2024北京初三二模數(shù)學(xué)匯編：圓章節(jié)綜合

2024北京初三二模數(shù)學(xué)匯編

圓章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京大興初三二模）如圖，點AB,C在上，。為A3的中點.若NABC=25。，貝1J/AO5

120°C.100°D.50°

2.（2024北京石景山初三二模）如圖，AB是的直徑,8是。O的弦，回，8于點后，連接

則。。的半徑的長為（）

C.4D.40

3.（2024北京東城初三二模）一個圓錐的底面半徑的長為3,母線的長為15,則側(cè)面展開圖的面積是

）

A.6兀B.9兀C.45兀D.54兀

二、填空題

4.（2024北京豐臺初三二模）在正方形網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的邊長為1,將其頂點稱為格點.從一

個格點運動到與之相距&的另一個格點之間的一次移動，因類似中國象棋中馬的“日”字型跳躍，故稱為一

從格點A經(jīng)過一次“跳馬”變換可以到達的格點為（填"B”

"C或“ZT）；

（2）如圖2,現(xiàn)有6x6的正方形網(wǎng)格圖形，若從該正方形的格點M經(jīng)過三次“跳馬變換到達格點N,則共

有中不同的跳法.

5.（2024北京大興初三二模）如圖，A3是的直徑，CD是。。的一條弦，ABLCD,連接AC,

0D.若NC4B=30。，OA=2,則CD的長是

6.（2024北京海淀初三二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C是網(wǎng)格線的交點，C在以A8為直

徑的半圓上.若點。在BC上，則?C=

7.（2024北京順義初三二模）如圖，Q4是OO的半徑，BC是的弦，5c于點OC的延長線

與54的延長線交于點￡若N4BC=20。，則NE=

8.（2024北京順義初三二模）小紅在手工課上制作的折扇，折扇展開是一個扇形，如圖所示，已知扇形的

半徑是20cm,扇形的圓心角是120。，則扇形的面積是cm2.

9.（2024北京昌平初三二模）如圖，點尸為。。外一點，過點尸作。。的兩條切線，切點分別為A,B,

點C為優(yōu)弧AB上一點，若NP=80。，則NACB=°.

A

P<?o

10.(2024北京石景山初三二模)如圖，PA,尸3分別切。。于點A,B,C是劣弧上一點，若

ZACB=130°,貝！|/尸=.

11.(2024北京東城初三二模)在平面直角坐標系宜刀中，對于線段和直線/,稱線段尸。的中點到直線

/的距離為線段PQ關(guān)于直線/的平均距離，記為"

已知點4(3,0),5(0,3).

(1)線段43關(guān)于x軸的平均距離r為二

⑵若點M在x軸正半軸上，點N在＞軸正半軸上，且MN=2,則線段MN關(guān)于直線A3的平均距離/的最

小值為;

(3)已知點尸是半徑為1的。。上的動點，過點尸作x軸的垂線交直線于點Q,直接寫出線段尸Q關(guān)于尤

軸的平均距離r的取值范圍.

12.(2024北京豐臺初三二模)在平面直角坐標系無0y中，。。的半徑為2,對于點A和。O的弦3C,給

出如下定義：若/3AC=90。，則稱弦BC是點A的“關(guān)聯(lián)弦”.

,在弦

BC，B2C2,員C3中，點A的“關(guān)聯(lián)弦”是二

⑵如圖2,己知點網(wǎng)-也,-1）,C（省,-1）在。。上，弦BC是點A的“關(guān)聯(lián)弦”，直接寫出Q4長度的最大

值;

（3）如圖3,已知點“（0,-2）,N（2也,0）,對于線段MN上一點S,存在。O的弦BC,使得弦BC是點S的

“關(guān)聯(lián)弦”，若對于每一個點S,將其對應(yīng)的“關(guān)聯(lián)弦”8C長度的最大值記為d,則當點S在線段MN上運動

時，直接寫出d的取值范圍.

