數(shù)學?？級狠S題九年級湘教版專題04一元二次方程中含參數(shù)問題的五種考法含答案及解析

專題04一元二次方程中含參數(shù)問題的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù) 2類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值 3類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù) 5類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù) 8類型五、一元二次方程根與系數(shù)中的參數(shù)與新定義型問題 12壓軸能力測評（15題） 16解題知識必備1.一元二次方程的概念通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要點：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.3.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.壓軸題型講練類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù)例1.（23-24八年級下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的方程為一元二次方程，則m的值是．【變式訓練1】（23-24八年級下·廣西百色·期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【變式訓練2】（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則k的值為．【變式訓練3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）若是關(guān)于x的一元二次方程，則．【變式訓練4】（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期中）已知是關(guān)于的一元二次方程，則等于．類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值例2.1.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知是方程的一個根，則實數(shù)c的值是．例2.2.（2024·青海玉樹·三模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．【變式訓練1】（2024·山東濟南·二模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值是．【變式訓練2】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個根，則的值為．【變式訓練3】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【變式訓練4】（2024·福建·模擬預(yù)測）已知為方程的根，那么的值為類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例3.（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）已知，是關(guān)于的方程的兩個不等實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍：(2)已知等腰的一邊長為，若、恰好是另外兩邊長，求這個三角形另外兩邊的長．【變式訓練1】（23-24九年級下·北京·階段練習）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)寫出一個滿足條件的m的值，使方程的兩根為整數(shù)根，并求此時方程的兩根．【變式訓練2】（23-24九年級上·廣東廣州·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍：(2)若方程有一個根為，求方程的另一根．【變式訓練3】（23-24九年級上·河南洛陽·期末）已知關(guān)于的方程，其中，，是的三邊長．(1)若是方程的一個根，則是；(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則是；(3)若是等邊三角形，試求方程的根．類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例4.（23-24八年級下·四川成都·期中）已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【變式訓練1】（2024·四川南充·三模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍，(2)當時，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，求的值．【變式訓練2】（23-24八年級下·山東淄博·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有兩個實數(shù)根為，且，求m的值．【變式訓練3】（23-24八年級下·廣西賀州·期中）閱讀材料：材料：關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，；根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：(1)類比：一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，則；；(2)應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足，且，求的值．類型五、一元二次方程根與系數(shù)中的參數(shù)與新定義型問題例5：（23-24九年級上·福建廈門·期中）定義：如果一元二次方程滿足．那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．(1)已知是“鳳凰”方程．且有兩個相等的實數(shù)根．試求a與c的關(guān)系；(2)已知關(guān)于x的方程是“鳳凰”方程，且兩個實數(shù)根都是整數(shù)．求整數(shù)m的值．【變式訓練1】（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）定義：若是方程的兩個實數(shù)根，若滿足，則稱此類方程為“差積方程”．例如：是差積方程．(1)判斷：方程______“差積方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知關(guān)于的方程，①證明：不論取何值，方程總有實數(shù)根；②若該方程是“差積方程”，求的值．【變式訓練2】（22-23九年級上·山西臨汾·階段練習）請認真閱讀，并根據(jù)理解，完成相應(yīng)任務(wù)：閱讀材料：定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”，例如：和有且只有一個相同的實數(shù)根，所以這兩個方程為“同伴方程”．任務(wù)一：（1）根據(jù)所學定義，下列方程屬于“同伴方程”的有______；（只填寫序號即可）①；②；③．任務(wù)二：（2）關(guān)于的一元二次方程與為“同伴方程”，求的值；任務(wù)三：（3）若關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，且與互為“同伴方程”，求的值．【變式訓練3】（23-24八年級下·山東淄博·期末）定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，分別以，為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點為該一元二次方程的衍生點．(1)直接寫出方程的衍生點的坐標為______；(2)已知關(guān)于的方程．①求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；②求該方程衍生點的坐標；③已知不論為何值，關(guān)于的方程的?生點始終在直線上，求b，c的值．壓軸能力測評（15題）一、單選題1．