《工程力學(xué)》課件第1章

1.1力的性質(zhì)1.2力矩1.3力偶1.4約束1.5物體的受力分析及受力圖第1章力的性質(zhì)及物體受力分析

1.1力的性質(zhì)力是物體間的相互機械作用。這種作用可使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產(chǎn)生變形。力使物體改變運動狀態(tài)的效應(yīng)稱為力的運動效應(yīng)（也稱為外效應(yīng)），使物體產(chǎn)生變形的效應(yīng)稱為變形效應(yīng)（也稱為內(nèi)效應(yīng)）。力對物體產(chǎn)生的這兩種效應(yīng)是同時出現(xiàn)的。對于不變形的剛體，力只改變其運動狀態(tài)。力具有下列性質(zhì)：

(1)力對物體的作用效應(yīng)，取決于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用點。這三個因素稱為力的三要素。一個力可以用這三個要素來表示，因此力是矢量，可用一具有方向的線段來表示，如圖1.1所示。線段的長度按一定的比例尺表示力的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向，線段的起點（或終點）表示力的作用點，而與線段重合的直線表示力的作用線。在本書中，矢量用黑體字表示，如F

；該矢量的大?。ㄓ址Q模）則用同文的白體字表示，如F。在國際單位制中，力的單位是牛［頓］，符號是N，1N=1kg·m/s2。圖1.1

(2)作用于物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點，合力的大小和方向由以這兩個力為邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定（圖1.2(a)），稱為力的平行四邊形合成法則，用數(shù)學(xué)公式表示為Ｆ＝Ｆ１＋Ｆ２有時，我們不用力的平行四邊形法則而用力的三角形法則求合力的大小和方向。在圖1.2(b)中，將F1、F2首尾相連構(gòu)成開口的力三角形，合力F就是這個力三角形的封閉邊。圖1.2

(3)作用于同一剛體的兩個力，使剛體平衡的必要與充分條件是：兩個力的作用線相同，大小相等，方向相反。該條件稱為二力平衡條件。例如，在工程中常有一些滿足該條件的直桿，如圖1.3中的桿AB。這種桿件通常稱為二力桿。圖1.3

(4)在任一力系中加上或減去任何一個平衡力系，并不改變原力系對剛體的運動效應(yīng)，稱為加減平衡力系原理。利用二力平衡條件和加減平衡力系原理可以證明以下推論：力在剛體上的作用點可沿作用線移至剛體內(nèi)的任意一點而不改變該力對剛體作用的效果。此性質(zhì)稱為力的可傳性，證明留給讀者自己完成?？紤]這一性質(zhì)，作用于剛體的力的三要素可改為：大小、方向和作用線。沿作用線可任意滑動的矢量稱為滑移矢量，因此作用于剛體上的力是滑移矢量。但此結(jié)論完全不適用于變形體，對于變形體，力的作用效果與作用點密切相關(guān)。

(5)兩物體間相互作用的力（作用力與反作用力）同時存在，大小相等，作用線相同而指向相反，稱為作用力與反作用力定律。這一定律是由牛頓提出的（即牛頓第三定律），這個定律概括了自然界中物體間相互作用力的關(guān)系，表明一切力總是成對出現(xiàn)的。根據(jù)這個定律，已知作用力則可得知反作用力。該定律是分析物體受力時必須遵循的原則，為研究由一個物體過渡到多個物體組成的系統(tǒng)問題提供了基礎(chǔ)。必須注意，作用力與反作用力是分別作用于兩個物體上的，不能錯誤地與二力平衡條件混同起來。

(6)如果變形體在某一力系的作用下處于平衡，若將此變形體剛化為剛體，則其平衡狀態(tài)不變。這一論斷稱為剛化公理。剛化公理建立了剛體的平衡條件和變形體平衡條件之間的聯(lián)系，說明了變形體平衡時，作用在其上的力系必須滿足把變形體剛化為剛體后的平衡條件。這樣，我們就能把剛體的平衡條件應(yīng)用到變形體的平衡問題中去，從而擴大了剛體靜力學(xué)的應(yīng)用范圍。例如，圖1.4所示為一剛性桿，在A、B兩端作用有一對大小相等、方向相反的拉力，根據(jù)二力平衡條件，剛性桿平衡。如果將二力沿桿分別傳至另一端，根據(jù)力的可傳性，剛性桿雖然受壓，但平衡狀態(tài)不變。如果將桿換成柔性繩，在原來的拉力作用下繩平衡；如果將力傳遞到另一端，雖然兩力仍滿足二力平衡條件，但繩將失去平衡。由此可知，若要將剛體靜力學(xué)的理論用于變形體，必須附加變形體的物理條件，在本例中就是柔性繩不能受壓。圖1.4