13.（2024北京海淀初三二模）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,48是。。的一條弦，以為

邊作平行四邊形A3CD.對于平行四邊形ABCO和弦42,給出如下定義：若邊8所在直線是。。的切

線，則稱四邊形A3CD是弦A3的“弦切四邊形”.

⑴若點4（0,-1）,C（l,0）,四邊形ABCD是弦A3的“弦切四邊形”，在圖中畫出“弦切四邊形"ABCD,并直

接寫出點。的坐標；

⑵若弦的“弦切四邊形”為正方形，求的長；

（3）已知圖形/和圖形N是弦A3的兩個全等的“弦切四邊形”，且均為菱形，圖形〃與N不重合.P,Q

分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，記尸。的長為心直接寫出f的取值范圍.

14.（2024北京大興初三二模）在平面直角坐標系xOy中，對于點T,M（a,b）,N（〃,0）,給出如下定

義：若點N以點T為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，能與點M重合，則稱點T為線段MN的“完美等直點”.

(1)如圖1,當a=0,6=2,"=2時，線段MN的“完美等直點”坐標是；

(2)如圖2,當。=0,〃=2時，若直線>=元+2上的一點T,滿足T是線段的“完美等直點”，求點T的

坐標及6的值；

(3)當-時，若點M(a,6)在以(1,1)為圓心，虛為半徑的圓上，點T為線段的“完美等直點”，

直接寫出點T的橫坐標t的取值范圍.

15.(2024北京燕山初三二模)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于。。的弦A3和。O外一

點C給出如下定義：若直線C4,CB都是。。的切線，則稱點C是弦A3的“關(guān)聯(lián)點”.

/1(1

(1)如圖，點B},B2--—

7\7

①在點G(-U),C2(-1,A/3),G(0,6)中，弦ABi的“關(guān)聯(lián)點”是「

②若點C是弦A層的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出AC,OC的長.

(2)已知直線)=-6%+26與x軸，y軸分別交于點Af,N,對于線段MN上一點T,存在。。的弦PQ,使

得點T是弦尸。的“關(guān)聯(lián)點”，記四邊形。尸TQ的面積為S,當點7在線段上運動時，直接寫出S的最小

值和最大值，以及相應(yīng)的PQ長.

16.(2024北京房山初三二模)在平面直角坐標系xOy中，對于兩點和直線/,過點M作直線/的垂

線，垂足為點尸，若點N關(guān)于點尸的對稱點為點H,則稱點H為點/關(guān)于直線/和點N的“垂足對稱關(guān)聯(lián)

點已知點4(4,0),8(0,2).

(1)①點(1,3)關(guān)于x軸和點A的“垂足對稱關(guān)聯(lián)點”的坐標為；

②點、B為點、A關(guān)于直線/和點(6,-2)的“垂足對稱關(guān)聯(lián)點”，則點A到直線/的距離為；

(2)如圖，點C在線段上，點￡＞在無軸下方，且滿足00=1,若直線y=x+6上存在點C關(guān)于x軸和點

。的“垂足對稱關(guān)聯(lián)點“，求》的取值范圍.

17.(2024北京東城初三二模)如圖，已知。。及。。外一點P.

求作：的切線上4,PC.

作法：

①連接。尸；

②分別以點。，P為圓心，大于g0P的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M,N,作直線交。尸于點

B；

③以點8為圓心，的長為半徑畫圓，交。。于點A,C(點A位于。尸的上方)；

④作直線PC；

則直線P4,PC就是所求作的直線.

(1)利用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；

⑵設(shè)線段0P交。。于點E,連接Q4,AC,CE.若/ACE=34。，則NA0P=_。，ZAPC=_°.

參考答案

1.C

【分析】本題考查了本題主要考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)點C是心的中點，可得==根據(jù)圓周角定理即可求解.

AC=BC'

ZAOC=ZCOB=-ZAOB,

2

ZAOC=2ZABC=50°,

：.NAO8=2NAOC=100。，

故選：C.

