2024年北京高一數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（5種常考題型歸類(lèi)）解析版

專(zhuān)題03平面向量基本定理及坐標(biāo)表示5種?？碱}型歸類(lèi)

|經(jīng)典基礎(chǔ)題|

I

題型01對(duì)基向量概念的理解

1.(2021春?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)期中)［和晟是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四個(gè)向量中,

不能作為一組基底的是()

A.3q-2e?和4e?-6qB.et+e2ex-e2

C.q+2e2和e2+2qD.e2?e2+ex

【解析】由題意錄和最是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底,

N選項(xiàng)中，存在一個(gè)實(shí)數(shù)-2使得4最-61=-2(31-2最)，此兩向量共線(xiàn)，故不能作為基底，/可

選；

B選項(xiàng)中找不到一個(gè)非零實(shí)數(shù)％使得［+［=蛔-工)成立，故不能選B；

C選項(xiàng)與。選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是不共線(xiàn)的，可以作為一組基底，

綜上，/選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不能作為基底.

故選：A.

2.(2023春?新華區(qū)校級(jí)期中)在下列向量組中，可以把向量3=(3,2)表示出來(lái)的是()

A.ex-(0,0),e2=(1,2)B.ex-(—1,2),e2=(5,-2)

C.I=(3,5),￡=(6,10)D.,=(2,—3),￡=(—2,3)

［解析］根據(jù)a=Ag］+/ue2,

選項(xiàng)/:(3,2)=A(0,0)+〃(1,2),貝!|3=〃，2=2〃，無(wú)解，故選項(xiàng)N不能；

選項(xiàng)3:(3,2)=A(-l,2)+〃(5,-2),則3=-2+5〃，2=22-2//,解得,2=2,〃=1,故選

項(xiàng)2能.

選項(xiàng)C:(3,2)=2(3,5)+〃(6,10),則3=34+6〃,2=54+10〃，無(wú)解，故選項(xiàng)C不能.

選項(xiàng)。:(3,2)=2(2,-3)+〃(-2,3),貝!］3=2；1-2〃，2=-32+3〃，無(wú)解，故選項(xiàng)。不能.

故選：B.

3.(2022秋?北京期中)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.ex=(0,0),e2=(1,2)B.ex=(3,4),e2=(1,2)

一—一一4

C.‘二(3,4),e2=(6,8)D.ex=(3,-4),e2=(1,—y)

【解析】對(duì)于N,因?yàn)?=(0,0),。與任何一個(gè)向量均為共線(xiàn)向量，不能做基底，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椋?!最，兩向量共線(xiàn)，不能做基底，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，因?yàn)椋?-3晟，兩向量共線(xiàn)，不能做基底，故。錯(cuò)誤；

故選：B.

II

題型02用基底表示向量

■?

4.(2023春嗨淀區(qū)校級(jí)期中)已知非零向量方，礪不共線(xiàn)，且麗7」函，則向量而=(

)

3

1—?2—>2—?1—?1—.?—?2—?1—?

A.-OA+-OBB.-OA+-OBC.-OA——OBD.-OA——OB

33333333

［解析】由題設(shè)瓦7=歷+麗7=歷+—9=礪+—例—礪)=—方+—?dú)v.

3333

5.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)已知尸為AA5C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2CP,貝心)

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-AC

2233

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【解析】由于就=2/，

利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，AC-AB=2AP-2AC,

__kka___

整理得：AP=——AB+-AC.

22

故選：A.

6.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)設(shè)點(diǎn)。為AA8C中3C邊上的中點(diǎn)，。為4D邊上靠近點(diǎn)/的三等

分點(diǎn)，貝1()

A.BO=--AB+-ACB.BO=-AB--AC

6222

C.BO=-AB--ACD.BO=--AB+-AC

6666

【解析】如圖，。為5C中點(diǎn)，。為靠近/的三等分點(diǎn)，AO=-AD=-(AB+AC),

36

Jd=Ad-AB=-(AB+AC)-AB=--AB+-AC.

