2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（學(xué)生版+解析）

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過............................................3

高頻考點(diǎn)一：測量距離問題.........................................3

高頻考點(diǎn)二：測量高度問題.........................................6

高頻考點(diǎn)三：測量角度問題.........................................9

高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問題......................................12

高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題........................13

第四部分：新定義題.................................................14

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、基線

在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)

根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.

2、仰角與俯角

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂平面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，

目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

3、方位角北］

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角。的范圍是」35。東

0<^<360.■A

4、方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）口,

例：（1）北偏東a：（2）南偏西a：

5,坡角與坡比

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。為坡角）；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比（坡度），即

h

=tan0.

1

第二部分：高考真題回顧

1.（2021?全國?乙卷理）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，DE和BG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為"表

高"，EG稱為"表距"，GC和E"都稱為"表目距"，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高祥=（）

表高,表距D.fig-表距

C.+表距

表目距的差表目距的差

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：測量距離問題

典型例題

例題1.（23-24高一下?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)+”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月

16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)“5G十光網(wǎng)"雙千兆城市建設(shè).如圖，某區(qū)域地面有

四個(gè)5G基站，分別為A,B,C,D.已知C,。兩個(gè)基站建在河的南岸，距離為20km,基站A,2在河的

北岸，測得NACB=60。，ZACD=105°,NM?C=30。，Z4DB=60°,則A,8兩個(gè)基站的距離為（）

A.10而kmB.30^\/3kmC.15kmD.10^/5km

例題2.（23-24高一下,江蘇無錫?階段練習(xí)）某貨輪在A處看燈塔8在貨輪北偏東75方向上，距離為12#

nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30方向上，距離86nmile.貨輪由A處向正北航行到。處時(shí)，再

看燈塔5在南偏東60方向上，A處與。處之間的距離是nmile,燈塔C與D處之間的距離是一

nmile.

例題3.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一

種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到3,然后從2沿直線步行到C,現(xiàn)有甲、乙兩位

游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min,在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到8,在8處停

留Imin后，再勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量得

（1）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（2）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?湖南衡陽?階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺A向北偏東60方向發(fā)射炮彈，炮臺8向北

偏西30方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中10km外的同一目標(biāo)，則A8兩炮臺在東西方向上的距離為（）

A.（5/+5）kmB.（5百-5）kmC.（5石+10）kmD,（5豆-10）km

2.（23-24高一下?福建泉州?階段練習(xí)）如圖，要測量河對岸C,。兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測點(diǎn)

A,B,并測得A,8間的距離為20』m,ZDAB=15°,ZCAB=3O°,AB1BC,ZABD=6O°,則C,D

兩點(diǎn)間的距離為多少？

3.（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖A3是在沿海海面上相距15+56海里的兩個(gè)哨所，5位于A的正

南方向.A哨所在凌晨1點(diǎn)發(fā)現(xiàn)其南偏東30方向處有一艘走私船，同時(shí)，8哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向

上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于A點(diǎn)南偏西30的。點(diǎn)，且A與。相距20百海里，試求:

⑴剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船與哨所A的距離；

（2）剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？

⑶若緝私艇得知走私船以106海里/時(shí)的速度從C向北偏東15方向逃竄，立即以30海里/時(shí)的速度進(jìn)行追

截，緝私艇至少需要多長時(shí)間才能追上走私船？

4.(23-24高一下?四川資陽?階段練習(xí))如圖，某公園有三條觀光大道AC圍成直角三角形，其中直

角邊3C=200m,斜邊AB=400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,3cAe大道上嬉戲，

(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度同時(shí)從點(diǎn)8出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)。，乙出發(fā)

1分鐘后到達(dá)E,求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；

(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn)，耳尸.設(shè)NCEF=6,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，

且=請將甲、乙之間的距離V表示為9的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.

5.(23-24高一下?上海?階段練習(xí))海上某貨輪在A處看燈塔8在貨輪的北偏東75。，距離為12卡海里；在

A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離為8石海里；貨輪向正北由A處行駛到。處時(shí)，若燈塔3在南偏東

60。的方向上，則燈塔C與。處之間的距離為多少海里？

高頻考點(diǎn)二：測量高度問題

典型例題

例題1.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐

代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方

向找到一座建筑物A3高約為37m,在地面上點(diǎn)C處（B,C,N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂

部M的仰角分別為30。和45。，在A處測得樓頂部M的仰角為15。，則鸛雀樓的高度約為（）

A.64mB.74mC.52mD.91m

例題2.（23-24高二下?山東荷澤?階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測

得公路北側(cè)一山底C在西偏北30°的方向上；行駛600m后到達(dá)8處，測得此山底C在西偏北75°的方向上,

山頂。的仰角為30°,則此山的高度CD=.

