數(shù)學常考壓軸題九年級人教版壓軸題02二次函數(shù)實際應(yīng)用五種考法含答案及解析

壓軸題02二次函數(shù)實際應(yīng)用五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：圖形問題 2題型二：拱橋問題 8題型三：銷售問題 16題型四：投球問題 20題型五：噴水問題 30壓軸能力測評（13題） 37一、圖形問題解決二次函數(shù)與圖形面積的問題關(guān)鍵在于將圖形的面積通過割補法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,利用規(guī)則圖形的面積公式求出關(guān)于未知參數(shù)的代數(shù)式或相關(guān)的數(shù)學模型,再根據(jù)已知條件和二次函數(shù)的性質(zhì)解題.1.“規(guī)則圖形”面積問題“規(guī)則圖形”是指三角形(或四邊形)有一條邊在坐標軸上(或有一條邊與兩坐標軸平行).(1)用所求參數(shù)表示所需的邊長與高;(2)利用面積公式用所求參數(shù)的代數(shù)式表示出所求圖形的面積，(3)將所求的圖形面積化為關(guān)于所求參數(shù)的二次函數(shù)表達式;(4)將二次函數(shù)化為頂點式,根據(jù)a的取值求參數(shù)或利用已知求其他參數(shù)2.“不規(guī)則圖形”面積問題(1)將圖形分割成幾個“規(guī)則圖形”的面積和或者差,即把圖形分割成有邊與兩坐標軸平行或重合的圖形,再仿照“規(guī)則圖形”完成相關(guān)命題的解答(2)利用平面直角坐標系中已知三點坐標的三角形面積公式求三角形面積:S=ah(a為水平寬度,h為鉛直高度).二、拱橋、投球、噴水問題解決這類問題的一般步驟：建立平面直角坐標系——觀察圖像的位置——設(shè)函數(shù)解析式——求函數(shù)解析式——利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。平面直角坐標系不同，得到的函數(shù)解析式也不同，但不同坐標系背景下的函數(shù)解析式的二次項系數(shù)是相同的，這也體現(xiàn)了二次項系數(shù)a決定著拋物線的形狀和大小。只要兩個二次函數(shù)的解析式中的二次項系數(shù)a相同，這兩個函數(shù)圖像必定可以經(jīng)過平移完全重合。三、銷售問題求實際問題中二次函數(shù)的最值問題需注意：若頂點在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則二次函數(shù)在頂點處取最大值或最小值；若頂點不在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷所給自變量取值范圍的兩端點處對應(yīng)的函數(shù)值大小，從而確定最值。題型一：圖形問題【例1】（23-24九年級上·江蘇蘇州·期中）根據(jù)以下素材，完成項目式探索任務(wù)：問題的提出根據(jù)以下提供的素材，在總費用（新墻的建筑費用與門的價格和）不高于6400元的情況下，如何設(shè)計最大飼養(yǎng)室面積的方案？素材1：如圖是某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻，中間用一道墻隔開，計劃中建筑材料可建圍墻的總長為米，開2個門，且門寬均為1米.

素材2：2個門要求同一型號，有關(guān)門的采購信息如表.型號A規(guī)格（門寬）1米米1米單價（元）250280300素材3：與現(xiàn)有墻平行方向的墻建筑費用為400元/米，與現(xiàn)有墻垂直方向的墻建筑費用為200元/米.任務(wù)1確定飼養(yǎng)室的形狀設(shè)，矩形的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)表達式.任務(wù)2探究自變量的取值范圍.任務(wù)3確定設(shè)計方案我的設(shè)計方案是選型號門，當米，米時，S有最大值，最大值為平方米.【變式1】（23-24九年級上·安徽阜陽·期中）為貫徹落實國家關(guān)于全面推進城鎮(zhèn)老舊小區(qū)改造提升和城市更新工作，以人民為中心，努力提高保障和改善民生水平，切實解決老舊小區(qū)的配套設(shè)施，提升居民的幸福指數(shù)。合肥某小區(qū)計劃在的中央廣場種植景觀樹和花卉．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：花卉的種植費用y（元/）與花卉的種植面積x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，景觀樹的種植費用為15元/．(1)求y與x之間的函數(shù)表達式．(2)花卉的種植面積不少于，且景觀樹的種植面積不得少于花卉的2倍，當x為何值時，種植的總費用w（元）最少？最少是多少元？【變式2】．（22-23九年級上·新疆昌吉·期末）如圖所示，天河花園小區(qū)準備用米長的鐵絲網(wǎng)靠墻圍成一矩形場地（墻足夠長）種植蔬菜．(1)求矩形的面積（用y表示，單位：平方米）與邊（用表示，單位：米）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；怎樣圍，可使矩形場地的面積最大？(2)如何圍，可使此矩形花壇面積是平方米？【變式3】．（23-24九年級上·吉林長春·期中）如圖1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設(shè)通道寬為a米．(1)花圃的面積為___________平方米（用含a的式子表示）；(2)如果花所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；(3)已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求花圃的面積要超過800平方米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價為105920元？題型二：拱橋問題【例2】（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻和與路面垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面上取點E，測量點E到墻面的距離，點E到隧道頂面的距離．設(shè)米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系．描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．(3)若如圖2的汽車在隧道內(nèi)正常通過時，汽車的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個要求，隧道需標注的限高應(yīng)為多少米（精確到0.1米）？【變式1】．（23-24九年級上·浙江衢州·階段練習）素材現(xiàn)要在河面上建造一座如圖所示的拋物線型拱橋，已知河面寬60米，岸邊水泥柱高20米，拱橋需要用鋼材支柱等分跨徑以支撐橋面，若鋼材支柱將跨徑n等分．

任務(wù)1若鋼材支柱將跨徑4等分，此時以A為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，拱橋的拋物線表達式為：，則所需的最短的那根鋼材支柱長為多少米？任務(wù)2若鋼材支柱將跨徑6等分，鋼材支柱恰好用了30米．以A為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，求拱橋的拋物線表達式．任務(wù)3為了美觀，現(xiàn)對拱橋重新設(shè)計，使拱肋超過橋面，如圖所示．若鋼材支柱將橋面和各3等分，且兩支柱間的距離為5米，則共需多少米鋼材支柱？

