2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題：不等式（新高考專用）（解析版）

專題03不等式

題型一：等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)：忽略不等式變號(hào)的前提條件

題型二：有關(guān)一元二次不等式求解

氣易錯(cuò)點(diǎn)：遺漏一元二次方法求解的約束條件

集問(wèn)題

題型三：基本不等式最值問(wèn)題外易錯(cuò)點(diǎn)：遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性

易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略不等式變號(hào)的前提條件(等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用)

1.比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0色>1（。，b〉0）或q<1（。，6<0）

bb

a=ba-b=0””0）

a<ba-b=0q<l（q,b〉0）或q〉1（。，b<0）

bb

2..等式的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱性a〉bob〈a；a<b=b>a

傳遞性a>b,b>cna>c；a<b,b〈cna〈c

可加性a>ba+c>b>c

可乘性

a>b9c>0^ac>be；a>b,c<0^>ac

同向a>c,c>d=>a+c>6+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN*an>bn

類型1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是

在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

類型2.比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的

單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大

小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是幕或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

易錯(cuò)提醒：（1）一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質(zhì)包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后

者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

例."0<a<6”是“1>L，的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由則工>：成立，充分性成立；

ab

由若〃=1,6=-1,顯然0<。<6不成立，必要性不成立;

ab

所以“0<"6"是一>，的充分不必要條件.

ab

故選：A

變式1.已知a>6>0,則下列關(guān)系式正確的是（）

A.若?！?,貝1B.若c>0,貝!!一

ab

C.若c>0且c>l,則D.若c<0,則同<國(guó)

【答案】A

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閏>0,故y=x。在（0,+司上單調(diào)遞增，

因?yàn)閍>b>0,所以優(yōu)>6。，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)閍>b>0,所以0<上<1,因?yàn)椤?gt;0,所以一〈不，B錯(cuò)誤;

abab

C選項(xiàng)，若0<c<l,則》=，在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>6>0,所以c"<cJC錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)閍>6>0,所以時(shí)>例，

因?yàn)閏<0,則M>0,故國(guó)>花|,D錯(cuò)誤.

故選：A

變式2.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列結(jié)論中正確的是（）

A.若a>6,則m2>6（;2B.若。>6>0,貝！J—

ab

C.若a<b<0,則一<—D.若a>b,—,貝!J06<0

baab

【答案】D

【詳解】解：對(duì)于A：c=0時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若。>6>0,貝B錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于C：令。=-2"=-1,代入不成立，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若a>6,—>—,貝!]a>0,b<0,則ab<0,D正確；

ab

故選：D.

變式3.已知。，ax均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,則於24<從。24

什,,20242024

B.若a<b,貝nU------<-—

ab

C.若辦2必<笈2。24,貝（J"/,

D.若a<b,則辦2必<6尤2。24

【答案】c

【詳解】A,當(dāng)"-2,6=1時(shí)，（-2嚴(yán)4>/。24,A錯(cuò)誤;

B,當(dāng)。=0時(shí)，----沒(méi)意義，B錯(cuò)誤；

a

C,由"2。24</23，知*4>0,所以。<人C正確;

D,當(dāng)X=0時(shí)，冰2024<云2°24不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C

1.已知實(shí)數(shù)a,b,C,若a>b,則下列不等式成立的是（）

A."B.41<人1

【答案】C

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椤?gt;6,取a=l,b=-l,則故A錯(cuò)誤;

ab

選項(xiàng)B：<b3a<b，

與已知條件矛盾，故B不正確；

選項(xiàng)C：因?yàn)閏2+2>0>一一>0

c2+2

所以故C正確；

C2+2C2+2

選項(xiàng)D：當(dāng)c=0時(shí)，ac2—be2>故D不正確；

故選：C.

2.若b<a<0,則下列結(jié)論不正確的是（）

ab>a2

A.—abB.

