試卷解析：廣東X驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東實驗中學(xué)2023—2024學(xué)年（上）高一級期末考試數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在另發(fā)的答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷和答題卡一并收回.一、選擇題（本題共8小題，年小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用含有量詞的命題否定方法可得答案.【詳解】因為命題“”的否定是“”.故選：B.2.在中，三個內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別是a、b、c．已知：，：，則是的（）．A.充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件；D.既非充分又非必要條件．【答案】C【解析】【分析】利用定義法直接判斷.【詳解】充分性：由正弦定理.因為，可得.故充分性滿足；必要性：由正弦定理.因為，可得.故必有性滿足.故是的充要條件.故選：C3.將圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律可得答案.【詳解】將圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，故選：A.4.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（）A.4B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，所以．因為，且，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值4．故選：A5.若函數(shù)（且）的圖象恒過定點，且點在角的終邊上，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出點的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】當(dāng)，即時，，所以，所以，由誘導(dǎo)公式可得.故選：C.6.折扇圖1在我國已有三千多年的歷史，.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，間的圓弧長為，，間的圓弧長為，當(dāng)弦長為，圓弧所對的圓心角為，則扇面字畫部分的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等腰三角形求得扇形半徑，然后得出小扇形半徑，再由扇形面積公式計算．【詳解】記，如圖，在中，因，，，所以，即，，又，即，所以，所以扇面字畫部分的面積為，故選：A．7.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．8.將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象平移與伸縮變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象先判斷，根據(jù)正弦型圖象的零點，列出不等式組，解出的范圍即可.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，可得的圖象，因為，周期，函數(shù)在上沒有零點，則，所以，因為，所以，又在上沒有零點，所以，解得，又因為，，，所以或，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個，一是利用圖象變換能準(zhǔn)確求出變換后的函數(shù)解析式；二是利用區(qū)間內(nèi)沒有零點列出限制條件.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列等式中正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A選項，逆用正弦倍角公式進(jìn)行求解；B選項，逆用余弦二倍角公式計算；C選項，逆用正切差角公式進(jìn)行求解；D選項，逆用正弦和角公式計算.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：AC10.對于函數(shù)，下列說法正確是（）A.最小正周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.圖像關(guān)于對稱D.對稱軸方程為【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡函數(shù)解析式可得，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.【詳解】對于A，∵，∴的最小正周期為，故A正確，對于B，由，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確.對于C，令，解得，所以的對稱中心為，故C錯誤；對于D，的圖像的對稱軸方程為，即，故D正確.故選：ABD.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).12.設(shè)函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.為奇函數(shù)C.在上為減函數(shù)D.方程僅有6個實數(shù)解【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)和為奇函數(shù)可得即可判斷A；利用函數(shù)的奇偶性建立方程，證明為一個周期函數(shù)，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和周期性即可判斷C；利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合圖形即可判斷D.【詳解】A：為偶函數(shù)，故，令，得，為奇函數(shù)，故，令，得，其中，所以，故A正確；B：因為為奇函數(shù)，則,得，又為偶函數(shù)，則，得，所以，令得，即，則，即，所以8為函數(shù)的一個周期.故，所以，從而為奇函數(shù)，故B正確；C：在區(qū)間上是增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，所以在上單調(diào)遞增，又周期為8，故在上單調(diào)遞增，故C錯誤；D：作出與的大致圖象，如圖所示，其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個交點，故方程僅有6個實數(shù)解，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且．若函數(shù)有最大值，則關(guān)于x的不等式的解集為_________．【答案】【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由函數(shù)有最大值可知單調(diào)遞減，得到；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可將不等式化為，解不等式求得結(jié)果.【詳解】，定義域為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增有最大值，需在上單調(diào)遞減，由，得，解得：不等式的解集為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式，涉及到復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解、根據(jù)函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍等知識，解題的關(guān)鍵是通過復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)有最值時，對數(shù)的底數(shù)所處的范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于中檔題.14.