試卷解析：廣東省汕頭市金X中學2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

2022級高二第一學期期末考試數(shù)學試卷命題人：XXX審題人：XXX一、單選題（每小題五分）1.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點在坐標平面的投影確定點坐標再表示向量即可.【詳解】根據(jù)題意點在坐標平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2.已知直線的傾斜角為，則（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先確定，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，所以，解得：，,故選：A3.圓關于直線對稱后的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關于直線對稱的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結果.【詳解】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，設點關于直線對稱的點為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A4.命題方程表示焦點在軸上的橢圓，則使命題成立的充分必要條件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出當命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，再結合充要條件的定義可得出結論.【詳解】若命題為真命題，則方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，，解得，因此，使命題成立的充分必要條件是.故選：B．5.設數(shù)列滿足，且，則（）A.-2B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】判斷出數(shù)列的周期為4，即可求解.【詳解】因為，，所以，，，，顯然數(shù)列的周期為4，而，因此.故選：A.6.已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出圓的標準方程，根據(jù)三條公切線，推出兩個圓外切，求出，利用基本不等式求解.【詳解】根據(jù)題意可得，兩圓的標準方程為和，圓心為和，半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價為兩圓外切，則滿足圓心距，即則，則,當且僅當，即，取等號.故選：B7.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，直線不過點，且與左支交于，兩點，的周長是的倍且兩個三角形周長之和為，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設，的周長為，，然后根據(jù)已知條件結合雙曲線的定義求解出的值，則的值可求，故離心率可求.【詳解】設的周長為，的周長為，由題意可得，解得，，因為，，所以，所以，又，解得（舍去負值），所以離心率，故選：B．8.已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項和為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由可得數(shù)列是等差數(shù)列，進而可得數(shù)列的通項公式，故可得數(shù)列的通項公式，進而通過裂項相消法得到數(shù)列的前項和，最后代入得到.【詳解】，，數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，數(shù)列的公差，，既，故，，，故選：D.二、多選題（每小題五分）9.下面四個結論正確的是（

）A.空間向量，若⊥，則B.若對平面中任意一點，有則，，三點共線.C.已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底.D.任意向量，滿足.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本概念，即可判斷選項.【詳解】A選項，空間向量，若⊥，，夾角，則，A正確；B選項，，所以，，三點共線，B正確；C選項，是空間的一個基底，則不存在使得，設，即，即，此方程無解，故不共面，則也是空間的一個基底，C正確；D選項，不妨設，則，，此時，D錯誤.故選：ABC10.已知等差數(shù)列{}的前n項和，則下列選項正確的是（）A.B.C.當取得最大值時D.當取得最大值時【答案】ABC【解析】【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列方程得到；B選項，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式判斷；CD選項，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和二次函數(shù)單調(diào)性判斷.【詳解】設公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當時，最大，故C正確，D錯.故選：ABC.11.已知，，直線：，：，且，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由，得，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷各選項中的不等式是否成立.【詳解】由，得，即，，，則，當且僅當，即時等號成立，所以有，A選項正確；由，有，當且僅當，即時等號成立，所以有，B選項成立；由，有，，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時，有最小值，C選項錯誤；由，有，，當且僅當，即時等號成立，D選項正確.故選：ABD.12.如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點，下列命題正確的是（）A.P為橢圓上一點，線段PF1中點為Q，則為定值B.直線與橢圓交于R，S兩點，A是橢圓上異與R，S的點，且、均存在，則C.若橢圓上存在一點M使，則橢圓離心率的取值范圍是D.四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義、直線斜率公式、離心率公式，結合橢圓和矩形的對稱性、基本不等式、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點為Q，所以，于是有，所以本選項命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點，因為直線經(jīng)過原點，而橢圓是關于原點的中心對稱圖形，所以R，S兩點關于原點對稱，不妨設，，，因為A是橢圓上異與R的點，所以有，兩個式相減，得，因此，所以本選項命題是假命題；C：橢圓上存在一點M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當且僅當時取等號，即M為上（下）頂點時取等號，而，所以，因此本選項命題是真命題；D：因為矩形和該橢圓的對稱軸和對稱中心相同，所以設矩形在第一象限的頂點為，即，所以矩形的面積為，因為，當且僅當時取等號，即當時取等號，因此本選項命題是真命題，故選：ACD【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用橢圓的定義、橢圓和矩形的對稱性、基本不等式進行求解.三、填空題（每小題5分）13.已知方程表示的圓中，當圓面積最小時，此時____________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)圓的半徑最小時圓的面積最小，然后考察圓的半徑即可.【詳解】由，得，易知當，圓的半徑最小，即圓的面積最小.故答案為：014.