2024-2025學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)高三年級上冊10月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)高三上學(xué)期10月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個選項中，只有一項符

合題目要求.

1.已知集合0={2,4,6,8,10},2={2,4},8={4,6},則匕（2°5）=（）

A.{4}B.{2,4}C.{8,10}D.{2,4,6}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)并集和補集的含義即可得到答案.

【詳解】由題意，得NU8={2,4,6},所以］（Zu8）={8,10}.

故選：C.

【解析】

【分析】利用排除法可得正確選項.

【詳解】由題意可得/(x)>0,排除B,又/(T)=ci：1產(chǎn)/(x)不是偶函數(shù),排除C,

2|eT

當(dāng)xf+8時，f(x)—>0,排除D.

故選：A.

3.若函數(shù)/(x)=lnx—4+a在區(qū)間(l,e)上存在零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

X

A.(0.1)B.[-,1]

e

C.(1,1)D.(1,—+1)

ee

【答案】C

【解析】

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合零點存在定理得到不等式組,

求解即得.

【詳解】由/'(乃=工+4在區(qū)間(l,e)上恒為正可得，函數(shù)/(x)=lnx—4+a在區(qū)間(l,e)上為增函數(shù),

XXX

依題意，函數(shù)在區(qū)間(Le)上存在零點，則由零點存在定理可得，

/(l)=a—1<0,且/(e)=a+l—,〉0,解得l<a<l.

ee

故選：C.

4.已知a=log32,Z>=log43,C=0,512,比較°,4c的大小為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】利用換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合基本不等式比較6的大小，再利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)比較。大小，即可求解.

2

…麗、Lln2ln3ln2-In4-(ta3)

【詳角星】a-b=-------------=---------------———,

In3In4In3-In4

因為In2,ln4>0,

所以In2+ln4>2jln21n4,即In2.1n4<；(ln8)2<；(ln9)2=(ln3「

所以In2?ln4<(ln3)2,且ln3-ln4>0,

所以Q<b，

121

又因為a=logs2>log3V3=—,c=0.5<0.5=—,

所以a>c,

綜上，b>a>c,

故選：D.

5.若sin6=-2cos。，則sin6(sin。+cos8)=()

622

A——B.——C.-

■555

【答案】C

【解析】

【分析】先由條件得到tan。=-2,化弦為切，代入求出答案.

【詳解】因為sin0=-2cos。，所以tan6=-2,

sin9(sin0+cosff)_tan20+tan04-22

所以sin9(sin3+cos0)

sin23+cos23tan29+\7+T

故選：C

—?2—?1—■—-2—?3—?

6.在AZ5c中，。為BC中點，CP=ACB，AQ=-AB+-AC,若+則九=

()

1111

A.—B.-C.—D.一

2345

【答案】C

【解析】

【分析】選擇｛方,〃｝為平面向量的一組基底，表示出石，再根據(jù)而表示的唯一性，可求X的值.

【詳解】選擇｛方,k｝為平面向量的一組基底.

—-1—.1—.

因為。為5c中點，所以Z￡>=—4B+—NC；

22

—*2—3—?2/—(■—>\3—?

又/。=§20+二幺2=1(2。+。尸)+12。“元+4西+|［茄+；可

=|[^C+2(^-^C)]+|^|^+=HpAB+^^AC.

24+21

52

由<

3-22_1

52

故選：c

7.已知復(fù)數(shù)Z1,Z2和Z滿足閡=崗=1,若歸]-2|=|二1-1|=22-z|,則目的最大值為()

A.2GB.3C.V3D.1

【答案】B

【解析】

【分析】先利用復(fù)數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到目W3,再將目=3時

各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到忖的最大值.

【詳解】根據(jù)題意，得忖=|卜2-2)-22閆22-2|+匕2|=歸1-[+1<㈤+1+1=3,

當(dāng)2]=—1,z2=1,z=3時，>一221Tzi-1|=|Z2-Z|=2,此時目=3,

所以匕L=3.

