數(shù)學?？級狠S題九年級人教版專題01一元二次方程的實際應用五種考法含答案及解析

專題01一元二次方程的實際應用五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：增長率問題 2題型二：與圖形有關問題 4題型三：數(shù)字問題 10題型四：營銷問題 14題型五：動態(tài)幾何問題 19壓軸能力測評 261、增長率問題 基本公式：， 表示增長前的數(shù)，表示增長率，表示增長后的數(shù)，要列出這類方程關鍵在于找出、．如果是降低率，則為．2、與圖形有關問題 對于面積問題首先判斷要求面積的圖形的形狀，再根據(jù)公式將要求出的量用表示出來．例如要求的某個長方形面積，就必須先把長和寬表示出來．3、數(shù)字問題對于數(shù)的應用題主要是要知道數(shù)的表示．例如：一個三位數(shù)個位、十位、百位分別為x、y、z，那么這個三位數(shù)則可以表示為．4、營銷問題總利潤單件利潤總件數(shù)；總利潤總售價總成本價．根據(jù)公式想辦法將降價后的利潤以及降價后能售出的件數(shù)表示出來即可．5.動態(tài)幾何問題解決動態(tài)幾何問題時，先要分析動點的運動軌跡，根據(jù)條件設出未知數(shù)后，用含有未知數(shù)的式子表示出圖形中變化的線段，再根據(jù)題目中的等量關系列出方程.動態(tài)幾何問題我們在后續(xù)的三角形相似的學習中還會遇到，同學們要抓住解題關鍵，找準變量以及等量關系，才能夠從容應對.題型一：增長率問題【例1】（2021·湖南張家界·中考真題）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀念館”成為重要的活動基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預計6月份的參觀人數(shù)是多少？【變式1】（2022·安徽·模擬預測）據(jù)統(tǒng)計2019年某款APP用戶數(shù)約為2400萬，2021年底達到5000萬．假設未來幾年內(nèi)仍將保持相同的年平均增長率，則這款APP用戶數(shù)首次突破一億的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【變式2】（22-23九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）某種商品的標價為200元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為162元/件，并且兩次降價的百分率相同．(1)求該種商品每次降價的百分率；(2)若該種商品進價為156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各種費用150元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件應降價多少元?【變式3】（20-21九年級上·重慶·期末）某房地產(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進價比B種地磚每塊的進價高40元，購進A、B兩種地磚共花費350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進價分別是多少元？（2）實際施工時，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結果實際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了，由于地磚的購進量增加．B種地磚每塊進價在（1）問的基礎上降低了，但A種地磚每塊進價保持不變，最后購進A、B兩種地磚的總花費比原計劃增加了，求a的值．題型二：與圖形有關問題【例2】（22-23九年級上·吉林長春·階段練習）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第38頁的部分內(nèi)容．問題1學校生物小組有一塊長、寬的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道要使種植面積為，小道的寬應是多少？分析問題中沒有明確小道在試驗田中的位置，試作出圖①，不驗發(fā)現(xiàn)小道的占地面積與位置無關．設小道寬為，則兩條小道的面積分別為和，其中重疊部分小正方形的面積為，根據(jù)題意，得……請根據(jù)教材提示，結合圖①，寫出完整的解題過程．【結論應用】如圖②，某小區(qū)附近有一塊長，寬的長方形空地，在空地上有兩條相同寬度的人行步道（一縱一橫）和一個邊長為人行步道寬度7倍的正方形林閑廣場，兩條人行步道的總面積與正方形休閑廣場的面積相等，設行步重的寬為．（1）求人行步道的寬．（2）為了方便市民進行跑步健身，現(xiàn)按如圖③所示方案增建塑膠跑道．已知塑膠跑道的寬為，長方形區(qū)域甲的面積比長方形區(qū)域乙大，且區(qū)域丙為正方形，直接寫出塑膠跑道的總面積．【變式1】（21-22九年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長50米、寬30米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為800平方米．則小道的寬為多少米？若設小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800【變式2】（23-24九年級上·河南信陽·階段練習）閱讀材料，并解決問題．【學習研究】我國古代數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構造方法如下：首先將方程變形為，然后畫四個長為，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程．因為x表示邊長，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．

【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程，請將其解答過程補充完整：第一步：將原方程變形為，即x（______）；第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形；（在畫圖區(qū)畫出示意圖，標明各邊長）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個根為______；【拓展應用】一般地，對于形如的一元二次方程可以構造圖②來解．已知圖②是由四個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)______，______，求得方程的一個正根為______．

【變式3】（22-23九年級上·福建三明·期中）有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場地建成草坪．(1)如圖，在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路．請寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場地的長與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．題型三：數(shù)字問題【例3】（20-21九年級上·云南昆明·階段練習）如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第行有個點…，前行的點數(shù)和不能是以下哪個結果（