D

敘

I

II11\

/ViJU\\

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卜工.v\

__________8/

例題3.（23-24高一下,湖南長沙?階段練習(xí)）圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜

占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.其中央主體建筑集球，圓柱，

棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高

度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物高為（15g-15）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M,

D三點(diǎn)共線）處測得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30。，則小

明估算索菲亞教堂的高度為米.

例題4.（23-24高一下?河南鄭州?階段練習(xí)）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如

一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學(xué)與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場"大玉米"號稱

中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學(xué)設(shè)計(jì)理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文

化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊(yùn).小米同學(xué)積極開展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，用以下方法測量兩座塔的高度.

⑴為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線AC，使A，綜G共線，在A，綜G

三點(diǎn)用測角儀測得尸的仰角分別為1=45。,月=45。,7=37。，其中測角儀的高度為1米，為了測量距離，小米

騎共享單車，速度為5m/s,從4到4耗時(shí)28s,從耳到G耗時(shí)為原來的2倍，求塔高尸田.（參考數(shù)據(jù)：取

742=6.45，tan37°=0.75）

（2）為測量千璽廣場“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線AN,使A,三點(diǎn)共線，在A8兩點(diǎn)用測角儀

測得P的仰角分別為7,在A處測得8的仰角為尸，測角儀高度忽略不計(jì).小米使用智能手機(jī)運(yùn)動測距

功能，從河南藝術(shù)中心音樂廳入口臺階A處運(yùn)動到水景露天劇場的8處，測得距離人

①試用a,尸，/,幾表示塔高P"；

②若夕=36.7。，a=12.7。，y=53.3o,2=205米，求千璽廣場“大玉米”的實(shí)際高度.

.....................357133

（參考數(shù)據(jù)：取sin36.7°=—,sinl6.6°=-----,sin40.6°=------）

5200205

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?廣西?開學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，

所以也有金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底。的

同一水平面上的A8兩點(diǎn)處進(jìn)行測量，如圖2.已知在A處測得塔頂P的仰角為60。，在8處測得塔頂P的仰

角為45。，AB=25米，ZAOB=30,則該塔的高度OP=（）

圖1圖2

A.25&米B.253米C.50米D.25面米

2.（2024,湖南岳陽?二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳陽

樓記》著稱于世，自古有"洞庭天下水，岳陽天下樓"之美譽(yù).小明為了測量岳陽樓的高度A8,他首先在C

處，測得樓頂A的仰角為60。，然后沿BC方向行走22.5米至。處，又測得樓頂A的仰角為30。，則樓高A3

3.（23-24高一下?重慶渝中?階段練習(xí)）抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡稱"解放碑"，位于重慶市渝

中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的

紀(jì)念碑.如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)A處測得其頂點(diǎn)P的仰角為45、點(diǎn)8處測得其頂點(diǎn)P的仰角為

30，若|AB|=55米，且=，則解放碑的高度OP=米.

4.（23-24高二下?山東荷澤?階段練習(xí)）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氯氣的密度低于

氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機(jī)載加熱器來調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達(dá)到

控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當(dāng)空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用

外還可用于測量.如圖，在離地面高800m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°,

已知/A4c=60°,求山的高度8C.

高頻考點(diǎn)三：測量角度問題

典型例題

例題L（23-24高三上?山東泰安?階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平

面上.某人在點(diǎn)A處測得樓頂?shù)难鼋菫?5。，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)5處，測得仰角為45。，

沿該方向再行走60米到點(diǎn)C處，測得仰角為。.則sin6=（）

11

A.-B.3C.—2D.—

23

例題2.（22-23高一下?河南商丘?階段練習(xí)）位于燈塔A處正西方向相距4行海里的5處有一艘甲船燃油

耗盡，需要海上加油.位于燈塔A處北偏東30。方向有一艘乙船（在C處），乙船與甲船（在5處）相距4若

海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（）

A.西偏南15°B.西偏南30。

C.南偏西45。D.南偏西65°

例題3.（22-23高三上?安徽?階段練習(xí)）某人從山的一側(cè)A點(diǎn)看山頂?shù)难鼋菫?0,然后沿從A到山頂?shù)闹?/p>

線小道行走2006m到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走400m到達(dá)另一側(cè)的山腳8處（AB在同一

水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計(jì)），則其從8點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?，A3的最大值為

m

例題4.（22-23高一下?浙江?期中）如圖，A,8是某海城位于南北方向相距30（1+6）海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，

現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45。，8點(diǎn)南偏東30。的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號，位于8點(diǎn)正西方向且

與2點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時(shí).

