《工程光學(xué)》課件第7章

第7章光線的光路計算及像差

7.1像差概述

7.2光線的光路計算

7.3軸上點球差

7.4正弦差及彗差

7.5像散與像面彎曲（場曲）

7.6畸變

7.7色差

7.8波像差

7.1像差概述

由前面的討論可知，實際光學(xué)系統(tǒng)只有在近軸區(qū)才能像理想光學(xué)系統(tǒng)那樣具有成完善像的性質(zhì)，即實際光學(xué)系統(tǒng)只有在孔徑和視場接近于零的情況下才能成完善像，所以這樣的光學(xué)系統(tǒng)是沒有實際意義的。從實用的角度看，光學(xué)系統(tǒng)都需要一定大小的視場和相對孔徑，它遠(yuǎn)超出近軸區(qū)所限定的范圍。任意組合而成的光學(xué)系統(tǒng)是不可能對物體形成清晰而相似的完善像的，因為在這種情況下，物面上各點成像光線的光路需按下式計算：

所得實際光路必然與理想光路不同，使得理想成像系統(tǒng)所應(yīng)有的物平面及其上面的點和線在像空間的一一對應(yīng)關(guān)系遭到破壞，成像出現(xiàn)一系列缺陷。這種由于實際光路與理想光路之間的差別而引起的成像缺陷，稱為像差。它反映為實際像的位置和大小與理想像的位置和大小之間的差異。

討論像差的目的，是為了能動地校正像差，使光學(xué)系統(tǒng)能夠在一定的相對孔徑下對給定大小的視場成滿意的像。為此，必須討論各種像差的成因、度量和計算方法，并找出其與相對孔徑、視場之間的關(guān)系，與光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。

在所有的光學(xué)零件中，平面反射鏡是唯一能成完善像的光學(xué)零件。

如果只討論單色光的成像，光學(xué)系統(tǒng)會產(chǎn)生五種性質(zhì)不同的像差，它們分別是球差、彗差、像散、像面彎曲（場曲）和畸變，統(tǒng)稱為單色像差。

實際上，絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)以白光或復(fù)色光成像。白光是由不同波長的單色光所組成的，這些單色光對于光學(xué)介質(zhì)具有不同的折射率，所以白光進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)后就會因色散而形成不同的傳播光路，從而產(chǎn)生復(fù)色像差，這種由不同色光的光路差別引起的像差稱為色差。色差有兩種，即位置色差和倍率色差。

白光經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)作用后，由于各種單色光有各自的單色像差，因此可見白光的成像是很復(fù)雜的。為了便于對像差進(jìn)行分析，將白光的像差分成單色像差和色差。其中，單色像差是對光能接收器最為敏感的色光而言的，而色差是對光能接收器的有效波段內(nèi)兩種邊緣色光而言的。所謂消像差，也只是消光能接收器最為敏感的色光的單色像差和這兩種邊緣色光的色差。

所有這些像差都可做數(shù)量上的描述，并通過光線的光路計算而求得。

7.2光線的光路計算

7.2.1子午面內(nèi)光線的光路計算

1.近軸光線的光路計算由軸上點發(fā)出的近軸光線通過單個折射面時，可按第1章所述的計算公式進(jìn)行計算：

給出物距l(xiāng)和物方孔徑角u后，便可求出像距l(xiāng)′和像方孔徑角u′。對于近軸光線，當(dāng)角u增大或縮小某一倍數(shù)時，由上式可知，角i、i′和u′均增大或縮小同一倍數(shù)，而l′值不受影響。因此，角u可以任意取值。計算近軸光時，角u常對入射光瞳的邊緣光線取值，即所謂第一近軸光線。

對于一個有k個面的系統(tǒng)作光路計算時，則需由前一個面向下一個面進(jìn)行過渡計算：當(dāng)物體在無限遠(yuǎn)，即時，光線平行于光軸入射，，此時用光線入射高度作為初始數(shù)據(jù)，如圖7-1所示，角可由下式求得：

