2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（學(xué)案+練習(xí)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展29立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(精講+精練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'空間向量與立體幾何的求解公式

(1)異面直線成角：設(shè)。，方分別是兩異面直線/1,/2的方向向量，則與所成的角。滿足：COS。=瑞;

(2)線面成角：設(shè)直線/的方向向量為0,平面a的法向量為〃，a與"的夾角為從

則直線/與平面?所成的角為6滿足：sin。=|3川=耨.

(9)二面角：設(shè)“1,"2分別是二面角a—/一￡的兩個(gè)半平面a,0的法向量，

則兩面的成角，滿足：COS9=COS<711,n2>=,l?l|-|?2|；

注意：二面角的平面角大小是向量“1與"2的夾角或是向量"1與"2的夾角的補(bǔ)角，具體情況要判斷確定.

(4)點(diǎn)到平面的距離：如右圖所示，已知AB為平面a的一條斜線段，”為平面a的法向量

則點(diǎn)8到平面a的距離為：|尻)|=啥工即向量劭在法向量〃的方向上的投影長(zhǎng).

二'幾種常見(jiàn)角的取值范圍

__JT__TT

①異面直線成角e(o,引；②二面角口0,利；③線面角曰0,N；④向量夾角引0,兀］

三、平行構(gòu)造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構(gòu)造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五'用向量證明空間中的平行關(guān)系

⑴線線平行:設(shè)直線A和(的方向向量分別為也和小則，1〃/2(或(與，2重合)01〃也.

(2)線面平行：設(shè)直線/的方向向量為%平面a的法向量為"，則/〃a或/uae_L".

(9)面面平行：設(shè)平面a和萬(wàn)的法向量分別為"1,即，貝Ua〃.Uto””

六'用向量證明空間中的垂直關(guān)系

⑴線線垂直：設(shè)直線11和h的方向向量分別為VI和也，則Z1±Z2<=?1J-V2<^VvV2=0.

(2)線面垂直：設(shè)直線/的方向向量為匕平面a的法向量為"，則/J_ae〃

(9)面面垂直：設(shè)平面a和￡的法向量分別為明和“2,貝I]a_L￡uwiJ_"2Uwr"2=0.

七、點(diǎn)面距常用方法

①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②等體積法；③向量法

二、題型精講精練

【典例1](2022?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱ABC-AB.G中,側(cè)面BCCR為正方形，平面BCC,B11

平面AB瓦A，AB=BC=2,M,N分別為A與，AC的中點(diǎn).

B[M,

⑴求證：MN〃平面BCGB1；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接MKWK,可證平面〃平面BCC14,從而可證MN〃平面BCC禺.

(2)選①②均可證明3片，平面A3C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面

角的正弦值.

【詳解】(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接

由三棱柱ABC-44G可得四邊形A即A為平行四邊形，

而B(niǎo)、M=MAl,BK=KA,則MK//BB],

而MK<Z平面Bec#,平面BCC4，故MK〃平面BCGB1，

而CN=NA,BK=KA,則NK//3C,同理可得NK//平面BCCM,

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCGB],而MNu平面MKN,故〃平面BCC1耳，

(2)因?yàn)閭?cè)面BCG4為正方形，故CBLBB],

而CBu平面BCG耳，平面CBBG1平面ABB^,

平面CBB￡c平面ABB^=BB],故C3，平面ABB^,

因?yàn)镹KMBC,故M_L平面4刀片4,

因?yàn)锳Bu平面故NKLAB,

若選①，則ABLMN,而腔，48,NKCMN=N,

故Afil平面MVK,而砂＜=平面肱VK,故AB_LMK,

所以而CBcAB=B,故臺(tái)⑻，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

設(shè)平面3M0的法向量為"=（x,y,z）,

n?BN-0x+y=0，—/、

則_八，從而y+2z=。'取z=T，則〃=(R),

n?BM=0

設(shè)直線A8與平面3NM所成的角為。，則

sin6=

若選②，因?yàn)镹KHBC,故雁，平面而XMu平面M7OV,

故NK1KM,而，故B\M=NK,

而，MB=MN,故ABB、M=AMKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故AlB{1BBt,