）A．741 B．600 C．465 D．300【變式1】（23-24九年級上·四川成都·期末）已知，數(shù)軸上從左到右有三點，，，它們在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，，，，均不為整數(shù)），且，（為正整數(shù)）．在點與點之間的所有整數(shù)依次記為；在點與點之間的所有整數(shù)分別記為．若，則的值為．【變式2】．（23-24九年級上·四川成都·期末）將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十個數(shù)劃分成兩組，使得兩組數(shù)中沒有重復的數(shù)，將這兩組數(shù)分別按照從小到大排列，這樣的操作稱為這十個數(shù)的一種分割，例如和就是這十個數(shù)的一種分割，并且規(guī)定和這樣交換順序和前一種分割是同種分割．若某次分割成的兩組數(shù)滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和，那么我們就稱這樣的分割為完美分割，例如和為這十個數(shù)的一種完美分割，則在這十個數(shù)的所有分割中，完美分割共有種．【變式3】．（20-21九年級上·四川·階段練習）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．（1）請通過計算判斷241是不是“喜鵲數(shù)”，并直接寫出最小的“喜鵲數(shù)”；（2）已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為自然數(shù)），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個根，且m＋n＝﹣2，求滿足條件的所有k的值．題型四：營銷問題【例4】（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)冬奧會臨近結束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【變式1】（2023·湖北宜昌·中考真題）為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的單價；(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半．端午節(jié)當天統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．【變式2】（20-21九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）近年來，故宮不斷推陳出新，將文化底蘊和流行時尚元素融合，設計出了眾多的爆款文創(chuàng)產(chǎn)品，600歲的故宮成為新晉網(wǎng)紅．小趙看到了商機，打算采購一批故宮文創(chuàng)商品進行銷售．他以每條45元的價格購進150條編織紅繩手鏈，再以每條65元賣出．結果編織紅繩手鏈很受歡迎，銷售一空，于是小趙準備購進第二批編織紅繩手鏈．（1）若第二次購進的編織紅繩手鏈成本是每條40元，售價不變且全部賣完，要使兩次銷售的手鏈總利潤不低于14250元，那么第二次至少得購進多少條編織紅繩手鏈？（2）在第二次銷售中，小趙按照（1）中的最低數(shù)量購進編織紅繩手鏈，由于市場受限，編織紅繩手鏈購進成本比預計的40元多，為保證利潤，小趙將售價提高，在銷售過程中，因質(zhì)量問題，有的編織紅繩手鏈下架不售賣，結果第二次銷售的獲利比第一次銷售的獲利多了8250元，求m的值．【變式3】（20-21九年級上·重慶北碚·期末）俗語有言“冬臘風腌，蓄以御冬”，沒有臘味，如何能算得土是過冬？臘肉一直享有“一家煮肉百家香”的贊語，腌制好的臘肉，吃起來味道醇香，肥而不膩口，瘦而不塞牙，不論是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店為迎接新年的到來，12月份購進了一批臘肉和香腸，已知用4000元購進臘肉的數(shù)量與用5000元購進香腸的數(shù)量一樣多，其中每袋香腸的進價比每袋臘肉的進價多10元．（1）每袋臘肉和香腸的進價分別是多少元？（2）12月份上半月，該店每袋臘肉和香腸的售價分別為60元和80元，銷售量之比為4：3，銷售利潤為3400元．12月份下半月，該店調(diào)整了銷售價格，在上半月的基礎上，每袋臘肉的售價增加了，每袋香腸的售價減少了元，結果臘肉的銷售量比上半月臘肉的銷售量增加了，香腸的銷售量比上半月香腸的銷售量增加了，下半月的銷售利潤比上半月的銷售利潤多864元．求a的值．題型五：動態(tài)幾何問題【例5】（22-23九年級上·貴州安順·期末）如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設P，Q兩點移動的時間為，求：

(1)當x為何值時，為等腰三角形；(2)當x為何值時，的面積為；(3)當x為何值時，為等腰三角形．【變式1】（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）已知：如圖所示，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿．邊向點C以的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于？(3)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使以P為圓心，為半徑的圓正好經(jīng)過點Q？若存在，求出運動時間，若不存在，請說明理由．【變式2】（22-23九年級上·廣東廣州·期中）如圖，為矩形的四個頂點，，，動點分別從點同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達為止，點Q以的速度向移動．(1)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為？(2)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是？(3)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點組成的三角形是等腰三角形？【變式3】（22-23九年級上·廣東清遠·期中）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達點C后返回點B，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為秒．(1)當時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．1．（2024春?海淀區(qū)校級期中）如圖，某單位準備將院內(nèi)一塊長，寬的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，求小道進出口的寬度．2．（2024?無錫校級二模）某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據(jù)前段時間的銷售經(jīng)驗，每天的售價（元箱）與銷售量（箱有如表關系：每箱售價（元6867666540每天銷量（箱40455055180已知與之間的函數(shù)關系是一次函數(shù)．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進價是40元箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實惠，每箱售價是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價銷售，所以從7月17號開始水蜜桃銷售價格在（2）的條件下，下降了，同時水蜜桃的進貨成本下降了，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了，7月份（按31天計算）降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元，求的值．3．（2023秋?