（7－1）

式中，h1可任意取值，對于第一近軸光線，取h1為入射光瞳半徑。

為了檢查結(jié)果是否正確，可用下式來校對:

2.軸外點近軸光線的光路計算

由物體邊緣點發(fā)出，并通過入射光瞳中心的近軸光線稱為第二近軸光線。它的計算仍可用近軸光計算公式及校對公式，所有的量均注以下標(biāo)z。入射光瞳到第一面的距離lz是已知的，uz角可由圖7－2求得：

（7－2）

（7－3）

式中，l′為高斯像面位置，由第一近軸光計算求得。圖7－2近軸光計算7.2.2軸上點遠(yuǎn)軸光線的光路計算

軸上點發(fā)出的實際光線的光路計算可按下式進(jìn)行：

這是子午面內(nèi)光線光路計算的基本公式，其過渡公式可由下式給出

（7－4）

為了保證光路計算的準(zhǔn)確性，可由下列校對公式進(jìn)行校對（可參考相關(guān)教科書的推導(dǎo)過程）：

（7－5）7.2.3軸外點遠(yuǎn)軸光線的光路計算

軸外點子午面內(nèi)遠(yuǎn)軸光線的光路計算與軸上點不同，光束的中心線即主光線不再是光學(xué)系統(tǒng)的對稱軸，在其上面和下面的光線都需要計算，這樣才能了解通過光學(xué)系統(tǒng)后光線的會聚情況。

當(dāng)物體位于無限遠(yuǎn)時，如圖7－3所示，軸上點和軸外點均以平行光束射入光學(xué)系統(tǒng)的入射光瞳，設(shè)入射光瞳半徑h和位置Lz已知，成像范圍由Uz決定，也是已知的。

對于軸上點發(fā)出的光束，如前所述，只計算一條L=-∞，U=0和h高的光線就可以了。對于軸外點發(fā)出的在子午面內(nèi)的平行光，至少對三條光線，即主光線和對稱于主光線的上、

下光線進(jìn)行光路計算。這些光線的初始數(shù)據(jù)可按以下各式確定：

（7－6）

（7－7）

圖7－3物體位于無限遠(yuǎn)時的遠(yuǎn)軸光計算由軸外點發(fā)出的各條光線，通過光路計算，分別求出L′和U′值以后，還需要求出各條光線和高斯面交點的高度Ya′

、Yz′和Yb′

?？砂磮D7－5所示的幾何關(guān)系寫出實際像高的表示式如下：

（7－8）

式中，l′為由第一近軸光線求得的高斯像面到光學(xué)系統(tǒng)最后一面的距離。

圖7－5軸外光線在高斯面的實際像高

圖7－6軸外點細(xì)光束成像

下面給出子午像點和弧矢像點的計算公式為（推導(dǎo)過程略）

（7－9）

圖7-7軸外點細(xì)光束計算

轉(zhuǎn)面也是沿主光線進(jìn)行計算的，過渡公式為

（7－10）

式中，Dk-1為相鄰兩折射面間沿主光線方向的間隔。

或

7.3軸上點球差

由第2章的內(nèi)容可知，自光軸上一點發(fā)出與光軸成U角的光線，經(jīng)球面折射以后所得的截距L′是孔徑角U的函數(shù)，對平行于光軸的入射光線，L′則隨光線的入射高度h而發(fā)生變化。因此，軸上點發(fā)出的同心光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)各個球面折射以后，不再是同心光束，與光軸成不同角度(或離光軸不同高度)的光線經(jīng)折射后與光軸交于不同的位置上，相對于理想像點有不同程度的偏離，如圖7－8所示。這種偏離是單色光成像的缺陷之一，稱為球差，用δL′表示，具體定義為（7－11）

