數(shù)學(xué)?？級狠S題華師版九年級專題08解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法含答案及解析

專題08解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合 1類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合 5類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合 10類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合 14類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合 18類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合 22壓軸能力測評（15題） 26解題知識必備1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時“不破壞”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常見構(gòu)造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時，豎直作垂線與水平作垂線.壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合例題：（23-24九年級下·四川成都·階段練習(xí)）隨著春天的陽光越來燦爛，在青臺山中學(xué)小花園學(xué)習(xí)的同學(xué)被龐校抓拍到努力學(xué)習(xí)的場景，隨后龐校@霍校長可以購買太陽傘，為我們愛學(xué)習(xí)的青臺山學(xué)子，遮擋刺眼的陽光．如圖①是簡易太陽傘，為遮擋不同方向的陽光，太陽傘可以在撐桿上的點O處彎折并旋轉(zhuǎn)任意角，圖②是太陽傘直立時的示意圖，當(dāng)傘完全撐開時，傘骨與水平方向的夾角，傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，撐桿．(1)如圖②，當(dāng)傘完全撐開并直立時，求點到地面的距離．(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將太陽傘傾斜與鉛垂線成夾角，如圖③，若斜射陽光與所在直線垂直時，求在水平地面上投影的長度約是多少．（說明：，結(jié)果精確到）【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具—桑梯，其簡單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔希瑢A角α調(diào)整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點、此時農(nóng)夫站在離頂端D處的E處時可以高效且安全地采桑．求此時農(nóng)夫所在的E處到地面的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【變式訓(xùn)練2】（2024·貴州貴陽·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點E處（），C，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”,于點O，支桿與樹干的橫向距離．(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度；(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點E下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合例題：（23-24九年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖1，是一電動門，當(dāng)它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時它與出入口等寬，與地面的距離；當(dāng)它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅?，如圖3所示，此時，與水平方向的夾角為60°．(1)求點到地面的距離；(2)一輛高，寬的汽車從該入口進入時，汽車需要與保持的安全距離，此時，汽車能否安全通過，若能，請通過計算說明；若不能，說明理由．【變式訓(xùn)練1】（2024·寧夏銀川·二模）如圖1是某旅游景點的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）【變式訓(xùn)練2】（2024·江西吉安·二模）現(xiàn)如今，許多鄉(xiāng)村、社區(qū)都安裝了健身器材．如圖1，這是健身器材中的騎馬機，它是一種利用曲軸連桿機構(gòu)原理，模擬人體在騎馬狀態(tài)下前后“字”立體搖擺，從而達到全身有氧運動的新型健身器材，其側(cè)面的簡圖如圖2所示，已知，，．(1)若．求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，，求點到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合例題：（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知，，M，N，P，Q四點分別是的中點（N，P兩點也分別在和上），底座，垂足為O，經(jīng)測量，，，．(1)求證：四邊形為菱形．(2)求折疊資料架的高（點A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留一位小數(shù)）【變式訓(xùn)練1】（2024·吉林·二模）如圖1是汽車內(nèi)常備的千斤頂，圖2是它的平面示意圖，四邊形是菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變線段的長度，同時改變的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋袋c與點之間的距離）．經(jīng)測量，．(1)當(dāng)時，求的長（結(jié)果保留整數(shù)）．(2)從增加到時，這個千斤頂高度升高了______cm（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門口搭建如圖1所示的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長的立柱上下移動，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動滑塊使，求棚寬的長（精確到）．(2)在遮陽棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測溫門（門高），門的頂端應(yīng)與點持平或低于點，試問此時最大為多少度？類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉(zhuǎn)得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【變式訓(xùn)練1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂的長．卸貨時，貨廂繞點處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．點處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點處）的水平距離叫做安全軸距，測得該車的安全軸距為．貨廂對角線，的交點可視為貨廂的重心，測得．假設(shè)該車在水平地面上進行卸貨作業(yè)．(1)若，求點B到的距離；(2)卸貨時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆事故．若，該貨車會發(fā)生上述事故嗎？試說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：）【變式訓(xùn)練2】（2024·四川瀘州·一模）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，與水平地面垂直．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉(zhuǎn)動，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，邊上一點到的距離為米，到地面的距離為1.2米，求點到地面的距離的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合例題：（2024·山東煙臺·一模）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M.如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H.經(jīng)測量，點A距地面，到樹的距離，.求樹的高度.【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·江蘇揚州·期中）在測量旗桿高度的活動課上，某興趣小組自制了一個測高儀測量旗桿高度，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量旗桿高度的示意圖，測高儀上的點B、A與旗桿頂點P在一條直線上，鉛垂線交于點N．經(jīng)測量，點A距地面，到旗桿的距離．(1)若點N于點C重合，則旗桿的高度為________；(2)若．求旗桿的高度(結(jié)果精確到)．【變式訓(xùn)練2】（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據(jù)：）類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合例題：（2023秋·山東威?！ぞ拍昙壣綎|省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面l的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．【變式訓(xùn)練1】在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機，如圖，是訂書機的托板，壓柄繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點D固定，點E從A向B滑動，在滑動過程中，的長保持不變，已知．