666

故選：D.

1.(2021春?東城區(qū)校級(jí)期中)在A(yíng)48C中，RD=^BC,若羽=2，AC=b,則N萬(wàn)=()

12-12-21-21-

A.-a一一bB.-a+-bC.-a+-bD.-a一一b

33333333

【解析】在A(yíng)48c中，BD=-BC,AB=a,AC=b,如圖，則。為3C的一個(gè)3等分點(diǎn)，作平行

3

四邊形，

,—?—,—.21一

則+4尸=—5+―6.

33

故選：C.

c

8.(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中)如圖，梯形Z5CD中，AB//CD,^AB=2CD,對(duì)角線(xiàn)4。、DB

相交于點(diǎn)。.若AD=G,AB=b,OC=()

,abcGb2ab2ab

A.-------B.—+—C.——+—D.---------

36363333

【解析】AB!1CD,AB=2CD,

NDOC^^OA且/。=2OC,

_?2、__,1,__、__.__,__?1__i

則k歷=2歷=—%,OC=-AC,l^AC=AD+DC=AD+-AkB=a+-b,

3_____________3_______________2________2

OC=-AC=-(a+-b)=-a+-b,

33236

故選：B.

9.(2021春?豐臺(tái)區(qū)期中)如圖，在平行四邊形/BCD中，E是的中點(diǎn)，AE=3AF,則方=(

)

1—.?—?1—-2—?1—.3—?1--5—.

A.——AB+-ADB.-AB——ADC.-AB--ADD.-AB——AD

33333436

【解析】在平行四邊形中，由已知可得：

DF=AF-AD=^AE-AD=^(AB+^BC)-AD

=-AB+-Jb-AD=-AB--AD,

3636

故選：D.

10.(2023春?門(mén)頭溝區(qū)校級(jí)期中)已知矩形48c中，AE=-AB,^AD^a,AB=b,則赤=(

3

)

2一

C.a+-bD.a--b

33

__kk____i2

【解析】CE=CD+DA+AE=-DC-AD+-AB=-a-b+-b=~a--b,

333

故選：B.

11.（2023春?臺(tái)江區(qū)期中）如圖所示，在正方形4BCD中，E為的中點(diǎn)，下為CE的中點(diǎn)，則

B.-AB+-ADC.-AB+ADD.-AB+-AD

44242

【解析】根據(jù)題意得：刀=g(就+亞)，

5LAC=JB+1D,AE=-AB,

2

一一___1_.____1-.3—?1___

所以N尸=—(/8+AD+—N3)=—/8+—/D

2242

故選：D.

12.（2023秋?順義區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的A43C中，點(diǎn)。是線(xiàn)段NC上靠近/的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E

是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則反=（）

1—?1—?5—?1―?1—?1―?5―?1―?

A.――BA――BCB.一一BA一一BCC.――BA――BCD.——BA+-BC

36636363

【解析】???點(diǎn)。是線(xiàn)段4c上靠近4的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，

DE=AE-AD=-AB--AC

23

1—?1—?―?

=-AB--(AB+BC)

1—1—?

=——BA——BC,

63

故選：C.

題型03利用平面向量基本定理求參數(shù)

13.（2020春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）設(shè)￡為入43。的邊/C的中點(diǎn)，礪=機(jī)刀+,則〃z+〃=.

【解析】如圖,

?：E為AABC的邊NC的中點(diǎn),

BE=-BA+-RC=--AB+-(AC-AB)=-AB+-AC，

22222

又BE=mAB+nAC，

m+n=-l+—=——.

22

故答案為：

2

14.（2018秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在平行四邊形45C。中，E,F分別為邊4B,5c的中點(diǎn)，連

.——————;

接CE、DF,父于點(diǎn)G,^CG=ACD+eR）,則一二.

Jr9

,?D,G,b三點(diǎn)共線(xiàn)，:.-+2k=l,=k=—.