由于球差的存在，使得在高斯像面上得到的不是點像，而是一個圓形彌散斑，由圖7－8中容易看出其半徑為

可見，球差越大，像方孔徑角越大，高斯像面上的彌散斑也越大，這將使像模糊不清。所以為使光學(xué)系統(tǒng)成像清晰，必須校正球差。對于大孔徑系統(tǒng)，即使球差較小也會形成較大的彌散斑，因此校正球差的要求更為嚴(yán)格。

（7－12）

圖7－8軸上點球差一般δL′稱為軸向球差，δT′稱為垂軸球差。相應(yīng)地，軸向球差δL′是沿軸向度量的；垂軸球差δT′是沿垂軸方向度量的。平常我們所說的球差都指的是軸向球差。

對單色光而言，軸上點成像的不完善只是由于球差的存在，就是說，球差是軸上點唯一的單色像差。

物面上各點的成像都有球差。對于小視場范圍內(nèi)的點，可認(rèn)為球差的影響是一致的。但視場較大時，不僅與軸上點大不相同，而且由于光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后對主光線失對稱，因此子午光束的球差和弧矢光束的球差也不相同。當(dāng)然，這已不屬于本節(jié)討論的范圍。

球差的精確值必須對軸上物點發(fā)出的近軸光線和若干條實際光線進(jìn)行光路計算，分別求得l′和L′以后，按公式(7－11)求得。

（7－13）

或

（7－14）

在式(7－13)中，第一項稱為初級球差，第二項稱為二級球差，第三項稱為三級球差；二級以上球差稱為高級球差。A1、A2、A3分別為初級球差系數(shù)、二級球差系數(shù)、三級球差系數(shù)。大部分光學(xué)系統(tǒng)二級以上的更高級的球差很小，可以忽略。因此，其球差可用初級球差和二級球差兩項來表示，即

（7－15）

由式(7－15)可知，初級球差與孔徑的平方成正比，二級球差與孔徑的4次方成正比。當(dāng)孔徑較小時，主要存在的是初級球差，高級球差很小；當(dāng)孔徑較大時，高級球差也增大。

光學(xué)系統(tǒng)的球差是由系統(tǒng)各個折射面產(chǎn)生的球差傳遞到系統(tǒng)的像空間后相加而得到的，故系統(tǒng)的球差可以表示成系統(tǒng)每個面對球差的貢獻(xiàn)之和，即所謂的球差分布式。當(dāng)對實際物體成像時，對于由k個面組成的光學(xué)系統(tǒng)，球差的分布式為

（7－16）

其中，∑S-稱為光學(xué)系統(tǒng)的球差系數(shù)，S-為每個面上的球差分布系數(shù)，其計算公式為（7－17）

因為初級球差在光軸附近區(qū)域內(nèi)有意義，而在這個區(qū)域內(nèi)角度很小，所以角度的正弦值可以用弧度值來代替，角度的余弦可以用1來代替，這樣初級球差可以表示為

（7－18）

式中，∑SⅠ稱為初級球差系數(shù)(也稱第一賽得和數(shù))，SⅠ為每個面上的初級球差分布系數(shù)。由此可見，光學(xué)系統(tǒng)的初級球差通過第一近軸光線的光路計算以后，即可利用其有關(guān)量值來求得。知道了系統(tǒng)的初級球差和實際球差，則可由式（7－13）和式（7－14）算出高級球差分量。

7.4正弦差及彗差

7.4.1正弦差對于軸外物點，主光線不是系統(tǒng)的對稱軸，對稱軸是通過物點和球心的輔助軸。由于球差的影響，對稱于主光線的同心光束，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后，它們不再相交于一點，在垂軸方向也不與主光線相交，即相對于主光線失去了對稱性。正弦差即用來表示小視場時寬光束成像的不對稱性。垂直于光軸平面內(nèi)的兩個相鄰點，一個是軸上點，一個是靠近光軸的軸外點，其理想成像的條件是

（7－19）

式(7－19)即是所謂的正弦條件。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)滿足正弦條件時，若軸上點理想成像，則近軸物點也理想成像，即光學(xué)系統(tǒng)既無球差也無正弦差，這就是所謂的不暈成像。