而CBcAB=B,故臺(tái)用，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0，一/、

則一八，從而y+22=0'取z=T，則"=(一2,2,-1),

n-BM=0

設(shè)直線A3與平面BMW所成的角為e,則

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、解答題

1.(2029?北京海淀??？既?如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD

7T

為等腰直角三角形，且NPAO=彳，點(diǎn)P為棱尸C上的點(diǎn)，平面ADF與棱尸5交于點(diǎn)E.

2

(1)求證：EF//AD-,

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面PCD與平面ADEE所成銳二面角的

大小.

條件①：AE=&;

條件②：平面B4D_L平面A3CD；

條件③：PBLFD.

2.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABIGD］中，AB=AD=^AA,=1,E為。2的中點(diǎn).

⑴證明：平面E4B_L平面EAG；

(2)若點(diǎn)/在AERG內(nèi)，且DF〃BE,從下面三個(gè)結(jié)論中選一個(gè)求解.

①求直線與平面切1G所成角的正弦值；

②求平面E4B與平面所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-AC,的余弦值.

注：若選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

9.(2029?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-A由G中，明，平面ABC,AB=AC=AA,=1,M

為線段AG上一點(diǎn)，平面3cM交棱A耳于點(diǎn)尸.

(1)求證：FM//BC;

TT

(2)若直線AB】與平面BCN所成角為:，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求點(diǎn)4到

4

平面BCM的距離.

條件①：AB1AC；

條件②：BC=V2-

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

4.(2029?北京海淀??？既?在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC[}BD=O,且/

平面ABCD,尸0=2,￡G分別是尸。的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且AP=3AE.

⑴求證：3￡)〃平面瓦6；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線24與平面所G所成角的正弦值.

條件①：BD=2A/3;

條件②：ZDAB=y.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.

5.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖在幾何體ABCDEE中，底面ABCD為菱形,

ZABC^60°,AE//DF,AEYAD,AB=AE=2DF^2.

(1)判斷是否平行于平面C即，并證明;

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

Ci)平面ABCD與平面CEF所成角的大??；

(ii)求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

條件①：面E43_L面A3CD

條件②：BD±CE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

6.(2029?北京??？寄M預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-中，AB1BC,AD//BC,尸8,底面A3CD,M

為棱PC上的點(diǎn)，PB=AB=BC=2,AD=1.

(1)若90〃平面BIB,求證：點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求平面與平面8nM夾角的余弦值.

條件①：7M//平面

條件②：直線8M與8。夾角的余弦值為(

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，/ABC=60。，四邊形PAQ2為矩

形，PA=],從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第

一個(gè)解答計(jì)分).

①與平面A3CD所成角相等；②三棱錐P-AB。體積為且；③cos/BPA=^~

35

(1)平面PAC。_L平面ABCD-,

(2)求二面角8-尸。-。的大小;

(9)求點(diǎn)C到平面加。的距離.

8.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖在三棱柱ABC-A4G中，。為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2,

ZAAiBl=NB[BC.

⑴證明：BBt±AC；

⑵若且滿足：,(管堆條件).

從下面給出的①②③中選擇可個(gè)填入待選條件，求二面角B-BQ-G的正弦值.

①三棱柱ABC-44Q的體積為3g;

②直線AB,與平面BCQBi所成的角的正弦值為叵；

13

③二面角A-BB.-C的大小為60°；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

9.（2029?甘肅蘭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的五邊形幽4DC中ABCD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿

5c折疊成四棱錐S-ABCD,點(diǎn)”是8c的中點(diǎn)，SM=2.