C.孤〉版D.|a|+|6|>|a+6|

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?<a<0,所以仍>0,所以2<三，即工<\,所以A正確，

ababab

對(duì)于B,因?yàn)?<a<0,所以所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)?gt;=近在R上遞增，b<a<0,所以無(wú)〉版，所以C正確，

對(duì)于D,若6=-2,a=-l,則同+同=3,b+司=/3|=3,貝?。萃?同=卜+可，所以D錯(cuò)誤,

故選：D

3.已知。>6,c>d,則下列不等式一定成立的是()

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.”ln(c-d)>61n(c-d)

【答案】C

【詳解】對(duì)于A,令。=2,6=1,c=-2,d=-3,顯然有a>b,c>d,而QC=-4<-3=bd,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由c〉d,知令a=-d,b=-e。,顯然有而=-e，+"=-加"，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由a>b,c>d,得e">/>0,1>e1>0,因此e"七，>e",C正確；

對(duì)于D,若a>b,令c=2,d=l,有c>d,而aln(c-d)=0=ZHn(c-d),D錯(cuò)誤.

故選：C

4.若!<：<(),則下列不等式中正確的是()

ab

A.a<bB.同>同C.a+b>abD.—+-^->2

【答案】D

【詳解】因?yàn)楣?lt;:<o,所以。<0)<0,則">0.

ab

所以皿<或<0即6<a<0,AB錯(cuò)誤.

ab

因?yàn)?<Q<0,所以。+6<0,。6〉0,貝！JQ+6<QZ),C錯(cuò)誤.

因?yàn)?<。<0,所以2>0,3>0

ab

則2+巴>2、口=2,D正確.

ab\ab

故選：D

5.若a、b、cGR,且a>6,則下列不等式一定成立的是()

2

A.a+c>b+cB.[a-b^c2>0C.ac>beD.------>0

a-b

【答案】B

【詳解】因?yàn)?。、b、CGR,且a>6,則〃一6〉0,c2>0,

由不等式的基本性質(zhì)可得a+c>b+c,A錯(cuò)；(a-b)c2>0,B對(duì)；

當(dāng)cvO時(shí)，ac<be,C錯(cuò)；---->0D錯(cuò).

a-b?

故選：B.

6.下列命題中正確的是（）

A.若a>b,則分>加2B.若c<d,則巴〉烏

ca

C.若。>6,c>d,貝!Jo-ob-dD.若Q6〉0,a>b,貝（

ab

【答案】D

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，當(dāng)。=1,6=0,c=-2,d=—l時(shí)，—=-^-,-7=0,故B錯(cuò)誤;

c2dca

C選項(xiàng)，當(dāng)。=1,6=0,c=l,d=0時(shí)，a-c=b-d,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若ab〉0,a>b,則』-1二°〃<0,即故D正確.

ababab

故選：D.

7.設(shè)xeR,貝是“W〉x”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由|x|>x,可得x<0,

則x<l是x<0的必要不充分條件.

故選：B

8.已知“，6GR,P：a<b,q：。2>人（2。一6）,則夕是^的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)?。，Z?eR,q：a1>b（2a-b）

22

BPa-lab+Z?>0,即（。一6）2>0,則Mb,

而。：a<b,

所以，夕是^的充分不必要條件，

故選：A.

9.下列四個(gè)選項(xiàng)能推出的有（）

ab

A.b>0>aB.a>O>b

C.0>a>bD.a>b>0

【答案】ACD

【詳解】—<—o-——<0<=>ab（a—b）>0,

abab

對(duì)于A,當(dāng)ZJ〉0〉Q時(shí)，ab<0,a-b<0,所以仍（〃一6）>0,所以A正確，

對(duì)于B,當(dāng)Q>0>6時(shí)，ab<0,a-b>0,所以仍（。一6）<0,所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,當(dāng)0〉。>6時(shí)，ab>0,a-b>0,所以〃Z?（Q—Z?）>0,所以C正確，

對(duì)于D,當(dāng)a>6>0時(shí)，ab>0,a-b>0,所以必（〃一6）〉0,所以D正確,

故選：ACD.

