2024年高一數(shù)學(xué)初升高專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：基本不等式（含答案解析）

第07講基本不等式

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)―

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解基本不等式的證明過(guò)程；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)2.能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三數(shù)式的大?。?/p>

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)3.熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題；

4.會(huì)用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

重要不等式/+/之2ab

基本不等式

基本不等式

最值定理和定積最大，積定和最，匕

最值定理

基本不等式使用條件一正二定三相等

基本不等式

12T再審士產(chǎn)尹(°>0小>0)

基本不等式鏈ab

基本不等式的變式與拓展

三元基本不等式

基本不等式拓展

n元基本不等式

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式

1、重要不等式

(1)公式：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)6,有a2+b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí),

等號(hào)成立.

【說(shuō)明】(a—b)220。a?+b。-2abN。。a?+b?22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)，等號(hào)成

立.

2/2

22

(2)常見(jiàn)變形：2(標(biāo)+62)2(0+加2、ab^a-----、＜?+Z,+2?Z?.

2

2、基本不等式

(1)公式：如果a>0,b>0,那么J茄<氣々，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

【說(shuō)明】叫做正數(shù)。力的算術(shù)平均數(shù)，J石叫做正數(shù)的幾何平均數(shù).

因此基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

(2)常見(jiàn)變形：a+b>14ab-,而<(審］.

(3)常用結(jié)論：

①同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

ab

-+-<-2(a/異號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=—〃時(shí)取等號(hào).

ab

②。+工22(。>0),當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)取等號(hào)；

a

a+-<-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=—1時(shí)取等號(hào)；

a

知識(shí)點(diǎn)2最值定理

1、最值定理：已知兒》都是正數(shù)，

(1)若無(wú)+y=s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積q有最大值，且這個(gè)值為彳.

(2)若孫=p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和尤+y有最小值，且這個(gè)值為2g.

最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大.

2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿(mǎn)足三個(gè)條件：一正二定三取等.

①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；

③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.

知識(shí)點(diǎn)3基本不等式的變式與拓展

1、基本不等式鏈

2/r—,a+b,a2+b2…八、f,/a+b”,/+62,八，八、

------WvabW———<q———(za>0,b>0)或abV(———)W———(a>0,6>0)■

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=》時(shí)等號(hào)成立.

2_2ab2j2

其中，LT=幣為a,6的調(diào)和平均值，±±生為a,6的平方平均值

—+—2

ab

2、基本不等式的拓展

（1）三元基本不等式：a+b+C>^（。），。均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)，=6=。時(shí)等號(hào)成

3

立.

（2）〃元基本不等式：%+%++?“卜*%（%,外,%均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)

n

4=。2==%時(shí)等號(hào)成乂.

。>模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解

［\］例1.（22-23高一上?河北邯鄲?月考）不等式（x-2y）成立的前提條件為

（）

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

【變式1-1］（23-24高一上.西藏林芝.期中）下列命題中正確的是（）

A.若a>0,8>。，且〃+人=16,則ab?64

4I~~4

B.若awO,則〃+—N2j〃?一二4

a\a

C.若￡R,貝Ijab之色土互

2

D.對(duì)任意a2+b?N2ab,a+bN2G^均成立.

【變式1-2］（23-24高一上?山西運(yùn)城?月考）（多選）已知Q/ER,且而>0,則下列不等式

中，恒成立的是（）

A.B.+Z?2）>（?+Z?）2

C.

ab

【變式1-3］（23-24高一上.新疆巴音郭楞.期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以

幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代

數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線(xiàn)段

A3上的點(diǎn)，且AC=a,BC=b,。為A3的中點(diǎn)，以A3為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)C作A3的

垂線(xiàn)交半圓于。，連接。。、AD,BD,過(guò)點(diǎn)C作。。的垂線(xiàn)，垂足為E.則該圖形可以完

成的所有的無(wú)字證明為（）

A.>0,b>0)B.a1+Z?2>3ab(a>Q,b>0)