⑴在四棱錐S-ABCD中，可以滿足條件①SA=#；?cosZSBM=—；③sinNSAM=@,請(qǐng)從中任選

53

兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面SBC,底面ABCD；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)

分.）

（2）在（1）的條件下求直線SC與平面SW所成角的正弦值.

10.（2029?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，ZACB=^5°,BC=3,過(guò)點(diǎn)A作交線段BC于點(diǎn)。

（如圖1）,沿A￡＞將△ABD折起，使/比9=90。（如圖2）,點(diǎn)分別為棱BC,AC的中點(diǎn).

⑴求證：;

—4__.9—?1—.

(2)在①圖1中tan28=-§,②圖1中AO=1A2+§AC,③圖2中三棱錐A-3C￡)的體積最大.

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，再解答問(wèn)題.

問(wèn)題：已知，試在棱。上確定一點(diǎn)N,使得印，8Af,并求平面3MN與平面C3N的夾角的

余弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

11.(2029?甘肅蘭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖所示的五邊形S5WC中A3CD是矩形，BC=2AB,SB=SC,

沿BC折疊成四棱錐S-ABCD,點(diǎn)"是BC的中點(diǎn)，SM=2.

(1)在四棱錐S-ABCD中，可以滿足條件①&4=#；@cosZSBM=—;③sin/SAM=漁，請(qǐng)從中任選

53

兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面SBC,底面ABCD；(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)

分.)

⑵在(1)的條件下求點(diǎn)加到平面生⑦的距離.

12.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐A-BCDE中，側(cè)棱平面BCDE,底面四邊形BCDE

是矩形，AB=BE=4,點(diǎn)P、”分別為棱AE、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)/在棱BE上.

RF1

(1)^—=-,求證：直線〃平面PCP；

BE3

(2)若3c=2,從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立.

①平面ADE與平面ABC的交線為直線/,/與直線CP成角的余弦值為亭；

②二面角P-CF-E的余弦值為逅.

注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(2029?江蘇鹽城?鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是矩形，即，底

面ABC。，S.PD=AD=2,E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段交于點(diǎn)冗

F

(1)證明：E為P。的中點(diǎn)；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.

條件①：三角形2cp的面積為M；

條件②：三棱錐尸-3CF的體積為1.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

14.(2029?北京?高三專題練習(xí))如圖，已知直三棱柱ABC-4瓦0中，AB^AC=2,。為BC中點(diǎn)，M=2-

再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成以下問(wèn)題：

G小

(1)證明：ABt1BCX-

(2)求直線BCt與平面A^D所成角的正弦值.

條件①：B,D±BC1；

條件②：BC=2s/2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

15.(2029?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知四棱錐E-ABCO,底面A3CD是平行四邊形，

jr

且ND48=m，AD=2A8=2,BE=PE,P是線段AD的中點(diǎn)，BEVPC.

⑴求證：PC_L平面8PE；

(2)下列條件任選其一，求二面角P-EC-3的余弦值.

_77

①AE與平面A3co所成的角為:；

4

②D到平面EPC的距離為走.

4

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按一個(gè)解答計(jì)分.

16.(2029?江蘇?統(tǒng)考三模)如圖，三棱錐尸一ABC的底面為等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=2.D,E

分別為AC,BC的中點(diǎn)，P。，平面ABC,點(diǎn)M在線段PE上.

(1)再?gòu)臈l件①、②、③、④四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得平面M2。，平面P8C,并給予證明；

(2)在(1)的條件下，求直線8P與平面MB。所成的角的正弦值.

條件①：PD=^2;

條件②：/PED=60°；

條件③：PM=9ME：

條件④：PE=9ME.

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展29立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(精講+精練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'空間向量與立體幾何的求解公式

(1)異面直線成角：設(shè)。，方分別是兩異面直線/1,/2的方向向量，則與所成的角。滿足：COS。=瑞;

(2)線面成角：設(shè)直線/的方向向量為0,平面a的法向量為〃，a與"的夾角為從

則直線/與平面?所成的角為6滿足：sin。=|3川=耨.