【變式2】．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋主橋拱是圓弧形（如圖①中，已知跨度，拱高，則這條橋主橋拱的半徑是；(2)某橋的主橋拱是拋物線形（如圖②，若水面寬，拱頂（拋物線頂點）距離水面，求橋拱拋物線的解析式；(3)如圖③，在（1）和（2）的條件下，某個時刻橋和橋的橋下水位均上升了，求此時兩橋的水面寬度．【變式3】．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時（所示），橋下水面寬度為，拱頂距水面．(1)在如圖所示的直角坐標系中，求該拋物線的解析式；(2)突遇暴雨，當水面上漲時（所示），水面寬度減少了多少？(3)雨勢還在繼續(xù)，一滿載防汛物資的貨船欲通過此橋，已知該船滿載貨物時浮在水面部分的橫截面可近似看成是寬，高的矩形．那么當水位又上漲了m時，此船是否可以通過，說明理由．題型三：銷售問題【例3】．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）為了拉動內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定實行政府補貼．規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)y(臺)與補貼款額(元)之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益元)會相應(yīng)降低且滿足：．(1)在政府補貼政策實施后，求出該商場銷售彩電臺數(shù)與政府補貼款額之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在政府未出臺補貼措施之前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？(3)要使該商場銷售彩電的總收益最大，政府應(yīng)將每臺補貼款額定為多少？并求出總收益的最大值．【變式1】．（23-24九年級上·吉林通化·期末）經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在第x天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表；已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品每天的利潤為y元．時間x（天）售價（元/件）90每天銷量（件）(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？直接寫出答案．【變式2】．（23-24九年級上·廣東梅州·期末）某商城銷售一種進價為10元1件的飾品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該飾品的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足函數(shù)，設(shè)銷售這種飾品每天的利潤為W（元）．(1)求W與x之間的函數(shù)表達式；(2)當銷售單價定為多少元時，該商城獲利最大？最大利潤為多少？(3)在確保顧客得到優(yōu)惠的前提下，該商城還要通過銷售這種飾品每天獲利750元，該商城應(yīng)將銷售單價定為多少？【變式3】．（23-24九年級上·遼寧鞍山·期中）隨著互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用的日趨成熟和完善，電子商務(wù)在近幾年得到了迅猛的發(fā)展，某電商以每件40元的價格購進某款恤，以每件60元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，“雙11”的前一周月30日月5日）的銷售量為500件，該電商在“雙11”期間月6日月12日）進行降價銷售，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該款恤在“雙11”的前一周銷售量的基礎(chǔ)上，每降價1元，周銷售量就會增加50件．若要求銷售單價不低于成本，且按照物價部門規(guī)定銷售利潤率不高于，如何定價才能使利潤最大？并求出最大利潤是多少元？（利潤率【變式4】．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）某果農(nóng)因地制宜種植一種有機生態(tài)水果，且該有機生態(tài)水果產(chǎn)量逐年上升，去年這種水果的畝產(chǎn)量是1000千克．(1)預(yù)計明年這種水果的畝產(chǎn)量為1440千克，求這種水果畝產(chǎn)量從去年到明年平均每年的增長率為多少；(2)某水果店從果農(nóng)處直接以每千克30元的價格批發(fā)，專營這種水果．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的銷售價為40元，則每天可售出200千克，若每千克的銷售價每降低1元，則每天可多售出50千克．設(shè)水果店一天的利潤為元，當每千克的銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大？題型四：投球問題【例4】（23-24九年級上·廣西南寧·期中）年8月5日，在成都舉行的第屆世界大學生夏季運動會女子籃球金牌賽中，中國隊以比戰(zhàn)勝日本隊，奪得冠軍，女籃最重要的球員之一韓旭在日常訓練中也迎難而上，勇往直前．投籃時籃球以一定速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立平面直角坐標系，籃球從出手到進入籃筐的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，籃筐中心距離地面的豎直高度是，韓旭進行了兩次投籃訓練．(1)第一次訓練時，韓旭投出的籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離01234…豎直高度…①在平面直角坐標系中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并用平滑的曲線連接：

②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，求籃球運行的最高點距離地面的豎直高度；③已知此時韓旭距籃筐中心的水平距離，韓旭第一次投籃練習是否成功，請說明理由．(2)第二次訓練時，韓旭出手時籃球的豎直高度與第一次訓練相同，此時投出的籃球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系，若投籃成功，求此時韓旭距籃筐中心的水平距離d的取值范圍．【變式1】．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，小迪同學利用無人機玩“投彈”游戲，無人機以不變的速度水平飛行，他發(fā)現(xiàn)，在不同高度釋放小球，小球落地點距小球釋放點之間的水平距離都有所不同．

【提出問題】為了準確投中目標，需要知道小球釋放點距地面的豎直高度與小球釋放點距落地點的水平距離之間的關(guān)系；【分析問題】小迪控制無人機在距水平地面不同的高度釋放小球，分別測量了小球釋放點距落地點的水平距離和豎直高度，實驗結(jié)果如下表：小球釋放點距落地點的水平距離x（米）00.81.62.43.244.8…小球釋放點距落地點的豎直高度y（米）00.20.81.83.257.2…小迪同學建立平面直角坐標系，描出上面表格中每對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖2，小迪根據(jù)圖2中點的分布情況，確定其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，從而確定在一定高度釋放小球的運動軌跡是一條拋物線．【解決問題】如圖3，小迪控制無人機在距地面豎直高度為20米（米）向右水平飛行．為了更形象的描述，小迪在平面坐標系內(nèi)畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致．(1)請直接寫出y與x的函數(shù)解析式；并求此時小球釋放點O距落地點F之間的水平距離應(yīng)為多少米?(2)在距點E正前方的12米（米）地面點A上，有一高度為5米（米），直徑為米（米）的圓柱體目標，它的最大截面為矩形和坐標軸在同一平面內(nèi)．求無人機離開點O后，在什么飛行范圍內(nèi)釋放小球，可以擊中目標；(3)若在距（2）中的圓柱體目標的正前方N處（米）有一建筑物（建筑物的豎直高度大于20米）的側(cè)面外形為直線l，直線l與x軸的交點為點M，建筑物l和地面的夾角為，S為拋物線上一點，是點S距建筑物的距離．求小球在擊中圓柱體目標的過程中，距建筑物的最小距離．圖3建筑物示意圖【變式2】．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．【變式3】．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，按如圖所示的平面直角坐標系，其中是彈力球距拋出點的水平距離，是彈力球距地面的高度．甲站在原點處，從離地面高度為的點處拋出彈力球，彈力球在處著地后彈起，已知彈力球第一次著地前拋物線的表達式為．(1)的值為______；(2)若彈力球在處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高度的一半．①求點橫坐標和彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達式；②如圖，如果在地面上擺放一個底面半徑為，高的圓柱形筐，此時筐的最左端與原點的水平距離為，現(xiàn)將筐沿軸向左移動，則甲______（填“能”或“不能”）游戲成功．題型五：噴水問題【例5】．（23-24九年級上·遼寧鐵嶺·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】各式各樣精致的流水景觀成了當下家裝的一種時尚，用各種盛水容器可以制作家用流水景觀（如圖①）．愛思考的小琦用一些高度為的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，如圖②．如果在離水面豎直距離的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程，隨著的變化而變化．（圖中，，，在同一平面內(nèi)）【提出問題】小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）與小孔離水面豎直距離之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？【分析問題】小琦結(jié)合實際操作和計算得到下表所示的數(shù)據(jù)：小孔離水面豎直距離為01234…小孔射出水的射程01216076144204256然后在平面直角坐標系中，描出表格中與的各對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖③，小琦根據(jù)圖③中點的分布情況，確定其圖象是拋物線的一部分．【解決問題】（1）直接寫出與的解析式；（2）求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少？（3）如圖④，在（2）的條件下，如果水流的路線剛好是以小孔的位置為頂點的拋物線的一部分，將一個高度為，底面直徑的圓柱體杯子如圖擺放，水流能否落在杯口中心位置？通過計算說明理由．【變式1】．（23-24九年級上·河北廊坊·期中）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：m）．