（1）求8,C兩點(diǎn)間的距離；

（2）該救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時(shí)間？（參考數(shù)據(jù):

cos21.79°=0.93,角度精確到0.01）

練透核心考點(diǎn)

1.（22-23高一下?湖北武漢?階段練習(xí)）己知甲船在海島5的正南A處，AB=10海里，甲船以每小時(shí)4海

里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島8出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60。的方向駛?cè)ィ?dāng)航行一小

時(shí)后，甲船在乙船的（）

A.北偏東30。方向B.北偏東15。方向

C.南偏西30。方向D.南偏西15。方向

2.（22-23高一下?云南曲靖,階段練習(xí)）冬奧會會徽以漢字"冬"為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將

悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料

得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150°

等特殊角度下.為了判斷"冬"的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了AAB。，測得A2

=5,BD=6,AC=4,AO=3,若點(diǎn)C恰好在邊3。上，請幫忙計(jì)算sinNAC。的值（）

A

D

5A/22

A.-R

9B?李6

3.（21-22高一下?貴州黔東南?期中）如圖，某運(yùn)動員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)15km的

速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時(shí)，在A市南偏東方向距A市75km的8處有一艘小艇，小艇與海岸距離

為45km,若小艇與運(yùn)動員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動員.

1_，北

A7n—"

B

（1）小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動員？

⑵求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角.

4.（20-21高二上?廣東東莞?期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平

原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的一座5G基站A3,已

知基站高A8=50m,該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測

得基站底部B的仰為37。，測得基站頂端A的仰角為45°.

（1）求出山高8E（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛

所在位置）到基站A8所在直線的距離CD=xm,且記在C處觀測基站底部B的仰角為。，觀測基站頂端A

的仰角為△試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測基站的視角/ACB最大？

參考數(shù)據(jù)：sin8?0.14,sin37?0.6,sin45=0.7,sin127?0.8.

高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問題

典型例題

例題1.（22-23高一下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，平面四邊形4反仁￡>,己知/DC4=45,

ACDB=ZADB=30,CD=（布+塔,4cB=60,則A、8兩點(diǎn)的距離是（）

A.4A/3B.y/lOC.6&D.2.s/lO

例題2.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形A3CD中，ZADC=A5°,CD=6BC=2.

⑴若該四邊形ABCD存在外接圓，且AB=0,求AD；

（2）若/BAD=/BC4=60。，求A3.

例題3.（23-24高三上?浙江杭州?期中）己知四邊形A3CZ）內(nèi)接于「O,若AB=1,BC=3,CD=DA=2.

⑴求線段的長.

⑵若/3PD=60。，求PS+PD的取值范圍.

高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題

典型例題

例題1.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=^sin(=-2x)-sin(y+2;t).

(1)若方程f(x)=m在xe[-:，，上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)在形。中，若"3)=-2,內(nèi)角A的角平分線&。=道，AB=E，求AC的長度.

例題2.(23-24高一下?河南鄭州?階段練習(xí))A3C的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,6,c,且

V3sin-sinB-y=0

⑴若sinC=2sinA,求AB在上的投影向量；(用向量3C表示)

⑵若"3,%3苧,即為—的平分線,BE為中線,求需的值.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高一下?廣東湛江■階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cos2x+百sinxcos尤.

(1)求/(X)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵在A6C中，a、b、C分別是角A、B、C的對邊長，若/(A)=l,b=\,ASC的面積為也，求。的

2

值.

2.(23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí))已知

m=^\/3sin^yx,cos<z>xj,n=(cos6yx,-coscox^>0,xGR),f(x)=m-n~—,且/(x)的圖象上相鄰兩條對稱軸

71

之間的距離為彳.

2

⑴求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若ABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為a,6,c,且6=百,〃3)=0,求ABC面積的最大值.

