2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學全真模擬卷01（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

1.（5分）（2023?全國?模擬預測）已知集合4={0,l,2},B="eZ|，<3},則2uB=（）

A.[0,1}B.{-1,0,2}C.[-1,0,1,2}D.{-1,1,2,3）

【解題思路】根據(jù)題意，求得8={-1,0,1},結合集合并集的運算，即可求解.

【解答過程】由集合B={%6Z|x2<3]={-1,0,1）,

又因為4={0,1,2},所以4UB={-1,O,1,2}.

故選：C.

2.（5分）（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）已知復數(shù)2滿足（1一。/=3+1其中1為虛數(shù)單位，則口=（）

A.鄧B.A/5C.3D.5

【解題思路】利用復數(shù)的四則運算，結合復數(shù)模的計算公式即可得解.

【解答過程】因為（l—i）-z=3+i,

CCI>.3+i(3+i)(l+i)2+4i

所以Z=ET=(1T)(1+i)=1+2i,

則|z|=+4=出.

故選：B.

3.（5分）（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）已知平面向量標滿足的=2面=2,若力6一石），則會與石的夾

角為（）

【解題思路】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運算律、定義可得1-2COSG，3）=0,即可求夾角.

【解答過程】由題設ZG-B）=/一之，石=0，而向=1,|力=2,

所以1—2cos(a,b)=0=>cos{a,b)=a,(a,b)E[0,it],

所以（a,3）=g.

故選：B.

4.（5分）（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預測）2023年10月12日，環(huán)廣西公路自行車世界巡回賽

于北海市開賽，本次比賽分別在廣西北海、欽州、南寧、柳州、桂林5個城市舉行，線路總長度達958.8

公里，共有全球18支職業(yè)車隊的百余名車手參加.主辦方?jīng)Q定選派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到/、

8兩個路口進行支援，每個志愿者去一個路口，每個路口至少有一位志愿者，則不同的安排方案總數(shù)為

（）

A.15B.30C.25D.16

【解題思路】當兩組人數(shù)分別為1和4時，2和3時兩種情況，結合排列組合知識求出答案.

【解答過程】5名志愿者分為兩組，

當兩組人數(shù)分別為1和4時，此時有=10種情況,

當兩組人數(shù)分別為2和3時，此時有=20種情況，

綜上，不同的安排方案總數(shù)為10+20=30.

故選：B.

5.（5分）（2023?全國?模擬預測）已知S”為等差數(shù)列｛4｝的前n項和，ay+2ag+a17=24,貝口2。=

（）

A.240B.60C.180D.120

【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前幾項和公式求解即可.

【解答過程】因為數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以。7+209+47=2%+2。9=24,

所以。12+%=12，

20（a1+a20）

所以$20=----2----=1。（旬+。2。）=1。（旬2+%）=120.

故選：D.

一%2y2

6.（5分）（2023?全國?模擬預測）在直角坐標系％。y中，橢圓「迅+芝=1（。>b>0）的左頂點與右焦點

ab

分別為4尸，動點P在「上（不與「左、右頂點重合），Q為平面內(nèi)一點，若麗=3而，且NPHF="OF,則

r的離心率為（）

1112

A.2B.3C.4D-5

【解題思路】利用橢圓的方程與性質(zhì)，以及數(shù)形結合思想即可求解.

【解答過程】如圖所示：

因為NP4F=40F,所以。Q〃4P,

------?------?\AU\Kvl

又PF=3QF,所以的=麗=2，

c1

所以M0|=2|0F|,即a=2c,所以「的離心率e=2=子

故選：A.

7.(5分)(2023?廣東?統(tǒng)考二模)如圖，直線y=1與函數(shù)/(久)=4sin(3久+神(4>0,3>0,|<p|的圖

象的三個相鄰的交點為/,B,C,且|AB|=m\BC\=2TV,則f(久)=()

?2平.(2nD—sm(x+^

L/?3,Ji141?2j

【解題思路】由題意可得相鄰對稱軸間距離求出周期得出3排除BD,再由x=0區(qū)分AC即可得解.