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(久)的定義域均為R,若/(x)=/(-x)+2xj(x)的圖象關(guān)于直線x=l對

20

稱，且"2)=0,則/(20)—￡/'(/.)=()

i=l

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】A

【解析】

【分析】由對稱性得/(x)=/(2-x),結(jié)合已知式分別求導(dǎo)后得出了'(2+x)=/'(x)-2,從而數(shù)列

20

｛/'(2〃)｝是公差為—2的等差數(shù)列，用賦值法求得/'⑴和/'⑼后可計算出，再由已知與對稱性得

1=1

出/(2+x)=/(x)-2x,利用遞推式求得了(20),從而可得結(jié)論.

【詳解】/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則/(x)=/(2—x),

所以/'(x)=-f(2—x)，又/(》)=/(—x)+2x,則以(x)=-f(_x)+2,

所以-fr(2-x)=-f'(-x)+2,從而/'(2+x)=f\x)-2,

因此｛/'(2〃)｝及｛f(2n-1)｝是公差為-2的等差數(shù)列，其中〃eN*，

又在又在)=—八2—x)中令x=1得/'⑴=-/XI)，即得f(l)=0，

在/'(X)=—/'(T)+2中令x=0得/'(0)=-/'(0)+2,則/(0)=1,因此/'(2)=—1,

于是/'(1)+/'(3)+/'(5)+…+/'(19)=0_2_4------18=-90,

廣(2)+/(4)+…+(20)=-1-3------19=-100,

20

所以X/'(i)=—190,

1=1

又由/(x)=/(2—x)及/(x)=/(—x)+2x得/(2-x)=/(—x)+2x,

從而/(2+x)=/(x)-2x,而/(2)=0

所以/(20)=/(18)-36=/(16)-32-36--=〃2)-4—8------32-36=-180,

20

所以/(20)-^r(z)=-180-(-190)=10,

1=1

故選：A.

【點睛】方法點睛：由對稱性得出/(x)=/(2-x),與已知式比較可得/(x)的一個遞推關(guān)系式，從而可

求得一些特殊的函數(shù)值，同樣對它們分別求導(dǎo)，又可得出關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的遞推式，即得出數(shù)列｛/'(2〃)｝及

｛/'(2〃-1)｝都是等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)論.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.“co”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線。過坐標(biāo)原點

。,。上的點到兩定點片(-4,0),乙(氏0)伍〉0)的距離之積為定值".則下列說法正確的是()(參考

數(shù)據(jù)：石a2.236)

A.若閨聞=12,則C的方程為1+/)2=72k2_/)

B.若C上的點到兩定點片、片的距離之積為16,則點(-4,0)在。上

C.若a=3,點(3,打)在C上，則2</<3

D.當(dāng)a=3時，C上第一象限內(nèi)的點尸滿足△回心的面積為：，則|尸周2—1尸乙「=18百

【答案】ACD

【解析】

【分析】設(shè)。上的點為P(x,y),整理可得C的軌跡方程為(必+了2)2=242(必一y2).對于A：直接代入即

可；對于B：可得|「丹卜|「鳥|=16,代入檢驗即可得；對于C：根據(jù)C的軌跡方程為代入點（3,%）整理可

得了：+36/—81=0,換元構(gòu)建函數(shù)/（》）=/+36%—81,x20,可知，為/（x）在［0,+勿）內(nèi)的零

點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)題意可得|尸耳H?"1=9,NFiPF?*,結(jié)合勾股定理

分析求解.

【詳解】設(shè)C上的點為PQy）,可得歸周.|尸工|=而+6+丫2&-。）2+產(chǎn)=〃，

整理可得（必+/）2=2°2卜2一了2）,即Q的軌跡方程為（必+/J=2〃（必一y2）.