第四部分：新定義題

1.(23-24高一下?福建三明?階段練習(xí))定義非零向量OM=(a,6)的(相伴函數(shù))為

/(x)=asinx+&cosx(xeR),向量OM=(a,6)稱為函數(shù)/(x)=asinx+/?cosx的"相伴向量”(其中O為坐

標(biāo)原點(diǎn))

(1)求〃(x)=cos[x+E]-2cos(x+a)(aeR)的相伴向量；

⑵求(1)中函數(shù)〃(*)的"相伴向量”模的取值范圍；

⑶己知點(diǎn)”(。/)，其中a,6為銳角ABC中角A3的對邊.若角C為三，且向量OM的"相伴函數(shù)"〃力

在x=七處取得最大值.求tan2x。的取值范圍.

2.（23-24高一下?重慶渝中?階段練習(xí)）定義函數(shù)/■（x）=msinx+AKO牘的“源向量"為=非零向量

OM=（W）的"伴隨函數(shù)"為/'（xbrnsinx+acosr,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若向量0M=（1,⑹的"伴隨函數(shù)"為〃尤），求〃尤）在xe[O,可的值域；

⑵若函數(shù)g（x）=Gsin（x+a）的“源向量”為OAf,且以。為圓心，|。/為半徑的圓內(nèi)切于正4ABe（頂點(diǎn)C

恰好在y軸的正半軸上），求證：M42+4加+“02為定值；

⑶在MC中，角A,8,C的對邊分別為4,4C,若函數(shù)Mx）的“源向量"為加=（0,1）,且已知a=8,/7（A）=M，

求k8+Ac|-ARAC的取值范圍.

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過............................................3

高頻考點(diǎn)一：測量距離問題.........................................3

高頻考點(diǎn)二：測量高度問題.........................................6

高頻考點(diǎn)三：測量角度問題.........................................9

高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問題......................................12

高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題........................13

第四部分：新定義題.................................................14

第一部分：基礎(chǔ)知識

1,基線

在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)/目標(biāo)

/視線

加角水平

根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.1

麗甭一視線

線

2、仰角與俯角、目標(biāo)

視線

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂平面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，

目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

3、方位角北］

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角。的范圍是』35。東

04"360.A

4、方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）&,

例：（1）北偏東（2）南偏西a：

5、坡角與坡比

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。為坡角）；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比（坡度），即

,=tan6.

第二部分：高考真題回顧

1.（2021?全國?乙卷理）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，DE和BG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表

高"，EG稱為"表距"，GC和團(tuán)都稱為“表目距"，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

表IWIx表距表iW;x表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

【答案】A

【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】如圖所示：

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

~AB~^H~^C~AC-AH~CH

CG-EH+EGEGxDE表高x表距

即AB=xDE=+DE+表高.

CG-EHCG-EH表目距的差

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：測量距離問題

典型例題

例題1.（23-24高一下?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)+"大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月

16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)"5G+光網(wǎng)"雙千兆城市建設(shè).如圖，某區(qū)域地面有

四個(gè)5G基站，分別為A,B,C,D.已知C,。兩個(gè)基站建在河的南岸，距離為20km,基站A,2在河的

北岸，測得NACB=60。，ZACD=105°,ZADC=3OP,ZADB=60。，貝ijA,8兩個(gè)基站的距離為（）

A.10而kmB.C.15kmD.10A/5km

【答案】A

【分析】首先求得NC4D=45。，在，ACD中，運(yùn)用正弦定理求得AD,進(jìn)一步求得即，由此在△ABD中

利用余弦定理即可求解.

【詳解】在ACD中，ZCAD=180°-105°-30°=45°,

AD

由正弦定理得端

sin105。

CDxsin105°_20x(sin60°cos45°+cos60°sin45°)

/iLJ——-=--1-O-(--V-3-+-1-)--,----------------------

sin45°sin45°

在△3CD中，易知ZBCD=45。，NBDC=9。。，

所以NCBD=45。，所以&)=8=20,

由余弦定理得AB=VAC2+BD2-2xADxBDxcos600=A/600=1076.

故選：A.

例題2.（23-24高一下?江蘇無錫?階段練習(xí)）某貨輪在A處看燈塔8在貨輪北偏東75方向上，距離為12#

nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30方向上，距離8amile.貨輪由A處向正北航行到。處時(shí)，再

看燈塔5在南偏東60方向上，A處與。處之間的距離是nmile,燈塔C與。處之間的距離是

nmile.

【答案】248石

【分析】中，根據(jù)正弦定理，即可求解；一ACD中，根據(jù)余弦定理，即可求解.

