對(duì)于C：點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且與面平行的平面與外接球的交線，產(chǎn)生的軌跡是一個(gè)圓，求該圓的半徑，進(jìn)而可得軌跡長(zhǎng)度；對(duì)于D：設(shè)平面與平面的交線為，作出兩個(gè)平面的夾角，求出其夾角的三角函數(shù)值的范圍，從而可以判斷.【詳解】對(duì)于A：由已知，即，又平面，且平面，所以，又面，，所以面，又面，所以，A正確；對(duì)于B：設(shè)三棱錐的外接球半徑為，將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，則，則的最大值為外接球的直徑，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且與面平行的平面與外接球的交線，產(chǎn)生的軌跡是一個(gè)圓，設(shè)其半徑為設(shè)點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；對(duì)于D：取線段的中點(diǎn)，連接，在正方體中，明顯有面，即點(diǎn)到面距離為線段的長(zhǎng)，且，設(shè)平面與平面的交線為，平面與平面的夾角為，過(guò)做交與，連接，明顯有，，，面，所以面，則為平面與平面夾角，則，又由圖象可得，所以，所以，所以，又，所以存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于面面角的范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是要確定哪些量在變，哪些量不變，變的量在哪個(gè)范圍變化，通過(guò)確定角的三角函數(shù)值的范圍可確定角的范圍.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共4小題.13.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則等于______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令即可求解可得答案．【詳解】根據(jù)題意，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意二項(xiàng)式的展開(kāi)式的形式，區(qū)分某一項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)．14.若正四棱臺(tái)上、下底邊長(zhǎng)分別為2、4，側(cè)面積為，則該棱臺(tái)體積為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】作出正棱臺(tái)的圖象，結(jié)合其側(cè)面積求得正四棱臺(tái)的斜高，再利用棱臺(tái)體積公式即可得解.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為，可得上、下底面面積為，如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點(diǎn)，分別連接，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)樵撜睦馀_(tái)的側(cè)面積為，易得為等腰梯形的高，所以，解得，在中，可得，則該正四棱臺(tái)的高為，所以該棱臺(tái)的體積為.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先由題意求得的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.16.從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓C與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)S與C反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)C兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒．若C與S的離心率之比為，則______．【答案】6【解析】【分析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長(zhǎng)，再根據(jù)光速相同，時(shí)間比等于路程比，再結(jié)合C與S的離心率之比為，即可求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長(zhǎng)為，在圖②中，的周長(zhǎng)為，因?yàn)楣馑傧嗤?，因?yàn)镃與S的離心率之比為，即，所以.故答案為：6.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，，．（1）求角的大??；（2）為的重心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用誘導(dǎo)公式，正弦定理及正弦二倍角公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）分別在，和中，利用余弦定理建立等量關(guān)系，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理可?，，即，所以，，，故，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榈闹匦?，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，且，在中，，，即，在和中，,化簡(jiǎn)得，所以，故，所以的面積為．18.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式得到關(guān)于，的方程組，解之即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，即，解得，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，則②，兩式相減，得，故.19.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，將沿翻折至，得四棱錐，設(shè)為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)Q，可得四邊形為平行四邊形，則，再由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)Q，連接,則有，且，又、分別為邊、的中點(diǎn)，則，且，故，且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)O，中點(diǎn)G，連接，在中，易得，所以，則，又平面平面，且交線為，平面，所以平面，則兩兩垂直，故以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，則，，，，由為中點(diǎn)，故，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，故，易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，則，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是我國(guó)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康方面的基本要求，是綜合評(píng)價(jià)學(xué)生綜合素質(zhì)的重要依據(jù).為促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行“是否喜歡體育鍛煉”的問(wèn)卷調(diào)查.獲得如下信息：①男生所占比例為；②不喜歡體育鍛煉的學(xué)生所占比例為；③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關(guān)聯(lián)？性別體育鍛煉合計(jì)喜歡不喜歡男女合計(jì)（2）（?。倪@200名學(xué)生中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請(qǐng)計(jì)算和的值.（ⅱ）對(duì)于隨機(jī)事件，，，試分析與的大小關(guān)系，并給予證明參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有關(guān)聯(lián)（2）（?。?；（ii），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意完善列聯(lián)表，求得，從而利用獨(dú)立性檢驗(yàn)即可得解；（2）（i）分析分層抽樣所得的樣本情況，再分析事件與的意義，利用組合數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；；（ii）利用條件概率公式即可得證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槟猩急壤秊椋阅猩腥?，因?yàn)椴幌矚g體育鍛煉的學(xué)生所占比例為，所以不喜歡體育鍛煉的學(xué)生有人，則喜歡體育鍛煉的學(xué)生有人，又喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人，所以喜歡體育鍛煉的男生有80人，喜歡體育鍛煉的女生有30人，所以列聯(lián)表如下：性別體育鍛煉合計(jì)喜歡不喜歡男8040120女305080合計(jì)11090200假設(shè)：是否喜歡體育鍛煉與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立.即認(rèn)為是否喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián).【小問(wèn)2詳解】（?。┮李}意，隨機(jī)抽取的20名學(xué)生中，喜歡體育鍛煉的男生有人，不喜歡體育鍛煉的男生有人，喜歡體育鍛煉的女生有人，不喜歡體育鍛煉的女生有人，事件表示：“在至少有2名男生的條件下，至少有2名男生喜歡體育鍛煉”，事件表示：“2男生1女生都喜歡體育鍛煉”和“3男生中至少兩人喜歡體育鍛煉”，所以，；（?、。?duì)于隨機(jī)事件，，，有，證明如下：.21.已知圓心在軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸分別交于、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)、在曲線上，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，作，垂足為.試探究是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得知為動(dòng)圓的直徑，從而利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解；（2）根據(jù)題意假設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，再利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，從而推得直線