(9)二面角：設(shè)“1,"2分別是二面角a—/一￡的兩個(gè)半平面a,0的法向量，

則兩面的成角，滿足：COS9=COS<711,n2>=,l?l|-|?2|；

注意：二面角的平面角大小是向量“1與"2的夾角或是向量"1與"2的夾角的補(bǔ)角，具體情況要判斷確定.

(4)點(diǎn)到平面的距離：如右圖所示，已知AB為平面a的一條斜線段，”為平面a的法向量

則點(diǎn)8到平面a的距離為：|尻)|=啥工即向量劭在法向量〃的方向上的投影長(zhǎng).

二'幾種常見(jiàn)角的取值范圍

__JT__TT

①異面直線成角e(o,引；②二面角口0,利；③線面角曰0,N；④向量夾角引0,兀］

三、平行構(gòu)造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構(gòu)造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五'用向量證明空間中的平行關(guān)系

⑴線線平行:設(shè)直線A和(的方向向量分別為也和小則，1〃/2(或(與，2重合)01〃也.

(2)線面平行：設(shè)直線/的方向向量為%平面a的法向量為"，則/〃a或/uae_L".

(9)面面平行：設(shè)平面a和萬(wàn)的法向量分別為"1,即，貝Ua〃.Uto””

六'用向量證明空間中的垂直關(guān)系

⑴線線垂直：設(shè)直線11和h的方向向量分別為VI和也，則Z1±Z2<=?1J-V2<^VvV2=0.

(2)線面垂直：設(shè)直線/的方向向量為匕平面a的法向量為"，則/J_ae〃

(9)面面垂直：設(shè)平面a和￡的法向量分別為明和“2,貝I]a_L￡uwiJ_"2Uwr"2=0.

七、點(diǎn)面距常用方法

①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②等體積法；③向量法

二、題型精講精練

【典例1](2022?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱ABC-AB.G中,側(cè)面BCCR為正方形，平面BCC,B11

平面AB瓦A，AB=BC=2,M,N分別為A與，AC的中點(diǎn).

B[M,

⑴求證：MN〃平面BCGB1；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接MKWK,可證平面〃平面BCC14,從而可證MN〃平面BCC禺.

(2)選①②均可證明3片，平面A3C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面

角的正弦值.

【詳解】(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接

由三棱柱ABC-44G可得四邊形A即A為平行四邊形，

而B(niǎo)、M=MAl,BK=KA,則MK//BB],

而MK<Z平面Bec#,平面BCC4，故MK〃平面BCGB1，

而CN=NA,BK=KA,則NK//3C,同理可得NK//平面BCCM,

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCGB],而MNu平面MKN,故〃平面BCC1耳，

(2)因?yàn)閭?cè)面BCG4為正方形，故CBLBB],

而CBu平面BCG耳，平面CBBG1平面ABB^,

平面CBB￡c平面ABB^=BB],故C3，平面ABB^,

因?yàn)镹KMBC,故M_L平面4刀片4,

因?yàn)锳Bu平面故NKLAB,

若選①，則ABLMN,而腔，48,NKCMN=N,

故Afil平面MVK,而砂＜=平面肱VK,故AB_LMK,

所以而CBcAB=B,故臺(tái)⑻，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

設(shè)平面3M0的法向量為"=（x,y,z）,

n?BN-0x+y=0，—/、

則_八，從而y+2z=。'取z=T，則〃=(R),

n?BM=0

設(shè)直線A8與平面3NM所成的角為。，則

sin6=

若選②，因?yàn)镹KHBC,故雁，平面而XMu平面M7OV,

故NK1KM,而，故B\M=NK,

而，MB=MN,故ABB、M=AMKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故AlB{1BBt,

而CBcAB=B,故臺(tái)用，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0，一/、

則一八，從而y+22=0'取z=T，則"=(一2,2,-1),

n-BM=0

設(shè)直線A3與平面BMW所成的角為e,則

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、解答題

1.(2029?北京海淀??？既?如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD

7T

為等腰直角三角形，且NPAO=彳，點(diǎn)P為棱尸C上的點(diǎn)，平面ADF與棱尸5交于點(diǎn)E.