2.B

【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理和圓周角定

理.連接OD,根據(jù)圓周角定理得到4OD的度數(shù)，根據(jù)垂徑定理得到ED的長度，即可求出半徑的長度.

【詳解】解：連接OC、OD,如圖所示：

ZAOC=45°,

VCDLAB,AB是OO的直徑，CD=4,

：.ZOED=90°,ED=2,ZAOD=ZAOC=45°,

：.ZODE=45°,OE=2,

?*-OD=@+2?=2亞，

故選B.

3.C

【分析】本題考查了圓錐的計算，根據(jù)圓錐側(cè)面積展開圖公式計算即可得出答案.

【詳解】解：由題意得：

側(cè)面展開圖的面積是3x7rxl5=457i,

故選：C.

4.C12

【分析】本題考查了勾股定理的運用，圓的概念等知識，根據(jù)網(wǎng)格的特征和勾股定理可求出AD,AC,

AB,然后根據(jù)新定義判斷即可；以"為圓心，正為半徑作。該圓經(jīng)過6個格點，然后再以每一個

格點為圓心，正為半徑作圓，判斷此圓經(jīng)過的各點到N的距離是否等于有即可.

【詳解】解：：AD=2,AC=，2?+12=5AB=V22+22=2>/2，

/.從格點A經(jīng)過一次“跳馬”變換可以到達的格點為C；

以M為圓心，逐為半徑作0",則經(jīng)過格點A、B、C、。、E、F、G、H,

以A為圓心，君為半徑作。A,則Q)A經(jīng)過6個格點，其中川=6+12=后,QN=42f,

―尸—N或M—A—Q—N兩種跳法符合“跳馬變換；

以H為圓心，逐為半徑作。H,則?！ń?jīng)過6個格點，每個格點到N的距離都不等于途,

故此種情況不存在；

以G為圓心，石為半徑作。G,則0G經(jīng)過6個格點，其中9=亞齊=占，QN=02+f=非，

MfG一尸-N或M-G—Q—N兩種跳法符合“跳馬變換；

以P為圓心，石為半徑作。尸，則。尸經(jīng)過6個格點，其中fWngz+F=舟QNW+F=#,

，M一尸—PfN或"fP-?QfN兩種跳法符合“跳馬變換;

二在禰V左側(cè)的格點中有2+2+2=6種,

同理在MN右側(cè)格點中有6種,

——共有6+6=12種,

故答案為：C,12.

5.2白

【分析】連接0C,由圓周角定理得/COE=2/ACB=60。，由垂徑定理得/。8=90。-60。=30。,

CD=2CE,進而根據(jù)勾股定理即可得解.

【詳解】解：連接0C,如圖所示,

ZC4B=30°,

/COE=2ZACB=60°,

VABVCD,AB是直徑，

ZOCE=90°-60。=30°,CD=2CE,

：.OE=-OC=1,

2

CE=V22—I2=5/3,

/.CD=2CE=26,

故答案為：.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握

垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.135

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補.熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵.

記AB的中點為。，連接OC,可知/C4B=45°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求解作答即可.

【詳解】解：如圖，記A5的中點為。，連接0C,

由圖可知，AB=4,OC=2,^AOC=90°,

JNC4B=45。，

???四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZBDC=180°-ZCAB=135°,

故答案為：135.

7.30

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

由圓周角定理得NAOC=2NABC=40。，而NB4O=90?！?0。=70。，再由三角形的外角定理即可求解.

【詳解】解：

JZBDA=90°f

：.ZBAO=90°-20°=10°,

;AC=AC9

：.ZAOC=2ZABC=40°f

?；/BAO=NO+NE,

AZE=70°-40°=30°,

故答案為：30.

c400

8.----71

3

【分析】本題考查扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式s=竺匚是解題的關(guān)鍵.

360

根據(jù)扇形面積公式計算即可.

『、￥存刀』冷刀120/rx2()2400〃/2\

【詳解】角牛：Sc=———=---[cm)

3603'7

乂生4位

故答案為：不40-0兀.