__2

C>———p(?>0,Z7>0)a2+b2a+b/、

D.——-——>——

?—+—

ab

考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小

（23-24高一上?甘肅會(huì)寧?期中）設(shè)A‘加、〃為互不相等的正實(shí)數(shù)）,

mn

B=-d+4x-2,則A與5的大小關(guān)系是（）

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

2

【變式2-1］（23-24高一上.江蘇淮安?期中）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足c-b=Q+—-2,

a

2

c+b=2a2+2a-\—,且?！?,則b,c的大小關(guān)系是（）

a

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

i7

【變式2-2］（23-24高一上.福建莆田.期末）（多選）^0<a<-,-<b<lf貝+疝，

2缶424+〃中不可能是最大值的是（）

A.2片+〃B.14abC.2缶bD.a+b

【變式2-3］（23-24高一上.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）（多選）若a>5>0,則下列不等式成立的是

（）

a+blaba+b

A.>yfab----<----

2a+b2

-laba+blab

C.------>-------D.y[ab>

a+b2a+b

考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值

|\例3.（23-24高一下?貴州貴陽(yáng)?月考）已知0<x<2,則3x（2-x）的最大值是（）

A.-3B.3C.1D.6

【變式3-1X23-24高一上?廣東韶關(guān)?月考）已知10>x>0,則2-Jx（10-x）的最小值為（）

A.-3B.-2C.-1D.0

［變式3-2］（23-24高一下?河南周口?月考）已知正數(shù)6滿(mǎn)足仍=1,則T=（a+1）2+S+1）2

的最小值為（）

A.4B.6C.8D.16

【變式3-3］（23-24高一下?陜西榆林?月考）若正數(shù)x,>滿(mǎn)足4x+y=4,則工+工的最小值

xy

為（）

98

A.2B.—C.3D.—

43

【變式3-4］（23-24高一下?廣西?開(kāi)學(xué)考試）已知〃>0,b>Of且〃+b=ab,則2"—。+7〃

的最小值是（）

A.6B.9C.16D.19

考點(diǎn)四：利用基本不等式證明不等式

1例4.（23-24高一上?安徽馬鞍山?期中）已知，〃=求證:

⑵1+：l+|j>8+473.

【變式4-1］（23-24高一上?四川雅安?期中）已知a>0,b>0,且a+b=l,證明:

(1)2?2+2Z?2>1；

19

(2)-+->16.

ab

【變式4-2]（23-24高一上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)〃，b,。均為正數(shù)，求證:

S+C)JJ

\a+bb+ca+c)2

【變式4-3]（23-24高一上.安徽淮南.期中）己知仇c是正實(shí)數(shù).

⑴證明：a+b+c>yfab+4bc+y[ac;

1119

（2）右a+b+c=2,證明：—F—+—>—.

abc2

（3）已知。涉是正數(shù)，且a+b=l,求證：（改+外）（"+紗）之町.

考點(diǎn)五：基本不等式恒成立問(wèn)題

|X例5.（23-24高一上?貴州安順?期末）若不等式白+京2正盤(pán)區(qū)恒成立，則實(shí)數(shù)

m的最大值為（）

A.2B.3C.4D.9

【變式5-1]（23-24高一上?吉林延邊?月考）已知尤>0,y>0,且x+y=2.若4x+l—吟20

恒成立，則實(shí)數(shù)加的最大值是（）

A.4B.8C.3D.6

【變式5-2]（23-24高一上.廣東揭陽(yáng)?期中）已知x>0,y>0,且x+9y="，若不等式

aWx+y恒成立，則。的取值范圍是（）

A.（-<?,6]B.（-co,16]C.（-oo,8]D.（-=0,9]

x

【變式5-3］（23-24高一下?湖南株洲?開(kāi)學(xué)考試）（多選）若對(duì)于任意x>0,一二~7Vq恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

考點(diǎn)六：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用

例6.（23-24高一下?浙江?月考）如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形線(xiàn)路板，長(zhǎng)

方形A3CD（AB>A0的周長(zhǎng)為4,沿AC折疊使點(diǎn)2到點(diǎn)*位置，AB，交DC于點(diǎn)P.研究

發(fā)現(xiàn)當(dāng)△4Z2P的面積最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，AB的長(zhǎng)度為（）

53

A.-B.y/2C.—D.^3

【變式6-1］（23-24高一上.江蘇連云港.月考）某工廠(chǎng)建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容

積為4800m3,深度為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80

元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？

【變式6-2］（23-24高一上.廣東佛山?月考）某工廠(chǎng)擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面

積為150m2的三級(jí)污水處理池.由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m,且高

度一定.如果四周池壁的造價(jià)為400元/??,中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/??，池底造價(jià)

為80元/n?，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不

計(jì)）

【變式6-3］（23-24高一上?四川樂(lè)山?期中）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為75出n?

