專題10 幾何壓軸中的證明與猜想題型（解析版）

專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型幾何壓軸中證明與猜想題指有些數學問題的條件、結論或解決方法不確定或不唯一，需要根據題目的特點進行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個、多個或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．該題型對考查學生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個熱點．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結論開放和探索，條件與結論都開放與探索及方案設計、命題組合型、問題開放型等．考生在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：1．利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當命題的題設和結論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果．4．類比猜想法．即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證． （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且．(1)當時，求證：；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數量關系，并證明你的結論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，，垂足為K，交AC于點H且．若，，請用含a，b的代數式表示EF的長．（1）先利用正方表的性質求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質求解；（2）延長CB至M，使，連接AM，先易得，推出，，進而得到，最后利用全等三角形的性質求解；（3）過點H作于點N，易得，進而求出，再根據（2）的結論求解．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的數量關系為．理由如下：延長CB至M，使，連接AM，則．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：過點H作于點N，則．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，特殊角的三角函數值，作出輔助線，構建三角形全等是解答關鍵．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數量關系為_______；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數，并說明理由．（1）利用等邊三角形的性質和旋轉的性質易得到，再由全等三角形的性質求解；（2）①根據線段繞點A按逆時針方向旋轉得到得到是等邊三角形，由等邊三角形的性質和（1）的結論來求解；②過點A作于點G，連接AF，根據等邊三角形的性質和銳角三角函數求值得到，，進而得到，進而求出，結合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質求解．【答案】(1)，理由見解析(2)①；②，理由見解析【詳解】（1）解：．證明：∵是等邊三角形，∴，．∵線段繞點A按逆時針方向旋轉得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵線段繞點A按逆時針方向旋轉得到，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，∴；②過點A作于點G，連接AF，如下圖．∵是等邊三角形，，∴，∴．∵是等邊三角形，點F為線段BC中點，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解相關知識是解答關鍵．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．（1）根據將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當時，延長交于，過作于，設，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當時，延長交于，過作于，如圖：設，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．本題考查四邊形的綜合應用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質，三角形角平分線的性質，勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是方程思想的應用．1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知分別是四邊形和四邊形的對角線，點E在的內部，．(1)探索發(fā)現：如圖1，當四邊形和四邊形均為正方形時，則的度數為；(2)引申運用：如圖2，當四邊形和四邊形均為矩形時，①若，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若，，求線段的長；(3)聯(lián)系拓展：如圖3，當四邊形和四邊形均為菱形且時，設，試探究a，b，c三者之間的等量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)①（1）中的結論還成立；證明見解析；②(3)．理由見解析【分析】（1）根據正方形的性質得到，，由相似三角形的性質得到，由余角的性質得到；（2）①如圖2，連接，設，，于是得到，，根據勾股定理得到，，推出，根據相似三角形的性質得到，于是得到；②根據相似三角形的性質得到，，推出，設，得到，，根據勾股定理即可得到結論；（3）首先根據，可得，在中，根據勾股定理可求得之間的關系，之間的關系；然后根據相似三角形判定的方法，判斷出，即可用b表示出的值；最后判斷出，在中，根據勾股定理，判斷出a，b，c三者之間滿足的等量關系即可．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形均為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：①若，（1）中的結論還成立；證明：如圖2，連接，∵，，∴，∴，設，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；②∵，∴，，又∵，∴，∴，設，又∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：同理可得，如圖3，過C點作延長線于H，∵四邊形為菱形，∴，設，∵，∴，，∴，∴，同理可得，∴，在和中，，∵四邊形和四邊形均為菱形，，∴，∴，∴，∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，即a，b，c三者之間滿足的等量關系是：．2．（2022·浙江寧波·?？既＃净A鞏固】(1)如圖①，在四邊形中，，，求證∶；(2)【嘗試應用】如圖②，在平行四邊形中，點在上，與互補，，求的長；(3)【拓展提高】如圖③，在菱形中，為其內部一點，與互補，點在上，，且，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，再利用，即可得出；（2）根據兩組角相等可求得，可得，進而可求得的值；（3）延長交于G，則四邊形是平行四邊形，，由得，由（2）可得．，，可得，即，，根據菱形得，則，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：延長交于G，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，由（2）可得．，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）（1）【問題情境】如圖，四邊形是正方形，點是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接、，則與的數量關系是______；（2）【類比探究】如圖，四邊形是矩形，，，點是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接、．判斷線段與有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接，則的最小值為______．【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點H．可以證明；（3）作于N，交的延長線于M．首先證明點G的運動軌跡是線段，將的最小值轉化為求的最小值．【詳解】解：，理由：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：．理由如下：延長相交于點H．∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于N，交的延長線于M．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴點G的運動軌跡是直線，作點D關于直線的對稱點，連接交于G，此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值．∵，∴的最小值為，故答案為：．4．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個內角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準直角三角形”，求的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準直角三角形”，求的面積．【答案】(1)①15；②10或25(2)或(3)的面積為48或24【分析】（1）①根據三角形內角和定理求解即可；②根據三角形內角和定理求解即可；（2）根據題意可分為①當時，過點D作于H，結合勾股定理求解；②，結合相似三角形的判定和性質求解即可；（3）過點C作于F，，交的延長線于E，設，根據和可得，即可證明，可得，進而分情況討論求解：當時和當．【詳解】（1）①當時，則，∴（不合題意舍去），當，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當時，則，∴，當，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當時，如圖①，過點D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當時，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過點C作于F，，交的延長線于E，設，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當時，又∵，∴，由（2）可知：，設，則，∴，∴，∴，當，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．5．（2022·福建福州·福建省福州教育學院附屬中學校考模擬預測）問題發(fā)現．(1)如圖，中，，，，點是邊上任意一點，則的最小值為______．(2)如圖，矩形中，，，點、點分別在、上，求的最小值．(3)如圖，矩形中，，，點是邊上一點，且，點是邊上的任意一點，把沿翻折，點的對應點為，連接、，四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時的長度．若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為，【分析】（1）根據點到直線的距離最小，再用三角形的面積即可得出結論；（2）先根據軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出CF，進而求出CE，最后用三角函數即可求出的最小值；（3）先確定出時，四邊形的面積最小，再用銳角三角函數求出點G到AC的距離，最后用面積之和即可得出結論，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．【詳解】（1）如圖①，過點C作于P，根據點到直線的距離垂線段最小，此時CP最小，在Rt中，，根據勾股定理得，，∵∴，故答案為；（2）如圖，作出點關于的對稱點，連接交于點，過點作于，交于，連接，此時最小；四邊形是矩形，，，根據勾股定理得，，，，，由對稱得，，在中，，，在中，；即：的最小值為；（3）存在．如圖，四邊形是矩形，，，，根據勾股定理得，，，，點在上的任何位置時，點始終在的下方，設點到的距離為，，要四邊形的面積最小，即：最小，點是以點為圓心，為半徑的圓上在矩形內部的一部分點，時，最小，由折疊知，延長交于，則，在中，，在中，，，，，，過點作于，，，四邊形是矩形，，，，，，，．6．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學?？既＃┲校?，，點為直線上一動點點不與，重合，以為邊在右側作菱形，使，連接．(1)觀察猜想：如圖，當點在線段上時，與的位置關系為：______．，，之間的數量關系為：______；(2)數學思考：如圖，當點在線段的延長線上時，結論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．(3)拓展延伸：如圖，當點在線段的延長線上時，設與相交于點，若已知，，求的長．【答案】(1)①；②(2)①成立，證明