【解答過程】因為|BC|=2TT,

所以相鄰兩對稱軸間的距離扛八=1，即周期T=3TT,所以S=U，

排除BD,

當x=0時，代入f(x)=2sin(|x+J可得f(0)=p>l,滿足題意，

代入/'(%)=卷L11修X+0，可得/'(0)=與x5=1,不符合題意，

故A正確C錯誤.

故選：A.

8.（5分）（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）己知f（久）是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g（x）滿足g（久）+g（-久）

=0,且/G）,g（x）在（-8,0］單調(diào)遞減,則（）

A./（g（x））在［0,+8）單調(diào)遞減B.g（gO））在（一8,0］單調(diào)遞減

C.gJCr））在［0,+8）單調(diào)遞減D./（/0））在（一8,0］單調(diào)遞減

【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項即可.

【解答過程】由題意知/（X）在［0,+8）單調(diào)遞增，g（x）為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減.

設03%1＜與，則9（叼）＜9（%1）-0;/（。（馬））＞/（9（乂1）），

所以/（g（x））在［0,+8）單調(diào)遞增，故A錯誤，

設/〈々wo，貝＞9（々），g（g（xj）＜g（g（%2）），

g（g（x））在（—8,0］單調(diào)遞增，故B錯誤；

設℃1＜々，則/（/）＜/（々），g&aj）＞g（f（%2）），

所以g（7■（＞））在［。,+8）單調(diào)遞減，故C正確；

2

取/'（%）=比2-1,則/（/（X））=（￥-1）-1,/（/（0））=0,/（/（-1））=一1,此時/■（/（%））在（一8,0］不單調(diào)遞

減，故D錯誤.

故選:C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）（2023?廣西玉林?校聯(lián)考模擬預測）隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我

國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣闊.社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平

的指標，下面是2017?2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，則（）.

2017-2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)計

A.2018?2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2019年增長的最多

B.2017?2022這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為16.7萬億元

C.2017?2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為0.2%

D.2019年我國的GDP不達100萬億元

【解題思路】由圖表結合統(tǒng)計相關知識逐項判斷可得答案.

【解答過程】由圖表可知，2018?2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的最多，且增

長為16.7-14.9=1.8萬億元，故A錯誤；

因為6X70%=4.2,則70%分位數(shù)為第5個，即為16.7,

所以這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為16.7萬億元，故B正確；

由圖表可知，2017?2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為14.8%-14.6%=0.2%,故

C正確；

由圖表可知，2022年我國的GDP為17.8+14.7%~121.1萬億元，故D錯誤.

故選：BC.

10.（5分）（2023?云南大理?統(tǒng)考一模）如圖，正方體43。。-4避1%￡>1的棱長為1,則下列四個命題正

確的是（）

A.正方體4BCD-的內(nèi)切球的半徑為》

TT

B.兩條異面直線D]C和Bq所成的角為？

C.直線2C與平面力BC/i所成的角等于:

D.點。到面4C%的距離為5

【解題思路】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結構特征，可判定A錯誤；連接ac,c%,把異面直線和8C1

所成的角的大小即為直線Z\c和所成的角，△4CD1為正三角形，可判定B正確；證得/CL平面2BC1

D?進而求得直線BC與平面AB%。]所成的角，可判定C正確；結合等體積法，得到%ACD=VDACD,

進而可判定D錯誤.

【解答過程】對于A中，正方體4BCD-力避￡。1的內(nèi)切球的半徑即為正方體488-4避1。31的棱長的一

1

半，所以內(nèi)切球的半徑R=2,所以A錯誤.