9.50

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理.連接。4,OB,由切線的性質(zhì)定理得到

ZPAO=ZPBO=90%求出NAO5=360?！?0?！?0?！?0。=100。，由圓周角定理得到

ZACB=-ZAOB=50°.

2

【詳解】解：連接04,OB,

A

,依分別切圓于A、B,

.?半徑OA_LPA,半徑

.\ZPAO=ZPBO=90°,

Q/P=80。，

/.ZAOB=360°-90°-90°-80°=100°,

:.ZACB=-ZAOB=50°.

2

故答案為：50.

10.80。/80度

【分析】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是

解題的關(guān)鍵.在優(yōu)弧A8上任取點0,連接AD、DB、OA.OB.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得

ZD=50°,由圓周角定理可求得NAO5=100。，由切線的性質(zhì)可知。4,AP、OBLPB,從而得到

ZP+ZAOB=180°,于是可求得NP=80。.

【詳解】解：在優(yōu)弧A3上任取點O,連接AD、DB、OA.OB.

???四邊形相＞3。是圓內(nèi)接四邊形，

.\ZD+ZACB=180°.

.-.ZD=180°-130°=50°.

ZAOB=2ZDf

ZAOB=100°.

'：PA,總切G)O于點A,B,

:,OALAP.OBLPB.

:.ZP+ZAOB=1SO0.

.?.ZP=180o-100°=80°.

故答案為：80°.

11.(1)1.5

(2)逑T

2

(3)三旦,X

22

【分析】(1)利用平均距離的定義解答即可;

(2)設(shè)MN的中點為P,利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)得到點尸在以。為圓心,

1為半徑的圓弧上，過點。作OC，至于點C,與該圓弧交于點P,則此時線段關(guān)于直線A8的平均距

離f的值最小，利用圓的有關(guān)性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可;

(3)首先求出直線的解析式為y=-x+3；其次設(shè)點P(x,y),則得Q(x,-x+3),由中點坐標公式求得

(y-x+3,由題意得在-；+3,即y=x+2-3;由點尸在。。上，則有*+y2=l,把

y=x+2/-3代入并整理得關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式即可求得/的范圍.

【詳解】(1)解：???點43,0),8(0,3),

二線段A3的中點為(L5,1.5),

?.?(151.5)到x軸的距離為1.5,

線段關(guān)于x軸的平均距離f為1.5；

故答案為：L5；

(2)解：設(shè)的中點為尸,

?.?點M在x軸正半軸上，點N在＞軸正半軸上，且MN=2,

:.ZMON=90°,

?.?尸為MV的中點,

：,OP=-MN=1,

2

點尸在以。為圓心，1為半徑的圓弧上，如圖1,

過點。作OC，回于點C,與該圓弧交于點P,則此時線段關(guān)于直線A3的平均距離f的值最小,

：AO=OB=3,OC±AB,ZAOB=9Q°,

圖1

OC=-AB=3^L

22

線段MV關(guān)于直線AB的平均距離t的最小值=PC=OC-OP=—-1

2

故答案為：逑-1.

2

(3)解：設(shè)直線A5解析式為丁二丘+)，

把4(3,0),8(0,3)兩點坐標分別代入〉=乙+》中，得：q=3，

解得：屋僅=-,1

即直線A3解析式為>=-尤+3；

設(shè)點P(x,y),

?.?PQLx軸交直線A3于點。，

Q(x,—x+3),

則匕產(chǎn))，

y-x+3

t=-------,

2

即y=x-^-2t-3；

因點P在。。上，則有/+丁=1,

x~+(x+2f—3)2=1,

整理得：2/+2(2/-3口+(2/-3)2-1=0,

由于關(guān)于尤的一元二次方程必有實數(shù)解，則A=4(2r-3)2-8[(2?-3)2-l]>0,

即⑵-3)242,

解得：乏包4芯21；

22

二線段PQ關(guān)于x軸的平均距離f的取值范圍為主衛(wèi)Wf4史史.