已知，則_______．【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)兩角和與差的余弦公式化簡計算可得結(jié)果.【詳解】由可得，，所以，化簡得，故故答案為：.15.函數(shù)在區(qū)間上的值域是__________．【答案】【解析】【分析】令，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式求出關(guān)于的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.【詳解】令，因為，，所以，，設(shè)，顯然一元二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.16.設(shè)，若存在使得關(guān)于x的方程恰有六個解，則b的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作出f(x)的圖像，當(dāng)時，，當(dāng)時，.令，則，則該關(guān)于t的方程有兩個解、，設(shè)＜，則，.令，則，據(jù)此求出a的范圍，從而求出b的范圍．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則f(x)圖像如圖所示：當(dāng)時，，當(dāng)時，．令，則，∵關(guān)于x的方程恰有六個解，∴關(guān)于t的方程有兩個解、，設(shè)＜，則，，令，則，∴且，要存在a滿足條件，則，解得．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟）17.（1）求值：；（2）若，化簡.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；（2）先變形得，然后利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角函數(shù)值的符號進(jìn)行整理化簡.【詳解】（1）;（2）若，則，18.已知，，其中，（1）求角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，然后利用兩角差的余弦代入即可.（2）根據(jù)，利用倍角公式算出，代入即可求解.【小問1詳解】解：由題意得：又【小問2詳解】，19.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）[方法一]由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，然后結(jié)合輔助角公式可得，據(jù)此由兩角和差正余弦公式可得．【詳解】（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+兩角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，則．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，則．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．將代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，從而．[方法四]攝影定理因，所以，由射影定理得，所以．【整體點評】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合題意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后結(jié)合正弦定理可得的值；方法四：利用攝影定理求得的值，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.20.兩社區(qū)和相距2km，現(xiàn)計劃在兩社區(qū)外以為直徑的半圓?。ú缓?，兩點）上選擇一點建造口袋公園（如圖所示），其對社區(qū)的噪音影響度與所選地點到社區(qū)的距離有關(guān).口袋公園對社區(qū)的噪音影響度是所選地點到社區(qū)的距離的平方的反比例函數(shù)，比例系數(shù)為0.01；對社區(qū)的噪音影響度是所選地點到社區(qū)的距離的平方的反比例函數(shù)，比例系數(shù)為，對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為對社區(qū)和社區(qū)的噪音影響度之和.記點到社區(qū)的距離為，建在處的口袋公園對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：當(dāng)口袋公園建在半圓弧的中點時，對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為0.05.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓弧上是否存在一點，使得建在此處的口袋公園對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最?。咳舸嬖?，求出該點到社區(qū)的距離；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，當(dāng)該點到社區(qū)的距離時，袋公園對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小.【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根據(jù)反比例函數(shù)定義和已知條件可解得，即可寫出關(guān)于的函數(shù)；（2）利用整體代換和基本不等式確定的最小值，驗證等號成立時的取值是否符合題意，即可判斷得出結(jié)論并確定位置.【小問1詳解】由為直徑可得，所以由題意可知，又當(dāng)口袋公園建在半圓弧的中點時，對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為0.05，即時，，代入得，所以，即關(guān)于的函數(shù)為【小問2詳解】口袋公園對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小，即的取值最小，由（1）知令，則可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；且，所以，即，此時，即，解得.因此，半圓弧上存在一點，且該點到社區(qū)的距離滿足時，建在此處的口袋公園對社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小.21.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)，證明：有且只有一個零點，且.【答案】（1）不是“圓滿函數(shù)”，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圓滿函數(shù)”的定義，判斷是否有實數(shù)能滿足；（2）當(dāng)時，利用零點存在性定理討論存在零點，以及當(dāng)時，證明在上沒有零點，再化簡，轉(zhuǎn)化為證明不等式.【詳解】解：（1）若是“圓滿函數(shù)”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圓滿函數(shù)”.（2）易知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以.根據(jù)函數(shù)零點存在定理，存在，使得，所以在上有且只有一個零點.②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，所以，因為.所以，所以在上沒有零點.綜上：有且只有一個零點.因為，即，所以，.因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.