【例1.1】根據(jù)力的性質(zhì)證明三力平衡匯交定理：作用于剛體上的三個互不平行的力平衡時，其作用線必相交于一點，且三力共面。證明：如圖1.5所示，可得（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3）=（F1′，F(xiàn)2′，F(xiàn)3）=(F，F(xiàn)3)=0式中，0表示力系平衡。由此可知，力F3的作用線必通過F1、F2兩力作用線的交點，命題得證。讀者可自己找出上述每一步等式中所根據(jù)的公理。圖1.51.2力矩

1.力對點的矩在生活和生產(chǎn)實際中，存在著在力的作用下繞固定點轉(zhuǎn)動的物體，用球鉸鏈聯(lián)結(jié)的臺燈（圖1.6）和扳手?jǐn)Q緊螺栓就是常見的例子（圖1.7）。力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)是用力矩來度量的。圖1.6圖1.7在平面力系問題里，設(shè)有一作用于物體的力F

及一點O（圖1.8），點O至力F

的作用線的垂直距離為d，用MO(F)代表力F

對O點的矩的大小，則MO(F)=Fd

（1.1）這里的O點稱為力矩中心，簡稱矩心；d稱為力臂。力對一點的矩被視為代數(shù)量，習(xí)慣上規(guī)定：如果力使靜止物體繞矩心轉(zhuǎn)動的方向是逆時針，則取正號；反之，取負號。力矩的單位是牛·米（N·m）或千?！っ?kN·m)等。圖1.8在空間力系問題里，力對一點的矩應(yīng)為矢量，用MO（F）表示（圖1.9），即式中，單位基矢量前面的3個系數(shù)分別為MO（F）在3個坐標(biāo)軸上的投影，即（1.2）（1.3）其中，F(xiàn)x、Fy、Fz分別為F在3個坐標(biāo)軸上的投影。顯然，力矩的大小和方向是隨矩心的改變而改變的。因此，力矩是一個定位矢量，其起始點必須畫在矩心上。通常將力矩的大小、轉(zhuǎn)向和矩心稱為力矩的三要素。對于平面力系問題，若取各力所在平面為xy平面，則任一力的作用點坐標(biāo)z=0，力在z軸上的投影Fz=0，于是公式（1.2）簡化成為只與k相關(guān)的一項。這時，可將F對O點的矩作為代數(shù)量，得到:圖1.9

2.力對軸的矩除了力對點的矩外，力學(xué)中還用到力對軸的矩這一概念。力對軸的矩表示的是力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，例如用柱鉸鏈安裝的門窗、帶有軸承的車輪和各種旋轉(zhuǎn)機械等。為了衡量力對剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的作用效果，建立以下力對軸的矩的抽象概念：一個力對于某一軸的矩等于這個力在垂直于該軸的平面上的投影對于該軸與該平面的交點的矩。例如，在圖1.10中，設(shè)有一力F=及一軸z。任取一平面N垂直于z軸，并令z軸與平面N的交點為O。將力F投影到平面N上，得到F′=。以a代表從點O

至F′的垂直距離，則力F

對于z

軸的矩等于F′對于O點的矩。如令Mz（有時也寫做Mz（F））代表F對于z

軸的矩，則Mz=MO（F′），亦即Mz=±F′a(1.5)式(1.5)中的正負號表明力使靜止物體繞z軸轉(zhuǎn)動的方向，或者簡單地說，表明力矩的轉(zhuǎn)向。正負號的規(guī)定依照右手螺旋法則：令力矩的轉(zhuǎn)向為右手螺旋轉(zhuǎn)動的方向，若螺旋前進方向與z

軸正方向一致，如圖1.10所示的情況，則取正號；反之，取負號。力對于軸的矩的單位也是牛·米(N·m)或千?！っ?kN·m)等。圖1.10在許多問題中，直接根據(jù)定義由力在垂直于一軸的平面上的投影計算力對軸的矩往往很不方便。因此，常利用力在直角坐標(biāo)軸上的投影及其作用點的坐標(biāo)來計算力對軸的矩。設(shè)有一力F