22

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，點的坐標的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識，本題是新定義型，正確理解新定義

的規(guī)定，并熟練運用是解題的關(guān)鍵.

12.(1)4G，B?

(2)Q4長度的最大值為1+6

(3)20WdW4

【分析】(1)根據(jù)題意判斷角是否為90。即可；

(2)根據(jù)直徑所對的圓周角為90。，找出A的運動軌跡后求解即可；

(3)分類討論。4的長度，求出關(guān)聯(lián)弦3C的取值范圍，再根據(jù)OS的取值范圍求解即可.

【詳解】(1)連接與。，32c2，B3c3,AC],AC2,AC3,4星如圖所示：

解：：點4。,0),點4(2,0),q(1,5/3),B2(-2,0),

/GA與=90°,ZC2AB2=90。，4G和B2C2是點A的關(guān)聯(lián)點；

VB3(O,2),C3(-l,-^),

22222222

AB3=2+1=5,AC3=2+(>/3)=7,B3C3=(-1)+(2-^)'=8-4>/3,

22

/.AB3+AC/牛B3C3,

ZB3AC3N90°,

綜上點A的“關(guān)聯(lián)弦”是B?和B2C2；

(2)VB(-V3,-1),C(V3,-1),

/.BC=^-(-V3)=2V3,

設(shè)3C的中點為M,則M(0,T),

VABAC=90°,8C的長為定值，

.?.點A的運動軌跡為以M為圓心，MC為半徑的圓上，如圖所示：

丁…3

.?.當在y軸上時Q4最大，此時OM=1,MA=MC=5

...OA=OM+MA=l+y/3；

(3)解：設(shè)BC是點A的關(guān)聯(lián)弦，/B4c=90。,

當點A在圓心上時，即。4=0,如圖所示：

此時AS4C為等腰直角三角形，BA=AC=2,

?*-BC=>/22+22=272;

當點A在圓上時，即OA=2時,如圖所示:

此時ABIC為等腰直角三角形,BC=4,

.?.當0<。4<2時，設(shè)BC的中點為M連接AM,OA,如圖所示:

BC=2AM,

...當AM越大，越小時BC越大，^AM-OM<OA,

AM-OM=Q4此時2C得到最大值，如圖：

2A/2<BC<4,

當點A在圓外且54與AC相切時，OA=72z+22=2&如圖所示:

此時四邊形ABOC為正方形，止匕時8c=。4=2應(yīng)，

當2<。4<2應(yīng)時，設(shè)8C的中點為M連接AM,OA,ON如圖所示:

BC=1AM,

.?.當W越大，越小時BC越大，AM+OM>OA,

所以A〃+OM=Q4此時BC得到最大值，如圖：

2A/2<BC<4,

綜上所述2&W2CW4;

又?.,連接MN,OS,當OSLMV時，如圖所示:

?.?/（0,-2）,N（26,0）,

OM=2,ON=26,

:.MN=<2?+（2國=4,

.OMxON2x26

MN4

,y/3<OS<2^,

：0VOA420時關(guān)聯(lián)弦的取值為：2及MBCM4,

【點睛】本題為圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，圓周角定理，點與圓的位置關(guān)系，幾何變換等知識點，根

據(jù)所給的信息合理分類討論弦的長度是解題的關(guān)鍵.

13.(1)(1,-2)

⑶0<t4孚或t=2

【分析】⑴因為四邊形神8是弦A2的“弦切四邊形”故CD是。。的切線，因為C(l,0),四邊形ABCD

是平行四邊形，故線段8是在直線x=l上，且垂直于x軸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃CD,所以

垂直無軸，因為AB是。O的一條弦，B在OO上，A(0,-l),由圖象可得B點坐標為(0,1),所以

AB=2,因為AB=CD=2,AB//CD,C(l,0),所以由圖象可得點。的坐標為(1,-2).