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；(2)此時，距噴水口水平距離為5.5米的地方正好有一個行人經(jīng)過，試判斷該行人是否會被灑水車淋到水？并寫出你的判斷過程；(3)求出下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；(4)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍．【變式2】．（23-24九年級上·廣西南寧·期中）閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：【研究課題】設(shè)計公園噴水池【素材1】某公園計劃修建一個圖1所示的圓形噴水池，水池中心處立著一個高為2m的實心石柱，水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點A處匯合．為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離石柱處能達到最大高度處，且離池面的高度為．【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個圓形小水池，要求小水池不能影響水流．【任務(wù)解決】(1)請結(jié)合題意寫出下列點的坐標：A（_____），（______）．(2)圓形大水池的半徑至少要多少m才能使噴出的水流不落到水池外？(3)為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少m？【變式3】．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，某公園的一組同步噴泉由間隔等距的若干個一樣的噴泉組成，呈拋物線形的水流從垂直于地面且高出湖面的噴頭中向同一側(cè)噴出，每個噴頭噴出的水流可看作同樣的拋物線．若記水柱上某一位置與噴頭的水平距離為，噴出水流與湖面的垂直高度為．下表中記錄了一個噴頭噴出水柱時與的幾組數(shù)據(jù)：01234.51(1)如圖，以噴泉與湖面的交點為原點，建立如圖平面直角坐標系，求此拋物線的解析式；(2)現(xiàn)有一個頂棚為矩形的單人皮劃艇，頂棚每一處離湖面的距離為．頂棚剛好接觸到水柱，求該皮劃艇頂棚的寬度．(3)現(xiàn)公園管理方準備通過只調(diào)節(jié)噴頭露出湖面的高度，使得游船能從拋物線形水柱下方通過，為避免游客被噴泉淋濕，要求游船從拋物線形水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于，已知游船頂棚寬度為，頂棚到湖面的高度為，那么公園應(yīng)將噴頭（噴頭忽略不計）至少向上移動多少才能符合要求？（直接寫出結(jié)果）1．（2024?武漢）16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為軸，垂直于地面的直線為軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．（1）若火箭第二級的引發(fā)點的高度為，①直接寫出，的值；②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．（2）直接寫出滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過．2．（2024?中寧縣一模）如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度米．如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米．下邊緣拋物線可以看作由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.5米，灌溉車到的距離為米．（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)表達式，并求噴出水的最大射程；（2）求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶（即矩形位于上邊緣拋物線和下邊緣拋物線所夾區(qū)域內(nèi)），求的取值范圍．3．（2024?大豐區(qū)三模）“城市發(fā)展，交通先行”，我市啟動了緩堵保暢的快速路建設(shè)工程，建成后將大大提升道路的通行能力．研究表明，在確保安全行車情況下，快速路的車流速度（千米時）是車流密度（輛千米）的函數(shù)，其圖象近似的如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）求車流量和車流密度之間的函數(shù)表達式并求出車流量（輛時）的最大值．（注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量車流速度車流密度）（3）經(jīng)過測算，每日上下班高峰時段快速路車流量將不低于4400輛時，為保證快速路安全暢通，城市道路交通指揮中心將實時發(fā)布道路預(yù)警信息，提醒駕駛員按預(yù)警速度要求行駛，請你幫助城市交通指揮中心測算一下上下班高峰時段車速應(yīng)控制在什么范圍才能確保快速路安全暢通？4．（2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級二模）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系．如果她從點起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度（單位：米）與水平距離（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離033.544.5豎直高度1010106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出的值為，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系，記她訓練的入水點的水平距離為；比賽當天入水點的水平距離為，則（填“”“”或“”；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點開始計時，若點到水平面的距離為，則她到水面的距離與時間之間近似滿足，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？5．（2024?廣陵區(qū)二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計成水流在距的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．（1）以點為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面、處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點在花形柱子的正上方，且米，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．6．（2024?海淀區(qū)校級模擬）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米．下面的表中記錄了與的五組數(shù)據(jù)：（米01234（米0.51.251.51.250.5根據(jù)上述信息，解決以下問題：（1）在下面網(wǎng)格（圖中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；（2）若水柱最高點距離湖面的高度為米，則；（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．7．（2023秋?路橋區(qū)期末）為了方便游客，某濕地公園開設(shè)了，兩個觀光車租賃點，每個租賃點均有觀光車50輛，兩個租賃點一天租出的觀光車數(shù)量都為輛．租賃點每輛觀光車的日租金（元與的函數(shù)關(guān)系式為，且當元時，觀光車可全部租出，租賃點每輛觀光車的日租金固定為350元，，兩個租賃點一天的租金收入分別為（元，（元．（1）求的值，并分別寫出，與之間的函數(shù)解析式；（2）設(shè)租賃點一天的租金收入比租賃點多元，求的最大值；（3）為了讓利租客，租賃點決定，每租出一輛觀光車返還給租客元現(xiàn)金紅包，這樣租賃點一天的租金收入最多比租賃點多980元，求的值．8．（2024?揭東區(qū)一模）有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標系中．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．（2）如圖，在對稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？9．（2024?滑縣二模）護林員在一個斜坡上的點處安裝自動澆灌裝置（其高度忽略不計）為坡地進行澆灌，，點處的自動澆灌裝置噴出的水柱呈拋物線形．已知水柱在距出水口的水平距離為時，達到距離地面的豎直高度的最大值為．設(shè)噴出的水柱距出水口的水平距離為，距地面的豎直高度為，以坡底所在的水平方向為軸，處所在的豎直方向為軸建立平面直角坐標系，原點為，如圖所示．經(jīng)過測量，可知斜坡的函數(shù)表達式近似為．（1）求圖中水柱所在拋物線的函數(shù)表達式；（2）若該裝置澆灌的最遠點離地面的豎直高度為，求此時噴到處的水柱距出水口的水平距離．（3）給該澆灌裝置安裝一個支架，可調(diào)節(jié)澆灌裝置的高度，則水柱恰好可以覆蓋整個坡地時，安裝的支架的高度為多少米？10．（2024?南山區(qū)一模）麻城市思源實驗學校自從開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進行當堂檢測效果很好．每節(jié)課40分鐘教學，假設(shè)老師用于精講的時間（單位：分鐘）與學生學習收益量的關(guān)系如圖1所示，學生用于當堂檢測的時間（單位：分鐘）與學生學習收益的關(guān)系如圖2所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于當堂檢測的時間不超過用于精講的時間．（1）求老師精講時的學生學習收益量與用于精講的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求學生當堂檢測的學習收益量與用于當堂檢測的時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）問此“高效課堂”模式如何分配精講和當堂檢測的時間，才能使學生在這40分鐘的學習收益總量最大？11．（2024?灤南縣校級模擬）某大學生利用暑假40天社會實踐參與了某公司旗下一家加盟店經(jīng)營，了解到一種成本為20元件的新型商品在第天銷售的相關(guān)信息如下表所示：銷售量（件銷售單價（元件）當時，當時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元件（2）這40天中該加盟店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，公司為鼓勵加盟店接收大學生參加實踐活動決定每銷售一件商品就發(fā)給該加盟店元獎勵．通過該加盟店的銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前10天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間（天的增大而增大，求的取值范圍．12．（2024?雨花臺區(qū)模擬）一名在校大學生利用“互聯(lián)網(wǎng)”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價10元件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量（件與銷售價（元件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤（元與銷售價（元件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？13．（2024?河北模擬）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在點正上方的處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度與水平距離之間滿足函數(shù)表達式，已知點與球網(wǎng)的水平距離為，球網(wǎng)的高度為．（1）當時，①求的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng)．（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點的水平距離為，離地面的高度為的處時，乙扣球成功，求的值．