10.已知a>b>l、?-&=\,則()

A.2一">B.a2b-ab2>a—b

C.a-b>3D.a2-b2>6

【答案】BCD

【詳解】因?yàn)閍>b,所以2">2J故2一。<2"，故A錯(cuò)誤；

a2b—ab2=ab^a-b^>a-b,故B正確；

a—b=+VKj=\[a+\[b=+1>3,故C正確;

a2-b2=(6Z-ZJ)((7+ZJ)>3X2=6,故D正確.

故選：BCD.

11.已知實(shí)數(shù)a,6滿足0<a<6,則下列不等式一定正確的是（）

A.T~b<1B.tana<tan/)

…aa+1

C.-<------D.b\na<a\nb

bb+1

【答案】AC

【詳解】選項(xiàng)A,由0<。<6得。-6<0,2a~b<1>故A正確;

兀3兀_

選項(xiàng)B,取。=—,b=—,可得tana=l,tan/)=-l,不滿足tana<tanb,故B錯(cuò)誤;

44

aa+1a(6+l)-b(a+l)a—b

選項(xiàng)C,

6(6+1)6(6+1)'

0<a<b,所以Q—b<0,6+l>0,故6(b+])<0,

?六二'故c正確;

選項(xiàng)D,設(shè)函數(shù)/(x)=乎，x>0,則/(x)=T^

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

故時(shí)，/(。)〉/伍)，即電0>華",故blna>alnb,故D錯(cuò)誤.

ab

故選：AC

易錯(cuò)點(diǎn)二：遺漏一元二次方法求解的約束條件(有關(guān)一元二次不等式求解

集問(wèn)題)

解一元二次不等式的步驟：

第一步：將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；

第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向畫圖；

第四步：寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正，對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出

錯(cuò)；③結(jié)果未按要求寫成集合.

對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

具體模型解題方案：

1、已知關(guān)于x的不等式+的解集為(神，")(其中如？>0),解關(guān)于X的不等式

ex2+bx+a>0?

由a/+6x+c>0的解集為（加，力），得:ad）2+6，+c>0的解集為（L,），即關(guān)于x的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集為d，

nm

已知關(guān)于X的不等式分2+bx+c>0的解集為（機(jī)，ri）,解關(guān)于X的不等式cx2+6x+a40.

由ax2+foc+c〉0的解集為（加，九），得:『+b—I-c<0的解集為（-8,—]U[—，+8）即關(guān)于x的不等

xxnm

式ex2+bx+a<0的解集為（-8,—]U[—，+8）.

nm

2、已知關(guān)于1的不等式辦2+反+。>0的解集為（冽，九）（其中〃〉冽〉0）,解關(guān)于x的不等式

ex2-bx+a>0?

由ax2++c>0的解集為（加，〃），得:。（一了—c>0的解集為（，—）即關(guān)于x的不等式

xxmn

ex2-bx+a>0的角星集為（一~—?.

mn

3.已知關(guān)于％的不等式ax2+岳:+c>0的解集為（冽，〃），解關(guān)于％的不等式c/一反+q?o.

由ax?+6x+c>0的解集為（冽，n）,得：〃（—『一臺(tái)—^。工。的解集為（_8,-—]U[,+8）即關(guān)于1的

xxmn

不等式OX?一版+Q40的解集為（-8,---]U[—~，+8）,以此類推.

mn

4、已知關(guān)于X的一元二次不等式g2+取+°〉0的解集為R,則一定滿足[>：；

[A<0

[tz<0

5、已知關(guān)于1的一元二次不等式+的解集為°,則一定滿足八/八；

[A<0

6、已知關(guān)于x的一元二次不等式辦2+加+C<（）的解集為R,則一定滿足

[A<0

>0

7、已知關(guān)于丁的一元二次不等式"2+反+o<0的解集為0，則一定滿足人,八.

[A<0

易錯(cuò)提醒：一元二次不等式

一元二次不等式a—+bx+c〉0（。70）,其中八=〃一4℃，看,工2是方程ax?+6x+c〉0（a，0）的

兩個(gè)根，且X1<工2

（1）當(dāng)。>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.