的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底仞，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成

60°,當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆的長(zhǎng)度最??？并求出所用籬笆長(zhǎng)度的最小值.

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高一上?陜西寶雞?期中）V+與取最小值時(shí)無(wú)的取值為（）

X

A.1B.±1C.2D.+2

2.（23-24高一上.湖南婁底?期末）若尤>0,y>0,且x+y=l,則W的最大值是（）

A.—B.—C.-D.1

1642

2

3.（22-23高一上?江蘇宿遷?月考）若%>0,則y=2x+—的最小值是（）

x

A.272B.4A/2C.4D.2

4.（23-24高一下?云南麗江?開(kāi)學(xué)考試）已知人為正數(shù)，4〃+人=1,則;+1的最小值為

4〃b

（）

A.1B.2C.4D.8

5.（23-24高一上?湖南婁底?期末）已知x>0,則廣一x+4的最小值為（）

x

A.5B.3C.-5D.-5或3

6.（23-24高一上?山東濟(jì)南?期末）如圖所示，線(xiàn)段A3為半圓的直徑，。為圓心，C尸為半

圓弧上不與A3重合的點(diǎn)，作設(shè)AD=q,M=b,

則下列不等式中可以直接表示CEVO尸的是（）

F

二、多選題

7.（23-24高一下.云南昆明?期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.%+工的最小值為2

B.x（2-x）的最大值為2

X

7

C.2,+2T的最小值為2D.尤2+r最小值為26一2

8.（23-24高一上?全國(guó)?單元測(cè)試）己知。,6cR,且"wO,則下列四個(gè)不等式中，恒成立

的為（）

A.^>abB,2+建2

2ab

222

a+ba+bI<a+b

C.ab<2D.

22

三、填空題

9.（23-24高一上?廣西百色?期末）若x>l,貝ij『―x+16的最小值為_(kāi)_________.

X—1

10.（23-24高一上?北京?期中）某快遞公司為提高效率，引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高

分揀效率和降低物流成本.已知購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)機(jī)器人的總成本為P（x）=2x2+x+i50（單位:

600

萬(wàn)元）.若要使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，則應(yīng)買(mǎi)機(jī)器人臺(tái).

2

11.（23-24高一上?吉林延邊?月考）若Vx>a,關(guān)于x的不等式2x+——25恒成立，則實(shí)

x-a

數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題

12.（23-24高一上?山東荷澤?月考）（1）已知0<x<l,則x（4-3元）取得最大值時(shí)x的值為？

Y24-2

(2)函數(shù)y=-------(x>l)的最小值為？

x-1

13

(3)已知x,y是正實(shí)數(shù)，且％+y=4,求一+一的最小值.

%y

13.(23-24高一上?安徽馬鞍山?月考)如圖，我國(guó)古代的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形

圍成的.設(shè)直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為。力，且直角三角形ABC的周長(zhǎng)為2.(已知正實(shí)數(shù)

x，y，都有向4亨4，智區(qū),

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立)

(1)求直角三角形A3C面積的最大值;

(2)求正方形ABDE面積的最小值.

第07講基本不等式

模塊導(dǎo)航T素養(yǎng)目標(biāo)―

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解基本不等式的證明過(guò)程；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)2.能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三數(shù)式的大??；

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)3.熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題；

4.會(huì)用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題.

基本不等式拓展

n元基本不等式

◎模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式

1、重要不等式

(1)公式：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)6,有當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)，

等號(hào)成立.

【說(shuō)明】(a-byNO—a?7-2abN0oa?4N2ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=萬(wàn)時(shí)，等號(hào)成

立.

