安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次階段性檢測試題含解析

2023～2024學(xué)年高二第一學(xué)期第一次階段性檢測數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知橢圓方程為，則該橢圓的長軸長為（）A.6 B.12 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程可求得，再根據(jù)長軸定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，解得；所以該橢圓的長軸長為.故選：D2.已知直線的一個方向向量，且直線經(jīng)過和兩點(diǎn)，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可.【詳解】因?yàn)椋本€的一個方向向量為，所以有向量與向量為共線，所以，解得，，所以，故選：A.3.已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程列不等式求解.【詳解】由題意知，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.4.兩平行直線：，：之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行直線之間的距離公式求解即可．【詳解】由題意得：直線，，，，兩直線為平行直線，直線，兩平行直線之間的距離為．故選：A5.在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法與減法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】．故選：C．6.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)．若，，，則橢圓C的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得橢圓的方程【詳解】設(shè)，有，由可知，又由橢圓的定義有，可得，解得，可得，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，以及橢圓的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B. C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義等于到右焦點(diǎn)的距離，而的最小值是（是圓半徑），由此可得結(jié)論．【詳解】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時，取到最小值．故選：C．8.已知直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)b的所有取值之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線方程與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得的值即可．【詳解】解：設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與圓的方程可得：，則，由于，故，所以，即，即，所以.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長軸長為6，焦距為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題設(shè)寫出橢圓參數(shù)值，再討論焦點(diǎn)的位置確定橢圓方程即可.【詳解】由題意，有，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為或.故選：BD.10.已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)a可能的取值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】由，可得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，解得?．故選：BC.11.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)有且僅有條直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)B.點(diǎn)關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點(diǎn)在雙曲線上C.若直線、的斜率分別為、，則D.過點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可判斷出A選項(xiàng)；求出點(diǎn)關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入雙曲線的方程，可判斷B選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷C選項(xiàng)；求出當(dāng)直線的斜率為時的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，過點(diǎn)垂直于軸的直線、平行于漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，所以至少有條，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，易得，雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，又，即點(diǎn)在雙曲線上，故B正確；設(shè)，所以，即，所以，故C正確；當(dāng)直線的斜率為時，，故D錯誤．故選：BC.12.如圖，點(diǎn)是邊長為2的正方體的表面上一個動點(diǎn)，則（）A.當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時，四棱錐的體積為定值B.存在這樣的點(diǎn)，使得C.當(dāng)直線與平面所成的角為45°時，點(diǎn)的軌跡長度為D.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，由點(diǎn)P到側(cè)面的距離為定值即可判斷；對于選項(xiàng)B，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可判斷；對于選項(xiàng)C，分當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面，側(cè)面上時以及當(dāng)點(diǎn)P在上底面上時，和點(diǎn)P在側(cè)面，上時三種情況分類討論即可判斷；對于選項(xiàng)D，分當(dāng)P在底面ABCD上時和點(diǎn)在側(cè)面上時分類討論即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，由點(diǎn)P到側(cè)面的距離相等，故四棱錐的體積為定值，故A選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，，因此點(diǎn)P是的中點(diǎn)，所以這樣的點(diǎn)P不在正方體的表面上，故B選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C，①當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面，側(cè)面上時（不包括正方形的邊界），過點(diǎn)P作平面的垂線，垂足為H，連AH，在中，由，可得；②當(dāng)點(diǎn)P在上底面上時，過點(diǎn)P作平面的垂線，垂足為M，若，必有，又由，有，，此時點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，2為半徑的四分之一圓，點(diǎn)P的軌跡長度為；③當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面，上時，點(diǎn)P在線段，上符合題意，此時點(diǎn)P的軌跡長為；由上知點(diǎn)P的軌跡長度為，故C選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，①當(dāng)P在底面ABCD上時，點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，為半徑的圓與底面ABCD的交線，記圓與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，有，可得，，則點(diǎn)的軌跡與底面的交線長為；②當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時，，可得點(diǎn)軌跡與側(cè)面的交線為以點(diǎn)為圓心，為半徑的四分之一圓，交線長為．由對稱性可知，點(diǎn)的軌跡長度為，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，則___________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)對稱求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求的值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以．故答案為：.14.已知雙曲線（）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線方程確定一個焦點(diǎn)、一條漸近線，利用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)b，即可寫出漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，雙曲線其中一個焦點(diǎn)為，一條漸近線為，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：15.直線的傾斜角的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】首先求直線的斜率，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，求斜率的取值范圍，可得傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的斜率為，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，可得且．由①②，有，可得直線的傾斜角的取值范圍是．16.在平面直角坐標(biāo)系中，軸被圓心為的圓截得的弦長為，直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，那么圓的方程為________，的取值范圍為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圓的垂徑定理、直線與圓相交的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檩S被圓心為圓截得的弦長為，所以，可得，所以圓方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得或，所以的取值范圍為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì).四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知直線經(jīng)過直線與的交點(diǎn).（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由題意求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩直線垂直求出的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程，分別求出直線與坐標(biāo)軸的截距，列方程，解之即可求解.【小問1詳解】由解得即.因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即；【小問2詳解】顯然，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，令，解得，令，解得，所以，解得或，所以直線的方程為或.18.已知圓：，圓：.（1）證明：圓與圓相交；（2）若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）寫出兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而確定圓心坐標(biāo)、半徑，判斷圓心距離與兩圓半徑之間的關(guān)系即可證結(jié)論.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將兩圓方程做差求相交弦方程，再應(yīng)用弦心距、半徑與弦長關(guān)系求即可.【小問1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為2，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，∴圓和圓的圓心之間的距離為，由，可知：圓和圓相交，得證.【小問2詳解】由（1）結(jié)論，將圓與圓作差，得：直線AB的方程為，圓的圓心到直線AB的距離為，∴.19.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，設(shè)，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求范圍；（2）由橢圓定義及余弦定理求得，利用三角形面積公式求面積即可.【小問1詳解】由題設(shè)，則，設(shè)，故，所以，又，且，則.【小問2詳解】由題設(shè)，，由，且，所以，綜上，.20.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意，證得，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）由（1）和等腰可知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，在直角中，由，且為的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，，所以，且，又因?yàn)?，，，可得，所以，因?yàn)椋?，且平面，，所以平?【小問2詳解】解：由（1）和等腰可知，，，兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示可得，，，，，則，又由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)平面的法向量為，由，，則，取，可得，，所以平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，由，，則，取，可得，，所以平面的一個法向量為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2），或或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而先討論直線的斜率不存在不滿足條件，再討論的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立得線段中點(diǎn)為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，此時，，所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為，所以，聯(lián)立方程得所以，且，所以，設(shè)，則所以，所以，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在線段的中垂線上，所以，所以，當(dāng)時，線段中點(diǎn)為，此時直線的方程為，滿足題意；當(dāng)時，，所以，，整理得，解得或，滿足.綜上，直線方程為，或或.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的動點(diǎn)，直線AP與直線BD相交于點(diǎn)M，直線BP與直線AD相交于點(diǎn)N.證明：直線MN與x軸垂直.【答案】（1）（2）證明