專題09 三點(diǎn)共線問題（原卷版）

專題09三點(diǎn)共線問題一、【知識(shí)回顧】【三點(diǎn)共線模型】①函數(shù)模型：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，求出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)建一次函數(shù)模型，判斷第三個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，滿足則共線②平角模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，可以選擇一條過B點(diǎn)的直線PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補(bǔ)角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行線模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE④垂線模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN【三線共點(diǎn)模型】①證明兩條線的交點(diǎn)，在第三條直線上②證明三條線中兩條線的交點(diǎn)和另外兩條線的交點(diǎn)是同一個(gè)二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：三點(diǎn)共線典例1：（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在線段上時(shí)，連接，的平分線交于點(diǎn)F，連接．(1)求的長；(2)求證：C、E、F三點(diǎn)共線．【變式1】（2022春·福建泉州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，連接．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，求的大??；(2)如圖，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如圖，若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．求的最大值．【變式2】（2021春·福建廈門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點(diǎn)為A，拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點(diǎn)為B，其中m≠﹣2，拋物線C1與C2相交于點(diǎn)P．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C（﹣2，1），求證：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線；(3)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為q，求q的取值范圍．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中，于點(diǎn)E，．(1)若，求CE的長；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為F，求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．考點(diǎn)2：三線共點(diǎn)典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段，垂足為a．（1）求作四邊形，使得點(diǎn)B，D分別在射線上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形的邊的中點(diǎn)，求證：直線相交于同一點(diǎn)．【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，為線段外一點(diǎn)．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)在同一條直線上．鞏固訓(xùn)練、單選題1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則；③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF＝4﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4﹣4；其中正確有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，ADBC，ABCD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長方形沿著BE折疊，A落在A′處，A'E交BC于點(diǎn)G，再將∠A′ED對(duì)折，點(diǎn)D落在直線A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點(diǎn)共線，則BF＝（）A．m+n B． C． D．m﹣n3．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線．若∠P＝60°，則CD的長為（）A．4 B．2 C．3 D．64．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△A’B’C．當(dāng)A’、B’、A三點(diǎn)共線時(shí)，AA’=（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點(diǎn)共線．與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題6．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在上，，連接，取中點(diǎn)F，過F作且使得，連接并延長，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且時(shí)，______．7．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中，與的平分線相交于H，過點(diǎn)H作交于E，交于F，于D，以下四個(gè)結(jié)論①；②；③點(diǎn)H到各邊的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線時(shí)，一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_____．8．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接C，當(dāng)E、、C恰好三點(diǎn)共線時(shí)，AE的值為____________9．（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，MN經(jīng)過E點(diǎn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③A、C、E三點(diǎn)共線；④若，則．其中正確的結(jié)論有____．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）10．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，且．現(xiàn)給出以下說法：①若A，O，B三點(diǎn)共線，則；②若，則A，O，B三點(diǎn)共線；③線段OA長度的最小值是；④以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形不可能是直角三角形．其中正確的是__________．（寫出所有正確說法的序號(hào)）三、解答題11．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，在中，，，．(1)試說明與滿足什么等量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線．(2)連接，連接交于F點(diǎn)，若點(diǎn)F恰好是線段的中點(diǎn)，求證：．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線段的長為__________，線段的長為__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；(3)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求的值；(4)當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，直接寫出的取值范圍．13．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，，，D在線段上，E是線段的一點(diǎn)．現(xiàn)以為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在的下方作等腰直角，連接．(1)如圖1，求證：．(2)當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若，求的長．(3)如圖3，若，連接，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到使得時(shí)，求的面積．14．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等腰直角中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)①當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)你說明理由；②當(dāng)時(shí)，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．15．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知直線y＝﹣2x