對于B中，如圖所示，連接4C,C￡)i，

因為人//的％且48=4%,則四邊形48C/1為平行四邊形，所以Be/"%,

所以異面直線和8好所成的角的大小即為直線%C和4%所成的角乙44C的大小,

又因為4。=4。1=。山="，則△AC%為正三角形，即乙4￡>iC=。所以B正確;

對于C中，如圖所示，連接與c,在正方形BBiJC中，BC1A.BQ

因為4B1平面B%CiC,u平面所以ABIB/.

又因為ABnBCi=B,48<=平面4町外町u平面4叫外

所以/C1平面4BC/1，所以直線BC與平面4BC31所成的角為NCBC1=疝,

所以C正確；

對于D中，如圖所示，設點。到面AC%的距離為九，因為△4C%為正三角形，

,1nJ3

XACXXDSln

所以S△ACD1=2l3=H，

11

又因為S44CD=2X4。xCD=2,根據(jù)等體積轉換可知：VD_ACD^=VD_ACD,

111/311/3

即§xhxS^ACD]=§xDO]xSAACD，即/Ix彳=§x1X,,解得h=可，所以D錯誤.

故選：BC.

11.（5分）（2023?廣西玉林?校聯(lián)考模擬預測）已知直線x+y=0與圓M：j+（y-2）2=/相切，則下列

說法正確的是（）.

A.過（0,5）作圓M的切線，切線長為"

B.圓M上恰有3個點到直線x-y+3=0的距離為境

C.若點（x,y）在圓M上，則備的最大值是2+平

D.圓0—3）2+3心=2與圓赫的公共弦所在直線的方程為3x+y-7=0

【解題思路】對于A：根據(jù)題意可得圓心和半徑，結合切線性質(zhì)分析求解；對于B：根據(jù)圓的性質(zhì)結合點

到直線的距離分析求解；對于C：設*=k,分析可知直線質(zhì)-y+2k=0與圓M有公共點，結合點到直

線的距離分析求解；對于D：根據(jù)兩圓方程判斷兩圓的位置關系即可.

【解答過程】圓M:J+（y—2）2=/的圓心"（0,2）,半徑為「，

若直線久+y=0與圓M:7+（y-2）2=/相切，貝懺=*=

對于選項A：因為點4（0,5）到圓心蟲0,2）的距離眼川=3>#=「，

可知點4在圓外，所以切線長為川2T2=",故A正確；

對于選項B：因為圓心M（0,2）到直線x-y+3=0的距離為d=三羅=妹=

所以圓M上恰有3個點到直線%—y+3=0的距離為亭，故B正確；

對于選項C：因為若點（%,y）在圓M上，則一小《久工也，可知久+2W0,

V

設771=%貝必久一y+2k=0,

可知直線依―y+2k=0與圓M有公共點，則也，解得2—押WkW2+平，

所以備的最大值是2+々，故C正確；

對于選項D：圓（%-3）2+（y—3心=2的圓心N（3,3）,半徑R=”,

則iMNl=^/（3-0）2+（3-2）2=①，可得|MN|>R+r,

所以兩圓外離，沒有公共弦，故D錯誤；

故選：ABC.

12.（5分）（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)/（嗎=。『+加及+次，既有極大值點又有極小值點,

則（）

2

A.ac<0B.bc<0C.a（b+c）<0D.c+4ab>0

【解題思路】根據(jù)極值定義，求導整理方程，結合一元方程方程的性質(zhì)，可得答案.

【解答過程】由題知方程/（X）=aex-be~x+c=="=0,

e

ae?"+ce'-b=0有兩不等實根％Jx2,

令1=1,t>0,則方程a*+ct-b=0有兩個不等正實根G，t2,

aH0

?

A=c+4ab>0.2

,/工2c+4ab>0

其中G=e,t=e，ac<0

2t1+t2-a-->0

bab<0

,t/2=F>°

{a(b+c)=ab+acV0，故ACD正確，B錯t天.

故選：ACD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2023?全國?模擬預測）據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之.”圍棋，起源于中

國，至今已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.現(xiàn)從3名男生和2名女生中任選3人參加圍棋

7

比賽，則所選3人中至多有1名女生的概率為一記.