(2)當弦的“弦切四邊形”為正方形時，則以42為邊作出的四邊形ABCD為正方形，可得線段CO與

。。相切，交點為點E,連接OE并延長交43于點G,故可得出正方形ABCD,因為線段CD與。。相

切，交點為點E,。為。O的圓心，所以GELCD,因為AB〃C￡>,所以GELAB,

ZABC=/BCD=NCDA=NDAB=90°,四邊形ABDC為矩形，設(shè)OG為機，因為OE=O8=1,所以

GE=BD=AB=m+l,又因為。3=。4,OG±AB,所以點G是AB的中點，即

OB2=OG2+BG2,帶入數(shù)值為12=m2+［；M+：),

BG=-AB=-(m+l)=-m+~,故在RtAOGB中,

22V722

33S

解得：/=W或“AMT（舍），所以AB=〃z+l=g+l=g.

（3）分情況討論：①由題意可得，圓上任意點A（與X軸y軸交點除外），關(guān)于y軸的對稱點B,作菱形

M與N,分別為菱形ABUT和菱形ABCD,且TU和8與圓相切于點N,P,。分別為兩個“弦切四邊

形”對角線的交點，連接PQ交y軸于點G,連接交y軸于點連接。8,故△OMB是直角三角

形，設(shè)OM=x,因為ON=1,所以MN=l—x,因為ABJLON,UD±ON,Q和尸分別是AU和30的中

點，所以QPJ_ON,QG=GP,MG=NG,所以MG=NG=,,因為AB=AD,/和P分別是A3和

8。的中點，所以===因為08=1,OM=x,所以BM=PM=—x?，故在

Rt^MG尸中，PG2=PM°+Md,帶入數(shù)值為

P^=12_x2+l+^-2x=_5x2+J_x+3=_5r_1?4；故當x時，pG正,因為

4424415）55MAX5

^=b2-4ac=^一4x（）x：=4>0,所以PG>0,即0<PG4羋，因為PQ=「=2PG,所以

0</4華.②當點A在圓上與x軸）軸交點上時，關(guān)于x軸的對稱點B,作菱形A3GA和菱形

ABC.D,,P、,a分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時402的長為圓的直徑，即片Q=2,即

t=2.同理可得作菱形ABG2和菱形A8CQ3,P2,2分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時

打。的長為圓的直徑，即82=2,即1=2.綜上所述，f的取值范圍為0<tV竽或t=2.

【詳解】（1）解：：四邊形ABCD是弦A3的“弦切四邊形”

8是。。的切線，

：C（1,O）,四邊形A3CD是平行四邊形，

故線段C。是在直線x=l上，且垂直于x軸，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得小?〃。，

二垂直x軸，

：A3是<3。的一條弦，B在。。上，A（O,-1）,

由圖象可得B點坐標為（0,1）,

，AB=2,

VAB=CD=2,AB//CD,C（l,0）,

/.由圖象可得點D的坐標為。，-2）.

(2)當弦AB的“弦切四邊形”為正方形時，則以為邊作出的四邊形ABCD為正方形，可得線段CO與

。。相切，交點為點E,連接0E并延長交48于點G,故可得出正方形ABCD,如下圖所示：

;線段C。與O。相切，交點為點E,。為O。的圓心，

GELCD,

AB//CD,

：.GELAB,

：.ZABC=ZBCD=NCDA=ZDAB=90°,

四邊形A5CD為矩形，

設(shè)OG為優(yōu)，

?/OE=OB=l,

GE=BD=AB=m+\,

XVOB=OA,OGVAB,

二?點G是AB的中點，即3G==（根+1）=（加+2,

22V722

故在RtAOGB中，OB?=OG2+BG2,

帶入數(shù)值為+

3

解得：叫=M或生=-1（舍），

3R

?.AB=m+\=-+\=-.