壓軸題02二次函數(shù)實際應(yīng)用五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：圖形問題 2題型二：拱橋問題 8題型三：銷售問題 16題型四：投球問題 20題型五：噴水問題 30壓軸能力測評（13題） 37一、圖形問題解決二次函數(shù)與圖形面積的問題關(guān)鍵在于將圖形的面積通過割補法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,利用規(guī)則圖形的面積公式求出關(guān)于未知參數(shù)的代數(shù)式或相關(guān)的數(shù)學模型,再根據(jù)已知條件和二次函數(shù)的性質(zhì)解題.1.“規(guī)則圖形”面積問題“規(guī)則圖形”是指三角形(或四邊形)有一條邊在坐標軸上(或有一條邊與兩坐標軸平行).(1)用所求參數(shù)表示所需的邊長與高;(2)利用面積公式用所求參數(shù)的代數(shù)式表示出所求圖形的面積，(3)將所求的圖形面積化為關(guān)于所求參數(shù)的二次函數(shù)表達式;(4)將二次函數(shù)化為頂點式,根據(jù)a的取值求參數(shù)或利用已知求其他參數(shù)2.“不規(guī)則圖形”面積問題(1)將圖形分割成幾個“規(guī)則圖形”的面積和或者差,即把圖形分割成有邊與兩坐標軸平行或重合的圖形,再仿照“規(guī)則圖形”完成相關(guān)命題的解答(2)利用平面直角坐標系中已知三點坐標的三角形面積公式求三角形面積:S=ah(a為水平寬度,h為鉛直高度).二、拱橋、投球、噴水問題解決這類問題的一般步驟：建立平面直角坐標系——觀察圖像的位置——設(shè)函數(shù)解析式——求函數(shù)解析式——利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。平面直角坐標系不同，得到的函數(shù)解析式也不同，但不同坐標系背景下的函數(shù)解析式的二次項系數(shù)是相同的，這也體現(xiàn)了二次項系數(shù)a決定著拋物線的形狀和大小。只要兩個二次函數(shù)的解析式中的二次項系數(shù)a相同，這兩個函數(shù)圖像必定可以經(jīng)過平移完全重合。三、銷售問題求實際問題中二次函數(shù)的最值問題需注意：若頂點在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則二次函數(shù)在頂點處取最大值或最小值；若頂點不在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷所給自變量取值范圍的兩端點處對應(yīng)的函數(shù)值大小，從而確定最值。題型一：圖形問題【例1】（23-24九年級上·江蘇蘇州·期中）根據(jù)以下素材，完成項目式探索任務(wù)：問題的提出根據(jù)以下提供的素材，在總費用（新墻的建筑費用與門的價格和）不高于6400元的情況下，如何設(shè)計最大飼養(yǎng)室面積的方案？素材1：如圖是某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻，中間用一道墻隔開，計劃中建筑材料可建圍墻的總長為米，開2個門，且門寬均為1米.

