專題09 一次函數【考點精講】（原卷版）

專題09一次函數1．一次函數與正比例函數的定義如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函數，當b=0時，一次函數y=kx也叫正比例函數.正比例函數是一次函數的特例，具有一次函數的性質.2．一次函數與正比例函數的關系一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是過點(0,b)與直線y=kx平行的一條直線。它可以由直線y=kx平移得到.它與x軸的交點為，與y軸的交點為(0,b).3．一次函數的圖象與性質函數系數取值大致圖象經過的象限函數性質y=kx(k≠0)k>0一、三y隨x增大而增大k<0二、四y隨x增大而減小y=kx+b(k≠0)k>0b>0一、二、三y隨x增大而增大k>0b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x增大而減小k<0b<0二、三、四4．確定一次函數表達式用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟:（1）由題意設出函數的關系式;（2）根據圖象所過的已知點或函數滿足的自變量與因變量的對應值列出關于待定系數的方程組;（3）解關于待定系數的方程或方程組，求出待定系數的值;（4）將求出的待定系數代回到原來設的函數關系式中即可求出.【考點1】一次函數圖象與性質【例1】（一次函數圖像）（2022·安徽）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖像可能是（

）A．B．C．D．【例2】（一次函數圖像性質）（2021·遼寧營口市·中考真題）已知一次函數過點，則下列結論正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．C．直線過點 D．與坐標軸圍成的三角形面積為2【例3】（一次函數圖像性質）（2022·浙江紹興）已知為直線上的三個點，且，則以下判斷正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則解答本考點的有關題目，關鍵在于掌握一次函數的圖象與系數的關系.注意以下要點：（1）當k＞0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；（2）當k＞0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；（3）當k＜0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減?。唬?）當k＜0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小.1．（2022·四川涼山）一次函數y＝3x＋b（b≥0）的圖象一定不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·內蒙古包頭）在一次函數中，y的值隨x值的增大而增大，且，則點在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3．（2020?杭州）在平面直角坐標系中，已知函數y＝ax+a（a≠0）的圖象過點P（1，2），則該函數的圖象可能是（）A． B． C． D．4．（2021·江蘇連云港市·中考真題）關于某個函數表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數的一個特征．甲：函數圖像經過點；乙：函數圖像經過第四象限；丙：當時，y隨x的增大而增大．則這個函數表達式可能是（）A． B． C． D．5．（2020?嘉興）一次函數y＝2x﹣1的圖象大致是（）A． B． C． D．6．（2022·天津）若一次函數（b是常數）的圖象經過第一、二、三象限，則b的值可以是___________（寫出一個即可）．7．（2022·甘肅武威）若一次函數y=kx?2的函數值y隨著自變量x值的增大而增大，則k=_________（寫出一個滿足條件的值）．【考點2】一次函數解析式的確定【例4】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）某物體在力的作用下，沿力的方向移動的距離為，力對物體所做的功與的對應關系如圖所示，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．【例5】（2022·四川廣安）在平面直角坐標系中，將函數y=3x+2的圖象向下平移3個單位長度，所得的函數的解析式是（）A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1【例6】（2022·浙江麗水）因疫情防控需嬰，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時的速度是．兩車離甲地的路程與時間的函數圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程與時間的函數表達式；（3）問轎車比貨車早多少時間到達乙地？1．（2022·四川瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（

）A．B．C．D．2．（2021·內蒙古呼和浩特市）在平面直角坐標系中，點，．以為一邊在第一象限作正方形，則對角線所在直線的解析式為（）A． B． C． D．3．（2022·黑龍江大慶）寫出一個過點且y隨x增大而減小的一次函數關系式_______．4．（2022·湖北鄂州）在“看圖說故事”話動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關于x的函數表達式；（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．【考點3】一次函數與方程、不等式的關系【例7】（一次函數與方程）（2022·浙江杭州）已知一次函數y=3x-1與y=kx（k是常數，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），則方程組的解是_________．【例8】（一次函數與不等式）（2022·江蘇揚州）如圖，函數的圖像經過點，則關于的不等式的解集為________．1．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖，直線和與x軸分別相交于點，點，則解集為（）A． B． C． D．或2．（2021·廣西賀州市·中考真題）直線（）過點，，則關于的方程的解為（）A． B． C． D．3．（2021·福建中考真題）如圖，一次函數的圖象過點，則不等式的解集是（）A． B． C． D．4．（2021·湖北鄂州市·中考真題）數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據圖象可知，關于的不等式的解集是（）A． B． C． D．5．（2021·湖南邵陽市·中考真題）在平面直角坐標系中，若直線不經過第一象限，則關于的方程的實數根的個數為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個【考點4】一次函數的實際應用【例9】（幾何運用）如圖，直線l1的解析式為y=12x+1，且l1與x軸交于點D，直線l2經過定點A、B，直線l1與l2交于點（1）求直線的解析式；（2）求△ADC的面積；（3）在x軸上是否存在一點E，使△BCE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【例10】（路程問題）（2022·浙江湖州）某校組織學生從學校出發(fā)，乘坐大巴前往基地進行研學活動．大巴出發(fā)1小時后，學校因事派人乘坐轎車沿相同路線追趕．已知大巴行駛的速度是40千米/小時，轎車行駛的速度是60千米/小時．（1）求轎車出發(fā)后多少小時追上大巴？此時，兩車與學校相距多少千米？（2）如圖，圖中OB，AB分別表示大巴、轎車離開學校的路程s（千米）與大巴行駛的時間t（小時）的函數關系的圖象．試求點B的坐標和AB所在直線的解析式；（3）假設大巴出發(fā)a小時后轎車出發(fā)追趕，轎車行駛了1.5小時追上大巴，求a的值．【例11】（最大利潤）（2021·江蘇連云港市）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．1．（2022·黑龍江牡丹江）2008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強力地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時（從甲組出發(fā)時開始計時）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖象．請根據圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了___小時；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)．請問甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？（3）為了保證及時聯(lián)絡，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請通過計算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？2．（2022·黑龍江牡丹江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．3．（2020?樂山）某汽車運輸公司為了滿足市場需要，推出商務車和轎車對外租賃業(yè)務．下面是樂山到成都兩種車型的限載人數和單程租賃價格表：車型每車限載人數（人）租金（元/輛）商務車6300轎車4（1）如果單程租賃2輛商務車和3輛轎車共需付租金1320元，求一輛轎車的單程租金為多少元？（2）某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業(yè)務培訓，擬單程租用商務車或轎車前往．在不超載的情況下，怎樣設計租車方案才能使所付租金最少？4．（2021·云南