（2）①若A>0,解集為｛》|%>工2或.

②若△=0,解集為且xw—③若△<（）,解集為R.

（2）當(dāng)。<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.

①若△>（）,解集為｛x.〈xc/｝②若△<（），解集為0。

例.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,不等式（。-1卜2-2（叱1）》-4<0恒成立，則實(shí)數(shù)?？赡苁牵ǎ?/p>

A.-2B.0C.-4D.1

【答案】ABD

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，不等式為-4<0恒成立，故滿足題意；

f6Z—1<0

當(dāng)awl時(shí)，要湎足｛._，

［A<0

而A=4（Q-1）2+16（tz-1）=4（Q_］（Q+》，

所以解得-3<a<1；

綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍是（-3,1］；

所以對(duì)比選項(xiàng)得，實(shí)數(shù)〃可能是-2,0,1.故選：ABD.

變式L已知關(guān)于x的不等式辦2+所+°〉（）的解集為（_8,—2）D（3,+8）,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.a<0B.不等式bx+c>0的解集是｛%|x<-6｝

C.a+b+c>QD.不等式巾2一反+。<0的解集為（一oo,—g）u（g,+8）

【答案】BD

【詳解】不等式辦2+6x+c>o的解集為（一8,—2）。（3,+8）,則-2,3是方程辦2+6工+0=0的根，且〃>0,

bc

則——=l,-=-6,a>0,即6=-凡。=一6凡〃>0,A錯(cuò)誤；

aa

不等式bx+c>0化為—ax-6a>0,解得x<-6,即不等式bx+c>0的解集是｛x|x<-6｝,B正確；

a+b+c=-6a<0,C錯(cuò)誤；

不等式ex2—for+Q<0化為一Gax?+ax+a<0,6x2—x—1>0，解得'<一7或%>；7，

32

所以不等式of一反+a<o的解集為（-8,-1）5；,+8）,D正確.

故選：BD

變式2.已知命題夕：關(guān)于1的不等式/_2辦-〃〉0的解集為R,那么命題夕的一個(gè)必要不充分條件是（）

12

A.-\<a<——B.——<67<0

23

C.-1<?<0D.a>-\

【答案】CD

【詳解】命題0：關(guān)于x的不等式尤2一2辦-a>0的解集為R，

貝！I△=4/+4a<0，解得-l<a<0

又（-1,0）[-1,0],（-1,0）[-1,+⑹，

故選：CD.

變式3.下列敘述不正確的是（）

A.—<2的解是

x2

B.“0VmV4”是“〃7X2+TWX+120”的充要條件

C.已知xeR,則“x>0”是卡-1<1"的必要不充分條件

D.函數(shù)/（尤）=苫2+二]的最小值是26-2

【答案】AD

【詳解】選項(xiàng)A：工<2的解是或x<0,故A不正確；

X2

一、、[冽>0、

選項(xiàng)B：由歹=加工+冽x+1得A=加2一4加，mx2+mx+1>0恒成立則12/八或冽=0，解得04加《4,

\m-44m<0

所以“0?加《4”是“加工2++1>0”的充要條件,故B正確；

選項(xiàng)C：由,一1|<1得—l<x—1<1,解得0<x<2,所以“工〉0”是“卜一1|<1"的必要不充分條件，故C正確;

選項(xiàng)D：由均值不等式得尤2+2+——22、「2>^^=26,當(dāng)且僅當(dāng)，+2=4~；時(shí)等號(hào)成立，此

x2+1V）X2+2X2+2

時(shí)x無(wú)實(shí)數(shù)解，所以〃同二一+了七的最小值大于2百—2,故D不正確；故選：AD

1.已知辦2+云+°>0的解集是（-2,3）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.不等式ex2+bx+a<0的解集是

1OQ

B.一^+6的最小值是:

36+43

6+4

C.若m--m>口_有解,貝！|〃？的取值范圍是〃1<-1或機(jī)>2

7b+3

D.當(dāng)c=2時(shí)，f(x)=3ax2+6bx,xe瓦棚的值域是,則%的取值范圍是[2,4]

