2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．已知直線a，平面α，β，a∥α，那么“a⊥β”是“α⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l3．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列條件中，可以得到l⊥α的是()A．l⊥m，l⊥n，m?α，n?αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥α4.已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列命題中正確的有()①平面PAB⊥平面PAE；②PB⊥AD；③直線CD與PF所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)；④直線PD與平面ABC所成的角為45°；⑤CD∥平面PAE.A．①④ B．①③④C．②③⑤ D．①②④⑤5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與DD1垂直的直線MN()A．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無(wú)數(shù)條6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥βB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β7．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別為A1B，A1C1，A1D的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．MN∥AD1B．平面MNP∥平面BC1DC．MN⊥CDD．平面MNP⊥平面A1BD二、多選題9．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m⊥α，n∥α，則m⊥nB．若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γC．若m∥α，n∥α，則m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β10．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論正確的是()A．AF⊥PBB．EF⊥PBC．AE⊥平面PBCD．平面PAC⊥平面PBC11.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，點(diǎn)M是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OM∥平面C1A1D，則以下關(guān)系一定正確的是()A．OM∥DC1B．VM－C1A1D＝VC－C1A1DC．OM⊥B1CD．OM⊥BD1三、填空題12．已知直線m、l，平面α、β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題是_________.13．已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________________________________________________.四、解答題14．如圖，在四棱錐B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是等邊三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝1，AC＝CD＝2，P是棱BD的中點(diǎn)．求證：EP⊥平面BCD.15．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，將△CBD沿BD折起到△PBD的位置，使PA＝eq\r(6).求證：平面PBD⊥平面ABD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(多選題)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題，其中正確的命題為()A．若m⊥α，n∥α，則m⊥nB．若m∥n，m?α，n?α，則m∥αC．若α⊥β，m∥α，則m⊥βD．若m⊥α，m?β，則α⊥β2．(多選題)如圖，AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，則圓O上存在點(diǎn)M使()A．MN∥SCB．MN∥平面SBCC．SM⊥ACD．AM⊥平面SBC3．(多選題)已知點(diǎn)P為正方體ABCD－A1B1C1D1底面ABCD的中心，用與直線PD1垂直的平面α截此正方體，所得截面可能是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形4．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，A，B為底面圓O上兩點(diǎn)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且AF＝2FB.證明：平面AOP⊥平面OEF.5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BF⊥A1B1，D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BF⊥DE. 參考答案 【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(A)[解析]過(guò)a作平面γ∩α＝b，∵a∥α，∴a∥b，若a⊥β，則b⊥β，又b?α，∴α⊥β，但α⊥β，a∥α?xí)r，a∥β或a與β相交，不一定a⊥β，故選A.2．(D)[解析]由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β，由直線m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，則α與β相交，否則，若α∥β則推出m∥n，與m，n異面矛盾，所以α，β相交，且交線平行于l，故選D.3．(D)[解析]由α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，知：對(duì)于A，l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l與α相交、平行或l?