對于選項A：若陽閭=12,即a=6,

所以C的軌跡方程為（丁+力2=72卜2—力，故A正確；

對于選項B：因為若C上的點到兩定點片、片的距離之積為16,

即a=4,片（-4,0）,月（4,0）,可得|尸7訃|尸用=16,

對于點尸（—4,0）,顯然歸7訃|「乙|=0716,所以點（—4,0）不在C上，故B錯誤；

對于選項C：若a=3,則C的軌跡方程為卜2+了2）2=］8卜2一/）,

代入點（3,%）可得（9+訴丫=18（9—訴），整理可得jo+36^-81=0,

令/=第20,可得/+36/-81=0，

令/（x）=x2+36x-81,x>0,可知，為/（x）在［0,+8）內(nèi)的零點，

因為/（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=-18,可知/（x）在［0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增，

且/（2）=—5（0,/（3）=36）0,

可知/（久）在［0,+。）內(nèi)存在唯一零點，且2</<3,即2<y；<3,故C正確；

對于選項D：若a=3,則|尸7訃|尸閭=9,

且點尸在第一象限內(nèi)，則|理|>|尸引,

19a

又因為的面積為方尸用W用sinN用岑u^sinN內(nèi)尸6=-,

可得sinN耳隼=1,且N片尸片€（0,兀），則/為典=',

可得歸用2+|尸用2=閨閭2=36,

則（附|+|尸閭）2=閥「+歸與「+2閥H尸閶=54,即閥|+|尸閭=3幾,

仍聞一|尸閭）2=|尸制2+盧閭2―2|刊訃盧閭=18,即盧片卜|尸閭=3后，

所以歸外一|平『=仍用+|明|川尸用T筆I）=18石,故D正確；

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項C：根據(jù)題意分析可得y：+36y：-81=0,換元構(gòu)建函數(shù)

/（X）=X2+36X-81,X>0,將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，結(jié)合零點存在性定理分析判斷.

10.「X］表示大于或者等于x的最小整數(shù)，1x」表示小于或者等于X的最大整數(shù).設(shè)｛%｝為4=1的單調(diào)遞

增數(shù)列，且滿足41+16d+1-2（%+1+4%）-8《4+1=0,則下列選項正確的是（）

B.出必至多有22022種取值可能

【答案】AC

【解析】

【分析】由條件得｛JZ+1｝是公比為2的等比數(shù)列，首項為2,即瘋+1=2",即可判斷AB；由不等式

放縮得

111111111

--^=H--^=+…-I—=―/1H—]+…-I—/<-產(chǎn)H—+…-I—

MMMV21-1V22-l<2"-1V2V22V2"

即可判斷C；由定義及函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】由已知得，（見+「MJ-2（%+i+4a“）+l=0,

2

所以(%+4*2-2(a,1.+4%)+1=(%+4%-1)=16an+lan,

因為｛4｝為%=1的單調(diào)遞增數(shù)列，

所以%+1+4?！?1=4〃“+化，即（百12向『=1,

所以國二+1=2（JZ+1），或=（不合題意舍）,

所以｛阮+1｝是公比為2的等比數(shù)列，首項為2,即阮+1=2",

所以%=（2〃一1）,

對于A,49=(22-1)=9,故A正確；

對于B,出025=(22°25—1)，故B錯誤；

111111

-j=H----H------------1-----j==]=~\----.—H------F-

凡MM也可422T2;/(2”可

Kg

1

11111V2

H—/+…-1—/<-—H—+…-1—=-------

答本題時需要運用極限思想.

11.隨機事件A,8滿足尸（Z）=g,尸⑻］，尸（N⑻=|,則下列說法正確的是（）

A,尸（48）=尸⑷尸⑻B.P（AB）=-

8

C.0（Z+8）=qD.P（AB\（A+B））P（AB）=P2（A）P2（B）

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)題意由相互獨立事件的概率性質(zhì)分析可判斷A,B；由概率加法公式可分析C；計算

P（叫（2+0），驗證尸（明（Z+0）尸（初）=尸（幺）尸⑻是否正確即可判斷D.