【詳解】中，由已知得NB4r>=75,ZBDA=60，所以ZB=45,

ABsinB已限

由正弦定理得A。=f=24(nmile)

sinZADB

2

ACD中，ZCAD=30,由余弦定理，得

CD=ylAC2+AD2-2ACADcos30，

=J(8V3)2+242-2X8>/3X24X^，

=V192+576-576=873（nmile）

所以燈塔C與D處之間的距離為8扃mile.

故答案為：24,873

例題3.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一

種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到8,然后從8沿直線步行到C,現(xiàn)有甲、乙兩位

游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min,在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到8,在B處停

留Imin后，再勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量得

cosA=——,sinB=—

1365

（1）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

⑵為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【答案】（D=35min

【分析】（1）先求得sinC,然后由正弦定理求得A3,假設(shè)乙出發(fā)rmin后，甲、乙兩游客距離為d,利用

余弦定理列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得d的最小值.

（2）根據(jù)"兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min"列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.

【詳解】（1）由題意cosA=||,sinB=fj,且8為鈍角、A為銳角，

1365

所以sinA=』，cosB=-Vl-sin2B=--,

1365

在《ABC中sinC=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB=-x|--|+—x—=—,

13v63y65135

AB=1260

由正弦定理「；=—二,可得丁一京，解得AB=1040（m）.

所以索道AB的長為1040m,

假設(shè)乙出發(fā)rmin后（乙在纜車上），甲、乙兩游客距離為d,

此時(shí)甲行走了（100+50f）m,乙距離A處130/m,

由余弦定理得儲=(100+50?)2+(130r)2-2x130?x(100+50r)x—

=200(37r-70?+50),

因?yàn)閛wtw-]30-，BPO<r<8,

又函數(shù)y=37/-70f+50的對稱軸為r=二，開口向上,

所以當(dāng)U二min時(shí)，甲、乙兩游客之間距離最短.

BCAC

（2）在中由正弦定理

sinAsinB

“?，AC51260…

左力/口BC=smAx------=—x———=500m

解得sin81363,

65

乙從5出發(fā)時(shí)，甲已走了50x(2+8+l)=550m,還需要走1260—550=710m才能到達(dá)C,

設(shè)乙步行的速度為vm/min（v>0）,

上舊上,口c500710?1250

由題意得-34---------<3,解得一丁

v504314

所以為了使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min,

1250625

乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：m/min）范圍之內(nèi).

43'瓦

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?湖南衡陽?階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺A向北偏東60方向發(fā)射炮彈，炮臺8向北

偏西30方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中10km外的同一目標(biāo)，則48兩炮臺在東西方向上的距離為（）

A,卜6+5）kmB.（56-5）kmC.^573+iojkmD,^573-lojkm

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意先求得A3之間在南北方向上的距離，繼而可求得AB兩炮臺在東西方向上的距離.

【詳解】法一：由題意得，A在5北偏西75方向上，

A3之間在南北方向上的距離為10cos3。-10cos60=5（百-1）,

則A3在東西方向上的距離為5（道-1卜曲75,

tan30+tan45

其中tan75=tan(30+45)==A/3+2，

1-tan30tan45

因此5（石-l）tan75=5（同-1）（n+2）=5（石+1）,

法二：過炮臺點(diǎn)E作東西方向的水平線交正北方向分別為R尸點(diǎn)，

則由圖知。尸=DE+斯=AEsin60+BEsin30=10X^+10X-=5A/3+5.

22

故選：A.

2.（23-24高一下?福建泉州?階段練習(xí)）如圖，要測量河對岸C,。兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測點(diǎn)

4,B,并測得A,8間的距離為204m,ZDAB=75°,ZCAB^30°,AB±BC,ZABD=60°,則C,D

兩點(diǎn)間的距離為多少？

【答案】loVio

【分析】在RTZXABC中求出BC,在中求出50,在△BCD中，利用余弦定理求解。.

【詳解】在RTAABC中，BC=ABtanZCAB=2073xtan30°=20,

在△ABD中，ZADB=180°-ZDAB-ZABD=45°,

BDAB

由正弦定理得

sinZDAB-sinZADB

r20氐盧+

222

所以①9=2°.xsin75=——IJ=10（3+^）.

sin4512v7

~T

在△BCD中，由余弦定理可得：

DC2=202+100（3+@2-2x20x10（3+A/3）XCOS30°=1000,

解得Z）C=10幅.