素材2：2個門要求同一型號，有關(guān)門的采購信息如表.型號A規(guī)格（門寬）1米米1米單價（元）250280300素材3：與現(xiàn)有墻平行方向的墻建筑費用為400元/米，與現(xiàn)有墻垂直方向的墻建筑費用為200元/米.任務(wù)1確定飼養(yǎng)室的形狀設(shè)，矩形的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)表達式.任務(wù)2探究自變量的取值范圍.任務(wù)3確定設(shè)計方案我的設(shè)計方案是選型號門，當米，米時，S有最大值，最大值為平方米.【答案】任務(wù)1、；任務(wù)2、當選型號A門時，自變量x的取值范圍為：，當選型號C門時，自變量x的取值范圍為：；任務(wù)3、我的設(shè)計方案是選型號A門，，，S的最大值為．【分析】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，任務(wù)1、根據(jù)題意得出，，然后計算面積即可得出函數(shù)關(guān)系式；任務(wù)2、根據(jù)題意得出，代入確定，再由所需費用分兩種情況列出不等式求解即可；任務(wù)3、根據(jù)任務(wù)1中函數(shù)關(guān)系式及其性質(zhì)求解即可；理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式及不等式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：任務(wù)1、由題可知，設(shè)，則，則；任務(wù)2、由題意知，即，解得：，根據(jù)題意可得：新墻建筑費用為元，若選型號A門，則總費用為元，∵總費用不高于6400元，∴，解得：，若選型號C門，則總費用為元，∵總費用不高于6400元，∴，解得：，綜上所述：當選型號A門時，自變量x的取值范圍為：，當選型號C門時，自變量x的取值范圍為：；任務(wù)3、由任務(wù)1知：，∵，圖象開口向下，且，∴當時，面積S有最大值為，此時，∴我的設(shè)計方案是選型號A門，，，S的最大值為．【變式1】（23-24九年級上·安徽阜陽·期中）為貫徹落實國家關(guān)于全面推進城鎮(zhèn)老舊小區(qū)改造提升和城市更新工作，以人民為中心，努力提高保障和改善民生水平，切實解決老舊小區(qū)的配套設(shè)施，提升居民的幸福指數(shù)。合肥某小區(qū)計劃在的中央廣場種植景觀樹和花卉．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：花卉的種植費用y（元/）與花卉的種植面積x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，景觀樹的種植費用為15元/．(1)求y與x之間的函數(shù)表達式．(2)花卉的種植面積不少于，且景觀樹的種植面積不得少于花卉的2倍，當x為何值時，種植的總費用w（元）最少？最少是多少元？【答案】(1)(2)當時，種植的總費用最少，最少為2700元；【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，用分段討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（1）分段利用圖象的特點，利用待定系數(shù)法，即可求出答案；（2）先求出x的范圍；分兩段建立w與x的函數(shù)關(guān)系，即可求出各自的w的最小值，最后比較，即可求出答案案；【詳解】（1）解：當時，；當時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，∵線段過點，，，解得：，，當時，，即：；（2）解：花卉的種植面積不少于，，又景觀樹的種植面積不得少于花卉的2倍，解得：，，當時，由（1）知，，景觀樹的種植費用為15元/．，當時，；當時，由（1）知，，，∴當時，，，當時，種植的總費用最少，最少為2700元；【變式2】．（22-23九年級上·新疆昌吉·期末）如圖所示，天河花園小區(qū)準備用米長的鐵絲網(wǎng)靠墻圍成一矩形場地（墻足夠長）種植蔬菜．(1)求矩形的面積（用y表示，單位：平方米）與邊（用表示，單位：米）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；怎樣圍，可使矩形場地的面積最大？(2)如何圍，可使此矩形花壇面積是平方米？【答案】(1)；時，菜園面積最大(2)當矩形花壇的長為米，寬為4米或長為8米，寬為6米時，矩形花壇面積是平方米【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系列出函數(shù)解析式，另外應(yīng)注意配方法求最大值在實際中的應(yīng)用．（1）根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出函數(shù)最值；（2）把代入（1）中的解析式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：答：當時，菜園面積最大．（2）根據(jù)題意得：，解得：．答：當矩形花壇的長為米，寬為4米或長為8米，寬為6米時，矩形花壇面積是平方米．【變式3】．（23-24九年級上·吉林長春·期中）如圖1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設(shè)通道寬為a米．(1)花圃的面積為___________平方米（用含a的式子表示）；(2)如果花所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；(3)已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求花圃的面積要超過800平方米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價為105920元？【答案】(1)或者；(2)通道寬為5米；(3)通道寬為2米．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)求表達式，解題的關(guān)鍵是表示出花圃的長和寬．（1）花圃的長為米，寬為米，據(jù)此求解即可（2）根據(jù)“花圃所占面積是整個長方形空地面積的，列出關(guān)于的一元二次方程，解之即可；（3）先根據(jù)圖像利用待定系數(shù)法求出和的函數(shù)解析式，再由通道和花圃的總造價為105920元列出關(guān)于的方程，解之即可得出答案．【詳解】（1）或者（2）解得：，（不符合題意，舍去）即通道寬為5米；（3）根據(jù)圖象可設(shè)經(jīng)過則有，解得

∴當時設(shè)，經(jīng)過，，則有解得：∴∵花圃面積為：，∴通道面積為：∴解得，（不符合題意，舍去）．答：通道寬為2米時，修建的通道和花圃的總造價為105920元．題型二：拱橋問題【例2】（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻和與路面垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面上取點E，測量點E到墻面的距離，點E到隧道頂面的距離．設(shè)米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系．描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．(3)若如圖2的汽車在隧道內(nèi)正常通過時，汽車的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個要求，隧道需標注的限高應(yīng)為多少米（精確到0.1米）？【答案】(1)6，．(2)見解析(3)隧道需標注的限高應(yīng)為4.5米【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知在時y取得最大值，然后運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意，以點A為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標，畫出函數(shù)圖像即可；（3）令，求得相應(yīng)的y值，結(jié)合到隧道頂面的距離不小于0.35米,可得汽車最高點距地面的距離即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，當時，y有最大值6，設(shè)∵D的坐標為∴，解得∴．故答案為：6，．（2）解：根據(jù)題意，以點A為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標,畫出圖像如圖所示：（3）解：令，可得隧道需標注的限高應(yīng)為（米）．答：隧道需標注的限高應(yīng)為4.5米．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等知識點，理清題中的數(shù)量關(guān)系、求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（23-24九年級上·浙江衢州·階段練習）素材現(xiàn)要在河面上建造一座如圖所示的拋物線型拱橋，已知河面寬60米，岸邊水泥柱高20米，拱橋需要用鋼材支柱等分跨徑以支撐橋面，若鋼材支柱將跨徑n等分．

任務(wù)1若鋼材支柱將跨徑4等分，此時以A為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，拱橋的拋物線表達式為：，則所需的最短的那根鋼材支柱長為多少米？任務(wù)2若鋼材支柱將跨徑6等分，鋼材支柱恰好用了30米．以A為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，求拱橋的拋物線表達式．任務(wù)3為了美觀，現(xiàn)對拱橋重新設(shè)計，使拱肋超過橋面，如圖所示．若鋼材支柱將橋面和各3等分，且兩支柱間的距離為5米，則共需多少米鋼材支柱？

