10-梁的彈塑性彎曲與塑性極限分析

結(jié)構(gòu)的塑性極限分析梁的彈塑性彎曲塑性極限分析定理和方法梁的極限分析§1梁的彈塑性彎曲一．基本假定平截面假設(shè)：在變形過(guò)程中，變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且與變形后梁的軸線垂直。bhzyPxl/2l/2Pl/4sxsx縱向纖維互不擠壓：不計(jì)擠壓應(yīng)力，橫截面上只有正應(yīng)力。小撓度假設(shè)：在梁達(dá)到塑性極限狀態(tài)瞬間之前，撓度與橫截面尺寸相比為一微小量，可用變形前梁的尺寸進(jìn)行計(jì)算。二．彈性階段Mises：屈服條件：彈性極限彎矩彈性極限載荷Pxl/2l/2bhzy三．彈塑性階段（約束塑性變形階段）塑性區(qū)擴(kuò)展zPxl/2l/2zo彈塑性區(qū)交界線：Pxl/2l/2zo彈塑性區(qū)交界線：Pl/4四．全塑性階段Pxl/2l/2zo塑性極限彎矩塑性極限載荷z確定塑性區(qū)位置塑性鉸：在全塑性階段，跨中截面的上下兩塑性區(qū)相連，使跨中左右兩截面產(chǎn)生像結(jié)構(gòu)（機(jī)械）鉸鏈一樣的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)－－塑性鉸。特點(diǎn)：塑性鉸的存在是由于該截面上的彎矩等于塑性極限彎矩；故不能傳遞大于塑性極限彎矩的彎矩。塑性鉸是單向鉸。Pxl/2l/2zoPxl/2l/2z例題：懸臂梁在自由端受集中力，求彈性極限載荷、塑性極限載荷、彈塑性分界線。Pxlzo解：bhzyPxlzoz一．有關(guān)塑性極限分析的基本概念彈塑性分析方法的缺點(diǎn)：§2塑性極限分析定理與方法（1）分析三個(gè)狀態(tài)：彈性狀態(tài)、彈塑性狀態(tài)、塑性狀態(tài)。（2）了解整個(gè)加載過(guò)程。（3）材料本構(gòu)關(guān)系是非線性的，只能求解簡(jiǎn)單問(wèn)題。塑性極限狀態(tài)：理想塑性體承受的載荷達(dá)到一定的數(shù)值時(shí)，即使載荷不再增長(zhǎng)，塑性變形也可自由發(fā)展，整個(gè)結(jié)構(gòu)不能承受更大的載荷，這種狀態(tài)稱為塑性極限狀態(tài)。塑性極限載荷：塑性極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)的載荷。塑性極限分析的基本假定：（1）材料是理想剛塑的，不計(jì)彈性變形和強(qiáng)化效應(yīng)。（2）變形是微小的。（3）比例加載。（所有外載荷都按同一比例增加）結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)應(yīng)滿足的條件：（1）平衡條件：平衡微分方程和靜力邊界條件。（2）極限條件：達(dá)到塑性極限狀態(tài)時(shí)內(nèi)力場(chǎng)不違背的條件（屈服條件。）（3）破壞機(jī)構(gòu)條件：塑性極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)喪失承載能力時(shí)形成破壞機(jī)構(gòu)的形式。（表征結(jié)構(gòu)破壞時(shí)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)或規(guī)律，要求不引起物體的裂開(kāi)或重合－幾何方程，且被外界約束的物體表面上滿足位移和速度邊界條件。）塑性極限分析的完全解：滿足平衡條件、極限條件、破壞機(jī)構(gòu)條件的解二．虛功原理和虛功率原理虛功原理：在外力作用下處于平衡的變形體，若給物體一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功必等于應(yīng)力的虛功（物體內(nèi)儲(chǔ)存的虛應(yīng)變能）。VSTFiSuui虛變形（位移）：結(jié)構(gòu)約束所允許的無(wú)限小位移。證明：平衡方程：邊界條件：Green公式：體力為零時(shí)：虛功率原理：在外力作用下處于平衡的變形體，若給物體一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功率必等于應(yīng)力的虛功率。體力為零時(shí)：滿足平衡方程和面力邊界條件（靜力允許的應(yīng)力場(chǎng)）虛應(yīng)變率場(chǎng)（機(jī)動(dòng)允許的）虛速度場(chǎng)（機(jī)動(dòng)允許的）下限定理：靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)：滿足平衡條件（平衡微分方程和面力邊界條件），不違背屈服條件的內(nèi)力場(chǎng)。

sPi

s

:靜力允許載荷系數(shù)