【解題思路】利用組合的知識結合古典概型的概率公式可解.

【解答過程】從5人中任選3人，一共有C；種選法.

所選3人中至多有1名女生的情況有以下兩種：3人全都是男生，有C；種選法；3人中有2名男生1名女

321

21*7

生，有耳號種選法.則所選3人中至多有1名女生的概率P=而，

C5

7

故答案為：元.

2

a2+42b+b+2

14.(5分)(2023?全國?校聯(lián)考模擬預測)已知。>0,b>0f且滿足a+2b=3,則2匕+1的

7

最小值為

【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】由于。>0,6>0,所以

?7

a+42b+b+2a2(2b+l)b+2a2121

2a2D+12a2b+12a22D+12

/a2li2117

22/x￡+2M2b+l)x^73-2=4-=于

a2

5——i

當且僅當，i2a2，即a=2,b=5時等號成立.

P+1)=^TT

7

故答案為：2.

15.(5分)(2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模)設/(久)為/(公的導函數(shù)，若f(幻=%/一/(1)久，則曲線y=f(久)

在點(1)(1))處的切線方程為_ex-y-e=0_.

【解題思路】對原函數(shù)求導并求得/(l)=e,再由導數(shù)幾何意義寫出切線方程.

【解答過程】由題設/(久)=(x+l)」一/(1),則/(l)=2e—/(l)=/(l)=e,

所以/'(x)=x(ex-e),則f(l)=0,

綜上，點(1)(1))處的切線方程為y=e(x-l),即e久一y-e=0.

故答案為：ex-y-e=0.

16.（5分）（2023上?四川成都?高三?？茧A段練習）在三棱錐S-4BC中，ABAC=3NSC4=90。,

SAIAB,SB=國,AB=3,則三棱錐S—28C外接球的體積為_寸_.

【解題思路】找到外接球的球心，計算出外接球的半徑，從而求得外接球的體積.

【解答過程】依題意48_15443_14&54。4。=4544。匚平面54。，所以4B1平面S4C,

由于4Bu平面4BC,所以平面48C_L平面SAC

設。,E分別是BC/C的中點，貝的E//4B,所以DE,平面S4C.

設尸是三角形S4C的外心，S4=（13-9=2,

21

由正弦定理得凡4=而如x2=2,

過尸作F。_L平面S4C,過。作。。J.平面ABC,FOCDO=O,連接EF,

EFu平面S4C,則DE1EF,所以四邊形ODEF是矩形，

則。是三棱錐S-ABC外接球的球心.

由于ZFu平面S4C,所以。F14F,

在Rt△4F。中，AF=2,OF=OE=2，

所以。4=工I4+小9亍5也即三棱錐S-4BC外接球的半徑為25，

所以外接球的體積為?x（?）=~^-.

126

故答案為：丁TL

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模）在△ABC中，設角人B、C所對邊的邊長分別為a、b、c,己

知4c=y/3bcosA+asinB.

（1）求角8的大?。?/p>

（2）當a=2"，6=24時，求邊長c和△4BC的面積S.

【解題思路】（1）借助正弦定理將邊化為角，結合C=TT-G4+B）及兩角和的正弦公式計算化簡即可得；

（2）根據(jù)正弦定理即可計算出4結合8可求出C,再試用正弦定理即可得到c,再使用面積公式即可得到

面積.