（23-24八年級下·浙江·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則k的值為（）A． B．2 C．2或 D．4或2．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A． B．2 C． D．43．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知a是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．2024 D．20284．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A．且 B．C．且 D．且二、填空題5．（23-24九年級上·湖南永州·期中）若是關(guān)于的一元二次方程，則．6．（2024·四川眉山·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則k的值為．7．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）若是關(guān)于x的方程的解，則的值為．8．（23-24八年級下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是．三、解答題9．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）若a是關(guān)于x的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．10．（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知關(guān)于x的方程．(1)當m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)在（1）的結(jié)果中，取滿足m的范圍的最小整數(shù)m，并算出該方程的根．11．（23-24九年級上·福建泉州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求m的值．12．（22-23九年級上·湖北十堰·階段練習）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若方程的兩個實數(shù)根，滿足，求的值．13．（23-24九年級上·四川樂山·期中）已知關(guān)于x的方程．(1)當k是為何值時，此方程有實數(shù)根；(2)若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求k的值．14．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證∶不論m取何實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根．(2)若平行四邊形的兩邊的長是關(guān)于該方程的兩個實數(shù)根．①當m為何值時，四邊形是菱形？求出這時菱形的邊長；②若的長為3，那么平行四邊形的周長是多少？15．（23-24八年級下·山東濟南·期末）法國數(shù)學家韋達在研究一元二次方程時發(fā)現(xiàn)：如果關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為、，那么兩個根的關(guān)系為，．習慣上把這個結(jié)論稱作“韋達定理”．小明在探究二次項系數(shù)為1的一元二次方程根的特征時發(fā)現(xiàn)，此時“韋達定理”可表述為：，．借此結(jié)論，小明進行了對“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定義：倍根方程：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根（都不為0），且其中一個根等于另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．方根方程：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根（都不為0），且其中一個根的平方等于另外一個根，則稱這樣的方程為“方根方程”．(1)請你判斷：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；(2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；(3)根據(jù)探究，小明想設(shè)計一個一元二次方程，使這個方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，請你先幫他算一算，這個方程的根是多少？

專題04一元二次方程中含參數(shù)問題的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù) 2類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值 3類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù) 5類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù) 8類型五、一元二次方程根與系數(shù)中的參數(shù)與新定義型問題 12壓軸能力測評（15題） 16解題知識必備1.一元二次方程的概念通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要點：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.3.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.壓軸題型講練類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù)例1.（23-24八年級下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的方程為一元二次方程，則m的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義，列出關(guān)于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，，，解得：，即，故答案為：．【變式訓練1】（23-24八年級下·廣西百色·期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義，得到關(guān)于a的不等式，解之即可.【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元二次方程，∴的系數(shù)不為0，即，∴，故選：A.【變式訓練2】（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)都是2，象這樣的方程叫做一元二次方程．根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2且二次項系數(shù)不等于0列式求解即可．【詳解】由題意，得且，解得故答案為：．【變式訓練3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）若是關(guān)于x的一元二次方程，則．【答案】0【分析】此題考查一元二次方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程是一元二次方程，根據(jù)定義求出m的值即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴且，解得．故答案為：0．【變式訓練4】（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期中）已知是關(guān)于的一元二次方程，則等于．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次程的定義得出關(guān)于a的不等式組，求出a的值即可．【詳解】解：由題意得，解得：．故答案為：．類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值例2.1.