【詳解】由已知尸（7）=g,P⑻=；,

因為尸（乖）==+所以尸（砌=尸（乖）尸（8）=%；=；，

所以尸（28）=尸（5）—尸=；—；=5，

所以「（ZB）wP（Z）尸（3）,故A錯誤；

因為尸（萬）=尸（7）—尸（右）=；—；=；,故B錯誤；

1113

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）^-+---^-,故C正確；

1

P（AB\（A+B\\=P^AB\=^=-,

\N〃P（A+B）39

4

又尸（初）=；,尸（/）=；,0（8）=；,

所以尸（幺同（幺+5））尸（五8）=尸2（幺）尸2（8）,故D正確.

故選：CD.

【點睛】方法點睛：解決本題的關(guān)鍵是概率的性質(zhì)和應(yīng)用，以及條件概率的計算.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知歹=sin2x和y=cos2x的圖像的連續(xù)三個交點A,B,。構(gòu)成△48C,則△48C的面積為

【答案】注^2兀.

2

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)歹=sin2x和y=cos2x的圖象，可知ANBC為等腰三角形，即可求的面積.

【詳解】作出函數(shù)歹=$也2%和y=cos2x的圖象，可知A/BC為等腰三角形,

且△45C的底邊長為m高為正，則△ABC的面積為LXJIX行=1兀.

22

故答案為：在Ji兀.

，&-6

13.已知非零向量￡花滿足同=百忖,4=0,則￡與1的夾角為.

7T

【答案】一

6

【解析】

【分析】借助向量數(shù)量積公式與夾角公式計算即可得.

2——*一一II—?|2

【詳解】由?=||?|-（2-6=0,故q?/）=—\a

21

又向0,[,故?》)=今

7T

故答案為：—.

6

14.函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念之一，1692年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次使用function這個詞，1734年瑞士

數(shù)學(xué)家歐拉首次使用符號/(x)表示函數(shù).1859年我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭將function譯作函數(shù)，“函”意味著

信件，巧妙地揭示了對應(yīng)關(guān)系.密碼學(xué)中的加密和解密其實就是函數(shù)與反函數(shù).對自變量恰當(dāng)?shù)刭x值是處理

函數(shù)問題，尤其是處理抽象函數(shù)問題的常用方法之一.已知對任意的整數(shù)見6均有

f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+3,且/(—2)=—1,則“2024)=.

【答案】2048285

【解析】

【分析】根據(jù)/(。+6)=/(。)+/優(yōu))+融+3利用賦值法可得/(〃)—/(〃-2)=2〃-2,再由累加法計

算可得結(jié)果.

【詳解】在/(a+6)=/(a)+/(6)+ab+3中,

令a=6=0,得/(0)=/(0)+/(0)+0+3,于是/(0)=—3.

在/(a+6)=/(a)+/(6)+ab+3中,

令a=2,b=-2,得/(O)=/(2)+/(—2)-4+3,，/(2)=-1.

在/(a+b)=/(口)+/(b)+R?+3中，令°=〃-2/=2,

得/(〃)=/(〃—2)+/(2)+2(〃—2)+3=/(〃—2)-1+2(〃—2)+3=〃〃—2)+2〃—2,

.?./(〃)-/(〃-2)=2〃-2.

/(2024)-/(2022)=2x2024-2,

7(2022)-/(2020)=2x2022-2,

7(2020)-/(2018)=2x2020-2,

/(4)-/(2)=2x4-2

上述等式左、右兩邊分別相加得/(2024)-/(2)=2(2024+2022+---+4)-2xl011.

,、(2024+4)

/(2024)=2xxlOll-2022-1=2048285.

故答案為：2048285

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法得出遞推關(guān)系式，再利用累加法即可求得結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在AZ3c中，bsin2A=V3tzsinB-

(1)求//；

(2)當(dāng)△4BC的面積為3百，2=迪，求。的值.