2

(1)求證：EF//AD-,

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面PCD與平面ADEE所成銳二面角的

大小.

條件①：AE=&;

條件②：平面B4D_L平面A3CD；

條件③：PBLFD.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由底面A3CZ）是正方形得AD//8C,用線面平行的判定定理證得"）〃平面P5C,再用線面平

行的性質(zhì)定理證得EF〃AD;

（2）若選條件①②，由平面R4￡>_L平面A3CD得PA.LAD,由ABC。為正方形得,即

可建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，從而求出平面ADEE和平面PCD的法向量，代入夾

角公式即可求出平面PCD與平面皿石所成銳二面角的大??；若選條件①③，易證得平面尸/皿，從

而證得包），尸3,所以尸8,平面ADEE,從而得到PBLAF,又因?yàn)锳E=0,則可說(shuō)明為等腰直

角三角形，即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，下面用與①②相同的過(guò)程求解；若選條件②③，由平

面尸AZ）_L平面A3CD,可證R4_L平面A3c。，所以上4_LAB,PA±AD,又由尸B_L平面ADfE,可證

PB±AE,結(jié)合”=AB可得點(diǎn)E為尸8的中點(diǎn)，貝?。┛傻肁E=0,即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，

下面用與①②相同的過(guò)程求解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,ADo平面PBC,所以AD//平面PBC,

又因?yàn)槠矫鍭DP與9交于點(diǎn)E,ADu平面ADFE,平面RBCc平面"）在=族，

所以砂/MD.

（2）選條件①②，則4￡=0，平面PAD_L平面A3CD

因?yàn)閭?cè)面尸AD為等腰直角三角形，且NPAD=5，即B4=AD=2,PA±AD,

因?yàn)槠矫鍾4T>_L平面ABCD,平面上4。c平面ABC。=AD,E4u平面PA。，

所以PA_L平面A3CD,

又因?yàn)锳Bu平面ABC。，ADu平面A5cD,所以R4_LAB,PA±AD,

又由ABCD為正方形得AB_L.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸，V軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-AYZ,

則，尸(0,0,2),C(2,2,0),3(2,0,0),0(0,2,0),

因?yàn)锳E=后，所以點(diǎn)E為尸8的中點(diǎn)，則E(l,0,D,

從而定=(2,2,-2),AD=(0,2,0),AE=(1,O,1),甥=(0,2,—2),

為.A.E—xz—0

設(shè)平面AQFE的法向量為日=(x,y,z),貝!J-'

n-AD=2y=0,

令x=l,可得J=(l,0,-1),

一mPD=2Z?-2c=0,

設(shè)平面PC。的法向量為機(jī)=(a,b,c),貝!J-,

m?PC=2a+2b-2c=0,

令b=l,可得麗=(O,L1),

mm—?\n-m\1

所以|cos<n,m>\=一一二—,

IH||m|2

則兩平面所成的銳二面角為g.

選條件①③，貝!|AE=0,PBLFD.

JT

側(cè)面PAO為等腰直角三角形，且/PAD=5，即m=AD=2,PA1.AD,

因?yàn)锳D2AB,PAC\AB=A,且兩直線在平面7^45內(nèi)，可得AD_1_平面

因?yàn)槭?u平面E4B,則ADJLEB.

又因?yàn)锳D^FD^D,且兩直線在平面ADPE內(nèi)，

則尸3_L平面ADPE,

因?yàn)锳Eu平面ADFE,則尸B_LAE,

因?yàn)?=AB,所以AA4B為等腰三角形，所以點(diǎn)E為尸8的中點(diǎn).