及任一軸z，為了求力F對于z軸的矩，以z軸上一點O為原點，作直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖1.11所示。設(shè)力F的作用點A的坐標(biāo)為(x，y，z)，而力F在坐標(biāo)軸上的投影為Fx、Fy、Fz。將F投影到垂直于z軸的平面即xy平面上得F′。顯然，F(xiàn)′在坐標(biāo)軸x、y上的投影就是Fx、Fy，而A′的坐標(biāo)就是(x，y)。根據(jù)定義，F(xiàn)對于z軸的矩等于F′對于O點的矩，即Mz(F)=MO(F′)；而F′對于O點的矩由式(1.4)求得為MO(F′)=xFy－yFx，因而有Mz(F)=xFy－yFx用相似方法可求得F對x軸的矩及對y軸的矩。這樣就得到：

用式(1.6)計算力對軸的矩，往往比直接根據(jù)定義計算方便。(1.6)圖1.11

3.力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系力對一點的矩與力對一軸的矩二者既有差別，又有聯(lián)系。將式(1.2)與式(1.6)對比可見：式(1.2)中各單位矢量前面的系數(shù)分別等于F

對x、y、z軸的矩。但根據(jù)矢量分解的公式，各單位矢量前面的系數(shù)也就是MO(F)在各軸上的投影。這就表明，MO(F)在各軸上的投影分別等于F對于各軸的矩。因為坐標(biāo)軸x、y、z是任取的，于是可得定理如下：一個力對于一點的矩在經(jīng)過該點的任一軸上的投影等于該力對于該軸的矩。1.3力偶大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的兩個力組成的特殊平行力系，稱為力偶。例如司機駕駛汽車時，兩手施加于方向盤的力F和F′組成一個力偶(圖1.12)。由于F與F′的投影之和為零，因此不存在合力；但由于作用線不重合，因此它們也不可能成為平衡力系。所以，力偶對剛體的作用不可能與一個力等效。如果說單個力是最簡單的力系，則力偶是另一種不能再簡化的簡單力系。力偶的作用效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)，或引起變形體的扭曲。這種作用效果可以用力偶對任意點的矩來衡量?，F(xiàn)計算力偶對作用平面中任一點O的力矩。由圖1.13可看出，力偶中兩力對作用平面中任一點之矩的代數(shù)和都等于Fd，于是定義力偶中力的大小與力偶臂的乘積并冠以正負號為力偶的力偶矩，計為M(F，F(xiàn)′)或簡記為M，M=M(F

，F(xiàn)′)=±Fd(1.7)正負號表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常以逆時針為正。圖1.12圖1.13任意選定空間中一個確定點O，自O(shè)至F和F′的作用點A、B引矢徑rA和rB，自B至A引矢徑r(圖1.14)，則力偶對點O之矩的大小和方向可由下式確定：

上式表明：力偶對任意點之矩恒等于矢積r×F，與矩心的位置無關(guān)。圖1.14將r

和F

的矢積定義為力偶(F，F(xiàn)′)的力偶矩矢量，以不帶矩心符號的M

表示為

M=r×F(1.8)則力偶對剛體的作用效果完全取決于力偶矩矢量

M

，可用此矢量作為力偶的表達符號。既然力偶的作用效果與矩心無關(guān)，則作用于同一剛體的力偶，當(dāng)力偶矩矢量沿所在直線任意滑動或任意平行移動時，必不影響力偶對剛體的作用效果?？梢?，作用于同一剛體的力偶矩矢量是一自由矢量。將兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂(圖1.14)。力偶矩的模Fd表示力偶的大小，力偶矩所沿直線為作用面的法線，其方向確定力偶的轉(zhuǎn)動方向。與作用于剛體的力的三要素類似，力偶對剛體的作用取決于力偶矩的大小、作用面的方位和力偶的轉(zhuǎn)動方向，稱為力偶的三要素。由于力偶矩矢量為自由矢量，不難推斷：在保持力偶的方向和力偶矩大小不變的情況下，在力偶作用面內(nèi)隨意改變力的方向，或同時改變力和力偶臂的大小，或?qū)⒘ε甲饔妹嫫叫幸苿樱疾挥绊懥ε紝傮w的作用效果。此性質(zhì)稱為力偶的等效性。