71

【答案】(1)-

6

(2)V7

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用二倍角公式化簡可得cosN=立，結(jié)合角的范圍

2

可得結(jié)論；

(2)由條件結(jié)合三角形面積公式可求be,結(jié)合2=述，求瓦c,再由余弦定理求a.

c4

【小問1詳解】

因為bsin2Z=43asinB，由正弦定理得，sinBsin24=V3siiL4sinB，

又Bc(Om),所以sin3wO,得到sin2Z=V§siiL4，

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=gsiivl，

又Ne(O㈤，所以sin/wO,得到cosN=g，

71

所以

【小問2詳解】

因為S"BC=^-besinA=^-besiny=^-be=3y/3,所以bc=12G,

2264

又2=地，得到b=￡lc,

c44

代入be=12^3，得到°——c2=12>/3，

4

解得c=4,所以6=3A/3，

由余弦定理得，a2=/+。2—26ccosZ=(3百y+42—2x3百x4x等=27+16—36=7，

所以a=y/7-

16.某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，

現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所

示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多

少分；

(3)已知落在［60,70)內(nèi)的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在［60,80)內(nèi)的平均成績是73,方差是29,求落

在［70,80)內(nèi)的平均成績和方差.

(附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：%元,記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均

數(shù)為刃，則總體樣本方差$2="+(%_司［+」—

m+nL''Jm+n

【答案】(1)平均數(shù)為71,眾數(shù)為75.

(2)88.

(3)平均數(shù)為76,方差為12.

【解析】

【分析】(1)在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐

標(biāo)的中點，據(jù)此求解.

(2)依題意可知題目所求是第90%分位數(shù)，先判斷第90%分位數(shù)落在哪個區(qū)間再求解即可；

(3)先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.

【小問1詳解】

一至六組的頻率分別為0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均數(shù)=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由圖可知，眾數(shù)為75.

以樣本估計總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分.

【小問2詳解】

前4組的頻率之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x,則0.70+(x—80)x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水達(dá)人”的成績至少為88分.

【小問3詳解】

[60,70)的頻率為0.15,[70,80)的頻率為0.30,

所以[60,70)的頻率與[60,80)的頻率之比為0?30=1

[70,80)的頻率與[60,80)的頻率之比為:二-

設(shè)[70,80)內(nèi)的平均成績和方差分別為兀應(yīng)，

12———

依題意有73=-x67+-xx2,解得x,=76,

332

1'——I

29=—x[9+(67—73)2]+—x|p-3)2,解得s；=12,

33-5+67—1

所以[70,80)內(nèi)的平均成績?yōu)?6,方差為12.

17.已知橢圓。：[+\=1(口〉6〉0)的右焦點為尸(1,0),離心率為孝，直線/經(jīng)過點尸，且與C相交

于A,8兩點，記/的傾斜角為

(1)求C的方程；

(2)求弦48的長(用a表示)；

77

(3)若直線也經(jīng)過點尸，且傾斜角比/的傾斜角大一，求四邊形4M5N面積的最小值.

4

丫2

【答案】(1)—+/=1

2

(2)答案見解析(3)巫

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，直接求出6,即可求解；

(2)分《=巴和aw'，當(dāng)&=四時，直接求出|48|=、歷，當(dāng)。w二時，設(shè)出直線/的方程為

222112

y=k(x-r),聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式，即可求解；

JTJTJT

(3)根據(jù)題設(shè)，先求出a=—和。=—時，四邊形的面積，再求出aw—時，

244

272[tan2(?+-)+!]

\MN\=--------------——,從而得出

1+2tan2(tz+2)

S=；|的卜|幺4sin3=今,+1),20[tan(a+^)+1],過化

1111

244l+2tan'a,,.2/，兀、

1+2ntan+—)

S=-----------------,令y=(3-cos2a)(3+sin2a),通過求出N的最大值，即可解決問題.

(3-cos2a)(3+sin2a)

【小問1詳解】

由題知c=l,又'=正，得至1)0=行，所以*=/-c2=2-1=1,

a2

故橢圓C的方程為三+y2=l.