3.（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖A3是在沿海海面上相距15+5港海里的兩個(gè)哨所，8位于A的正

南方向.A哨所在凌晨1點(diǎn)發(fā)現(xiàn)其南偏東30方向處有一艘走私船，同時(shí)，8哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向

上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于A點(diǎn)南偏西30的。點(diǎn)，且A與。相距20代海里，試求:

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船與哨所A的距離；

(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？

⑶若緝私艇得知走私船以10若海里/時(shí)的速度從C向北偏東15方向逃竄，立即以30海里/時(shí)的速度進(jìn)行追

截，緝私艇至少需要多長時(shí)間才能追上走私船？

【答案】(1)10指

⑵走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東60方向上

(3)"+回小時(shí)

4

【分析】(1)在「ABC中根據(jù)正弦定理可得結(jié)果；

(2)在一ACD中根據(jù)余弦定理可得結(jié)果；

(3)在VCD暇中由余弦定理可得結(jié)果.

【詳解】(1)由C在A的南偏東30,在3的東北偏方向，在31BC中，

ZABC=45,/CAB=45,ZACB=105,由正弦定理得網(wǎng)=四］,

sinZACBsinZABC

15+5-\/3|4C.1CU.(ACr(\\.ACrf\AC./C"\/6+\/2

/.-----------=------—,sinl05=sm(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=-----------

sinl05sin451)4

代入上式得：|AC|=10石海里.

答：走私船C與觀測點(diǎn)A的距離為10如海里；

(2)在ACD中，|AC|=10西海里，|4。|=204海里，ADAC=60,

.-.|r>C|2=|AD|2+|AC|2-2|AD|X|AC|XCOS60.

=1200+300-2X10A/3X20A/3X-,

2

.-.|DC|2=900,解得|Z>q=30海里,

|Ar>「+|￡>C『.AC『Q)@2+302-(10@]/

又cos/ADC=

2\AD\\DC~2X2073X105/3-2

且0<NAT)C<180,所以/ADC=30°,

故剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東60方向上.

(3)設(shè)/小時(shí)后緝私艇在加處追上走私船，則|MC|=10后,|DM|=30r,

又/￡(C4=90°,NDCM=90+30+15=135，

在VCDM中，由余弦定理得=|DC「+|MC「-2|OC|x|Mqxcosl35,

900r2=300r+900-2x10"x30xcosl35?,化簡得2產(chǎn)一倔-3=0

解得.=&+屈.故緝私艇至少需要?^小時(shí)追上走私船.

44

4.(23-24高一下?四川資陽?階段練習(xí))如圖，某公園有三條觀光大道ABICAC圍成直角三角形，其中直

角邊BC=200m,斜邊AB=400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在A3,3C,AC大道上嬉戲，

⑴若甲、乙都以每分鐘100m的速度同時(shí)從點(diǎn)5出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)。，乙出發(fā)

1分鐘后到達(dá)E,求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；

(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn)。，耳尸."CEF=9,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，

且N￡>EF=],請將甲、乙之間的距離V表示為。的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.

【答案】⑴lOOjfm；

_50/>?71_

⑵丫一?-0-3；50Gm.

sm("+—)

【分析】(1)根據(jù)題意，得到8。和班的長，在△出)E中，利用余弦定理，即可求得甲乙兩人之間的距

離；

(2)再中，由正弦定理可得a。。一2?osJ=尢,可將甲乙之間的距離V表示為。的函數(shù)，進(jìn)而

sin0sm60

求得甲乙之間的最小距離.

【詳解】(1)解：由題意，可得9=300,5￡=100,

在直角_ABC中，可得cos人器j因?yàn)樽Γā＂?所以吟,

在△BDE中,由余弦定理得￡＞爐

=3002+1002-2X300X100X1=70000,所以DE=10077,

答：甲、乙兩人之間的距離為10077m.

(2)解：由題意，可得EF=2DE=2y且NBDE=NCEF=6,

在直角△CEF中，可得CE=EF?cosNCEF=2ycos6

在△&）石中，由正弦定理得.二zDE200-2^cos0_y

sinZBDEsinZDBEsin0sin60°

100A/3_50A/3”“兀

所以y=Gcose+sine=1^M'5,所以當(dāng)夕=?時(shí)，y有最小值50Al

oiii^cz十3）o

答：甲、乙之間的最小距離為504m.

5.（23-24高一下?上海?階段練習(xí)）海上某貨輪在A處看燈塔8在貨輪的北偏東75。，距離為12面海里；在

A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離為84海里；貨輪向正北由A