【解答過程】（1）由正弦定理得J^sinC=J^sinBcosA+sinAsinB,

由于C=it—（A+B）,則J^sinQ4+B）=J^sinBcos力+sinXsinB,

展開得J^sinAcosB+J^sinBcosA=J^sinBcos力+sin力sinB，

化簡得V^cosB=sinB,

則tanB=y/3,

所以B=g；

（2）由正弦定理，得工=旨意=蠲，即有sin&=',

因為a<b,所以4是銳角，即4=今

,,,2n

因為2+c=m，

”,5n

所以C=正，

2/ITnnTTXy/6+y/2r—r—

c=x

-sinC=4^sin?coSi+si%cos。=4x="6+"2,

11B/RRirn）

所以=2absinC=《義273義Isin^cos^+sin^cos^l

2/x—=3+S

18.(12分)(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測)已知正項數(shù)列｛4｝的前幾項和為S"且滿足2科=4+1,

nGN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2

(2)若數(shù)列｛bj滿足%=4+as+J求數(shù)列｛bj的前幾和7

【解題思路】(1)根據(jù)數(shù)列遞推式求出首項，得出當兀22時，Sn_i=；(an_i+1)2,和Sn=](an+1)2相

減并化簡可得4-5_1=2,即可求得答案;

(2)利用(1)的結果可得%=5+￡—的表達式，利用等差數(shù)列的前〃項和公式以及裂項法求和，即

〃“unun+l

可求得答案.

【解答過程】(1)由=%+1得Sn=；(an+1)2,則4=；(%+1)2,解得4=1,

2

當nN2時，Sn_1=^an_1+1),所以％=$「$51=；(4+1了一軸―+1)匕

整理得(4-%])(％+@71-1)=2(4+*),

因為｛%J是正項數(shù)列，所以an+an_i>0,所以與—七_]=2,

所以｛4｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

所以a九=1+2(n—1)=2n—1,neN*.

(2)由(1)可得，an=2n-l,

仁一2211

所以%=%+=2n-l+(2-i)(2n+i)=2n—1+~—5^71，

所ll,以?北=n—(l+22—n-l)+b/I-31+13-15+…+京11一布14\

19.(12分)(2023?全國?模擬預測)直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前已被廣大消費

者所接受.針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司

2023年前5個月的帶貨金額：

月份X12345

帶貨金額y/萬元350440580700880

(1)計算變量x,y的相關系數(shù)r(結果精確到0.01).

(2)求變量x,y之間的線性回歸方程，并據(jù)此預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額.

(3)該公司隨機抽取55人進行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性2530

男性10

總計

請?zhí)顚懮媳?，并判斷是否?0%的把握認為參加直播帶貨與性別有關.

參考數(shù)據(jù)：y=590,Jx.-x)2=io,5^(y.-y)2=176400,

5_]&_歹)(丫廠方)=1320,041000?664.

2：=1&-習(%-歹)八憶歹)八_

參考公式：相關系數(shù)「=『?」線性回歸方程的斜率力=二一-~丁，截距a=歹—加.

2niad—bc)2

附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+6+c+d?

PR>fcQ)0.150.100.050.025

k02.0722.7063.8415.024

【解題思路】(1)直接代入求相關系數(shù)即可;

(2)根據(jù)線性回歸方程求解回歸方程即可；

(3)零假設之后計算K2,再比較大小判斷零假設是否成立即可.

,,=13201320

【解答過程】(1)r=|5S-=皿"17640。=2X^441000"°'"

(2)因為M=g1xQ+2+3+4+5)=3,9=5902,5_Jx-%)=10,5_Jx-x)(y-y)=1320,

E：=i&-才包一刃1320.

所以---r--------=1、=132,a=590—132x3=194,

￡(x-z)210

y=1

所以變量X,y之間的線性回歸方程為力=132X+194,

當x=7時，y=132x7+194=1118(萬元).

所以預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元.

(3)補全完整的列聯(lián)表如下.

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性25530

男性151025

總計401555

零假設H0：參加直播帶貨與性別無關,

D55x(25x10—5x15)2

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到K，=30X25X40X15。3.743>2.706=%01,

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗我們推斷Ho不成立，即參加直播帶貨與性別有關，該判斷犯錯誤的概率

不超過10%.

20.(12分)(2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模)在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉

腌.如圖，已知四面體P—ABC中，P41平面ABC,PA=BC^1.