【答案】ABD

【詳解】因辦2+法+°>0的解集是(-2,3),則-2,3是關(guān)于工的方程辦2+法+°=0的二根，且"0,

hc

于是得——=1,—二-6,BPZ)=-a,c=-6a,a<0,

aa

對(duì)于A,不等式of+6x+Q<o化為：6x24-x—1<0,解得-5VA正確;

“he7c12,12I-八4J~12-4*

又寸于B,b>0f------Fb=------1—(3b+4)—之2j---------(3b+4)—=-，

36+436+433V36+4332

1212

當(dāng)且僅當(dāng)丁^二彳(36+4),即6=彳時(shí)取“=，，，B正確；

3匕+433

對(duì)于c…,令際="5則借=~在/(后+◎上單調(diào)遞增,

6+446+44111+三或心⑵1+

即有而r耳,因病一心而r有解，則療-心耳，解得加力-萬(wàn)*c

不正確；

對(duì)于D,當(dāng)c=2時(shí)，b=-a=^,則/(x)=3"2+66x=--+2x=-(x-l)2+1,f(x)max=/(I)=1,

依題意，nA<l<n2,由〃x)=-3得，》=一1或x=3,因/⑴在[%,%]上的最小值為3

從而得名=-1」〈丐43或-IV441,丐=3,因此D正確.

故選：ABD

2.已知集合么=*|》<-2,或尤>2},B={X\X2-2X-3>Q},則/()

——

A.(°°,1]U(2,+oo)B.(-°°,1]U(2,+oo)

C.(-00,-2)u[1,4-00)D.(-00,-2)U[3,+00)

【答案】A

【詳解1由8={x]一—2%—3=(x+1)(%-3)>0}={%|x<-1x>3},

所以4UB=(—鞏―l]U(2,+8).

故選：A

3.已知集合屈=卜,2-3x+240},N={x|3i<l},則()

A.{x[0<x<2}B.|x|l<x<3}

C.[x\x<2^D.{x|x<3j

【答案】C

【詳解】由/-3尤+240,解得14xW2,所以M={x|14尤42},

因?yàn)?'1<1=3°，得x-l<0,所以"={尤|尤<1},

故MuN={x|尤V2}.

故選:C.

4.已知函數(shù)/（x）=/+ax+6,若不等式|〃刈42在xe[l,5]上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(duì)（°為）有（

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】B

【詳解】由題意若不等式|/（到V2在xe[1,5]上恒成立，

-2</(1)<2卜2Vl+a+6V2,(1)

()

則必須滿足-24/(3)42,gpJ-2<9+3a+/)<2,2

-2</(5)<2[-2<25+5a+Z?<2,(3)

-2<-l-a-Z?<2,(l)

兩式相加得-4<8+2a<4^>-6<a<-2,(4),

-2<9+3a+b<2,(2)

-2<-9-3a-b<2,(2)

再由，兩式相力口得一4^16+2a<4=>—10<a<—6,(5),

-2<25+5a+b<2,(3)

-2<-5+&<2,(l)

結(jié)合(4),(5)兩式可知。=-6,代入不等式組得，-24-9+人2,6),

-2V-5+642,(3)

解得6=7,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=-6,b=7時(shí)，=%2-6無(wú)+7=(x-3)~-2,

有[/("L/⑴=/(5"2,[/(X)L=〃3)=-2,滿足,(尤)52在x?l,5]上恒成立,

綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對(duì)（a，b）為：（-6,7）,共一個(gè).

故選：B.

5.設(shè)集合4={%卜+1)(%-4)<0},5={x|2x+a<0},且4cB=卜|一1<x<3},貝1]。=()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

a

【詳解】A=1x|-l<x<4j,B=xx<一~

丁ZcB={x|-l<x<3},=3,a=—6,

故選：D.