1.柔索細長的系繩、鏈條、傳動帶等均屬柔索約束。由于柔索只能受拉力的作用，因而柔索的作用是限制物體有脫離它的趨勢。柔索的約束力T

作用于物體的接觸點，沿柔索而背離物體的方向，是拉力。由于柔索的細長性，因而約束力T

可認(rèn)為是一集中力，約束力方向如圖1.15所示。1.4約束圖1.15

2.光滑接觸面物體與約束的接觸面如果是光滑的，即它們間的摩擦可以忽略時，約束不能阻止物體沿接觸處切面任何方向的位移，而只能限制沿接觸點處公法線而指向約束方向的位移，所以光滑支承面的約束力沿該公法線而指向物體，是壓力。例如在圖1.16(a)中，光滑固定曲面給圓柱的約束力為N

；在圖1.16(b)中，AD桿倚靠在固定擋塊上，擋塊給桿的約束力為NB；在圖1.16(c)中，板擱在固定槽內(nèi)，板與槽在A、B、C三點接觸，如果接觸處均是光滑的，則它們的約束力分別為NA，NB，NC。圖1.16

3.光滑鉸鏈包括球鉸鏈和圓柱鉸鏈在內(nèi)的光滑鉸鏈約束是一種特殊的光滑接觸面約束。球鉸鏈簡稱為球鉸，由球頭和球窩將兩個桿件連在一起，被連接構(gòu)件可以繞球心作相對轉(zhuǎn)動，但不能作離開球心向任意方向的移動，如汽車變速箱的操縱桿，可向任意方向轉(zhuǎn)動的臺燈接頭等。球頭與球窩的接觸點位置取決于被約束物體的受力情形，因而約束力的方向不能事先確定，但根據(jù)光滑接觸面的性質(zhì)，其約束力的作用線必定通過球心，通常用符號N

表示。為分析計算方便，常將N

分解為沿三個坐標(biāo)方向的分力(圖1.17)。球鉸是三維約束模型。圖1.17圓柱鉸鏈簡稱為柱鉸，它通過圓柱銷釘將兩個鉆有相同直徑銷孔的構(gòu)件連接在一起，被連接構(gòu)件可以繞銷釘軸線相對轉(zhuǎn)動及沿銷釘軸線移動，但沿徑向的移動受到限，如門窗鉸鏈、活塞銷等。銷釘與銷孔的接觸點位置同樣不能事先確定，但約束力必定沿徑向通過銷孔中心，也常用N

表示。該約束力可以分解為垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)的兩個沿坐標(biāo)方向的分力(圖1.18)。柱鉸是二維約束模型。圖1.18向心軸承(滾珠軸承、滾柱軸承或滑動軸承)和止推錐軸承是機器中常見的約束，其結(jié)構(gòu)雖然與鉸鏈不同，但其約束力的特征卻分別與球鉸和柱鉸相同，因此可用光滑鉸鏈表示(圖1.19、圖1.20和圖1.21)。圖1.19圖1.20圖1.21如果鉸鏈連接的兩個構(gòu)件之一是與地面(基礎(chǔ)或機架)固連的，則把該構(gòu)件和鉸鏈一起稱為固定鉸支座，簡稱鉸支座，如橋梁的固定鉸支座(圖1.22)。兩個構(gòu)件均未固定的情形下，該鉸鏈被稱為中間鉸或活動鉸，如機器人的球關(guān)節(jié)，曲柄和連桿的連接銷(圖1.23)。圖1.22圖1.23

4.可動鉸支座(輥軸支座)將固定鉸支座用幾個剛性輥子支承在光滑表面上，便構(gòu)成了可動鉸支座。它是由光滑面和鉸鏈兩種約束組合而成的一種復(fù)合約束，其約束力N

的作用線必定垂直于支承面且通過鉸鏈中心，指向則與被約束體的受力情況有關(guān)，可任意假設(shè)。例如，橋梁和屋架的活動支座(圖1.24)，當(dāng)溫度改變而出現(xiàn)熱脹冷縮時，它允許梁的一端沿支承面移動。圖1.24

5.鏈桿兩端用光滑鉸鏈與其他構(gòu)件連接且不考慮自重的剛性桿稱為鏈桿，常被用來作為拉桿或撐桿而形成鏈桿約束，這也是一種復(fù)合約束。顯然，鏈桿僅在兩端分別受到一個通過鉸鏈中心的力，根據(jù)前面介紹過的二力平衡條件，這兩個力必定等值、反向、共線。因而，鏈桿對物體的約束力必定沿兩鉸鏈中心的連線，其指向可任意假設(shè)，常用符號N