當(dāng)物體在無限遠(yuǎn)時，sinU=0，正弦條件可以表示為

（7－20）

實際光學(xué)系統(tǒng)對軸上點只能使某一帶的球差為零，即軸上點不能成完善像，物點的像是一個彌散斑。只要彌散斑足夠小，則可認(rèn)為像質(zhì)是好的。同理，對于近軸物點，用寬光束成像時也不能成完善像，故只能要求其成像光束結(jié)構(gòu)與軸上點成像光束的結(jié)構(gòu)一致，也就是說，軸上點和近軸點有相同的成像缺陷。欲滿足上述要求，光學(xué)系統(tǒng)必須滿足以下條件：

（7－21）

這個條件稱為等暈條件。它是當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)軸上點成像有剩余球差時，近軸點或垂軸小面積成同質(zhì)像的充要條件。滿足等暈條件的成像稱為等暈成像。式中，除lz′是由第二近軸光線計算的出瞳距(系統(tǒng)最后一面到出射光瞳的距離)以外，其它的量都是軸上點光線的量，β為近軸區(qū)垂軸放大率。

當(dāng)物體位于無窮遠(yuǎn)時，式（7－21）可表示為

（7－22）

等暈成像如圖7－9所示。因研究的是近軸點成像，其視場較小，故其它視場像差可以不考慮。由圖7－9可知，軸上點和軸外點具有相同的球差值，且軸外光束不失對稱性，即無彗差。這就是滿足等暈條件的系統(tǒng)。

圖7－9等暈成像

等暈條件的好處在于能用軸上點的成像情況推知近軸點的成像情況。由式(7－21)或式(7－22)可知，只要根據(jù)計算軸上點球差的光線光路，再作一條第二近軸光線的光路(用其lz′值)，就能判斷出系統(tǒng)是否滿足等暈條件。如公式（7－21）或（7－22）中等號兩邊的值相等，就表示近軸點與軸上點的成像質(zhì)量一致；如不等，則其差以SC′表示，即是正弦差。

當(dāng)物體在有限遠(yuǎn)時，其正弦差為（7－23）

當(dāng)物體在無限遠(yuǎn)時，其正弦差為

（7－24）

若正弦差SC′=0，球差δL′≠0，則滿足等暈條件；若正弦差SC′=0，球差δL′=0，由式（7－23）可得（7－25）

即

這就是正弦條件。因此可以說，正弦條件是等暈條件的特殊情況。

由正弦差的表示式可知，它與視場無關(guān)，只是孔徑的函數(shù)，其隨孔徑變化的規(guī)律與球差一樣，故其級數(shù)展開式可寫成

（7－26）

第一項稱為初級正弦差，第二項為二級正弦差，其余類推。類似于初級球差，初級正弦差的分布式可以寫成：

(7－27)7.4.2彗差

如前所述，如果SC′值較大，則光學(xué)系統(tǒng)不滿足等暈條件，此時，近軸點成像光束的對稱性將被破壞，像方本應(yīng)對稱于主光線的各對子午光線的交點將不再位于主光線上，如

圖7－10(a)所示，從而引進(jìn)了一種以其偏離量KT表征的子午不對稱性像差。同樣，在弧矢平面上的弧矢光束，對稱于主光線的各對弧矢光線，其交點也不在主光線上(但因弧矢光束對稱于子午平面，所以其交點一定在子午平面上)。相應(yīng)地，用其偏離量KS表征弧矢不對稱像差，如圖7－11所示。子午光束與弧矢光束的這一不對稱性像差在數(shù)值上是不同的。圖7－10子午彗差

圖7－11弧矢彗差

彗差與正弦差沒有本質(zhì)的區(qū)別，二者均表示軸外物點寬光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后失對稱的情況，區(qū)別在于正弦差僅適用于具有小視場的光學(xué)系統(tǒng)，而彗差可用于任何視場的光學(xué)系統(tǒng)。不過，用正弦差表示軸外物點寬光束經(jīng)系統(tǒng)后的失對稱情況，可不必計算相對主光線對稱入射的上、下光線，在計算球差的基礎(chǔ)上，只需計算第二近軸光線即可；而彗差則不同，必須對每一視場計算相對主光線對稱入射的上、下光線。