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知是方程的一個根，則實數(shù)c的值是．【答案】2【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值．【詳解】解：把代入，可得出，解得：，故答案為：2．例2.2.（2024·青海玉樹·三模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．【答案】【分析】本題考查了方程的解的定義、代數(shù)式求值，根據(jù)方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把代入原方程得出，整理為，整體代入計算即可，熟練掌握方程的解的定義、代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的解，∴，∴，故答案為：．【變式訓練1】（2024·山東濟南·二模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的一個根是，將代入原方程得到關(guān)于的一元一次方程進而即可解答．本題考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，∴將代入方程得：，解得：，故答案為：．【變式訓練2】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個根，可得出，再化簡代數(shù)式，整體代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，故答案為：．【變式訓練3】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解等知識點，先根據(jù)方程解的定義，化簡關(guān)于m的方程，然后整體代入求值，掌握方程解的定義和整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】∵m為方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓練4】（2024·福建·模擬預(yù)測）已知為方程的根，那么的值為【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義；將方程的根代入方程，化簡得，將代數(shù)式變形，整體代入求值即可．【詳解】∵為方程的根，∴，∴，∴原式．故答案為：．類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例3.（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）已知，是關(guān)于的方程的兩個不等實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍：(2)已知等腰的一邊長為，若、恰好是另外兩邊長，求這個三角形另外兩邊的長．【答案】(1)(2)，【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系，三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的定義，解一元一次不等式，解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由根的判別式即可得出答案；（2）由題意得出方程的一個根為，將代入求出的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系進行判斷，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：；（2）解：由題意可知：，只能取或，即是方程的一個根，將代入得：，解得：或，當時，方程的另一個根為，此時三角形三邊分別為，，，能構(gòu)成一個等腰三角形；當時，方程的另一個根為，此時三角形三邊分別為，，，不能構(gòu)成一個三角形；綜上所述，這個三角形另外兩邊的長分別為，．【變式訓練1】（23-24九年級下·北京·階段練習）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)寫出一個滿足條件的m的值，使方程的兩根為整數(shù)根，并求此時方程的兩根．【答案】(1)(2)，，（答案不唯一）【分析】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及解一元二次方程．（1）根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式，建立關(guān)于的一元一次不等式求解，即可解題；（2）根據(jù)題意，確定的值，再解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，，；（2）解：當時，一元二次方程為，有，解得，，滿足方程的兩根為整數(shù)根．（答案不唯一）【變式訓練2】（23-24九年級上·廣東廣州·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍：(2)若方程有一個根為，求方程的另一根．【答案】(1)且(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式的作用是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得根的判別式和一元二次方程的定義，列出不等式組求解即可；（2）把代入到關(guān)于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可．【詳解】（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，且，故答案為：的取值范圍是且；（2）把代入到關(guān)于的一元二次方程中，得，，，，，故答案為：方程的另一根是．【變式訓練3】（23-24九年級上·河南洛陽·期末）已知關(guān)于的方程，其中，，是的三邊長．(1)若是方程的一個根，則是；(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則是；(3)若是等邊三角形，試求方程的根．【答案】(1)等腰三角形(2)直角三角形(3)，【分析】題目主要考查一元二次方程的解及因式分解解一元二次方程，等邊三角形及三角形的分類，理解題意，掌握一元二次方程的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）將方程的根代入化簡得出，即可確定三角形的形狀；（2）根據(jù)方程根的情況利用判別式化簡求解即可；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后代入方程求解即可．【詳解】（1）解：當時，，即，∴是等腰三角形，故答案為：等腰三角形；（2）是直角三角形理由如下：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，，，是直角三角形；（3）是等邊三角形，，∴原方程變形為，，方程左邊分解因式，得，或，解得，．類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例4.（23-24八年級下·四川成都·期中）已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，得到判別式非負，解不等式即可得到答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，解得；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴∵，∴，，解得或5，由（1）知，則．【點睛】本題考查一元二次方程綜合，涉及由一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解不等式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練1】（2024·四川南充·三模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍，(2)當時，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，求的值．