射陽縣期中）“黃橋燒餅全國聞名”，國慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個燒餅，賣出1個燒餅的利潤是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，平均每天可多賣出100個，為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降元（1）零售單價下降元后，每個燒餅的利潤為元，該店平均每天可賣出個燒餅（用含的代數(shù)式表示，需化簡）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的燒餅更多？4．（2023秋?南關區(qū)校級期末）果農(nóng)田豐計劃將種植的草莓以每千克15元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴大種植，造成該草莓滯銷．為了加快銷售，減少損失，田豐對價格進行兩次下調(diào)后，以每千克9.6元的單價對外批發(fā)銷售．（1）如果每次價格下調(diào)的百分率相同，求田豐每次價格下調(diào)的百分率；（2）小李準備到田豐處購買3噸該草莓，因數(shù)量多，田豐準備再給予兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金400元．試問小李選擇哪種方案最優(yōu)惠？請說明理由．5．（2023?沛縣模擬）某日王老師佩戴運動手環(huán)進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數(shù)據(jù)如表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為．項目第一次鍛煉第二次鍛煉步數(shù)（步10000①平均步長（米步）0.6②距離（米60007020注：步數(shù)平均步長距離．（1）根據(jù)題意完成表格填空；（2）求；（3）王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數(shù)恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．6．（2023?東阿縣二模）為了鞏固全國文明城市建設成果，突出城市品質(zhì)的提升，近年來，我市積極落實節(jié)能減排政策，推行綠色建筑，據(jù)統(tǒng)計，我市2014年的綠色建筑面積約為950萬平方米，2016年達到了1862萬平方米．若2015年、2016年的綠色建筑面積按相同的增長率逐年遞增，請解答下列問題：（1）求這兩年我市推行綠色建筑面積的年平均增長率；（2）2017年我市計劃推行綠色建筑面積達到2400萬平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增長率，請你預測2017年我市能否完成計劃目標？7．（2023春?臨淄區(qū)校級期中）如圖，在矩形中，，，動點、分別以、的速度從點、同時出發(fā)，點從點向點移動．（1）若點從點移動到點停止，點隨點的停止而停止移動，點、分別從點、同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間、兩點之間的距離是？（2）若點沿著移動，點、分別從點、同時出發(fā)，點從點移動到點停止時，點隨點的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間的面積為？8．（2023秋?禪城區(qū)校級月考）如圖1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米．（1）花圃的面積為米（用含的式子表示）；（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元、（元與修建面積之間的函數(shù)關系如圖2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價為105920元？

專題01一元二次方程的實際應用五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：增長率問題 2題型二：與圖形有關問題 4題型三：數(shù)字問題 10題型四：營銷問題 14題型五：動態(tài)幾何問題 19壓軸能力測評 261、增長率問題 基本公式：， 表示增長前的數(shù)，表示增長率，表示增長后的數(shù)，要列出這類方程關鍵在于找出、．如果是降低率，則為．2、與圖形有關問題 對于面積問題首先判斷要求面積的圖形的形狀，再根據(jù)公式將要求出的量用表示出來．例如要求的某個長方形面積，就必須先把長和寬表示出來．3、數(shù)字問題對于數(shù)的應用題主要是要知道數(shù)的表示．例如：一個三位數(shù)個位、十位、百位分別為x、y、z，那么這個三位數(shù)則可以表示為．4、營銷問題總利潤單件利潤總件數(shù)；總利潤總售價總成本價．根據(jù)公式想辦法將降價后的利潤以及降價后能售出的件數(shù)表示出來即可．5.動態(tài)幾何問題解決動態(tài)幾何問題時，先要分析動點的運動軌跡，根據(jù)條件設出未知數(shù)后，用含有未知數(shù)的式子表示出圖形中變化的線段，再根據(jù)題目中的等量關系列出方程.動態(tài)幾何問題我們在后續(xù)的三角形相似的學習中還會遇到，同學們要抓住解題關鍵，找準變量以及等量關系，才能夠從容應對.題型一：增長率問題【例1】（2021·湖南張家界·中考真題）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀念館”成為重要的活動基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預計6月份的參觀人數(shù)是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31萬【分析】（1）設這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意列出等式解出即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增長率計算即可．【詳解】（1）解：設這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），答：這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為．（2）（萬人），答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和增長率問題，解題的關鍵是：根據(jù)題目條件列出等式，求出增長率，再利用增長率來預測．【變式1】（2022·安徽·模擬預測）據(jù)統(tǒng)計2019年某款APP用戶數(shù)約為2400萬，2021年底達到5000萬．假設未來幾年內(nèi)仍將保持相同的年平均增長率，則這款APP用戶數(shù)首次突破一億的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【答案】B【分析】設年平均增長率為，根據(jù)該款APP在2019年底及2021年底的用戶數(shù)，可列出關于的一元二次方程，解之可得及的值，將其代入與中，可求得2022年級2023年底的用戶數(shù)，將其與10000萬比較即可求解．【詳解】解：設年平均增長率為，依題意得，，∴，∴或（不合題意舍去），∴（萬），（萬），∵7200萬＜10000萬＜10417萬，∴該款APP用戶在2023年首次突破一億．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確地列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2】（22-23九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）某種商品的標價為200元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為162元/件，并且兩次降價的百分率相同．