[放松破壞機(jī)構(gòu)條件（幾何方程、位移和速度邊界條件）]真實(shí)內(nèi)力場(chǎng)：滿足靜力平衡條件、屈服條件、破壞機(jī)構(gòu)條件的內(nèi)力場(chǎng)。真實(shí)內(nèi)力場(chǎng)一定是靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)。塑性極限載荷系數(shù)：

l=

s

三．塑性極限分析定理下限定理：作何一個(gè)靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的載荷是極限載荷的下限。

[靜力允許載荷系數(shù)是極限載荷系數(shù)的下限：

s

l

]證明：

s

l極限狀態(tài)下：靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)：q虛功率原理：由Druker

公設(shè)：極限曲面是外凸的。Pi在真實(shí)位移速度上的功率為正

s

l2.上限定理：機(jī)動(dòng)允許的位移（速度）場(chǎng)：滿足破壞機(jī)構(gòu)條件（幾何方程和位移、速度邊界條件），外力做功為正的位移（速度）場(chǎng)。

[放松極限條件，選擇破壞機(jī)構(gòu)，并使載荷在其位移場(chǎng)上做功為正]三．塑性極限分析定理上限定理：作何一個(gè)機(jī)動(dòng)允許的位移（速度）場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的載荷是極限載荷的上限。

[機(jī)動(dòng)允許載荷系數(shù)是極限載荷系數(shù)的上限：

k

l

]破壞載荷：機(jī)動(dòng)允許的位移場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的載荷。

k

P

k

：機(jī)動(dòng)允許載荷系數(shù)破壞機(jī)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)力場(chǎng)不一定滿足極限條件，一般情況下：

k

＞l破壞機(jī)構(gòu)是極限狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)力場(chǎng)是靜力允許的：

l=

k

證明：

k

l設(shè)機(jī)動(dòng)允許的位移（速度）場(chǎng)破壞載荷：q虛功率原理：由Druker

公設(shè)：極限曲面是外凸的。Pi在真實(shí)位移速度上的功率為正應(yīng)力場(chǎng)：

k

l下限定理：作何一個(gè)靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的載荷是極限載荷的下限。

[靜力允許載荷系數(shù)是極限載荷系數(shù)的下限：

s

l

]上限定理：作何一個(gè)機(jī)動(dòng)允許的位移（速度）場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的載荷是極限載荷的上限。

[機(jī)動(dòng)允許載荷系數(shù)是極限載荷系數(shù)的上限：

k

l

]

s

l

k

s

＝

l

＝k：同時(shí)滿足三個(gè)條件，

l為完全解。

s

l

：下限解－－靜力法。

l

k

：上限解－－機(jī)動(dòng)法。靜力法（1）取滿足平衡條件且不違背屈服條件（極限條件）的應(yīng)力（內(nèi)力）場(chǎng)。（建立靜力允許的應(yīng)力場(chǎng)）（2）由靜力允許的應(yīng)力（內(nèi)力）場(chǎng)確定所對(duì)應(yīng)的載荷，且為極限載荷的下限：Pl-=

sP（3）在多個(gè)極限荷的下限解中?。篜lmax-（4）檢查：若結(jié)構(gòu)成為破壞機(jī)構(gòu)，存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)允許的位移場(chǎng)，則：Plmax-=Pl。否則：Plmax-為Pl的一個(gè)下限解（近似解）

四．塑性極限分析方法2.機(jī)動(dòng)法（1）選擇一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)（幾何上允許的、外力做功為正），建立機(jī)動(dòng)允許的位移場(chǎng)。（2）由內(nèi)功率等于外功率求破壞載荷，且為極限載荷的上限：Pl+=

kP（3）在多個(gè)破壞荷中取最小值：Plmin+（4）檢查：若內(nèi)力場(chǎng)是靜力允許的，即不違背極限條件，則：Plmin+=Pl。否則：Plmin+為Pl的一個(gè)上限解（近似解）