(1)若4B=1,PC=后求證：四面體P—48c是鱉席，并求該四面體的體積；

(2)若四面體P—4BC是鱉腌，當4C=a(a>l)時，求二面角力一BC—P的平面角的大小.

【解題思路】(1)借助線面垂直證明面面垂直，結合題目所給長度，運用勾股定理證明四面全為直角三

角形即可，體積借助體積公式計算即可得；

TtH

(2)根據(jù)題意，會出現(xiàn)兩種情況，即乙48c=2或=分類討論計算即可得.

【解答過程】(1)PA_L平面48C,AB.ACu平面4BC,

?-?PALAB,PALAC,

?.APAC,△PAB為直角三角形，

???在直角△P4C中，\AC\=^\PC\2-\PA\2=^,

在直角△P4B中，\PB\=』PA2+PB?=",

.?.在△4BC中，有MCr=+IBCF,

???AB1BC,故△ABC為直角三角形,

在△PBC中，有|PC『=|PB|2+|BC『,

故PB1BC,故APBC為直角三角形，

故四面體P-4BC四個面都是直角三角形，即四面體P-4BC是鱉席,

1..111

VP-ABC=3SAABC?IP川=§X2X1X1X1=石；

(2)?.?P41平面ABC,BCu平面48C,

PA1BC,

由ZC=a>1=AB,

故Nb4c不可能是直角，

IT

若N2BC=2，則有ABIBC,

又PAJ.BC,PA.48u平面P4B,PAnAB=A,

故8cl平面PHB,又PBu平面P4B,

故BC1PB,

"BP是二面角A—BC—P的平面角,

AC=a,BC=1,AB=Ja2—1,tanZ-PBA=1

所以二面角力-BC-P的平面角的大小為arctan\—.

a-1

...n

右NACB=2,

同理可得NZCP是二面角4-BC-P的平面角,

4P1

所以tan乙4cp=而=

1

所以二面角的平面角的大小為arctan蘇

綜上所述，二面角Z-BC-P的平面角的大小為arctanj」或arctan；.

a-1u

21.(12分)(2023?吉林長春?東北師大附中模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，拋物線￡：/=2「乂

(P>O)的焦點為凡E的準線交x軸于點K,過K的直線/與拋物線￡相切于點/,且交y軸正半軸于點P.

已知△2KF的面積為2.

(1)求拋物線￡的方程；

(2)過點尸的直線交￡于M,N兩點，過/且平行于y軸的直線與線段。/交于點7,點〃滿足祈=而.

證明：直線"N過定點.

【解題思路】(1)根據(jù)題意假設得直線/：%=my-f,聯(lián)立拋物線方程求得，A^,p),再利用三角形面積

即可求得p=2,由此得解；

4

(2)根據(jù)題意設得MN：y=kx+l,聯(lián)立拋物線方程求得y1+%=當為=白再依次求得T，?的坐標，

-4x

Yi+y2i

從而求得直線HN的方程，化簡可得HN為y=丫1,由此得證.

人2X1

【解答過程】⑴由題可知,錯,0),準線％=一,《一劍,

因為直線/的斜率存在且不為0,所以設/：%=my-l，

聯(lián)立yPP,消去x,得y2-2p?ny+p?=0,

x=my—

因為/與E相切，所以A=422(62_1)=0,所以血=1或僧=一1,

因為交y軸正半軸于點尸，所以m=l,

因此y2—2py+p2=0,解得y=p,所以礁p),

17

故2FLKF,所以S44KF=iP=2，所以P=2(負值舍去)，

所以拋物線E的方程為/=4%.

（2）由（1）知4（1,2）,又/：y=x+l,所以P（O,1）,

如圖所示:

因為過點尸的直線交￡于屈，N兩點,所以MN斜率存在且不為零，

所以設MN：y=kx+l（/c0）,A^（x2,y2）,

聯(lián)立"1,消去X，得如2—4y+