【答案】任務(wù)1：所需的最短的那根鋼材支柱長為8米；任務(wù)2：；任務(wù)3：共需要米鋼材支柱．【分析】任務(wù)1：根據(jù)拱橋的拋物線表達式為：，另，求得，由鋼材支柱將跨徑4等分，則所需的最短的那根鋼材支柱長為當時，代入表達式求解即可；任務(wù)2：由拋物線過點，拋物線過點，設(shè)拱橋的拋物線表達式為，根據(jù)河面寬60米，鋼材支柱將跨徑6等分，則需要5根鋼材支柱，鋼材支柱的位置分別為，，，，，由拋物線的性質(zhì)代入拋物線表達式，根據(jù)鋼材支柱恰好用了30米，求解即可；任務(wù)3：由拋物線過點，拋物線過點，設(shè)拱橋的拋物線表達式為，根據(jù)鋼材支柱將橋面和各3等分，且兩支柱間的距離為5米，得到，則，，將代入拋物線的表達式求解出，得到表達式，分別另，，，時，求出y值，在計算出鋼材支柱的長度相加即可．【詳解】解：任務(wù)1，拱橋的拋物線表達式為：，以A為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，另，則，解得：，，，鋼材支柱將跨徑4等分，則（米），鋼材支柱的位置分別為，，，拱橋的拋物線表達式為：，開口向下，當時，則所需的那根鋼材支柱最短，，則（米）所需的最短的那根鋼材支柱長為8米；任務(wù)2：設(shè)拱橋的拋物線表達式為，根據(jù)河面寬60米，鋼材支柱將跨徑6等分，則需要5根鋼材支柱，鋼材支柱的位置分別為，，，，，岸邊水泥柱高20米，整理得：，解得：，拱橋的拋物線表達式為，任務(wù)3：由拋物線過點，拋物線過點，設(shè)拱橋的拋物線表達式為，鋼材支柱將橋面和各3等分，且兩支柱間的距離為5米，，，，將代入拋物線的表達式，得：，解得：，拋物線的表達式，另，，則鋼材支柱的長度為：（米），另，，則鋼材支柱的長度為：（米），另，，則鋼材支柱的長度為：（米），另，，則鋼材支柱的長度為：（米），需要的鋼材支柱的長度為：（米），答：共需要米鋼材支柱．【點睛】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，由自變量的值求函數(shù)值的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式2】．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋主橋拱是圓弧形（如圖①中，已知跨度，拱高，則這條橋主橋拱的半徑是；(2)某橋的主橋拱是拋物線形（如圖②，若水面寬，拱頂（拋物線頂點）距離水面，求橋拱拋物線的解析式；(3)如圖③，在（1）和（2）的條件下，某個時刻橋和橋的橋下水位均上升了，求此時兩橋的水面寬度．【答案】(1)10(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和圓的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法和圓的相關(guān)性質(zhì)．（1）設(shè)主橋拱的半徑是，根據(jù)勾股定理可得，即可解得答案；（2）以為原點，平行水面的直線為軸，建立直角坐標系，設(shè)橋拱拋物線的解析式為，用待定系數(shù)法可得橋拱拋物線的解析式為；（3）橋的橋下水位上升了，用勾股定理可得橋的水面寬度為；橋的橋下水位上升了，在中，令得或，即可得此時橋的水面寬度為．【詳解】（1）設(shè)主橋拱所在的圓弧形圓心為，連接，如圖：由拱高的定義可知，，，共線，設(shè)主橋拱的半徑是，在中，，，，，解得，故答案為：10；（2）以為原點，平行水面的直線為軸，建立直角坐標系，如圖：設(shè)橋拱拋物線的解析式為，水面寬，拱頂（拋物線頂點）距離水面，，，解得，橋拱拋物線的解析式為；（3）橋的橋下水位上升了，如圖：根據(jù)題意，，，；此時橋的水面寬度為；橋的橋下水位上升了，在中，令得：，解得或，，此時橋的水面寬度為．【變式3】．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時（所示），橋下水面寬度為，拱頂距水面．(1)在如圖所示的直角坐標系中，求該拋物線的解析式；(2)突遇暴雨，當水面上漲時（所示），水面寬度減少了多少？(3)雨勢還在繼續(xù)，一滿載防汛物資的貨船欲通過此橋，已知該船滿載貨物時浮在水面部分的橫截面可近似看成是寬，高的矩形．那么當水位又上漲了m時，此船是否可以通過，說明理由．【答案】(1)(2)水面寬度減少(3)此船可以通過，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)圖像上的點的坐標特征：（1）根據(jù)題意設(shè)出拋物線的解析式，然后將點的坐標代入即可求得結(jié)果；（2）水位上漲，則此時縱坐標為，然后將代入拋物線，可得到點D的橫坐標，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)水位上漲分別得到水面的寬度，然后將船的寬度代入解析式，得到高度，看是否可以通過即可；結(jié)合函數(shù)圖像及二次函數(shù)圖像上點的坐標特征找到關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，，將點，代入解析式中，可得，，解得，∴解析式為；（2）解：∵水面上漲至，∴，，拋物線過，，可得，解得，∴∴，∴水面寬度減少；（3）解：此船可以通過，理由如下：當水位又上漲了m時，此時拱頂距水面m，將代入，得到，此時水面寬為，∵，∴寬度可以讓船通過；∵船寬，∴將代入，解得，∵，∴高度可以讓船通過；∴此船可以通過．題型三：銷售問題【例3】．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）為了拉動內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定實行政府補貼．規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)y(臺)與補貼款額(元)之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益元)會相應(yīng)降低且滿足：．(1)在政府補貼政策實施后，求出該商場銷售彩電臺數(shù)與政府補貼款額之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在政府未出臺補貼措施之前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？(3)要使該商場銷售彩電的總收益最大，政府應(yīng)將每臺補貼款額定為多少？并求出總收益的最大值．【答案】(1)(2)在政府未出臺補貼措施之前，該商場銷售彩電的總收益額為元(3)政府應(yīng)將每臺補貼款額定為元時，可獲得最大利潤元【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用；（1）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可求解；（2）根據(jù)每臺彩電的收益乘以數(shù)量，即可求解；（3）設(shè)總收益為元，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得最值，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可設(shè)將，代入上式，得：，解得，故所求作的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）在中，當時，，在中，當時，；答：在政府未出臺補貼措施之前，該商場銷售彩電的總收益額為元．（3）設(shè)總收益為元，則，存在最大值，當時有最大值．答：政府應(yīng)將每臺補貼款額定為元時，可獲得最大利潤元．【變式1】．（23-24九年級上·吉林通化·期末）經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在第x天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表；已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品每天的利潤為y元．時間x（天）售價（元/件）90每天銷量（件）(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？直接寫出答案．【答案】(1)當時，，當時，(2)第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元(3)該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用；涉及求函數(shù)解析式，函數(shù)的性質(zhì)，求自變量的值等知識，理解題意并分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）分兩種情況考慮，根據(jù)利潤等于單件利潤與銷售數(shù)量的積即可求解；（2）對（1）中求得的函數(shù)式求出最大值并比較即可；（3）分別求出當函數(shù)值為4800時自變量的值，根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得利潤不低于4800元的天數(shù)，最后求得結(jié)果．【詳解】（1）解：當時，；當時，；綜上：當時，，當時，；（2）解：當時，，當時，y取得最大值；當時，對于，∵，∴當時，y取得最大值；∵，∴第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）解：當時，令，解得：（舍去），此時共有（天）每天的利潤不低于4800元；當時，令，解得：，∵，∴當時，每天的利潤不低于4800元，此時的天數(shù)為（天），∵，∴該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．【變式2】．（23-24九年級上·廣東梅州·期末）某商城銷售一種進價為10元1件的飾品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該飾品的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足函數(shù)，設(shè)銷售這種飾品每天的利潤為W（元）．(1)求W與x之間的函數(shù)表達式；(2)當銷售單價定為多少元時，該商城獲利最大？最大利潤為多少？(3)在確保顧客得到優(yōu)惠的前提下，該商城還要通過銷售這種飾品每天獲利750元，該商城應(yīng)將銷售單價定為多少？【答案】(1)(2)銷售單價為30時，該商城獲利最大，最大利潤為800元(3)單價定為25元【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用：（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可；（3）令，求出的值即可．【詳解】（1）解：由題意，得：；（2）∵，∴當時，有最大值800，∴銷售單價為30時，該商城獲利最大，最大利潤為800元；（3）當時，，解得：或，∵確保顧客得到優(yōu)惠，∴，∴單價應(yīng)定為25元．【變式3】．（23-24九年級上·遼寧鞍山·期中）隨著互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用的日趨成熟和完善，電子商務(wù)在近幾年得到了迅猛的發(fā)展，某電商以每件40元的價格購進某款恤，以每件60元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，“雙11”的前一周月30日月5日）的銷售量為500件，該電商在“雙11”期間月6日月12日）進行降價銷售，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該款恤在“雙11”的前一周銷售量的基礎(chǔ)上，每降價1元，周銷售量就會增加50件．若要求銷售單價不低于成本，且按照物價部門規(guī)定銷售利潤率不高于，如何定價才能使利潤最大？并求出最大利潤是多少元？（利潤率【答案】當定價為每件52元，才能使利潤最大為10800元【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：設(shè)售價為每件元，利潤為元，根據(jù)題意，得：，銷售單價不低于成本，且按照物價部門規(guī)定銷售利潤率不高于，，解得，，拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，當時，有最大值，最大值為（元，答：當定價為每件52元，才能使利潤最大，最大利潤是10800元．【變式4】．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）某果農(nóng)因地制宜種植一種有機生態(tài)水果，且該有機生態(tài)水果產(chǎn)量逐年上升，去年這種水果的畝產(chǎn)量是1000千克．(1)預(yù)計明年這種水果的畝產(chǎn)量為1440千克，求這種水果畝產(chǎn)量從去年到明年平均每年的增長率為多少；(2)某水果店從果農(nóng)處直接以每千克30元的價格批發(fā)，專營這種水果．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的銷售價為40元，則每天可售出200千克，若每千克的銷售價每降低1元，則每天可多售出50千克．設(shè)水果店一天的利潤為元，當每千克的銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大？【答案】(1)(2)37元【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得出函數(shù)關(guān)系式并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長率為，由題意得關(guān)于的一元二次方程，解得的值并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；（2）設(shè)每千克的平均銷售價為元，由題意得關(guān)于的二次函數(shù)，將其配方，寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）設(shè)這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長率為，由題意，得：，解得：，（舍去）．答：平均每年的增長率為；（2）設(shè)每千克的平均銷售價為元，由題意得：，，當時，取得最大值為2450．答：當每千克平均銷售價為37元時，一天的利潤最大，最大利潤是2450元．題型四：投球問題【例4】（23-24九年級上·廣西南寧·期中）年8月5日，在成都舉行的第屆世界大學生夏季運動會女子籃球金牌賽中，中國隊以比戰(zhàn)勝日本隊，奪得冠軍，女籃最重要的球員之一韓旭在日常訓練中也迎難而上，勇往直前．投籃時籃球以一定速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立平面直角坐標系，籃球從出手到進入籃筐的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，籃筐中心距離地面的豎直高度是，韓旭進行了兩次投籃訓練．(1)第一次訓練時，韓旭投出的籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離01234…豎直高度…①在平面直角坐標系中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并用平滑的曲線連接：