55

（3）①由題意可得，圓上任意點A（與x軸》軸交點除外），關(guān)于V軸的對稱點B,作菱形“與N,分別

為菱形A3L/T和菱形A5CD,且TU和8與圓相切于點N,P,。分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交

點，連接尸。交丁軸于點G,連接交＞軸于點M,連接。3,故△OMB是直角三角形，如圖所示：

,?ON=1,

：.MN=l-x,

VABLON,UD±ON,。和尸分別是AU和8￡)的中點，

/.QP1.ON,QG=GP,MG=NG,

：.MG=NG=]—^,

2

VAB=AD,〃和尸分別是AB和8。的中點，

MP=-AD=-AB=MB,

22

*.*OB=1,OM=x,

?*-BM=PM=^J12-X2>

故在RIAMGP中,PG2=PM2-MG2,

^A?^PG2=l2-x2-^-^=--x2+-x+-=--fx--V+-,

4424415)5

故當X時，PGMAX=~~~9

JD

'：^=b1-Aac=[^-4x^-|^|x|=4>0,

?.PG>0,即0〈尸G4撞，

5

,/PQ=t=2PG,

??.oy延.

5

②當點A在圓上與X軸y軸交點上時：如圖所示，關(guān)于X軸的對稱點8,作菱形A3GR和菱形ABC,A，

R,。2分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時42的長為圓的直徑，即月2=2,即=2.

同理可得作菱形ABC?。?和菱形ABC32，鳥，2分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時的長為

圓的直徑，即鳥2=2,即f=2.

同理可得作菱形4BCQ2和菱形ABC3D3,片,乙分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時

時=1（竽，即"1.

同理可得作菱形A2G2和菱形ABG。?，A,2分別為兩個“弦切四邊形”對角線的交點，此時

5

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、平面直角坐標

系、矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實際應(yīng)用、切線的性質(zhì)定理，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵.

14.（1）（0,0）

⑵點T坐標為（-M）；6=4

⑶一24/<3

【分析】（1）根據(jù)“完美等值點”的定理，可得ON=OM=2,則△MON是等腰直角三角形，四邊形

4Vo暇是正方形，由此即可求解；

（2）當a=0,〃=2時，M（0,b）,N（2,0）,設(shè)T?J+2）,根據(jù)題意可證AATN絲ATBA^AAS）,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)-24九44分類討論，當〃=-2時，根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)可得點T的橫坐標；當〃=4時，根

據(jù)“完美等值點”的概念及計算方法即可求解.

【詳解】（1）解：當a=0,b=2,〃=2時，M（0,2）,N（2,0）,

：.ON=2,OM=2,

如圖所示，

:點N繞“完美等直點”逆時針旋轉(zhuǎn)90。，

ON=OM=2,則△MON是等腰直角三角形，

...點M,N的中點坐標為3（1,1）

AOBLMN,且MB=NB,

旋轉(zhuǎn)中心點在線段MN的垂直平分線上，

MO=NO,

.,.點T于點。重合，

???點N以點（0,0）為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，

線段MN的“完美等直點”坐標是（0,0）,

故答案為：（0,0）；

（2）解：當。=0,〃=2時，N（2,0）,

a\

Z2-10\123x

V直線y=x+2上的一點T,滿足T是線段MN的“完美等直點”，

...設(shè)T&J+2),ZNTM=90°,

如圖所示，過點T作小，》軸于點A,作軸于點8,

在RtZ\A7M中，ZATM+ZAMT=ZATM+ZATN=90°,

：.ZAMT=ZATN,

,/AT〃無軸，

AZATN=ZTNB,且NM4T=dBT=90。，TN=TM,

：.AA?^A7BA^(AAS),

/.AT^BT,AM=BN,

*.*AT=—t,BT=1+2,

??一t=A+2,

解得，t=-l,

???r(-i,i),

???(M=/+2=—l+2=l,OB=lf

：.5N=l+2=3,

???OM=OA+AM=OA+BN=\+3=A,

：.M(0,4),即8=4；

(3)解：如圖所示，當〃=-2時，N(-2,0),點加(〃乃)在圓上，圓心坐標為Q(U),半徑為正,

???ON=2,

???點M橫坐標的取值范圍為：1-后VaWl+0,縱坐標的取值范圍為：1-0?Z?V1+后，

由（1）的推理可得，線段MV的中點坐標為尸［三知］）,過點尸作線段MV的垂直平分線,

根據(jù)“完美等值點”的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，中心對稱點T在線段的垂直平分線線上，且