又因?yàn)锳E=0,所以“MB為等腰直角三角形，

則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下用與①②相同的過(guò)程求解.

選條件②③，則平面PA￡>_L平面A3c。，PB1FD.

因?yàn)閭?cè)面PAD為等腰直角三角形，且=

PA=AD=2,PA±AD,

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,平面PADc平面A6CD=A￡）,B4u平面PAD,

所以PA_L平面ABC。，

又因?yàn)锳Bu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4J_AB,PA±AD,

又由ABCD為正方形得ABA.AD.

因?yàn)镻B1.FD,AD^FD=D,且兩直線在平面ADFE內(nèi)，則尸3JL平面AD尸E,

因?yàn)锳Eu平面ADFE,則尸8_LAE,

因?yàn)樯?=AB,所以△尸AB為等腰三角形，所以點(diǎn)E為尸3的中點(diǎn)，則AE=VL

則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下的過(guò)程與①②相同.

2.（2029?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體A3CD-ABCQ］中，AB=AD=^AAl=l,E為。2的中點(diǎn).

⑴證明：平面E4B_L平面；

(2)若點(diǎn)f在AEAG內(nèi)，且可〃BE,從下面三個(gè)結(jié)論中選一個(gè)求解.

①求直線8尸與平面2G所成角的正弦值；

②求平面E4B與平面E4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-4G的余弦值.

注：若選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)故以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4耳，A2，AA所在直線分別為X軸，y軸，z軸的正方向建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫Z,分別求出平面胡氏平面E4G的法向量雇%,由展區(qū)=0,即可證明；

(2)選①，分別求出直線成的方向向量與平面EAC的法向量，由線面角的向量公式求解即可；選②、

③，分別求出兩個(gè)平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【詳解】(1)因?yàn)锳BCD-aqGA是長(zhǎng)方體，所以4A,44，A2兩兩垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4月，42，AA所在直線分別為X軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

因?yàn)?==1,所以A(0,0,2),2(1,0,2),E(0,l,l),A(0,0,0),Q(1,1,0).

則荏=(1,0,0),AE=(O,l,-l),4G=(1,1,0),乖=(0,1,1).

小而=。,%二。，

設(shè)平面EAB的法向量為1=(%,為4),貝卜

雇m=0,%一4=0,

令％=1,貝!)占=0,4=1,得"1=(0,1,1)；

一,、,AC.=0,%+%=°，

設(shè)平面EAG的法向量為%=(%,%,zj,貝!|2.L即

y+z2=°，

n2?AXE—0,2

令無(wú)2=1,則％=T，Z2=l,得后=(1,T,1).

因?yàn)椴穙s(),礙卜普號(hào)=0,所以?疝，故平面EAB,平面EAG.

國(guó)陽(yáng)

(2)取8月的中點(diǎn)H,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)易得3"〃E，，，連接印九

所以四邊形BHD’E為平行四邊形，BE//HD,,

因?yàn)辂?(1,一1,1)=足，所以3E_L平面EAG，

所以，平面E4c,即R尸±平面EAC.

由AEA?是等邊三角形，易得三棱錐，-AGE為正三棱錐,

所以點(diǎn)F為等邊A￡AG的中心，故尸而='，-3累?

選擇結(jié)論①:

由(1)得平面碼￡的一個(gè)法向量為E=

■網(wǎng)3而

設(shè)直線BF與平面所成角為e,而F

所以BF與平面EAG所成角的正弦值為斗.

選擇結(jié)論②:

由⑴得平面EAB的一個(gè)法向量還(0,1,1),又西(m］，麗=

m?FA=0,〃+2?！?c=0,

設(shè)平面FAB的法向量為溫=(a,Z?,c),貝卜

m?FB=0,2a-2b+5c=Q,

令a=0,得b=5,c=2,則m=（0,5,2）.