②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，求籃球運行的最高點距離地面的豎直高度；③已知此時韓旭距籃筐中心的水平距離，韓旭第一次投籃練習是否成功，請說明理由．(2)第二次訓練時，韓旭出手時籃球的豎直高度與第一次訓練相同，此時投出的籃球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系，若投籃成功，求此時韓旭距籃筐中心的水平距離d的取值范圍．【答案】(1)①見解析；②；③韓旭第一次投籃練習成功，理由見解析(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①描點，作圖即可；②根據(jù)圖表，可得拋物線關(guān)于直線對稱，圖象開口向下，進而可求最高點距離地面的豎直高度；③設(shè)拋物線的解析式為，將代入，求得，則，將代入得，，則韓旭第一次投籃練習成功；（2）將代入得，，解得，，則，當時，，求出滿足要求的值即可．【詳解】（1）①解：如圖，

②解：∵，∴拋物線關(guān)于直線對稱，∵圖象開口向下，∴籃球運行的最高點距離地面的豎直高度為；③解：韓旭第一次投籃練習成功，理由如下：設(shè)拋物線的解析式為，將代入得，，解得，，∴，將代入得，，∴韓旭第一次投籃練習成功；（2）解：將代入得，，解得，，∴，當時，，解得，，（舍去），∴此時韓旭距籃筐中心的水平距離．【變式1】．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，小迪同學利用無人機玩“投彈”游戲，無人機以不變的速度水平飛行，他發(fā)現(xiàn)，在不同高度釋放小球，小球落地點距小球釋放點之間的水平距離都有所不同．