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，l⊥m，m∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，l∥m，m⊥α，則由線面垂直的判定定理得l⊥α，故D正確．故選D.4.(B)[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，∴AB⊥平面PAE，且AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；∵CD∥AF，直線CD與PF所成的角為∠PFA，在Rt△PAF中，PA＝2AF，∴cos∠PFA＝eq\f(\r(5),5)，∴③成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立；∵CD∥AF，∴CD∥平面PAF，顯然AF與平面PAE相交，∴CD與平面PAE相交，即⑤不成立，故選B.5．(D)[解析]正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作垂直于DD1的平面，交BC1于點(diǎn)N′，則MN′⊥DD1.因?yàn)镸是DD1上的動(dòng)點(diǎn)．所以過(guò)M點(diǎn)與DD1垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)也有無(wú)數(shù)個(gè)，所以有無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的直線MN，即滿足與DD1垂直的直線MN有無(wú)數(shù)條．故選D.6．(D)[解析]對(duì)于A，可能會(huì)出現(xiàn)n∥β，n?β，或n與β相交但不垂直的情況，所以A不正確；對(duì)于B，m，n可能是異面直線，所以B不正確；對(duì)于C，α，β可能平行或相交但不垂直，所以C不正確；對(duì)于D，在平面β內(nèi)可找到一條直線垂直于平面α，根據(jù)面面垂直的判定定理可知D正確，故選D.7．(D)[解析]對(duì)于A，若m⊥n，n∥α，則m?α或者m∥α或者m，α相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m∥β，β⊥α，則m?α或者m∥α或者m，α相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m?α或者m∥α或者m，α相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m⊥β，n⊥β，則n∥m，又n⊥α，所以m⊥α，故D正確．故選D.8．(D)[解析]對(duì)A，在△A1BC1中，因?yàn)镸，N分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以MN∥BC1.又BC1∥AD1，所以MN∥AD1，A正確；對(duì)B，在△A1BD中，因?yàn)镸，P分別為A1B，A1D的中點(diǎn)，所以MP∥BD.因?yàn)镸P?平面BC1D，BD?平面BC1D，所以MP∥平面BC1D.因?yàn)镸N∥BC1，MN?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以MN∥平面BC1D.又因?yàn)镸P∩MN＝M，MP，MN?平面MNP，所以平面MNP∥平面BC1D，B正確；對(duì)C，因?yàn)镸N∥AD1，AD1⊥CD，所以MN⊥CD，C正確；對(duì)D，取BD的中點(diǎn)E，連接A1E，EC1，則∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則cos∠A1EC1＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2－\r(2)a2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2)＝eq\f(1,3)≠0，又0°<∠A1EC1<180°，則∠A1EC1≠90°，所以平面A1BD與平面BC1D不垂直．又平面MNP∥平面BC1D，所以平面MNP與平面A1BD不垂直，D錯(cuò)誤．故選D.二、多選題9．(AB)[解析]對(duì)于A，因?yàn)閚∥α，所以經(jīng)過(guò)n作平面β，使β∩α＝l，可得n∥l，又因?yàn)閙⊥α，l?α，所以m⊥l，結(jié)合n∥l，得m⊥n.由此可得A是真命題；對(duì)于B，因?yàn)棣痢桅虑姚隆桅?，所以α∥γ，結(jié)合m⊥α，可得m⊥γ，故B是真命題；對(duì)于C，設(shè)直線m、n是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面α是正方體下底面所在的平面，則有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)平面α、β、γ是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故D不正確．故選AB.10．(ABD)[解析]由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故A正確；因?yàn)锳E⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB，故B正確；若AE⊥平面PBC，由A知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，這與AF，AE有公共點(diǎn)A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立，故C錯(cuò)誤；由BC⊥平面PAC知平面PAC⊥平面PBC，故D正確，故選ABD.11.(BD)[解析]如圖易知平面C1A1D∥平面ACB1，由題意可知M在B1C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)OM與DC1異面，∴A錯(cuò)；由B1C∥A1D知B1C∥平面C1A1D，∴VM－C1A1D＝VC－C1A1D，∴B對(duì)；C顯然錯(cuò)；由BD1⊥平面ACB1知OM⊥BD1，D對(duì)．故選BD.三、填空題12．[解析]對(duì)于①，若α∥β，m⊥α，l?β，則m⊥l，故①正確；對(duì)于②，若α⊥β，則m∥l或m與l垂直，或m與l異面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若m⊥l，則α⊥β或α∥β或與β相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β，故④正確．13．