6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y=2盯，且不等式x+有解，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.-1<m<2B.m<-2或m>1

C.-2<m<1D.m<-l^m>2

【答案】D

4xv12

【詳解】根據(jù)題意，兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,y滿足4x+y=2孫，變形可得丁+六=1,即丁+—=1,

'2xy2xy2xy

當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=4時(shí)等號(hào)成立，則x+4的最小值為2,

若不等式X+冽2一加有解，貝U/一加〉2,可得根<一1或冽>2,

即實(shí)數(shù)心的取值范圍是（-叫T）U（2,+s）.

故選：D.

7.“不等式"2+2"_1<0恒成立，，的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.-14a<0B.aVOC.-1<。（0D.—1<。<0

【答案】D

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，T<0恒成立，

a<0

當(dāng)aW0時(shí)，則解得—1<a<0,

4。2+4。<0

綜上所述，不等式辦2+2辦一1<0恒成立時(shí)，-l<tz<0,

所以選項(xiàng)中“不等式"2+2辦-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是T<a<0.

故選：D.

8.已知當(dāng)x〉0時(shí)，不等式：Y—加+i6>o恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-8,8）B.（一。用C.（一叫8）D.（8,+oo）

【答案】C

【詳解】當(dāng)%>0時(shí)，由f一加x+16>0得加<XH，

X

因x>0,i^x+—>2jxx—=8,當(dāng)且僅當(dāng)苫=更即x=4時(shí)等號(hào)成立，

XVXX

因當(dāng)x>0時(shí)，恒成立，得加<8,

X

故選：C

9.已知集合/={x|a2-“<x<2,xeZ}中恰有兩個(gè)元素，則。的取值范圍為（）

A.[0,1]B.（0,1）C.（1,2）D.[L2]

【答案】B

[詳解]由集合/={x|/_a<x<2,xeZ}中恰有兩個(gè)元素，^-l<a2-a<Q,

解得ae（0,1）.

故選：B.

10.不等式x2+4x-21V0的解集為（）

A.（-oo,-7]u[3,+oo）B.[-7,3]

C.（-00,-3]u[7,+oo）D.[-3,7]

【答案】B

【詳解】易知方程一十4尤—21=0可化為（x+7）（x-3）=0,方程的兩根為七=-7,%=3；

所以不等式/+4苫-2”0的解集為17,3].

故選：B.

11.若不等式2f+法+（;<0的解集是（。，4）,函數(shù)/（尤）=2f+，x+c的對(duì)稱軸是（）

3

A.x=2B.x=4C.x='D.x=一

2

【答案】A

【詳解】解：???不等式2必+云+°<0的解集是（0,4）,

**?%=0和1=4是方程2—+Z?x+c=0的兩個(gè)根，

=0+4,6=-8,

2

函數(shù)/（x）=2x2+bx+c的對(duì)稱軸是％=—g=2.

故選：A.

易錯(cuò)點(diǎn)三：遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性（基本不等式最值問(wèn)

題）

1.幾個(gè)重要的不等式

2

(1)a>0(a>0(a>0)9|aI>0(ae7?).

（2）基本不等式：如果則2癡（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取

特例：?>0,?+->2;-+->2（a,6同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①/+〃？>（溝通兩和a+b與兩平方和/+〃的不等關(guān)系式）

2

②abW匕C（溝通兩積ab與兩平方和/+〃的不等關(guān)系式）

2

③（溝通兩積ab與兩和a+6的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：—

ab

調(diào)和平均值<幾何平均值<算數(shù)平均值<平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2.均值定理

已知x,歹eR+.

（1）如果x+y=S（定值），則中〈[*==（當(dāng)且僅當(dāng)“》=廣時(shí)取“=”）.即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果9=尸（定值），則x+y?2肉=2再（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最小值”.