2-

【小問2詳解】

設(shè)/(七,必),夙》2，%)，因為直線/經(jīng)過點尸，且傾斜角為1，

2

X2I-

71+y

當(dāng)a=—時，直線/：X=1,由＜~2=,解得x=l,y=+—，止匕時|48|=后,

2x=l2

TT

當(dāng)aw,,設(shè)直線/的方程為了=左@一1),其中左=tana,

y=k(x-l)

22

由＜x2?消得到(1+2k②)x?-4kx+2/一2=0,

——+V=1

〔2■

又A=16左4_4(1+2左2)(2左2-2)=8左2+8,所以

.仁中小小而、如二口’即阿二26(tan2a+1)

1+2tan26Z

綜上，當(dāng)&=四時，|48|=J5；當(dāng)aw二時，仁久辿r算D.

211211l+2tan2?

【小問3詳解】

直線也經(jīng)過點尸，且傾斜角比/的傾斜角大王，所以。e0,=],

4-4)

2-\/2(tan-—F1)4A歷

當(dāng)(z=二時，易知=|46|=------------—=—,此時四邊形4W3N面積為

4l+2tan2-3

4

1472V22V2

S=\MN\?|AB\sinx42x-----x----=------

2323

當(dāng)aw：時，可設(shè)=K（x—1）,其中尢=tan（a+：

2V2[tan2(?+-)+l]

同理可得\MN\=------------------——,

1+2tan2(a+￡)

2V^"(tan-----F1)4y

當(dāng)&=四時，|48|=J5,-------------4-=△一,此時四邊形面積為

223

i+2tan—

4

272

邱嗚義后一X

"I-

兀71

當(dāng)aw—且。w—時，四邊形/"BN面積為

42

&1|八八「||4Al.兀V22V2(tan2?+l)2V2[tan2(?+^)+1]

S=—\MN\-\AB\sm—=——x-----------------x-------------------------①,

2111144l+2tan26z-2/兀、

1+2tan(6Z+1—)

「/兀、1+tan。

又tan?+—)=

l-tan6z

?2?2

smasma1

222+2+

,,…04V2(tan6K+1)tan6Z+1.rrCos<zcos<y

代入①化他得到S=————2——x-―-——----------=4V2xa：%.x.尸,-

l+2tana3tana+2tana+3.2sma3sma2sina。

1+----7------2-+--------+3

cosacosacosa

4V|_8V|

(1+sin26f)(3+sin2a)(3-cos2a)(3+sin2a)

令歹=(3—cos2a)(3+sin2a)=9+3sin2a-3cos2a-sin2acos2a,

令sin2a-cos2。=J^sin(2a--)=/,則一sin2acos2a=-——-

42

17173兀、7171571

所以F+蛾+萬,對稱軸一3,又,則2a丁匕q

當(dāng)=，即朗時，19+3后

:3,此時九破《2+泊++

2

803040-96

所以四邊形/M3N面積的最小值為-19+30—343

~2

X2V2<30472-96；所以四邊形/“SN面積的最小值逆.

33433

JTJT

【點睛】本題的關(guān)鍵在于第(3)問，分。=—和aw—,分別求出|MN|,

44

jrTT717r

先求出。=—和a=一兩種情況下的面積，再根據(jù)題有，當(dāng)a。一和。。一時,

4242

1JT

S^-^MN\-\AB\sm-,再求出S的最小值，跟特殊情況比較，即可求解.

18.已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx,g(x)=a(x-l).

(1)求曲線y=/(x)在(1J。))處的切線方程;

(2)若/(x)〉g(x)對任意的xe(l,+⑹恒成立，求實數(shù)4的取值范圍；

⑶若〃(%)=qf(x)—』g(x)有三個零點M，%,%3,且占<%<%3，求證:

(3a-1)(石+Xj+2)<2.