【答案】(1)(2)13【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了根的判別式．（1）根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）時，方程變?yōu)?，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再將變形代入求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得；（2）解：時，方程變?yōu)?，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，．【變式訓練2】（23-24八年級下·山東淄博·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有兩個實數(shù)根為，且，求m的值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入得出關(guān)于的方程，解之可得答案．本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時，，．【詳解】（1）證明：，∵無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，由，得，解得．【變式訓練3】（23-24八年級下·廣西賀州·期中）閱讀材料：材料：關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，；根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：(1)類比：一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，則；；(2)應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足，且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及巧妙使用整體思想是解題的關(guān)鍵．（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．（2）將所給代數(shù)式轉(zhuǎn)化為m與n的和與積的形式即可解決問題．（3）將s和t看作方程的兩個根即可解決問題．【詳解】（1）解：，，故答案為：，（2）解：根據(jù)題意，一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，∴，∴；（3）解：∵實數(shù)s，t滿足，且，∴實數(shù)s，t是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴．類型五、一元二次方程根與系數(shù)中的參數(shù)與新定義型問題例5：（23-24九年級上·福建廈門·期中）定義：如果一元二次方程滿足．那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．(1)已知是“鳳凰”方程．且有兩個相等的實數(shù)根．試求a與c的關(guān)系；(2)已知關(guān)于x的方程是“鳳凰”方程，且兩個實數(shù)根都是整數(shù)．求整數(shù)m的值．【答案】(1)(2)0或2或4或6．【分析】本題考查了根的判別式，公式法解一元二次方程，正確理解“鳳凰”方程的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有兩個相等的實數(shù)根得到，根據(jù)是“鳳凰”方程得到，則，代入整理得，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)“鳳凰”方程的定義列式求出，然后求出，可得，，再根據(jù)兩個實數(shù)根都是整數(shù)可得整數(shù)m的值．【詳解】（1）解：∵有兩個相等的實數(shù)根，∴，∵是“鳳凰”方程．∴，∴，∴，即，∴，∴，即；（2）解：方程整理得：，∵此方程是“鳳凰”方程，∴，∴，∵，∴，∴，，∵兩個實數(shù)根都是整數(shù)，∴或，∴或或或，∴整數(shù)m的值為0或2或4或6．【變式訓練1】（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）定義：若是方程的兩個實數(shù)根，若滿足，則稱此類方程為“差積方程”．例如：是差積方程．(1)判斷：方程______“差積方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知關(guān)于的方程，①證明：不論取何值，方程總有實數(shù)根；②若該方程是“差積方程”，求的值．【答案】(1)不是(2)①見解析；②或．【分析】本題考查了新定義運算，解一元二次方程，根的判別式，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）分別根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義判斷即可求解；（2）①利用一元二次方程根的判別式列式計算即可求解；②先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義列出絕對值方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：，∵，∴方程不是差積方程；故答案為：不是；（2）解：①∵，∴，∴關(guān)于的方程不論取何值，方程總有實數(shù)根；②∵，∴，解得：，∵是差積方程，∴，即或．解得：或．【變式訓練2】（22-23九年級上·山西臨汾·階段練習）請認真閱讀，并根據(jù)理解，完成相應(yīng)任務(wù)：閱讀材料：定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”，例如：和有且只有一個相同的實數(shù)根，所以這兩個方程為“同伴方程”．任務(wù)一：（1）根據(jù)所學定義，下列方程屬于“同伴方程”的有______；（只填寫序號即可）①；②；③．任務(wù)二：（2）關(guān)于的一元二次方程與為“同伴方程”，求的值；任務(wù)三：（3）若關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，且與互為“同伴方程”，求的值．【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或．【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）根據(jù)題中的新定義列出有關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值；（3）求得兩個方程的根，根據(jù)“同伴方程”的定義即可得出的值．【詳解】解：（1）①解得：，，②，解得：，③，解得，所以，屬于“同伴方程”的有①②故答案為：①②；（2）一元二次方程的解為，當相同的根是時，則，解得；當相同的根是時，則，解得；綜上，的值為1或；（3）∵關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，∴關(guān)于的一元二次方程的兩個根是，∵的兩個根是，∵關(guān)于的一元二次方程（）與互為“同伴方程”，∴或．【點睛】此題考查了一元二次方程的解，根的判別式，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】（23-24八年級下·山東淄博·期末）定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，分別以，為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點為該一元二次方程的衍生點．(1)直接寫出方程的衍生點的坐標為______；(2)已知關(guān)于的方程．①求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；②求該方程衍生點的坐標；③已知不論為何值，關(guān)于的方程的?生點始終在直線上，求b，c的值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②；③【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．