四．塑性極限分析方法§3梁的塑性極限分析一．靜定梁的極限分析極限彎矩：梁彎曲時(shí)某截面上的正應(yīng)力值處處等于屈服極限（屈服點(diǎn)），則該截面屈服，它不能繼續(xù)抵抗彎曲變形，對(duì)應(yīng)的彎矩值稱為極限彎矩Mp。塑性鉸：凡彎矩值達(dá)到極限彎矩Mp的截面，都將喪失繼續(xù)抵抗彎曲變形的能力，即在保持彎矩值為Mp的情況下，截面兩側(cè)可無(wú)限地順著彎矩的轉(zhuǎn)向相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，形成尖角，使撓曲線不光滑，曲率趨于無(wú)窮大，這同該截面處兩側(cè)桿用鉸連接相似，故稱為塑性鉸。（1）單向轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）在塑性鉸處有彎矩作用。靜定結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)：（1）無(wú)多余聯(lián)系，內(nèi)力可以由靜力平衡方程唯一確定，內(nèi)力與結(jié)構(gòu)的變形無(wú)關(guān)（小變形）。（2）在靜定結(jié)構(gòu)中，只要有一個(gè)（一部分）截面屈服，結(jié)構(gòu)就變成機(jī)構(gòu)（破壞機(jī)構(gòu)），且最先屈服的截面總是內(nèi)力最大的截面。bhzyPxl/2l/2Pl/4靜定梁的極限分析方法：作靜定梁的彎矩圖。

2.令最大彎矩等于塑性極限彎矩，求極限載荷。靜定梁的內(nèi)力是靜力允許的，對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)又是機(jī)動(dòng)允許的，得到的極限載荷是完全解。例：確定下列靜定梁的極限載荷。Pl（1）Plql（2）ql2/2例：確定下列靜定梁的極限載荷。ql2/2ql/2（3）l/2ABCAB：3MpBC：Mp解：ql2/8AB與BC段截面不同，塑性鉸可能出現(xiàn)在AB段也可能出現(xiàn)在BC段。作彎矩圖。塑性鉸出現(xiàn)在AB段時(shí)：塑性鉸出現(xiàn)在BC段時(shí)：超靜定結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)：（1）有多余聯(lián)系，內(nèi)力僅由靜力平衡方程不能完全確定，內(nèi)力與結(jié)構(gòu)的變形有關(guān)，所以內(nèi)力與梁的剛度有關(guān)。（2）在超靜定梁中，當(dāng)梁內(nèi)截面屈服，即出現(xiàn)塑性鉸時(shí)，由于梁的剛度發(fā)生變化，內(nèi)力會(huì)重新分布，所以梁達(dá)到塑性極限狀態(tài)時(shí)塑性鉸的位置無(wú)法預(yù)先知道，應(yīng)按照逐漸加大載荷的方法逐步確定，但計(jì)算不便。（3）工程中采用可直接計(jì)算極限載荷的機(jī)動(dòng)法和靜力法。確定方法：二．超靜定梁的極限分析（1）機(jī)動(dòng)法設(shè)定梁的破壞機(jī)構(gòu)載荷利用功能關(guān)系計(jì)算破壞載荷對(duì)于梁的所有可能的破壞機(jī)構(gòu)，計(jì)算相應(yīng)破壞載荷Plmin+=Pl（2）靜力法根據(jù)梁的支承條件及載荷情況畫彎矩分布圖使梁內(nèi)各處彎矩值不超過(guò)極限彎矩，此時(shí)的載荷為下限值找出梁的所有可能的靜力允許的彎矩分布，計(jì)算相應(yīng)載荷Plmax-=Pl例題1：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M

P，試求其塑性極限載荷Pl。M1PllABC解：靜力法作M圖PM1M1例題1：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M

P，試求其塑性極限載荷Pl。PllABC取A、C處為塑性鉸，畫破壞機(jī)構(gòu)圖（保證外力作正功）M1dPABC2qq解：機(jī)動(dòng)法討論：設(shè)梁的超靜定次數(shù)為n，形成塑性鉸的數(shù)目為r，一般情況下當(dāng)：r=n+1時(shí)，形成破壞機(jī)構(gòu)。塑性鉸的位置：彎矩為駐值的截面處（固定端、集中載荷處）。在確定靜力允許的內(nèi)力場(chǎng)時(shí)，若能同時(shí)考慮形成破壞機(jī)構(gòu)所需的塑性鉸數(shù)目，則得到的解答可接近或等于完全解。若確定的彎矩絕對(duì)值等于MP的截面數(shù)目小于塑性鉸數(shù)目，則還應(yīng)檢查其余彎矩為駐值的截面，其彎矩值應(yīng)不超過(guò)MP，否則內(nèi)力場(chǎng)是靜力不允許的，求得的載荷也非下限解。PllABCM1PdABC2qq例題2：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M

P，用機(jī)動(dòng)法試求其塑性極限載荷的上限值

。x解：確定塑性鉸位置qlABdxABq+jqDal計(jì)算內(nèi)力功計(jì)算外力功求極限載荷x'jC例題3：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為MP，試用靜力法和機(jī)動(dòng)法求其塑性極限載荷Pl。解：靜力法作M

圖Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRCPl/2ABCPl/2l/2l/22qq機(jī)動(dòng)法ABC（1）