已知拋物線的頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性以及等邊三角形的邊角關系即可代入求解.【詳解】設，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故答案為：115.設數(shù)列滿足，若，則的前99項和為_____________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)前項和與通項的關系得，然后求得，再根據(jù)裂項相消求和法求解即可得答案.【詳解】因為，所以當時，，將與式相減得：，即，當時，也適用，所以，，所以，故答案為：.16.正四面體的棱長為12，點是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，當取得最小值時，點到的距離為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正四面體的體積求出內(nèi)切球的半徑，取的中點為，再根據(jù)數(shù)量積得到，可得當?shù)拈L度最小時，取得最小值，再求出球心到點的距離，從而可得點到的距離為，進而求解即可．【詳解】由正四面體的棱長為12，則其高為，則其體積為，設正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點為，則，顯然，當?shù)拈L度最小時，取得最小值，設正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點的距離，所以內(nèi)切球上的點到點的最小距離為，即當取得最小值時，點到的距離為．故答案為：．【點睛】關鍵點睛：本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解題的關鍵是先根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，得出點P到AD的距離為球心O到點E的距離減去半徑．四、解答題（17題10分，18-22題12分）17.在正項等比數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）若，證明是等差數(shù)列，并求的前項和．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）設的公比為（），然后根據(jù)題意列方程可求出，從而可求出；（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而可求出.【小問1詳解】設的公比為（），由，得，解得或（舍去），因為，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，則．因為，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故．18.已知中角，，所對的邊分別為，，，設其面積為，．（1）求角；（2）若，點在邊上，若是平分線，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式和余弦定理可求角；（2）利用余弦定理和角平分線的性質(zhì)建立方程組，結合面積公式可得答案.【小問1詳解】依題意，，因為，所以．【小問2詳解】中，，．①又，，即，②聯(lián)立①②得，．．19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）直接寫出該函數(shù)在定義域中的單調(diào)性（不需要證明），若對于任意，不等式恒成立，求的范圍．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由是定義在上奇函數(shù)可得，計算可得，根據(jù)奇函數(shù)對稱性，帶特殊值計算可得，最后檢驗可得；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性建立不等式計算即可.【小問1詳解】因為定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，即又由，可得，解得，所以，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.【小問2詳解】由（1）知，，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，對于任意，不等式恒成立，因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，又因為函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即恒成立，又由，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.20.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過的平面交平面于，．（1）證明：平面；（2）若平面平面，，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知的線面位置關系，證明平面平面，可證平面；（2）交于O，由已知條件證明兩兩互相垂直，求出的值，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：因為平面，平面平面，即平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，四邊形為菱形，則，平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，因為，所以為等邊三角形.連接交于O，連接，則，因為平面平面，平面平面，又平面，所以平面，因為平面，所以.又，，所以，因為四棱錐的體積為，即，解得，以O為坐標原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，所以.設平面的一個法向量，則，即令，則，所以，平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，夾角范圍為大于等于小于等于，，故平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，且，數(shù)列的前項和（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；（3）令，若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的圖象過原點得到，然后利用求即可；（2）由得到，然后利用錯位相減法求；（3）由題意得，將恒成立轉化為恒成立，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【小問1詳解】∵的圖象過原點，則，∴.∴.當時，，又∵適合，∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由得：（），∴，①.②②－①得：，∴.【小問3詳解】，故.要使恒成立，即要恒成立，即要恒成立.下面分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論：①當為奇數(shù)時，即恒成立.又的最小值為1，∴.②當為偶數(shù)時，即恒成立.又的最大值為，∴.綜上，，又為非零整數(shù)，∴時，使得對任意，都有成立.【點睛】關鍵點睛：本題第3小問的解決關鍵是分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論，如此才能處理恒成立的問題.22.已知橢圓的右焦點為，離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線（直線的斜率不為0）與橢圓相交于兩點，過焦點作與直線的傾斜角互補的直線，與橢圓相交于兩點，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率可得橢圓方程為，代入點坐標計算得到答案.（2）設出點和直線方程，聯(lián)