[解析]由l，m是平面α外的兩條不同直線，及線面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，若l⊥α，m∥α，則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，則l⊥m，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α.(或若l⊥α，m∥α，則l⊥m)．四、解答題14．[證明]證法一：如圖，作PQ∥DC交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，∵P為BD的中點(diǎn)，∴Q為BC的中點(diǎn)，∴PQ綉eq\f(1,2)CD，又AE綉eq\f(1,2)CD，∴PQ綉AE，四邊形AEPQ為平行四邊形，∴EP∥AQ.又△ABC為等邊三角形，∴AQ⊥BC，∴EP⊥BC.又AE∥CD，AE⊥AC，∴CD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACDE，∴CD⊥平面ABC，又AQ?平面ABC，∴AQ⊥CD，∴EP⊥CD，又CD∩BC＝C，∴EP⊥平面BCD.證法二：分別取梯形兩腰AC、ED的中點(diǎn)O、H，連接OH，OB.則OH∥AE，∵AE⊥AC，∴OH⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，∴OH⊥平面ABC，∴OH⊥AC，OH⊥OB.又△ABC為正三角形，∴OB⊥AC.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意易知E(1,0,1)，C(－1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，D(－1,0,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))，∴eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0,0,2)，從而eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴EP⊥BC，EP⊥CD，又BC∩CD＝C，∴EP⊥平面BCD.15．[證明]如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OA，OP.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD、△PBD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥BD，OP⊥BD，所以∠POA為二面角P－BD－A的平面角．因?yàn)镻D＝2，OD＝eq\f(1,2)BD＝1，所以O(shè)P＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(3)，同理可得OA＝eq\r(3)，因?yàn)镻A＝eq\r(6)，所以O(shè)P2＋OA2＝PA2，則OP⊥OA，由面面垂直定義可得平面PBD⊥平面ABD.或：又因?yàn)镺P⊥BD，OA，BD?平面ABD，OA∩BD＝O，所以O(shè)P⊥平面ABD，因?yàn)镺P?平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(ABD)[解析]對(duì)于A，由n∥α，得存在過(guò)直線n的平面γ與平面α相交，令交線為c，則c∥n，由m⊥α，c?α，得m⊥c，因此m⊥n，A正確；B顯然正確；對(duì)于C，由于α⊥β，令α∩β＝l，當(dāng)m∥l，m?α?xí)r，有m∥α，此時(shí)m?β或m∥β，C錯(cuò)誤；D顯然正確．故選ABD.2．(BC)[解析]假設(shè)存在點(diǎn)M使MN∥SC，所以M，N，S，C四點(diǎn)共面，又因?yàn)锳∈SN，所以A∈平面MNSC，易得點(diǎn)A，M，C為平面MNSC和平面ABC的公共點(diǎn)，所以A，M，C三點(diǎn)共線，與題意矛盾，故不存在點(diǎn)M使MN∥SC，即A錯(cuò)誤；過(guò)O作OM∥BC，交劣弧AC于點(diǎn)M，連接ON，由于N，O分別為SA，AB的中點(diǎn)，所以O(shè)N∥SB，由于OM?平面SBC，ON?平面SBC，所以O(shè)M∥平面SBC，ON∥平面SBC，又因?yàn)镺M∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC，由于MN?平面OMN，所以MN∥平面SBC，即B正確；點(diǎn)M的位置同選項(xiàng)B，由于AB為直徑，所以AC⊥BC，即AC⊥OM，由圓錐易得SO⊥AC，SO∩OM＝O，所以AC⊥平面SOM，所以AC⊥SM，即C正確；假設(shè)存在點(diǎn)M使AM⊥平面SBC，所以AM⊥SB，又因?yàn)锳M⊥SO，SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SBO，故平面SBC應(yīng)與平面SBO平行，與題意顯然不符，即D錯(cuò)誤．故選BC.3．(ABC)[解析]如圖點(diǎn)Q為BB1的中點(diǎn)，由AD1＝CD1知AC⊥PD1，由eq\f(BP,BQ)＝eq\f(DD1,DP)知Rt△BPQ～Rt△DD1P，∴∠BPQ＋∠DPD1＝∠BPQ＋∠BQP＝eq\f(π,2)，∴PD1⊥PQ，∴D1P⊥平面ACQ，此時(shí)平面ACQ就是滿足條件的一個(gè)α，此時(shí)所得截面為△ACQ，當(dāng)點(diǎn)Q平移至點(diǎn)B1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，C平移至點(diǎn)M，N(M，N分別是AA1，CC1的中點(diǎn))，形成平面DNB1M，此時(shí)截面為四邊形DNB1M，夾在平面ACQ和平面DNB1M之間的形成五邊形EFRHG，如下圖，若截面在平面ACQ下方時(shí)，形成的截面為三角形，直至縮成一個(gè)點(diǎn)，如下圖，若截面在平面DNB1M的上方時(shí)，形成的截面為五邊形，如下圖，當(dāng)點(diǎn)M，N分別移到點(diǎn)A1，C1的位置，點(diǎn)D移到D1D的中點(diǎn)K位置，形成的截面為三角形A1C1K，再往上形成的截面也為三角形，直至縮成一個(gè)點(diǎn)，如下圖，綜上可知，所得截面為三角形，四邊形，五邊形，沒(méi)有六邊形．故選ABC.4．[證明]設(shè)圓O的半徑為r，在△AOB中，OA＝OB＝r，∠AOB＝eq\f(2π,3)，∠OAB＝eq\f(π,6)，故AB＝eq\r(3)r，又AF＝2FB，故AF＝eq\f(2\r(