(1)求該種商品每次降價的百分率；(2)若該種商品進價為156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各種費用150元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件應降價多少元?【答案】(1)10%，(2)4元．【分析】（1）設該種商品每次降價的百分率為x，根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）每件商品的盈利×（原來的銷售量＋增加的銷售量）－150=1450，為了減少庫存，計算得到的降價多的數(shù)量即可．【詳解】（1）解：設該種商品每次降價的百分率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）；答：該種商品每次降價的百分率為10%．（2）解：設每件商品應降價x元，根據(jù)題意，得：，解方程得，∵在降價幅度不超過10元的情況下，∴不合題意舍去，答：每件商品應降價4元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決解決本題的難點，根據(jù)每天的盈利得到相應的等量關系是解決本題的關鍵．【變式3】（20-21九年級上·重慶·期末）某房地產(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進價比B種地磚每塊的進價高40元，購進A、B兩種地磚共花費350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進價分別是多少元？（2）實際施工時，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結果實際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了，由于地磚的購進量增加．B種地磚每塊進價在（1）問的基礎上降低了，但A種地磚每塊進價保持不變，最后購進A、B兩種地磚的總花費比原計劃增加了，求a的值．【答案】（1）A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地磚的數(shù)量=公寓的面積÷每塊地磚的面積，可分別求出每套公寓需要A種地磚的數(shù)量及每套公寓需要B種地磚的數(shù)量，設B種地磚每塊的進價為x元，則A種地磚每塊的進價為(x+40)元，根據(jù)等量關系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)等量關系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=總錢數(shù)，列出方程，即可得到關于a的方程，解方程即可求出a的值，當然取正值即可．【詳解】（1）一套公寓用A種地磚需要：塊一套公寓用B種地磚需要：塊設B種地磚每塊的進價為x元由題可得：解得：元故A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元．（2）由題可得：整理得：解得然：．∵，∴【點睛】本題考查了一元一次方程的應用和一元二次方程的應用，關鍵是找出等量關系，正確列出方程，同時（2）問是的方程比較復雜，要善于化簡．題型二：與圖形有關問題【例2】（22-23九年級上·吉林長春·階段練習）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第38頁的部分內(nèi)容．問題1學校生物小組有一塊長、寬的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道要使種植面積為，小道的寬應是多少？分析問題中沒有明確小道在試驗田中的位置，試作出圖①，不驗發(fā)現(xiàn)小道的占地面積與位置無關．設小道寬為，則兩條小道的面積分別為和，其中重疊部分小正方形的面積為，根據(jù)題意，得……請根據(jù)教材提示，結合圖①，寫出完整的解題過程．【結論應用】如圖②，某小區(qū)附近有一塊長，寬的長方形空地，在空地上有兩條相同寬度的人行步道（一縱一橫）和一個邊長為人行步道寬度7倍的正方形林閑廣場，兩條人行步道的總面積與正方形休閑廣場的面積相等，設行步重的寬為．（1）求人行步道的寬．（2）為了方便市民進行跑步健身，現(xiàn)按如圖③所示方案增建塑膠跑道．已知塑膠跑道的寬為，長方形區(qū)域甲的面積比長方形區(qū)域乙大，且區(qū)域丙為正方形，直接寫出塑膠跑道的總面積．【答案】“教材呈現(xiàn)”：小道寬為；“結論應用”：（1）步道的寬為；（2）塑膠跑道的總面積為．【分析】教材呈現(xiàn)：設道路的寬為xm，將4塊草地平移為一個長方形，長為（32-x）m，寬為（20-x）m．根據(jù)長方形面積公式即可求出道路的寬；結論應用：（1）根據(jù)“兩條步道的總面積與正方形休閑廣場的面積相等”列出方程并解答；（2）根據(jù)“長方形區(qū)域甲的面積比長方形區(qū)域乙大44m2”求得BC=EF=21m，所以再結合圖形和矩形的面積公式解答．【詳解】解：教材呈現(xiàn)設小道寬為由題意，得（32-x）（20-x）=540∴．解得，（不合題意，舍去）．答：小道寬為．結論應用（1）由題意，得．解得，（不合題意，舍去）．答：步道的寬為．（2）由題意，得AB-DE=100-80+1=21（m），∴BC=EF==21（m）∴塑膠跑道的總面積為1×（100+80+21-2）=199（m2）即塑膠跑道的總面積為．【點睛】考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．【變式1】（21-22九年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長50米、寬30米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為800平方米．則小道的寬為多少米？若設小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800【答案】C【分析】把三條小道平移到邊上，可以得到一個完整的種植面積，然后根據(jù)已知條件，列出方程即可求解，圖見詳解【詳解】如圖，把三條小路平移到邊上，構造完整的種植面積，由題干可知，大的矩形長為50米，寬為30米，小路寬為米，所以種植區(qū)域的長為（）米，寬為（）米，根據(jù)矩形面積公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800．故選C．【點睛】本題考查列方程，關鍵是把握平移的性質(zhì)，構造完整的矩形，方便列出方程．【變式2】（23-24九年級上·河南信陽·階段練習）閱讀材料，并解決問題．【學習研究】我國古代數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構造方法如下：首先將方程變形為，然后畫四個長為，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程．因為x表示邊長，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．

【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程，請將其解答過程補充完整：第一步：將原方程變形為，即x（______）；第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形；（在畫圖區(qū)畫出示意圖，標明各邊長）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個根為______；【拓展應用】一般地，對于形如的一元二次方程可以構造圖②來解．已知圖②是由四個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)______，______，求得方程的一個正根為______．