表示(圖1.25)。只在兩個力作用下平衡的構(gòu)件稱為二力構(gòu)件，簡稱二力桿。它所受的兩個力必定沿兩個力作用點的連線，且等值反向。二力桿在工程實際中經(jīng)常遇到，有時也把它作為一種約束。其約束力的性質(zhì)與鏈桿相同。圖1.25

6.固定端工程中還有一種常見的基本約束類型，稱為固定端(或插入端)約束。例如，房屋的雨篷(圖1.26(a))牢固地嵌入墻內(nèi)的一端，車床刀架上刀具(圖1.26(b))的夾持端等，其約束便是固定端約束。固定端約束的簡圖如圖1.26(c)中的左端部所示。一端固定、另一端懸空的梁稱為懸臂梁。當(dāng)梁上作用荷載時，固定端約束既阻止該梁端沿任何方向移動，也阻止梁繞該端轉(zhuǎn)動。因而它的約束力在平面問題中包括三部分：水平約束力XA、豎向約束力YA以及矩為mA的約束力偶。其理由讀者可在學(xué)習(xí)力系簡化理論后自行推導(dǎo)。圖1.26可以看到，上面介紹的各種約束是對物體間實際連接方式的理想化和簡化，即是各種連接的力學(xué)模型。如何把工程中實際的約束加以合理的簡化，是受力分析中的一個重要而困難的問題。應(yīng)對具體情況進行分析，主要是從它的約束作用即能限制被約束物體的哪些運動來考慮。約束力的大小甚至方向都取決于主動作用力，因此約束力是被動力，這也是約束力被稱為反力的原因。由約束限制的性質(zhì)還可將約束分為單側(cè)約束和雙側(cè)約束兩種。單側(cè)約束只能限制物體單一方向的位移，因而約束力的指向事先可以確定，如柔索、光滑面。雙側(cè)約束可限制物體沿兩個相反方向的運動，如可動鉸支座和鏈桿。雙側(cè)約束并不能兩側(cè)同時起作用，在給定問題中，究竟哪一側(cè)起作用取決于主動力的作用情況，無法預(yù)先確定。在實際計算中，可任意假設(shè)一個指向，根據(jù)計算結(jié)果的正負來確定假設(shè)是否符合實際。1.5物體的受力分析及受力圖在分析力學(xué)問題時，必須根據(jù)已知條件和待求量，從與問題有關(guān)的許多物體中選擇確定某一物體(或物系)作為研究對象。我們把這種從周圍物體的約束中分離出來的研究對象稱為分離體或自由體；同時，把畫有分離體及其所受外力(包括主動力和約束力)的圖形稱為受力圖。畫受力圖是求解平衡問題的第一步，不能有任何錯誤，否則以后的計算將無從著手，得出錯誤的結(jié)論。如果沒有特殊說明，則物體的重力一般不計，并認(rèn)為一切接觸面都是光滑的。畫受力圖時，首先應(yīng)明確哪個物體是研究對象，哪個物體是約束；在受力圖上只畫出研究對象和它所受的力，不畫約束，尤其不能畫上研究對象給約束的力。對剛體系統(tǒng)作受力分析時，要分清內(nèi)力和外力。內(nèi)力和外力是相對的，視選擇的研究對象而定。研究對象以外的物體作用于研究對象上的力稱為外力；研究對象內(nèi)部各部分間的相互作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，它們大小相等、方向相反、作用線一致。

【例1.2】用力F

拉碾子，碾子重P，由于受到路面石塊A的阻擋而靜止不動(圖1.27(a))。如不計摩擦，試畫出碾子的受力圖。圖1.27

解取碾子為研究對象，并將其單獨畫出。受力分析：作用于碾子的主動力有拉力F和重力P；碾子在A點受到石塊的約束，在B點受到地面的約束，當(dāng)不計摩擦?xí)r，該兩處都屬光滑接觸面約束，約束反力都應(yīng)沿著接觸點的公法線(都通過圓心O)。畫出主動力F和P

以及A、B處的約束反力NA和NB，即得碾子的受力圖(1.27圖(b))。

【例1.3】

簡支剛架如圖1.28(a)所示，在B