%-m

設(shè)平面FAB與平面EAB所成角為6,貝！|cos夕=|cos(雇m^=7A/58

58

選擇結(jié)論③:

因?yàn)辄c(diǎn)F在△SAG內(nèi)，D、F〃BE,所以尸為直線HR與平面△EAG的交點(diǎn),

所以平面FAG的一個(gè)法向量為后=(I,T1).

又麗=1二2）

1一3切

一,、m-FA=0,f〃+2Z?-5c=0,A

設(shè)平面FAB的法向量為機(jī)=（a,4c）,貝!―k即＜_八令a=。，得b=5,c=2,則

m?FB=0,12?！?Z?+JC=0,

m=（0,5,2）.

n2-m扃

設(shè)二面角AB-b-A￡為巴則cos6=|cos=

H2||m

觀察圖形可得二面角AB-尸-AG為鈍二面角'所以二面角-尸-4G的余弦值為-嚕.

z，

9.（2029?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-4月￡中，的，平面ABC,AB=AC=AAi=l,M

為線段AG上一點(diǎn)，平面3CN交棱A用于點(diǎn)尸.

⑴求證：FM//BC;

TT

（2）若直線AB】與平面3CN所成角為:，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求點(diǎn)A到

4

平面BCM的距離.

條件①：AB1AC；

條件②：BC=y/2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）-.

3

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.

【詳解】（1）證明：由題意可知，

因?yàn)槿庵鵄BC-，的，平面ABC

所以側(cè)面用GCB為矩形

.?.BC/IBC

QBC|U面ABC1,BCa平面A4cl

.?.》c//平面44G

又,「平面BCMp平面44G=FM

且BCu平面5cMp

:.BC//FM

（2）解：若選擇條件①，

?.?例_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

AA1AC,AAXLAB,

XvABlAC

AB,AC,A4,兩兩垂直；

若選擇條件②，

VM-L￥?ABC,ACu平面ABC,Mu平面A5C,

1AC,AAXLAB,

X-.AB=AC=1,BC=6,

:.BC2=AB2-^AC2,

：.ABAC=90°

:.AB±AC

A3,AC,M兩兩垂直；

以下條件①和條件②的計(jì)算過(guò)程相同,

因?yàn)锳氏ACAA兩兩垂直，所以如圖建立空間直角坐直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z.

可得A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),A(0,0,1),B](1,0,1),G(0,1,1).

貝！|前二(—1,1,0),宿=(1,0,1),A5=(1,0,—1).

設(shè)病=4宿(0<4<l),

貝！|麗=虱+而？=西+力隔*

=(-1,0,1)+2(0,1,0)=(-1,2,1).

設(shè)7=O,y,z)為平面BCM的法向量,

n-BC=0,「一%+y=0

則<_____.即<

n-BM-0,[-x+Ay+z=0

令x=l,貝！|丁=1,z=l—X,可得為=(1,1,1一4).

7iI----??A旦,幾|2-Al\/2

貝！]sin—=cosAB,,司=---n~~-=——/==——.

4??|碉同代〃2-22+32

解得X=貝!=

1

因?yàn)橥?/p>

3

所以點(diǎn)A到平面BCM的距離為|

4.（2029?北京海淀??？既＃┰谒睦忮FP-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC[\BD=O,且尸01

平面ABCD,「。=2,￡3分別是「反2。的中點(diǎn)，E是叢上一點(diǎn)，S.AP=3AE.

p

⑴求證：3￡)〃平面所G；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線R4與平面EFG所成角的正弦值.

條件①：BD=273；

條件②：ZDAB=y.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵|.

【分析】(1)通過(guò)證明如〃GV即可證明結(jié)論；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量PA坐標(biāo)與平面所G法向

量坐標(biāo)，即可得答案.

【詳解】(1)因G,F分別為尸3PB中點(diǎn)，則GP為△PD3中位線，則G尸//。以

又8DU平面6砂，3尸匚平面3斯，則30//平面所G.