具有彗差的光學(xué)系統(tǒng)，軸外物點在理想像面上形成的像點如同彗星狀的光斑，靠近主光線的細(xì)光束交于主光線形成一亮點，而遠(yuǎn)離主光線的不同孔徑的光束形成的像點是遠(yuǎn)離主光線的不同圓環(huán)，如圖7－10(b)所示，彗差使一點的像成為彗星狀彌散斑，使能量分散(但主要集中在主光線交點附近)，影響成像質(zhì)量，必須給予校正。

為求系統(tǒng)彗差的大小，可按光線的實際光路來計算。子午彗差的計算公式為

（7－28）

(7－29)相應(yīng)地，只需對單向的弧矢光線進(jìn)行光路計算即可求得弧矢彗差?；∈腹饩€因在子午面以外，屬于空間光線，計算較為繁雜，考慮到弧矢彗差總比子午彗差小，故手工計算光路時一般不予計算。

根據(jù)彗差的定義，彗差是與孔徑U（h）和視場y(ω)都有關(guān)的像差。當(dāng)孔徑U改變符號時，彗差的符號不變，故展開式中只有U(h)的偶次項；當(dāng)視場y改變符號時，彗差反號，

故展開式中只有y的奇次項；當(dāng)視場和孔徑均為零時，沒有彗差，故展開式中沒有常數(shù)項。這樣彗差的級數(shù)展開式為（7－30）

式中第一項為初級彗差，第二項為孔徑二級彗差，第三項為視場二級彗差。對于大孔徑、小視場的光學(xué)系統(tǒng)，彗差主要由第一、二項決定；對于大視場、相對孔徑較小的光學(xué)系統(tǒng)，彗差主要由第一、三項決定。與此相應(yīng)，初級子午彗差的分布式為

(7－31)初級弧矢彗差的分布式為

（7－32）

由此可知，初級子午彗差是初級弧矢彗差的3倍。

比較式（7－27）第一式和式（7－32）可知，初級彗差與正弦差的關(guān)系為

(7－33)彗差是軸外像差的一種，它破壞了軸外視場成像的清晰度。由公式（7－30）可知，彗差值隨視場的增大而增大，故對大視場的光學(xué)系統(tǒng)，彗差必須予以校正。

7.5像散與像面彎曲（場曲）

7.5.1像散

與失對稱光束對應(yīng)的波面，顯然已不是一個回轉(zhuǎn)曲面。隨著視場的增大，遠(yuǎn)離光軸的物點，即使以主光線周圍的光束來成像，其出射光束的失對稱性也很明顯，與此細(xì)光束所對應(yīng)的微小波面也非回轉(zhuǎn)對稱，其在不同方向上有不同的曲率。數(shù)學(xué)上可以證明，這種非回轉(zhuǎn)的曲面元，隨方向的變化，曲率是漸變的，但可以找到兩個主截線，其曲率分別為最大與最小，而且這兩個主截線的方向是互相垂直的。隨著光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不同，或者是與子午面所截的波面主截線具有最大的曲率(相當(dāng)于子午光束的會聚度最大)，或者是與弧矢面所截的波面主截線具有最大的曲率(相當(dāng)于弧矢光束的會聚度最大)。

這樣使得整個失對稱的光束中，子午面上的子午光束，弧矢面上的弧矢光束，雖然因為很細(xì)而能各自會聚于主光線上的一點，但子午細(xì)光束的會聚點T′(稱子午像點)和弧矢細(xì)光束的會聚點S′(稱弧矢像點)并不重合在一起。前者，子午像點T′比弧矢像點S′離系統(tǒng)最后一面近；后者相反。與這種現(xiàn)象相應(yīng)的像差稱為像散。因為像散是描述子午光束和弧矢光束會聚點之間的位置差異的，所以都是對細(xì)光束而言的，屬于細(xì)光束像差。對于寬光束，由于球差和彗差的影響，根本會聚不到一點。