【答案】[類比遷移]，畫圖見解析，，；[拓展應用]，3，1或3．【分析】[類比遷移]類比例題求解、畫圖、計算即可；拓展應用根據(jù)題意把，變形為，根據(jù)圖2由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4，即可得到答案．【詳解】[類比遷移]第一步：將原方程變?yōu)?，即；第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形，如圖所示：

第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程：；解得原方程的一個根為；故答案為：，，；[拓展應用]，，四個小矩形的面積各為，大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，圖2是由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4，，，解得：，，當時，，，，方程的一個正根為1；當時，，，，方程的一個正根為3．綜上所述，方程的一個正根為1或3．故答案為：，3，1或3．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握將解一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解的方法．【變式3】（22-23九年級上·福建三明·期中）有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場地建成草坪．(1)如圖，在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路．請寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場地的長與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．【答案】(1)①②長為米，寬為米(2)或【分析】（1）①②根據(jù)兩條小路的面積之和兩個長方形的面積重疊的正方形的面積表示即可；②根據(jù)草坪的總面積為，列一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)草坪的總面積為平方米，列方程求解，再進一步求出符合條件的和的值，即可求出的值．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，兩條小路的面積之和平方米，故答案為：平方米；②根據(jù)題意，得，又∵，，原方程化為，解得（不符合題意，舍去），，（米），答：原來矩形場地的長為米，寬為米；（2）解：根據(jù)題意，得，整理得，，為正整數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，當時，，，，；當時，，，，；當時，，，，，綜上所述，或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關系是解題的關鍵．題型三：數(shù)字問題【例3】（20-21九年級上·云南昆明·階段練習）如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第行有個點…，前行的點數(shù)和不能是以下哪個結果（

）A．741 B．600 C．465 D．300【答案】B【分析】由于第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…，則前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）個點，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）個點，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）個點，然后根據(jù)選項分別求出n的數(shù)值，即可作出判斷．【詳解】解：通過觀察圖形可知：第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點，則前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）個點，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）個點，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）個點，其中n為正整數(shù)，∴當n（n＋1）=741時，解得：（舍），，當n（n＋1）=600時，解得：（舍），當n（n＋1）=465時，解得：（舍），，當n（n＋1）=300時，解得：（舍），，故選：B．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式1】（23-24九年級上·四川成都·期末）已知，數(shù)軸上從左到右有三點，，，它們在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，，，，均不為整數(shù)），且，（為正整數(shù)）．在點與點之間的所有整數(shù)依次記為；在點與點之間的所有整數(shù)分別記為．若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，數(shù)軸上兩點距離；根據(jù)題意得出之間共有個或個整數(shù)，進而可得，設之間的數(shù)分別為，，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，得出整數(shù)解，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴之間共有個或個整數(shù)，∵6個連續(xù)的整數(shù)滿足∴，當時，間有個整數(shù)，則之間的3個整數(shù)設為，之間的個整數(shù)為，∴，解得：或當上有個整數(shù)，，無整數(shù)解；當時，間有個整數(shù)，則之間的4個整數(shù)設為，之間的個整數(shù)為，∴，解得：或，當，間有個整數(shù)，則之間的4個整數(shù)設為，之間的個整數(shù)為，∴，無整數(shù)解；當時，則之間的5個整數(shù)設為，之間的個整數(shù)為，∴，無整數(shù)解或，無整數(shù)解當時，則之間的5個整數(shù)設為，之間的個整數(shù)為，∴，無解，綜上所述，或或，則或或，∴，或∵是正整數(shù)，∴故答案為：．【變式2】．（23-24九年級上·四川成都·期末）將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十個數(shù)劃分成兩組，使得兩組數(shù)中沒有重復的數(shù)，將這兩組數(shù)分別按照從小到大排列，這樣的操作稱為這十個數(shù)的一種分割，例如和就是這十個數(shù)的一種分割，并且規(guī)定和這樣交換順序和前一種分割是同種分割．若某次分割成的兩組數(shù)滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和，那么我們就稱這樣的分割為完美分割，例如和為這十個數(shù)的一種完美分割，則在這十個數(shù)的所有分割中，完美分割共有種．【答案】3【分析】本題考查對題干“完美分割”的理解，一元二次方程的應用，根據(jù)“分割成的兩組數(shù)滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和”推出相乘的這一組數(shù)只能有2個或3個或4個數(shù)，再根據(jù)其個數(shù)分別運用列舉法分析找出符合條件的分割，即可解題．