(2)如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

若選①，因20=26，底面A3CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則04=1,0。=08=6，

若選②，因=底面A3CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則。1=1,O。=OB=百，

貝!]A(1,0,0),8僅，出,o),r)僅，一60),尸(0,0,2),G。，-苧1，/0,y-,1

\7\7

所以距=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0).

-AP,得無(wú)=近+!AP=|二2,0,2;|.

XAP=3AE貝！=

933I33J

2正]21

則E，方=,EG=

"3'V'3“一萬(wàn)"3

\77

設(shè)平面EFG法向量為3=(尤,y,z),貝!].

得元=(1,0,2),又，設(shè)直線與平面石尸G所成角為凡

PAn

則sin0=

可w丹1

5.(2029?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖在幾何體ASCDFE中，底面ABCD為菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AELAD,AB^AE=2DF=2.

(1)判斷AD是否平行于平面CEF,并證明；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求:

(i)平面ABCD與平面CEF所成角的大??；

(ii)求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

條件①：面石45_1面43?！?

條件②：BDLCE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)4。與平面CEb不平行，證明見(jiàn)解析

(2)(i)-；(ii)72

4

【分析】(1)利用線面平行的判定定理構(gòu)造平行四邊形得線線平行，即可得結(jié)論；

(2)選擇條件證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角及點(diǎn)到

平面距離.

【詳解】(1)AO不平行于平面CEP,理由如下：

取AE中點(diǎn)G,

因?yàn)锳E〃。尸,AE=2。尸，所以AG//OF,AG=D尸

則四邊形AGFD為平行四邊形，所以"》〃GF,又GFcEF=F,所以AO不平行于收，

假設(shè)">//平面CEF,因?yàn)槠矫鍯￡Fc平面=ADu平面AD班；

所以AD〃所，與AO不平行于所矛盾，所以假設(shè)不成立，即AD不平行于平面CM；

(2)選擇條件①：

取8中點(diǎn)M,連接AM

因?yàn)榱庑蜛BCD,ZABC=60。，所以AACD為正三角形，又加為。中點(diǎn)，所以AMLCD,

由于AB〃CD,所以

又因?yàn)槊?18_1面ABC。，面面ABCD=AS,AA/u面A3Q)

所以A"上面E4B,因?yàn)锳Eu面E4B,所以AA/_LAE

又因?yàn)锳E_LAD,AMcA￡>=A,A〃,ADu面ABC。，所以位_1面43?！辏?

而A8,AMu面ABCD,所以AEJ_AB,AE1AM

所以如圖，以A為原點(diǎn)，所在直線為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,8（2,0,0）（（1,亞0）,￡＞（-1?瘋0）,石（0,0,2）,尸（-1,后1）

（i）因?yàn)槿薧^面A3CD,所以^￡=（0,0,2）為平面43。0的一個(gè)法向量

設(shè)平面C即的法向量為3=（x,y,z）,因?yàn)榍?卜1,-6,2）,#=（-2,0,1）

n,CE=—x—y/3y+2z—0y=-?//~\

所以—=＞y",令*=1,〃=",2

n-CF=-2x+z=0[z=2尤''

設(shè)平面A3CZ）與平面CEF所成角為9,

?—.I\n-AE\4J2兀

所以cos0=|cos＜河,AE＞=,——!，=r-=—,貝!Ie=7

11\n\-\AE\2d2x224

即平面ABCD與平面CEF所成角大小為:；

4

（ii）因?yàn)?=（1,石,0）,由（i）知平面的一個(gè)法向量為、=（1,6,2）

|AC-n|h+3+oil

所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為=11=V2.

同2V2

選擇條件②：連接30,取C￡＞中點(diǎn)連接40

因?yàn)榱庑蜛BCD,ZABC=60。，所以AACD為正三角形，又