【提出問題】為了準確投中目標，需要知道小球釋放點距地面的豎直高度與小球釋放點距落地點的水平距離之間的關(guān)系；【分析問題】小迪控制無人機在距水平地面不同的高度釋放小球，分別測量了小球釋放點距落地點的水平距離和豎直高度，實驗結(jié)果如下表：小球釋放點距落地點的水平距離x（米）00.81.62.43.244.8…小球釋放點距落地點的豎直高度y（米）00.20.81.83.257.2…小迪同學建立平面直角坐標系，描出上面表格中每對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖2，小迪根據(jù)圖2中點的分布情況，確定其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，從而確定在一定高度釋放小球的運動軌跡是一條拋物線．【解決問題】如圖3，小迪控制無人機在距地面豎直高度為20米（米）向右水平飛行．為了更形象的描述，小迪在平面坐標系內(nèi)畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致．(1)請直接寫出y與x的函數(shù)解析式；并求此時小球釋放點O距落地點F之間的水平距離應(yīng)為多少米?(2)在距點E正前方的12米（米）地面點A上，有一高度為5米（米），直徑為米（米）的圓柱體目標，它的最大截面為矩形和坐標軸在同一平面內(nèi)．求無人機離開點O后，在什么飛行范圍內(nèi)釋放小球，可以擊中目標；(3)若在距（2）中的圓柱體目標的正前方N處（米）有一建筑物（建筑物的豎直高度大于20米）的側(cè)面外形為直線l，直線l與x軸的交點為點M，建筑物l和地面的夾角為，S為拋物線上一點，是點S距建筑物的距離．求小球在擊中圓柱體目標的過程中，距建筑物的最小距離．圖3建筑物示意圖【答案】(1)，米(2)當無人機水平飛行4米至12米的距離內(nèi)投擲的小球可以擊中圓柱體(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得小球釋放點距落地點的水平距離和豎直高度之間的函數(shù)解析式為：，結(jié)合圖3可知：小迪在平面坐標系內(nèi)畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致，但是函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱，即有y與x的函數(shù)解析式為：，令即可求解；（2）無人機水平向右移動，即有拋物線水平向右平移，求出，即當無人機水平向右移動4米后投擲，小球可以擊中圓柱體的A點；當時，可得，即當小球下降15米時，小球的水平移動距離為：米，即可得當無人機水平向右移動12米后投擲，小球可以擊中圓柱體的C點，問題得解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后的拋物線解析為：，將向左平移直至與拋物線：相切與點S，且交x軸于點K，過S點作于點H，過S點作軸，交于點T，過M點作軸于點G，先求出直線的解析式為：，再設(shè)與拋物線：相切且與平行的直線的解析式為：，聯(lián)立，整理得：，根據(jù)相切，可得方程只有唯一解，即有，隨后有，問題隨之得解．【詳解】（1）設(shè)小球釋放點距落地點的水平距離和豎直高度之間的函數(shù)解析式為：，代入表格數(shù)據(jù)有：，解得：，∴小球釋放點距落地點的水平距離和豎直高度之間的函數(shù)解析式為：，結(jié)合圖3可知：小迪在平面坐標系內(nèi)畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致，但是函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱，∴此時y與x的函數(shù)解析式為：，當時，，解得：，（負值不合題意舍去）即（米）；（2）∵無人機水平向右移動，∴拋物線水平向右平移，∵，，∴，∴當無人機水平向右移動4米后投擲，小球可以擊中圓柱體的A點；∵，∴點C的豎直高度為：（米），∴當時，，解得：，∴當小球下降15米時，小球的水平移動距離為：米，∵點C距離點O的水平距離為：，∴（米），∴當無人機水平向右移動12米后投擲，小球可以擊中圓柱體的C點；綜上：當無人機水平飛行4米至12米的距離內(nèi)投擲的小球可以擊中圓柱體；（3）根據(jù)（2）可知拋物線水平向右平移12個單位后，此時小球在擊中圓柱體目標的過程中，存在距建筑物的最小距離，即平移后的拋物線解析為：，將向左平移直至與拋物線：相切與點S，且交x軸于點K，過S點作于點H，過S點作軸，交于點T，過M點作軸于點G，如圖，根據(jù)題意有：，∵，，∴，∴，∵，軸，，∴，∴，即，∴，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式為：，∴設(shè)與拋物線：相切且與平行的直線的解析式為：，聯(lián)立，整理得：，∵相切，∴方程只有唯一解，∴，解得：，∵直線的解析式為：，直線的解析式為：，∴，∴根據(jù)平移的性質(zhì)有：，∴在中，，∴，即小球在擊中圓柱體目標的過程中，距建筑物的最小距離為米．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的判別式等知識，明確題意，理解無人機飛行的特點，并能根據(jù)平移得出平移后拋物線的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．【答案】(1)見解析(2)①；；②(3)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為【分析】（1）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可求解；（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當時，；②待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，根據(jù)題意當時，，代入進行計算即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當和時，函數(shù)值相等，則對稱軸為直線，頂點坐標為，又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是，當時，，∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是；故答案為：；．②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，，解得：，∴拋物線解析式為；（3）∵當時，拋物線的解析式為，設(shè)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為，則平移距離為，∴平移后的拋物線的解析式為，依題意，當時，，即，解得：．答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，按如圖所示的平面直角坐標系，其中是彈力球距拋出點的水平距離，是彈力球距地面的高度．甲站在原點處，從離地面高度為的點處拋出彈力球，彈力球在處著地后彈起，已知彈力球第一次著地前拋物線的表達式為．(1)的值為______；(2)若彈力球在處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高度的一半．①求點橫坐標和彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達式；②如圖，如果在地面上擺放一個底面半徑為，高的圓柱形筐，此時筐的最左端與原點的水平距離為，現(xiàn)將筐沿軸向左移動，則甲______（填“能”或“不能”）游戲成功．【答案】(1)；(2)點的橫坐標為；彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達式為；能．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)與x軸的交點問題，二次函數(shù)與一元二次方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．（）將點坐標代入解析式，即可求出的值；（）由（）可得彈力球第一次著地前拋物線的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出點坐標，再根據(jù)條拋物線形狀相同，且彈力球在處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高度的一半以及點坐標，即可求出彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達式；令中，解方程求出的值與框的位置比較即可．【詳解】（1）解：∵點是拋物線的起點，∴，解得，故答案為：；（2）解：由（）知，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為，當時，，解得，(不合，舍去)，∴點的橫坐標為；∵兩條拋物線形狀相同，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高度的一半，設(shè)彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線解析式為，將點代入該解析式，得，解得，，∵，∴不合，舍去，∴，∴彈力球第一次著地后的彈起降落形成拋物線解析式為；令中，則，解得，，∵，∴不合，舍去，∴，∴彈力球第二次落地點距離原點米，由題意可得：筐的最左端與原點的水平距離為，最右端與原點的水平距離為米，又∵，∴甲能游戲成功，故答案為：能．題型五：噴水問題【例5】．（23-24九年級上·遼寧鐵嶺·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】各式各樣精致的流水景觀成了當下家裝的一種時尚，用各種盛水容器可以制作家用流水景觀（如圖①）．愛思考的小琦用一些高度為的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，如圖②．如果在離水面豎直距離的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程，隨著的變化而變化．（圖中，，，在同一平面內(nèi)）【提出問題】小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）與小孔離水面豎直距離之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？【分析問題】小琦結(jié)合實際操作和計算得到下表所示的數(shù)據(jù)：小孔離水面豎直距離為01234…小孔射出水的射程01216076144204256然后在平面直角坐標系中，描出表格中與的各對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖③，小琦根據(jù)圖③中點的分布情況，確定其圖象是拋物線的一部分．【解決問題】（1）直接寫出與的解析式；（2）求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少？（3）如圖④，在（2）的條件下，如果水流的路線剛好是以小孔的位置為頂點的拋物線的一部分，將一個高度為，底面直徑的圓柱體杯子如圖擺放，水流能否落在杯口中心位置？通過計算說明理由．【答案】【解決問題】（1）；（2）時，射程有最大值，最大射程是；（3）水流能落在杯口中心位置【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，運用了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的極值，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，求出水流的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．（1）采用待定系數(shù)法即可求解；（2）將寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)得出的最大值，再求的算術(shù)平方根即可；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論可得N點坐標為：，B點坐標為：，再根據(jù)頂點式可得水流的拋物線解析式為：，結(jié)合圖形可知杯口中心的坐標為：，代入驗證即可判斷．【詳解】（1）設(shè)與的解析式為：，根據(jù)表格數(shù)據(jù)有：，解得：，即：與的解析式為：；（2）∵，∴，∵，∴當時，有最大值，∴當時，s有最大值．∴當h為時，射程s有最大值，最大射程是；（3）在（2）中當h為時，射程s有最大值，最大射程是，即可知N點坐標為：，B點坐標為：，∵水流的路線剛好是以小孔的位置為頂點的拋物線的一部分，∴設(shè)水流的拋物線解析式為：，代入B點坐標可得：，解得：，∴水流的拋物線解析式為：，∵杯子的高度為，，，∴杯口中心的坐標為：，將代入，可知：水流的拋物線經(jīng)過點，∴水流能落在杯口中心位置．【變式1】．（23-24九年級上·河北廊坊·期中）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：m）．

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；(2)此時，距噴水口水平距離為5.5米的地方正好有一個行人經(jīng)過，試判斷該行人是否會被灑水車淋到水？并寫出你的判斷過程；(3)求出下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；(4)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到