【詳解】解：，一組數(shù)的積要小于，，，相乘的這一組數(shù)最多只能有個，，相乘的這一組數(shù)最少有2個，①若這一組數(shù)有2個，當兩個數(shù)連續(xù)時，設較小的數(shù)為，則另一個為，分割成的兩組數(shù)滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和，，整理得，解得，（不合題意，舍去），符合條件的完美分割為和；當兩個數(shù)不連續(xù)時，，兩個數(shù)的乘積不小于，分別討論、、、、、、是否滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和，當兩個數(shù)不連續(xù)時，沒有符合條件的完美分割，②若這一組數(shù)有3個，當三個數(shù)連續(xù)時，設中間的數(shù)為，則另兩個為，，，整理得，即，為1到10的整數(shù)，沒有符合條件的，當三個數(shù)不連續(xù)時，設其中最大的數(shù)為，分別討論、、）其中始終大于組合內(nèi)第二個數(shù)、以及、、、、是否滿足其中一組數(shù)的積等于另一組數(shù)的和，其中符合條件的完美分割有和；③若這一組數(shù)有4個，當四個數(shù)連續(xù)時，、均不符合，后面的皆不符合，當四個數(shù)不連續(xù)時，設其中最大的數(shù)為，，，解得，、、均不符合，后面的皆不符合；可得符合條件的完美分割就是題干中的完美分割，則在這十個數(shù)的所有分割中，完美分割共有3種，故答案為：3．【變式3】．（20-21九年級上·四川·階段練習）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．（1）請通過計算判斷241是不是“喜鵲數(shù)”，并直接寫出最小的“喜鵲數(shù)”；（2）已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為自然數(shù)），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個根，且m＋n＝﹣2，求滿足條件的所有k的值．【答案】（1）241不是喜鵲數(shù)；最小的“喜鵲數(shù)”是121；（2）滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．【分析】（1）由題意代入驗證即可解答；（2）求出m與n互為倒數(shù)，又m＋n＝?2，得出m＝?1，n＝?1，求出b＝a＋c，a＝c，結合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8∴241不是喜鵲數(shù)；∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數(shù)”是121；（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鵲數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，將cn2＋bn＋a＝0兩邊同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，∴將m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c有兩個相等的實數(shù)根，∴m＝，即mn＝1，∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．題型四：營銷問題【例4】（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)冬奧會臨近結束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【答案】(1)A、B兩款鑰匙扣分別購進20件和10件(2)購進A款冰墩墩鑰匙扣40件，購進B款冰墩墩鑰匙扣40件時利潤最大，最大為1080元(3)銷售價定為每件30元或34元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元【分析】(1)設A、B兩款鑰匙扣分別購進x和y件，根據(jù)“用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件”列出二元一次方程組即可求解；(2)設購進A款冰墩墩鑰匙扣m件，則購進B款冰墩墩鑰匙扣(80-m)件，根據(jù)“進貨總價不高于2200元”列出不等式求出；設銷售利潤為元，得到，隨著m的增大而增大，結合m的范圍由此即可求出最大利潤；(3)設B款冰墩墩鑰匙扣降價a元銷售，則平均每天多銷售2a件，每天能銷售(4+2a)件，每件的利潤為(12-a)元，由“平均每天銷售利潤為90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．【詳解】（1）解：設A、B兩款鑰匙扣分別購進x和y件，由題意可知：，解出：，故A、B兩款鑰匙扣分別購進20和10件．（2）解：設購進A款冰墩墩鑰匙扣m件，則購進B款冰墩墩鑰匙扣(80-m)件，由題意可知：，解出：，設銷售利潤為元，則，∴是關于m的一次函數(shù)，且3＞0，∴隨著m的增大而增大，當時，銷售利潤最大，最大為元，故購進A款冰墩墩鑰匙扣40件，購進B款冰墩墩鑰匙扣40件時利潤最大，最大為1080元．（3）解：設B款冰墩墩鑰匙扣降價a元銷售，則平均每天多銷售2a件，每天能銷售(4+2a)件，每件的利潤為(12-a)元，由題意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩鑰匙扣售價為34元或30元一件時，平均每天銷售利潤為90元．【點睛】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的應用、一次函數(shù)增減性求利潤最大問題及一元二次方程的應用，屬于綜合題，讀懂題意是解決本題的關鍵．【變式1】（2023·湖北宜昌·中考真題）為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的單價；(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半．端午節(jié)當天統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．【答案】(1)豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元(2)①豆沙粽優(yōu)惠后的單價為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價為7元；②【分析】（1）設豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為元，依題意列一元一次方程即可求解；（2）①設豆沙粽優(yōu)惠后的單價為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價為b元，依題意列二元一次方程組即可求解；②根據(jù)銷售額=銷售單價銷售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．【詳解】（1）解：設豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為元，依題意得，解得；則；所以豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元；（2）解：①設豆沙粽優(yōu)惠后的單價為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價為b元，依題意得，解得，所以豆沙粽優(yōu)惠后的單價為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價為7元；②依題意得，解得或，，∴，．