3.常見(jiàn)求最值模型

模型一：mx+—>2y[mn（m>Q,n>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x=1/2時(shí)等號(hào)成立；

xVm

模型二：mx+n=m(x-a)+n+ma>2y/~mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a=時(shí)等號(hào)成立；

x-ax-a\m

x11/八八、r~

模型三：占+加+廣-'°)，當(dāng)且僅當(dāng)x=、代時(shí)等號(hào)成立；

ax?D十YQ

X

2

轉(zhuǎn)用Irm/、—,mx+n-mxn,八八〃、止口e止n1生口卡

模型四：x(n-mx)=---------<—?(--------------)x2=——(m>0n,?>0,0<%<—),當(dāng)且僅當(dāng)、二——時(shí)等號(hào)成

mm241nm2m

立.

易錯(cuò)提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立(彼此不沖突)

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+@(a〉0)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的

x

單調(diào)性求解.

2.通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面

的問(wèn)題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；

(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足

使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形，，來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)

數(shù)，“1”的代換法等.

x-1

例.函數(shù)>=logflx+tz+2(。>0且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(左，若加+〃=/?—左且冽〉0,n>0,貝|2十,

mn

的最小值為()

95

A.9B.8C.-D.一

22

【答案】B

【詳解】函數(shù)歹=logaX+a"T+2（a〉0且awl）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1,3）,所以用+〃=3-1=2,

2|<—+->|=（m+?）（-+-）=10+—1>10+3/9=16,

n）mnmn

（、〃

;.229+1上卜16,.?9.二+1、28,當(dāng)且僅當(dāng)9把=m竺，即〃=1、加=3；等號(hào)成立

\mnJmnmn22

故選：B.

變式1.已知。>0）>0,2a+b=ab,則上+上的最小值為（）

a-1b-2

A.4B.6C.D.

【答案】D

【詳解】由。>0,6〉0,2a+6=ab,a=>0,即6>2,易矢口a>l,

b-2

g、i2Qb2a-2、、-,

以----1-------=--------Fa=3H------+a-123+工￡.(—=3+3/2,

Q—1b—2ci—1Q—1

當(dāng)且僅當(dāng)°=亞+1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)6=2+夜，

所以烏+工的最小值為3+20―

a-\b-2

故選：D

變式2.已知命題p：在“8C中，若sin/>sin8,則/>6；q：若a>0,則（1+。）。+》24,則下列命

題為真命題的是（）

A.PB.pjqc.力人qD.可人-

【答案】A

【詳解】命題0：在AA8C中，若sin/>sin8,由正弦定理得a>b,所以/>B,為真命題，

當(dāng)a>0,對(duì)于（l+a）[l-（—]=2+aH—>2+2.a■—=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立，

Va）aVa

所以命題9：若a>0,則（1+。）（1+，）24,為真命題，

a

所以2八9為真命題，?人-14假命題，△夕假命題，，△-11假命題，

故選：A.

變式3.設(shè)x>0,y>0,加=2廠+濁宇則加有（）

■V-/I

A.最小值3B.最大值3

C.最小值：+后D.最大值j+

22

【答案】B

【詳解】x>0,V〉0,2y[2xy=2x-y[2y<x2+2y2,

故卡等工至宏產(chǎn)3當(dāng)且僅當(dāng)戶岳時(shí)成立，

AD錯(cuò)誤，B正確；

當(dāng)x=0.5/=1時(shí)，2X0,52+2^-X0.5+1216+三"土血<二應(yīng)，錯(cuò)誤.

m==c

0.25+11.25552

故選：B.

苣9

__]2

1.已知“3C,點(diǎn)。在線段3C上（不包括端點(diǎn)），向量加=+y就，—+一的最小值為（）

xy

A.2>/2B.2V2+2

C.2V2+3D.273+2

【答案】C

【詳解】28C,點(diǎn)。在線段8C上（不包括端點(diǎn)），

故存在力,使得麗=/1貳，即赤-四=4%-/□瓦即Z5=x就+。-彳）荏,

因?yàn)橄蛄?+>就，所以y=4,x=l-;I,

可得x+V=1,

x>0,y>0,由基本不等式得

12112、/>.._y2x_\y2x_/r-_

xy\xy)xy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)y=VL:,即y=2-應(yīng),x=&-l