25

故答案為：

2

15.（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，A45C中，~AB=a,AC=b,。為5。中點(diǎn)，E為/。中

點(diǎn)，屈用了和彼表示為。=然+“5,貝|」一=（）

33

【解析】?.?。為8c中點(diǎn)，，力=；(方+配)，

____k_k1______1______,1____k3_____

?;E為AD中點(diǎn)，CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+AC)-AC=-AB——AC，

24744

AB=a，AC=b，

'：CE=Xa+pib,

.A__l

一丁一屋

故選：D.

16.（2021春?順義區(qū)校級(jí)期中）平行四邊形N8CD中，AC與BD交于O,點(diǎn)E滿(mǎn)足於=2前,

若礪=泡+〃而，2,〃eR,貝1M+〃=（）

A.0B.-C.-D.-

332

【解析】如圖所示，

由圖可知“=茄+荏=茄+』%=茄+，（25+方）=2茄+，（麗_豆）=，豆+，麗，

333333

./+〃=:.

17.(2023秋?海淀區(qū)期中)在A(yíng)ABC中，點(diǎn)、M為邊.AB的中點(diǎn)，若OP//OM,且

OP=xOA+yOB(x^Q),則』=.

X

【解析】?.,點(diǎn)M為邊48的中點(diǎn)，

AM=MB,^OM-OA=OB-OM

由此可得OM=^(04+OB)

■：OP//OM,且而=xE+y礪(xwO),

二存在實(shí)數(shù)；I,^OM=WP,即:(刀+礪)=2(xE+y礪)

由此可得/lx=4y=L得到x=y,所以上=1

2x

故答案為：1

18.(2023春?順義區(qū)期中)如圖，在6x6的方格中，已知向量b,E的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn),

且滿(mǎn)足2=尤3+y^(x,je7?),那么x+y=.

【解析】分別設(shè)方向水平向右和向上的單位向量為f,j,

貝1J5=22—/,b=2i+2j,c=2i-4j,

又因?yàn)槿f(wàn)=xB+y^=(2x+2y)i+(2x-4y)j,

所以x+y=L+l_=i.

22

故答案為：1.

19.（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在A(yíng)45C中，ZC=90°,Z5=30°,/A4c的平分線(xiàn)交于點(diǎn)。，

__o

若亞=2彳§+〃就(九4￡&),貝!]-=.

AT1

【解析】???在A(yíng)4BC中，ZC=90°,/5=30。，/.——=-,

AB2

???/民4。的平分線(xiàn)交5。于點(diǎn)。，.?.由三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)定理得：-=—=

DBAB2

___1__o___

.??由分點(diǎn)恒等式得：AD=-ABk+-AC,

33

,12A1

.?/€—?LI―，??—?

3342

故答案為：

2

20.（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在A(yíng)45C中，點(diǎn)。是線(xiàn)段5C上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若

AD=mAB+irAC,則工+±的最小值是（）

mn

A.4B.9C.8D.13

【解析】是線(xiàn)段5C上一點(diǎn)，二.B,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)，

?/AD=mAB+nAC,.?.加+幾=1,且冽>0,〃>0,

1414、，、n4m1「丁

/.—+—=(z—+—)(m+〃)=—+——+5開(kāi)2J4+5=9,

mnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)△=駟，即〃=2〃?，又?.■洸+〃=1,.r-L〃=2時(shí)取等號(hào).

mn33

二1+二的最小值為9.

mn

故選：B.

|題型04|

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

21.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)若況=(2,2),礪,則方等于()

A.(-1,-3)B.(-2,3)C.(-1,2)D.(2,-3)

【解析】由次=(2,2),面=(1,-1),

則方=礪-方=(1,-1)-(2,2)=(-1,-3).

故選：A.

22.(2022春?西昌市期中)已知向量刀=(4,-4),礪=(-5,-1),則g在等于()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(1,-3)

【解析】?.?向量方=(4,-4),礪=(-5,-1),.?.方=礪-方=(-9,3)則;方=(一3,1),

故選：C.