【答案】⑴2x-j-2=0

(2)(-8,2］

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；

(2)首先不等式轉(zhuǎn)化為［x)=lnx-處R〉0恒成立，并判斷［1)=0,并根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a得

到取值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；

V—1V—1

(3)首先方程等價于alnx---=0,并構(gòu)造函數(shù)“x)=alnx-—,注意到1是函數(shù)的一個零點,

x+1x+1

轉(zhuǎn)化為M(x)在(0,+8)上有2個零點，并結(jié)合零點存在性定理求。的取值范圍，由

u\-=-alnx+----=-w(x),判斷再退=1,將所證明不等式轉(zhuǎn)化為3a<—^----,再利用

⑴x+1'，(x3+1)

x—113(x?—1)

a=^3—x--,將不等式轉(zhuǎn)化為inx〉—^____L,再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即

七+11n%X2+4X+1

可證明.

【小問1詳解】

由函數(shù)/(x)=(x+l)lnx,可得y(i)=o,

且/'(X)=l+』+lnx,則/'(1)=2,

曲線y=/(x)在(1/(1))處的切線方程為2x—y—2=0；

【小問2詳解】

當(dāng)xe(1,+8)時，/(x)>g(x)等價于"〉0,

x+1

設(shè)/(x)=lnx—則(xj+ja-2x+l,《1)=0,

x+1x(x+l)

(i)當(dāng)aW2,比e(l,+8)時，x2+2(l-a)x+l>x2-2x+l>0,

故，(x)>0,f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，因此(x)>0；

(ii)當(dāng)a>2時，令，'(x)=0得％="]-,x2=a-1+-1.

由〉1和X[X2=1得X]<1,

故當(dāng)時,/'(x)<0,/(x)在(Lx?)單調(diào)遞減，因此t(x)<0.

綜上，a的取值范圍是(一叫2].

【小問3詳解】

由h(x)=0等價于aInx-----=0,

x+1

x—1

令〃(x)=alnx-----.注意到，“1)=0,依題意，“X)除了1之外，還有兩個零點，

X+1

,,、ax2+(2a-2)x+a.....

又由M(X)=------;---------,^v(x)=ax+(2a-2)x+a(x>0),

x(x+l)

當(dāng)Q?0時，V(X)<0恒成立，故這時"(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，不合題意:

當(dāng)Q>0時，由題意，首先v(x)在(0,+8)上有兩個零點，

71

故A=(2a—2)—4a2>0,解得OVQV,,

2

設(shè)兩個零點為J和5，有。+42=—―2>0,我2=1〉°，故可知4，芻均大于0,

a

由此可得“X)在(0&)單調(diào)遞增，(。4)單調(diào)遞減，(5，+“)單調(diào)遞增，

而即41)>0,“1)=0,"俗)<0，

'2「2

又因為》e"=-2+—<0,uefl=->0,

1，e+1

故〃(x)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，在(1,+8)內(nèi)恰有一個零點,

又1為M%)的一個零點，所以〃(“恰有3個零點，亦即〃%)恰有3個零點,

實數(shù)。的取值范圍是10,(

/\1X—1,1X—1/

u⑴=aInx------,由M—=-aInx+-----=-u(x

XI1IXyXI1

由此可得X1?=1,要想證明(36z-l)(xj+x3+2)<2,

cx：++1-11

只需證明3a<—：yr—，而Q=rx-

(退+1)X3+IIn/

因此只需要證明當(dāng)x>l時，inx〉3(x-l)

J+4x+1

令/13/-1

xe[l,+oo),

可得9'(x)=N0，故s(x)在［1,+s)上單調(diào)遞增,

1時，e(x)>°(l)=0,即當(dāng)x>l時，in%〉?

因此當(dāng)x>

x2+4x+1

_13(2(x?-1)

r2

因此日」=?lnx3>-A~-

X3+1%3+4&+1

13a(x.+1)./、2

由&>1,有------------------，BPxi+4X+1>3a(x.+1)，

333V3