272

(2)常見(jiàn)變形：2(1+/)25+6)2、ab^a-----、4ab<a2+b2+2ab_

2

2、基本不等式

(1)公式：如果a>0,b>0,那么J茄〈巴也，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2

【說(shuō)明】"2叫做正數(shù)。力的算術(shù)平均數(shù)，J石叫做正數(shù)。力的幾何平均數(shù).

2

因此基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

(2)常見(jiàn)變形：a+b>14ab-,ab<^-^.

(3)常用結(jié)論：

①？+(。/同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；

ab

-+-<-2(a/異號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=—〃時(shí)取等號(hào).

ab

②。+工22(。>0),當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)取等號(hào)；

a

a+—<-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=—1時(shí)取等號(hào)；

a

知識(shí)點(diǎn)2最值定理

1、最值定理：已知兒》都是正數(shù)，

(1)若無(wú)+y=s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積q有最大值，且這個(gè)值為彳.

(2)若孫=p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和尤+y有最小值，且這個(gè)值為2g.

最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大.

2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿(mǎn)足三個(gè)條件：一正二定三取等.

①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；

③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.

知識(shí)點(diǎn)3基本不等式的變式與拓展

1、基本不等式鏈

22

2/r—,a+b,a+b…八、f,/a+b”,/+62,八，八、

———?y/cib?———WJ———(za>0,b>0)abW(———)K———(tz>0,Z?>0)?

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

2_2ab2j2

其中，LT=幣為a,6的調(diào)和平均值，±±生為a,6的平方平均值

—+—2

ab

2、基本不等式的拓展

（1）三元基本不等式：a+b+C>^（。），。均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)，=6=。時(shí)等號(hào)成

3

立.

（2）〃元基本不等式：%+%++?“卜*%（%,外,%均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)

n

4=。2==%時(shí)等號(hào)成乂.

。>模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解

［\］例1.（22-23高一上?河北邯鄲?月考）不等式（x-2y）成立的前提條件為

（）

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

【答案】B

【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項(xiàng)

均為正數(shù)，

所以不等式（》-2日+」122成立的前提條件為x-2y>0,即x>2y.故選：B.

x-2y

【變式1-1］（23-24高一上?西藏林芝?期中）下列命題中正確的是（）

A.若。>0,6>0,且。+b=16,則

44

B.若awO,則an■—>2,1a--=4

a\a

C.若d8eR,貝

2

D.對(duì)任意Q,b￡R,a?+8222ab,〃+人之均成立.

【答案】A

【解析】A選項(xiàng)，漏4（審：=64,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=8時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.

,4

B選項(xiàng)，當(dāng)。<0時(shí)，〃+—<0,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a

C選項(xiàng)，當(dāng)。>0力<0時(shí)，必<0（"+6）k0,所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

D選項(xiàng)，當(dāng)〃<0*<0時(shí)，a+b<0fa+b>14ab不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:

A

【變式1-2］（23-24高一上?山西運(yùn)城月考）（多選）已知且必>0,則下列不等式

中，恒成立的是（）

A.之B,2（〃+人2）之（Q+》）2

C.-+->2D.L+-￥&+|^>4

abV〃八b）

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)〃力為負(fù)數(shù)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,2（〃、+.2）-（a+6）=（6/—&）20,則2（4+Z?2）N（a+。），故B正確,

對(duì)于C,ab>0,則2,9都為正數(shù)，-+y>2,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)2=2,即。=6時(shí)等號(hào)成立，故C正確，

ab

,十（1Y,1、71b

對(duì)于D,\a+—\\b+-\=ab+—-+—+->2+2=44,

［〃八bJabab

當(dāng)且僅當(dāng)油=4和2=:同時(shí)成立，即。=b=±l時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：

abab

BCD

【變式1-3］（23-24高一上.新疆巴音郭楞.期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以

幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代

數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線(xiàn)段

A3上的點(diǎn)，且AC=a,BC=b,。為A3的中點(diǎn)，以A3為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)C作A3的