23.(2022春?豐臺(tái)區(qū)期中)若向量1=(1,2),6-(-1,3),則向量21-3=.

【解析】?.?向量)=(1,2),彼=(-1,3),

二.向量23-彼=2(1,2)-(-1,3)=(3,1).

故答案為：(3,1).

24.(2021春?海淀區(qū)期中)已知向量2=(1,-2),2=(3,1),則-+〃=.

【解析】Va=(1,-2),3=(3,1),

a+2b=(l,-2)+2(3,1)=(7,0),

故答案為：(7,0).

25.(2023秋?昌平區(qū)校級(jí)期中)已知向量3B滿(mǎn)足3+彼=(2,3),2—1=(一2,1),貝!］方一2*二

【解析】5+6=(2,3),a-b=(-2,l),

則3=(0,2),6=(2,1),

故濟(jì)-2行=(0,2)-(4,2)=(-4,0).

故答案為：(-4,0).

26.(2021春?石景山區(qū)校級(jí)期中)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(2,-3),向量PA/=(1,2),向量

麗=(-2,0),那么中點(diǎn)坐標(biāo)為()

33

A.(-,-2)B.(--,-1)C.(j,-4)

【解析】設(shè)M(%i，必)，N(X2,%),

%]—2=1X]—2=—2

由題意可知

.必一(-3)=2%-(-3)=0

玉=3Jx2=0

.必J，1%二-3

/.M(3,-l),N(0,—3),

.?.MN中點(diǎn)坐標(biāo)為(5，-2),

故選：A.

向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

27.(2022春?北京期中)已知向量2=(1,-2),3=&1),若萬(wàn)/區(qū),則/=()

A.-1B.--C.-D.1

22

【解析】?.?向量5=(1,-2),B=。,1),

-^―,故/=——,

a//b

1-22

故選：B.

28.(2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知向量》=(%,1),6=(-1,2).若)/區(qū)，則加=()

A.2B.1C.-1D.--

2

【解析】向量H=(加,1),*=(-1,2),a//b,

則2m=1x(―1),解得m=—g.

故選：D.

29.(2022秋?順義區(qū)校級(jí)期中)3=(cos0,sin0),6=(1,1),若"區(qū),則tan(9=.

【解析】a-(cos0,sinO'),b=(1,1),a/lb,

則cos0=sin0,則tan0=J=1.

cos。

故答案為：1.

30.(2022秋?北京期中)已知向量值=(2,3)，3=(—1,2)，若md+nB與共線(xiàn)，則生等于()

n

A.--B.-C.-2D.2

22

【解析】vma+nb=(2m-/7,3m+In),a-2b=(4,-1),冽5+與G—2否共線(xiàn)，

1

(2m-H)(-1)-4(3m+2/7)=0,-14m=In,則一=——，

n2

故選：A.

31.(2009秋?昌平區(qū)校級(jí)期中)已知向量萬(wàn)=(1,3),否=(3,〃)若2G-B與日共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)"的值是

()

A.6B.9C.3+273D.3-273

【解析】2a-b=(-l,6-n),

?：2a-b與b共線(xiàn)，

(-l)x為一3x(6-〃)=0,得〃=9.

故選：B.

32.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)已知向量a=(2,1)石=(x,-2),若。/石，貝1_U+B=()

A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)

【解析】va=(2,l),i=(x,-2),且4,

2x(-2)—x=0,解得x=-4,

故B=(-4,-2),5+ft=(-2,-l).

故選：A.

33.(2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知向量》=(2加+1,3,加-1),B=,且2/區(qū)，則實(shí)數(shù)機(jī)

的值為—.

【解析】由題意得(2〃?+1):2=3:m=(刃-1):(-小)=>機(jī)=-2.

故答案為：-2.