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用、二元一次方程組的應用和一元一次方程的應用，根據(jù)題意找到題中的等量關系列出方程或方程組是解題的關鍵．【變式2】（20-21九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）近年來，故宮不斷推陳出新，將文化底蘊和流行時尚元素融合，設計出了眾多的爆款文創(chuàng)產(chǎn)品，600歲的故宮成為新晉網(wǎng)紅．小趙看到了商機，打算采購一批故宮文創(chuàng)商品進行銷售．他以每條45元的價格購進150條編織紅繩手鏈，再以每條65元賣出．結果編織紅繩手鏈很受歡迎，銷售一空，于是小趙準備購進第二批編織紅繩手鏈．（1）若第二次購進的編織紅繩手鏈成本是每條40元，售價不變且全部賣完，要使兩次銷售的手鏈總利潤不低于14250元，那么第二次至少得購進多少條編織紅繩手鏈？（2）在第二次銷售中，小趙按照（1）中的最低數(shù)量購進編織紅繩手鏈，由于市場受限，編織紅繩手鏈購進成本比預計的40元多，為保證利潤，小趙將售價提高，在銷售過程中，因質(zhì)量問題，有的編織紅繩手鏈下架不售賣，結果第二次銷售的獲利比第一次銷售的獲利多了8250元，求m的值．【答案】（1）第二次至少購進450條編織的紅繩手鏈．（2）m的值為20．【分析】（1）根據(jù)題意，設第二次購進x條，列出不等式，解不等式即可得到答案；（2）根據(jù)題意，先求出每件成本為，售價為，銷售量為，然后列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）設第二次購進x條，根據(jù)題意得，解得：；∴第二次至少購進450條編織的紅繩手鏈．（2）根據(jù)題意，每件成本為：，售價為：，銷售量為：，則，解得：或（舍去），∴，∴m的值為20．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關系，從而列出方程進行解題．【變式3】（20-21九年級上·重慶北碚·期末）俗語有言“冬臘風腌，蓄以御冬”，沒有臘味，如何能算得土是過冬？臘肉一直享有“一家煮肉百家香”的贊語，腌制好的臘肉，吃起來味道醇香，肥而不膩口，瘦而不塞牙，不論是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店為迎接新年的到來，12月份購進了一批臘肉和香腸，已知用4000元購進臘肉的數(shù)量與用5000元購進香腸的數(shù)量一樣多，其中每袋香腸的進價比每袋臘肉的進價多10元．（1）每袋臘肉和香腸的進價分別是多少元？（2）12月份上半月，該店每袋臘肉和香腸的售價分別為60元和80元，銷售量之比為4：3，銷售利潤為3400元．12月份下半月，該店調(diào)整了銷售價格，在上半月的基礎上，每袋臘肉的售價增加了，每袋香腸的售價減少了元，結果臘肉的銷售量比上半月臘肉的銷售量增加了，香腸的銷售量比上半月香腸的銷售量增加了，下半月的銷售利潤比上半月的銷售利潤多864元．求a的值．【答案】（1）每袋臘肉進價為40元，每袋香腸進價為50元；（2）10．【分析】（1）設每袋臘肉的進價為x元，則每袋香腸的進價為(x+10)元，根據(jù)題意可列分式方程，求解即可．（2）根據(jù)題意可求出上半月臘肉銷售量和香腸銷售量，再用a表示出下半月調(diào)整售價后，臘肉的售價和銷量、香腸的售價和銷量．最后根據(jù)下半月利潤，列出關于a的方程，解出a即可．【詳解】（1）設每袋臘肉的進價為x元，則每袋香腸的進價為(x+10)元，根據(jù)題意可列方程：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解．故每袋臘肉進價為40元，每袋香腸進價為40+10=50元．（2）設上半月臘肉銷售量為m袋，則上半月香腸銷售量為袋．根據(jù)題意可列方程：，解出：，則上半月臘肉銷售量為80袋，香腸銷售量為60袋．下半月調(diào)整售價后，臘肉的售價為元，銷量為袋；香腸的售價為元，銷量為袋．下半月的利潤為元．即可列出方程．∴．解得：，（舍）．故a的值為10．【點睛】本題考查分式方程和一元二次方程的實際應用．根據(jù)題意找出等量關系是解答本題的關鍵．題型五：動態(tài)幾何問題【例5】（22-23九年級上·貴州安順·期末）如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設P，Q兩點移動的時間為，求：

(1)當x為何值時，為等腰三角形；(2)當x為何值時，的面積為；(3)當x為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)當時，是等腰三角形(2)x為1或5時，的面積為(3)x為或時，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當為等腰三角形時，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當為等腰三角形時，，∴，解得：，即當時，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當x為1或5時，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當時，如圖1所示：

在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當時，如圖2所示：

在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當x為或時，是等腰三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵．【變式1】（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）已知：如圖所示，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿．邊向點C以的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于？(3)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使以P為圓心，為半徑的圓正好經(jīng)過點Q？若存在，求出運動時間，若不存在，請說明理由．【答案】(1)1秒后的面積等于；(2)3秒后，的長度為；(3)不存在，理由見解析【分析】（1）經(jīng)過x秒鐘，的面積等于，根據(jù)點P從A點開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向點C以的速度移動，表示出和的長可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）設運動時間為秒，則，，，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：設經(jīng)過x秒以后，面積為，此時，，，由，得，整理得：，解得：或（舍）；答：1秒后面積為；（2）解：設經(jīng)過x秒后，的長度等于，由，即，解得：（舍去）或．則3秒后，的長度為；（3）解：設運動時間為秒，以P為圓心，為半徑的圓正好經(jīng)過點Q時，則，，，由勾股定理，得，整理，得，∵，∴方程無實數(shù)解，∴不存在．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用以及勾股定理的應用，由勾股定理列方程求解是解決問題的關鍵．【變式2】（22-23九年級上·廣東廣州·期中）如圖，為矩形的四個頂點，，，動點分別從點同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達為止，點Q以的速度向移動．