垂線(xiàn)交半圓于。，連接。￡＞、AD、BD,過(guò)點(diǎn)C作。。的垂線(xiàn)，垂足為E.則該圖形可以完

成的所有的無(wú)字證明為（）

~~~~-(a>0,b>0)B.a2-^-b2>3"(a>0,b>0)

__2

y[ab>———p(tz>0,/?>0)D.3>~^(6Z>0,Z?>(

—+—2

ab

【答案】AC

+

【解析】由題意可知AB=AC+BC=a+6,OA=OB=OD=-'?

2

因?yàn)镹C8￡>=90-ZCAD=ZADC,ZACD=ZDCB=90,

CDAC

貝!JRtACD00RtDCB,所以，，即CD?=40.3。=〃^,所以00=5/^；

￡>CCD

在RtZkOCD中，OD>CD,即痣(a>0,6>0)

當(dāng)Q￡)_LAB時(shí)，。、C點(diǎn)重合，a=b,此時(shí)>0,6>0),

則J^(a>0,Z>>0),所以A正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，在RtAOCD中，CELOD,則NDCE=90-ZCDE=ZDOC,

又因?yàn)?￡>EC=/￡)CO=90,所以，RtDEC^RtDCO,

2

八八八門(mén)clCDablab2

rzRCDDEbDE=------=-------=-------=--------

可倚■7^=7^；，即8nn9所以O(shè)D〃+ba+b11，

2ab

r~j~、1

由于CD>OE,所以>了]，

ab

r~r_1

當(dāng)a=b時(shí)，CD=DE,此時(shí)一匚工,

ab

綜上，族2j（a>0,6>0）,所以c正確；

ab

由于/+〃在該圖中沒(méi)有相應(yīng)的線(xiàn)段與之對(duì)應(yīng)，

故BD中的不等式無(wú)法通過(guò)這種幾何方法來(lái)證明，故選：AC.

考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小

］例2.（23-24高一上?甘肅會(huì)寧?期中）設(shè)4='+%（優(yōu)、〃為互不相等的正實(shí)數(shù)）,

I____imn

B=-X2+4X-2,則A與B的大小關(guān)系是（）

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

【答案】A

【解析】m、〃為互不相等的正實(shí)數(shù)，則

nm

22

=2,B=—x+4x—2=—（x—2）+2W2,尤=2時(shí)，411ax—2,

所以故選：A.

2

【變式2-1］（23-24高一上?江蘇淮安?期中）已知實(shí)數(shù)〃，b,c滿(mǎn)足c-b=Q+--2,

a

2

c+b=2a1+2aH—,且a〉0,貝Ub,c的大小關(guān)系是（）

a

A.b>c>aB,c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】B

【解析】因?yàn)閍>0,由基本不等式得‘一》=0+2一222」“-2—2=20—2>0,故c>8,

ava

22

因c+b=2/+2〃H—,c—b=aT-----2,

aa

22

兩式^目，2b=2a2+2QH------Q--------F2=2Q?+Q+2,

aa

^b=a2+—a+l,所以Z?—a=q2-，々+1=（々-+—>0,故g。,

22I4J16

所以c>Z?>a.故選：B

i7

【變式2-2](23-24高一上?福建莆田?期末)(多選)若貝〃+仇2瘋，

2衣(瓦2a2+〃中不可能是最大值的是()

A.2a2+b2B.l4abC.20abD.a+b

【答案】ABC

17

【解析】由于,則a1b,

故Q+b>2痣，2〃+/>2缶。，貝！J2?F,2缶Z?不可能是最大值，B,C符合

題意；

11Q

由于2/+匕2_(a+3=2(a--)2+(Z?--)2,

當(dāng)0<。<上]<6<1時(shí)，2(a--)2<2(0--)2=-,(Z?--)2<(l--)2=-,

39448224

,,.1.21\23113八

故2(z〃——)+zsz——)——<-+------=。，

428848

即2/+/<々+。，故2/+從不可能是最大值，A符合題意，故選：ABC

【變式2-3](23-24高一上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))(多選)若a>5>0,則下列不等式成立的是

()

a+br-r2aba+b

A.------>7abB.------<——

2a+b2

laba+b

C.------>-------D.4ab>—

a+b2a+b

【答案】ABD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閍>b>0,貝”胡一四)>0,

