2025版一輪高考總復習數(shù)學第五章　數(shù)列第四節(jié)　數(shù)列的通項公式

第四節(jié)數(shù)列的通項公式1.掌握等差、等比數(shù)列的通項公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求通項公式的方法.累加法求通項公式【例1】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式an＝（）A.1－2n B.2nC.2n－1 D.2聽課記錄解題技法如果數(shù)列{an}的遞推公式滿足an＋1－an＝f（n）的形式，且f（n）可求和，那么就可以運用累加法an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋（an－2－an－3）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），并驗證a1，求出數(shù)列{an}的通項公式.已知數(shù)列{an}，a1＝1，1an+1－1an＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式累乘法求通項公式【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝14，an＋1＝n+14nan（n∈N*），則anA.14nC.n D.4n聽課記錄解題技法如果數(shù)列{an}的遞推公式滿足an+1an＝f（n）（an≠0）的形式，且f（n）可求積，那么就可以運用累乘法an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項公式an＝.構造法求通項公式類型1形如an＋1＝can＋d（c≠0，d≠0且c≠1）型【例3】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1（n∈N*），則通項公式an＝（）A.2n B.2n－1C.2n＋1 D.2n聽課記錄解題技法求解遞推公式形如an＋1＝can＋d（c≠0，d≠0且c≠1）的數(shù)列{an}的通項公式的關鍵：一是利用待定系數(shù)法構造an＋1＋λ＝c（an＋λ）的形式；二是證明{an＋λ}為等比數(shù)列（其中λ＝dc類型2形如an＋1＝can＋f（n）（c≠0）型【例4】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1（n∈N*），a1＝3，則an＝.聽課記錄解題技法an＋1＝can＋f（n）（c≠0）型數(shù)列的求解策略（1）當f（n）＝an＋b（a≠0）時，即an＋1＝can＋an＋b，可利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令an＋1＋x（n＋1）＋y＝c（an＋xn＋y），與已知遞推式比較，解出x，y，從而轉化為{an＋xn＋y}是公比為c的等比數(shù)列，進而求解；（2）當f（n）＝rpn（p，r≠0）時，即an＋1＝can＋rpn：①將原遞推式化為an＋1＋λpn＋1＝c（an＋λpn），比較系數(shù)，用待定系數(shù)法求得λ；②將原遞推公式兩邊同時除以pn＋1，得an+1pn+1＝cp·anpn＋rp，引入輔助數(shù)列{bn}（其中bn＝anpn），類型3形如an＋1＝ranpan＋c（r，p，c為常數(shù)，r＞0，p，c【例5】在數(shù)列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝bn3bn+2，n∈N*，則通項公式bA.12nC.12n－聽課記錄解題技法形如an＋1＝ranpan＋c（r，p，c為常數(shù)，r＞0，p，c，an≠0）型數(shù)列的求解方法是等式兩邊同時