34.(2023秋?順義區(qū)校級(jí)期中)已知平面向量為=(-1,2),6=(3,-2),c=(t,t),若@+?〃在,

則/=()

A.-B.--C.--D.--

2544

【解析】由1=(-1,2),6=(3,-2),c=(t,t),

可得值+己=。-1,/+2),

又(萬(wàn)+,)//B,

4

則有3(%+2)+2?！?)=0,解得f=—1.

故選：B.

35.(2023秋?豐臺(tái)區(qū)期中)已知平面向量3=(1,2)石=(2,-1),若就f+3與共線(xiàn)，則加的值

為—,

【解析】由)=(1,2),彼=(2,-1)可得機(jī)力+6=0"+2,27"-1),a—b=(—1,3)，

由ma+b與3-6共線(xiàn)可得3(m+2)+2m-1=0,解得m=-\.

故答案為：-1

36.(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中)已知3=(1,2),*=(3,3),若(2@+&//(彼-@),貝!.

【解析】由題設(shè)44+B=(2+3,24+3),6-a=(2,1),

又(須+5)//(j)，

所以4±2=2土2,則a=—i.

21

故答案為：-1

37.(2022春?東城區(qū)校級(jí)期中)已知點(diǎn)4(-1,2),B(2,y),向量萬(wàn)=(1,2),若曲/J,則實(shí)數(shù)y的

值為()

A.5B.6C.7D.8

【解析】?.?點(diǎn)/(-1,2),8(2/),向量為=(1,2),

AB=(3,y-2),

???'AB1!a,

,"2=2

一3"T

解得y=8.

故選：D.

38.(2022春?東城區(qū)校級(jí)期中)已知4(1,2),5(3,7),5=(x,-l),AB//a,貝I」()

7—?,7—?,

A.x=—,且45與方方向相同B.x=——，且45與萬(wàn)方向相同

55

7—?,,一O___

C.x=—,且45與值方向相反D.x=-一，且萬(wàn)與萬(wàn)方向相反

55

【解析】4(1,2),5(3,7),

可得益=(2,5)

a=(x,-l),AB//a,

可得5x=-2，解得x=—.

5

2-?

5=(--,-1),與方向相反.

故選：D.

39.(2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知向量萬(wàn)=b=(x,Zx+2).若存在實(shí)數(shù)x,使得方與B的

方向相同，貝！k的一個(gè)取值為一.

2

【解析】由1與B共線(xiàn)，可得x-(￡r+2)=0,化為/=1-—(xwO),

X

取x=2,解得t=0,

此時(shí)3=(2,2)=2方,

滿(mǎn)足a與彼的方向相同.

故答案為：0(答案不唯一).

優(yōu)選提升題

__?a__>__,__?o__

40.(2023秋?順義區(qū)校級(jí)期中)在A(yíng)4BC中，石=-加，尸是直線(xiàn)8。上的一點(diǎn)，若與=/次+—%

25

則實(shí)數(shù)f的值為()

___q__o___

【解析】因?yàn)橐?一皮，&APk=tAB+-AC,

25

所以乖=/益+—就=/益+—而；

53

因?yàn)?,P,。三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以1+'=1,

3

所以

3

故選：B.

41.(2019秋?海淀區(qū)期中)在四邊形/BC。中，4B//CQ,設(shè)4。=九45+"40(2,4￡&).若；1+4=3,

則國(guó)=()

\AB\

A.-B.-C.1D.2

32

【解析】如圖所示，

過(guò)C作CE//，。，又CDIIAB.

四邊形/EC。是平行四邊形.

AC=AE+AD,

又AC=九AB+RAD(九,piGR).

=1,AE=AAB,

T703。1

A+//=—,A=一.

22

則也也=L

\AB\\AB\2

42.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)如圖所示的A43c中，點(diǎn)。是線(xiàn)段NC上靠近/的三等分點(diǎn)，點(diǎn)￡

是線(xiàn)段N8的中點(diǎn)，則詼=()

1―?1―?1—?1—?5―?1—?5—?1—?

A.一一BA一一BCB.一一BA―一BCC.一一BA――BCD.一一BA+-BC

3