（1）解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點的定義即可得到點M的坐標；（2）①根據(jù)判別式即可判斷方程的根的情況；②解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點的定義即可得到點M的坐標；③將變形，可得過定點，根據(jù)題意方程的兩個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：∴∴該方程的衍生點M的坐標為（2）①∵方程為，∴，∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；②∴，∴該方程的衍生點M的坐標為；③解∶直線，過定點，∴兩個根為，∴，∴．壓軸能力測評（15題）一、單選題1．（23-24八年級下·浙江·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則k的值為（）A． B．2 C．2或 D．4或【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定義，由一元二次方程的定義可得，由題意又知，聯(lián)立不等式組，求解可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得．故選：A．2．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義解方程求解以及不等式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得出且解得：，故選：A．3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知a是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．2024 D．2028【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，以及代數(shù)式求值，根據(jù)已知可得，整體代入，即可求解．【詳解】解：依題意得：，即：，，故選：D．4．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A．且 B．C．且 D．且【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、一元二次方程根與判別式的關(guān)系等知識點，掌握一元二次方根的判別式點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件和一元二次方程根情況可得且，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：解得：且．故選C．二、填空題5．（23-24九年級上·湖南永州·期中）若是關(guān)于的一元二次方程，則．【答案】1【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次冪是2次的整式方程，特別注意二次項系數(shù)不為0，正確把握定義是解題關(guān)鍵．直接利用一元二次方程的定義知道二次項系數(shù)不為0同時x的最高次冪為2，得出m的值進而得出答案．【詳解】解：由題意知：且，解得，故答案為：．6．（2024·四川眉山·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則k的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解．把代入，再結(jié)合，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有一個根為，∴，，解得：．故答案為：7．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）若是關(guān)于x的方程的解，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把代入原方程得到，再根據(jù)，利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的解，∴，∴，∴，故答案為：．8．（23-24八年級下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，根據(jù)一元二次方程有實根，得出，解不等式即可求解．本題考查了一元二次方程，，，為常數(shù)）的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．【詳解】解：一元二次方程有實數(shù)根，，且，解得：且，故答案為：且．三、解答題9．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）若a是關(guān)于x的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，將代入原方程，變形得，再將代數(shù)式去括號展開，將整體代入展開后的代數(shù)式，求解即可，解題關(guān)鍵是利用整體代入法．【詳解】解：是關(guān)于x的一元二次方程的根，，，．10．（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知關(guān)于x的方程．(1)當m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)在（1）的結(jié)果中，取滿足m的范圍的最小整數(shù)m，并算出該方程的根．【答案】(1)(2)，，【分析】本題考查一元二次方程根的判別式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式列關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可；（2）求得最小整數(shù)，進而得方程，然后解方程即可．【詳解】（1）解：∵x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，故時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由得最小整數(shù)，∴方程為，解得，．11．（23-24九年級上·福建泉州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求m的值．【答案】(1)(2)m的值為【分析】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，旁熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵。(1)根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出的范圍即可;(2)已知等式利用完全平方公式化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系將各自的值代入計算即可求出的值【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，即，整理得：，解得：；（2）∵該方程的兩個實數(shù)根分別為，，∴，，∵，∴，即，整理得：，即，解得：（舍去）或，則m的值為．12．（22-23九年級上·湖北十堰·階段練習）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若方程的兩個實數(shù)根，滿足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系：（1）根據(jù)判別式可知，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再由完全平方公式得到，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，∴，∴，∴；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去）．13．（23-24九年級上·四川樂山·期中）已知關(guān)于x的方程．(1)當k是為何值時，此方程有實數(shù)根；(2)若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求k的值．【答案】(1)當時，方程有實數(shù)根(2)【分析】本題考查