(1)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為？(2)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是？(3)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點組成的三角形是等腰三角形？【答案】(1)兩點從出發(fā)開始到秒時，四邊形的面積為(2)兩點從出發(fā)開始到秒或秒時，點P和點Q的距離是(3)經(jīng)過秒或秒或秒或秒時，點組成的三角形是等腰三角形【分析】（1）設兩點從出發(fā)開始到秒時，四邊形的面積為，根據(jù)梯形面積公式列方程求解即可；（2）過點作于點，設兩點從出發(fā)開始到秒時，點P和點Q的距離是，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；（3）根據(jù)等腰三角形不同的腰進行分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：設兩點從出發(fā)開始到秒時，四邊形的面積為，根據(jù)題意得：，，則，解得：，答：兩點從出發(fā)開始到秒時，四邊形的面積為；（2）解：過點作于點，設兩點從出發(fā)開始到秒時，點P和點Q的距離是，根據(jù)題意可得：，，根據(jù)勾股定理得：，整理得：，解得：或，答：兩點從出發(fā)開始到秒或秒時，點P和點Q的距離是；（3）解：過點作于點，于點，設運動時間為，則，分三種情況：當時，，∵，∴；當時，在直角中，由勾股定理得：，解得：；當時，在直角中，由勾股定理可得，解得：（舍去）；綜上所述：經(jīng)過秒或秒或秒或秒時，點組成的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是作垂線，構造直角三角形，運用勾股定理列方程．【變式3】（22-23九年級上·廣東清遠·期中）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達點C后返回點B，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為秒．(1)當時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出；（2）因為，所以當是等腰三角形時，只有，表示出，當時，；當時，；當時，；利用，即可求出t的值；（3）由（2）可知：，當時，；當時，；當時，；利用，解關于t的方程即可．【詳解】（1）解：當時，由題意可知：，，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴是等腰三角形時，只有，由題意可知：，∵Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達點C后返回點B，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，∴當時，；當時，；當時，；∵∴，解得：，故不符合題意；，解得：，符合題意；，解得：，符合題意；綜上所述：或；（3）解：假設存在t使得的面積等于，由（2）可知：，當時，；當時，；當時，；∴當時，；解得：或（舍去）當時，，解得：或（舍去）；當時，，因為，故無解，綜上所述，當或時的面積等于．【點睛】本題考查動點問題，等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的幾何應用，解題的關鍵是理解題意，結合圖形表示出的值．1．（2024春?海淀區(qū)校級期中）如圖，某單位準備將院內(nèi)一塊長，寬的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，求小道進出口的寬度．【分析】設小道進出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可．【解答】解：設小道進出口的寬度為米，依題意得．整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），．答：小道進出口的寬度應為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到正確的等量關系并列出方程．2．（2024?無錫校級二模）某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據(jù)前段時間的銷售經(jīng)驗，每天的售價（元箱）與銷售量（箱有如表關系：每箱售價（元6867666540每天銷量（箱40455055180已知與之間的函數(shù)關系是一次函數(shù)．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進價是40元箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實惠，每箱售價是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價銷售，所以從7月17號開始水蜜桃銷售價格在（2）的條件下，下降了，同時水蜜桃的進貨成本下降了，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了，7月份（按31天計算）降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元，求的值．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式進而得出答案；（2）直接根據(jù)題意表示每箱的利潤進而得出總利潤等式求出答案；（3）根據(jù)題意分別表示出降價前后的利潤進而得出等式求出答案．【解答】解：（1）設與之間的函數(shù)關系是：，根據(jù)題意可得：，解得：，故與之間的函數(shù)關系是：；（2）由題意可得：，解得：，，顧客要得到實惠，售價低，所以舍去，所以，答：要使顧客獲得實惠，每箱售價是56元；（3）在（2）的條件下，時，，由題意得到方程：，解得：，（舍去），答：的值為20．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，根據(jù)已知7月份各量之間的變化得出等量關系進而求出是解題關鍵．3．（2023秋?射陽縣期中）“黃橋燒餅全國聞名”，國慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個燒餅，賣出1個燒餅的利潤是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，平均每天可多賣出100個，為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降元（1）零售單價下降元后，每個燒餅的利潤為元，該店平均每天可賣出個燒餅（用含的代數(shù)式表示，需化簡）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的燒餅更多？【分析】（1）每個燒餅的利潤等于原來利潤減去零售單價下降的錢數(shù)即可得到；每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；（2）利用總利潤等于銷售量乘以每件的利潤即可得到方程求解．【解答】解：（1）每個燒餅的利潤為元，；（2）令．化簡得，．即，．解得或．可得，當時賣出的燒餅更多．答：當定為0.4時，才能使商店每天銷售該燒餅獲取的利潤是420元并且賣出的燒餅更多．故答案為：，．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是了解總利潤的計算方法，并用相關的量表示出來．4．（2023秋?南關區(qū)校級期末）果農(nóng)田豐計劃將種植的草莓以每千克15元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴大種植，造成該草莓滯銷．為了加快銷