所以手>癡，故選項(xiàng)A正確;

因?yàn)閍>6>0,所以1+人>0,ab>0,又二得到o<2叵<i

2a+b

故言〈而〈審'所以選項(xiàng)B和口正確，

2ab43a+b

對(duì)于選項(xiàng)C,取Q=2,b=l,滿(mǎn)足a>6>0,但------=—<———，所以C錯(cuò)

a+b322

誤，故選：ABD.

考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值

|X例3.（23-24高一下?貴州貴陽(yáng)?月考）已知0<x<2,則3x（2-x）的最大值是（）

A.-3B.3C.1D.6

【答案】B

【解析】3x（2-x）W3x*［x+（2-x）］=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=2—x,即x=l取得等號(hào)，滿(mǎn)足題意.

故選：B.

【變式3-1］（23-24高一上?廣東韶關(guān)?月考）已知10>x>0,則2-Jx（10-x）的最小值為（）

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】A

【解析】因?yàn)?0>x>0,故x+（10-x）N2jx（10一x）,即Jx（10-X）<5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，等號(hào)成立，所以2—J元（10—元）22—5=—3.故選:A.

【變式3-2］（23-24高一下?河南周口?月考）已知正數(shù)“/滿(mǎn)足仍=1,貝UT=（a+iy+S+1>

的最小值為（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【解析】^T=a2+b2+2（a+b）+2>2ab+4-^b+2=S,

當(dāng)且僅當(dāng)。=>=1時(shí)取等號(hào)，所以T的最小值為8.故選：C.

【變式3-3］（23-24高一下?陜西榆林?月考）若正數(shù)x,>滿(mǎn)足4x+y=4,則工+工的最小值

xy

為（）

98

A.2B.-C.3D.-

43

【答案】B

【解析】由正數(shù)x,y滿(mǎn)足4x+y=4,

11、/11、1,y4x1_y4x9

Z^H-+-=-(4x+y)(-+-)=-(^+—+5)>z-(2-——+5)=-,

xy4xy4xy4xy4

當(dāng)且僅當(dāng)上y=4一x,即X=2《，y=4:時(shí)取等號(hào)，

Xy33

119

所以一+一的最小值為故選：B

xy4

【變式3-4］（23-24高一下?廣西?開(kāi)學(xué)考試）已知a>0,b>0,^.a+b-ab,則2a6-a+7b

的最小值是（）

A.6B.9C.16D.19

【答案】C

【解析】因?yàn)閍+/?=a匕且a>0,b>0,所以工+'=1,

ab

則

(]]\QAzv/oA

2ab-a+lb=2a-a+2b+lb=a+9b=\-+-(^+9M=—+-+10>2j--?—+10=16,

\(2bjab\ab

9ba

Z7P）4

當(dāng)且僅當(dāng):1時(shí)，即當(dāng)，=4,b時(shí)，等號(hào)成立.

—+-=1

、ab

因此，2必-。+7。的最小值是16.故選：C.

考點(diǎn)四：利用基本不等式證明不等式

,,1例4.（23-24高一上.安徽馬鞍山?期中）已知a>0,6>0,。+6=1,求證:

⑵1+：l+|j>8+4^.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】(1)a>0,b>0,a+b=lf

11ba

=14-----=4A,

ababab

當(dāng)且僅當(dāng)『》即”6弓時(shí)等號(hào)成立.

(2),a>O,b>O,a+b=l,

=1+2+—+L2(a+b)

baabbaab

+工34

=1+02+2=1+31+—+—{a+b)

baababab

1c.3b4。門(mén)3b4。、門(mén)c13b4。..n-

=1+3+4H------1-----=8H-------1-----28+2J—?—=8+4A/3.

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)=字時(shí)，即a=2g-3/=4-2不時(shí)等號(hào)成立.

ab

【變式4-1](23-24高一上?四川雅安?期中)已知a>0,b>0,且a+b=l,證明：

(1)2/+2〃21；

19

(2)-+->16.

ab

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)因?yàn)閍+b=l,所以