就整個像散光束而言，在子午像點T′處得到的是一垂直于子午平面的短線(稱為子午焦線)，在弧矢像點S′處得到的是一位于子午平面上的鉛垂短線(稱為弧矢焦線)，兩條焦線互相垂直，如圖7－12所示。

圖7－12存在像散時的光束結(jié)構(gòu)

若光學(xué)系統(tǒng)對直線成像，由于像散的存在，其成像質(zhì)量與直線的方向有關(guān)。例如，當(dāng)直線在子午面內(nèi)時，其子午像是彌散的，而其弧矢像是清晰的；當(dāng)直線在弧矢面內(nèi)時，其弧矢像是彌散的，而其子午像是清晰的；當(dāng)直線既不在子午面又不在弧矢面內(nèi)時，其子午和弧矢像均不清晰。

像散是成像物點遠(yuǎn)離光軸時反映出來的一種像差，并且隨著視場的增大而迅速增大。所以，對大視場系統(tǒng)的軸外點，即使是以細(xì)光束成像，也會因此而不清晰。像散嚴(yán)重影響

成像質(zhì)量，所以對視場較大的系統(tǒng)必須給予校正。

像散是以子午像點T′和弧矢像點S′之間的距離來描述的，它們都位于主光線上，通常將其投影到光軸上，以兩者之間的沿軸距離來度量，其沿軸距離用xts′表示：

（7－34）

同理，寬光束的子午像點和弧矢像點也不重合，兩者之間的軸向距離稱為寬光束的像散，用XTS′表示：（7－35）

（7－36）

同理，在弧矢面內(nèi)，弧矢寬光束的交點與細(xì)光束的交點沿光軸方向的偏離稱為軸外弧矢球差，用δLS′表示：

（7－37）

圖7－13場曲和像散

細(xì)光束的像面彎曲xt′、xs′由下式求得：

（7－38）

（7－39）

細(xì)光束的場曲與孔徑無關(guān)，只是視場的函數(shù)。當(dāng)視場角為零時，不存在場曲，故場曲的級數(shù)展開式與球差類似，只是把孔徑坐標(biāo)用視場坐標(biāo)代替，即

（7－40）

圖7－14匹茲伐場曲

由圖7－14所示的像面彎曲，可推導(dǎo)出下面的表示式：

將它應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)的各個面，再通過軸向放大率將其變換到像空間，相加后可得

（7－41）

則式（7－41）可寫成

（7－42）

（7－43）

（7－44）

（7－45）

相應(yīng)地，初級像散的分布式為

7.6畸

變

（7－46）

在光學(xué)設(shè)計中，通常用相對畸變q來表示畸變的大?。?/p>

（7－47）

圖7－15畸變

由畸變的定義可知，畸變是垂軸像差，它只改變軸外物點在理想像面上的成像位置，使像的形狀產(chǎn)生失真，但不影響像的清晰度。

畸變僅與物高y（或ω）有關(guān)，隨y符號的改變而變號，故在其級數(shù)展開式中，只有y的奇次項：

（7－48）

第一項為初級畸變，第二項為二級畸變。展開式中沒有y的一次項，因為一次項表示的是理想像高。初級畸變的分布式為

（7－49）

7.7色

差

7.7.1位置色差、色球差和二級光譜描述軸上點用兩種色光成像時成像位置差異的色差稱為位置色差，也稱為軸向色差。這兩種色光通常取波長接近接收器有效波段邊緣波長的色光，隨接收器有效波段的不同而不同。光學(xué)材料的折射率一般根據(jù)某些元素在可見光譜范圍內(nèi)發(fā)出的若干條特征譜線來選擇。例如目視光學(xué)系統(tǒng)應(yīng)該對F光和C光來考慮色差。順便指出，