NNTM=90°,

:.TN=TM,ZNTM=90°,即是等腰直角三角形，

...由（1）中證明可得四邊形0M7N是正方形，

TN=ON=2=TM=OM,

，T的橫坐標為-2；

當點河，Q，N三點共線時，線段MN的長度值最大，如圖所示，以點作矩形NS7?K,

VZS=ZR=90°=ZNTM,TM=TN,ZNTS+ZRTM=ZRTM+ZTMR=90°,

：.ATSN絲JWRT(AAS),

AST=RM,SN=TR,

"：ST+TR=SR,

ST<SR,即點T的橫坐標大于-2；

當”=4時，N(4,0),如圖所示，作。Cx軸于點乙，

：.ZNTM=90°,QM=④,2（1,1）,

:.QL=LM=1,則M（2,0）,

即尸（3,0）,

7P是MN的垂直平分線，

T的橫坐標為3；

綜上所述，T的橫坐標f的取值范圍為：-2</<3.

【點睛】本題主要考查平面直角坐標中圖形的變換規(guī)律，理解“完美等值點”的定義，掌握等腰三角形的判

定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形運動的規(guī)律，分類討論思想，圖形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

15.⑴①C2；（2）AC=—,OC=—

33

(2)S的最小值為0,尸。=孚；S的最大值為而，尸。=率

【分析】⑴①設(shè)M(T,〃)，根據(jù)題意，得?！?=OB：+M理確定坐標，判斷即可.

②根據(jù)A(TO)，ACz^OA,點C是弦A當?shù)摹瓣P(guān)聯(lián)點”，得到點C一定在直線AC,上，設(shè)C(T機)，根

據(jù)題意，得OC=OBj+aV，確定點C的坐標后，利用兩點間的公式計算AC,0C的長即可.

212

(2)根據(jù)題意，S=2S^OPT=2S^OQT=2X^XOQXQT=^OT-OQ=VoT-l,

當07最大時，S取得最大值；當OT最小時，S取得最小值；利用切線長定理，勾股定理計算即可.

【詳解】⑴①?點G(-M),G(-I,V3),C3倒點A(TO),耳［，*］，

ZAOC3=90°

ZC3AO<90°,

.?.C3A不可能是。。的切線，

故C3(0,右)不是弦AB,的“關(guān)聯(lián)點”，

設(shè)

根據(jù)題意，得OM2=OB；+MB：,

Z.1+n2=l+f-+l^+(--n］,

「12J

解得"=6,

AM(-1,5/3).

故cj-i,道)符合題意，不符合題意，

故答案為：G(-1,V3).

②根據(jù)A(TO),ACjOA,點C是弦A層的“關(guān)聯(lián)點”，

(.m

???點c一定在直線AC2上，設(shè)c(-u〃)，B2-3,

：.OC2=OB；+CB；,

2

1+m2=1+1-1+1I+（凡Y

12J

角吊得"2二，

3

故CI，T

k「3J

???A（-l,0）,

（2）:直線y=-J5x+2g與x軸，y軸分別交于點M,N,

.-.M（2,0）,N（0,2⑹,

/.OM<ON,MN=122+（2琦=4,

;對于線段MV上一點T,存在。。的弦PQ,使得點T是弦尸。的“關(guān)聯(lián)點”,

叱,70是。。的切線；

ZOPT=ZOQT^90°,TP=TQ,OT=OT,

：.AOPT*）QT（HL）,

?二

??qQqQQT，

???四邊形OPTQ的面積為S,

222

S=2SAOPT=2SAOST=2X^XOQXQT=^OT-OQ=>]OT-1,

當OT最大時，S取得最大值；當OT最小時，S取得最小值;