(1)如圖1，當(dāng)，B、E之間的距離為，求連接桿的長度．(2)現(xiàn)將壓柄從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座垂直，如圖2所示，求在此過程中點E滑動的距離．【變式訓(xùn)練2】（2023秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)當(dāng)懸臂與桌面平行時，=___________°(2)問懸臂端點到桌面的距離約為多少？(3)已知攝像頭點到桌面的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂與連桿的夾角的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）壓軸能力測評（15題）一、單選題1．（2024·吉林長春·一模）如圖是一把遮陽傘的示意圖，遮陽傘立柱垂直于，垂足為點D，米．當(dāng)遮陽傘撐開至如圖所示的位置時，，則此時傘內(nèi)半徑的長度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2024·浙江·二模）圖1是某款籃球架，圖2是其部分示意圖，立柱垂直地面，支架與相交于點A，支架交于點G，米，米，，則立柱的高為（

）米A． B． C． D．二、填空題3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）長尾夾一般用來夾書或夾文件，因此也稱書夾．長尾夾的側(cè)面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一個長尾夾的側(cè)平面示意圖，已知．按壓該長尾夾的手柄，撐開后可得如圖2所示的側(cè)平面示意圖．測量得．求這時這個長尾夾可夾紙厚度為（參考數(shù)據(jù)：）4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入并水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）．為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了如圖2所示的實驗，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實驗的示意圖，四邊形為矩形，測得入射角，折射角，，則光斑移動的距離的長為．（用含，，的代數(shù)式表示）三、解答題5．（23-24九年級下·四川綿陽·開學(xué)考試）某小區(qū)外面的一段長120米的街道上要開辟停車位，計劃每個停車位都是同樣的長方形且每個長方形的寬均為2.2米，如果長方形的較長的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）(1)如果長方形的邊與街道的邊緣成角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個停車位占用街道的長度各是多少？(2)如果按照圖2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？6．（2023·江蘇鹽城·一模）圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成，整個活頁門的右軸固定在門框上，通過推動左側(cè)活頁門開關(guān)；圖2是其俯視圖簡化示意圖，已知軌道，兩扇活頁門的寬，點B固定，當(dāng)點C在上左右運動時，與的長度不變．(1)若，求的長（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）；(2)當(dāng)點C從點A向右運動時，求點O在此過程中運動的路徑長（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：，?。?．（2024·貴州畢節(jié)·三模）為建設(shè)美好公園休息區(qū)，增強民眾生活幸福感，如圖1，某公園服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于民眾休憩．在如圖2的側(cè)面示意圖中，遮陽篷靠墻端離地高度記為，遮陽篷AB長為6米，與水平面的夾角為．

(1)求點A到墻面的距離；(2)當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時，量得影長為米，求遮陽篷靠墻端離地的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，，）8．（22-23九年級·浙江寧波·自主招生）如圖1是可調(diào)節(jié)高度和桌面角度的電腦桌，它的左視圖可以抽象成如圖2所示的圖形，底座長為，支架垂直平分，桌面的中點固定在支架處，寬為．身高為的使用者站立處點與點，在同一條直線上，．點到點的距離是視線距離．(1)如圖，當(dāng)，時，求視線距離的長；(2)如圖，使用者坐下時，高度下降，當(dāng)桌面與的夾角為時，恰有視線，問需要將支架調(diào)整到多少？（參考數(shù)據(jù)：，，）9．（2023·浙江寧波·一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋?、之間的距離）．經(jīng)測量，可在和之間發(fā)生變化（包含和），．(1)當(dāng)時，求此時的長；(2)當(dāng)從變?yōu)闀r，這個千斤頂升高了多少？（精確到，，，）10．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測量，，，．（結(jié)果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數(shù)據(jù)：，，）11．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖1是一款訂書機，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形由支撐桿垂直固定于底座上，其中，，壓桿，，使用過程中矩形可以繞點E旋轉(zhuǎn)．(1)訂書機不使用時，如圖2，，求壓桿端點到底座的距離；(2)使用過程中，當(dāng)點落在底座上時，如圖3，測得，求壓桿端點到底座的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到）12．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座固定，，且，連桿長度為，機械臂長度為．點B，C是轉(zhuǎn)動點，且與始終在同一平面內(nèi)．(1)轉(zhuǎn)動連桿，機械臂，使，，如圖2，求機械臂端點D離操作臺l的高度的長（精確到，參考數(shù)據(jù)：）．(2)物品在操作臺l上，距離底座A端的點M處，轉(zhuǎn)動連桿，機械臂，機械臂端點D能否碰到點M？請說明理由．13．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實驗裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實驗時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：，求線段的長度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）14．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）云梯，又稱飛梯、竹飛梯，最早出現(xiàn)于商周，春秋時期魯國公輸盤加以改進，在古代屬于戰(zhàn)爭器械，用于攀越城墻攻城的用具．《武經(jīng)總要·攻城法》記載：“云梯以大木為床，下施六輪，上立二梯，各長丈余，中施轉(zhuǎn)軸，四面以生牛皮為屏蔽，內(nèi)以人推進，及城則起飛梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”圖1是某款云梯，忽略其梯身等器件的寬度，支架與座板均用線段表示，得到它的側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，已知，，，．(1)求的長；(2)如圖3，某次應(yīng)用云梯時，云梯的頂端D搭在與AB垂直的城墻上，，且，求此時點B距離城墻的距離．結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）15．（2023·上海黃浦·三模）我們知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生長，有利于身體健康，那么首先要有正確的寫字坐姿，身子上半部坐直，頭部端正、目視前方，兩手放在桌面上，兩腿平放，胸膛挺起，理想狀態(tài)下，如圖1所示，將圖1中的眼睛記為點A，腹記為點B，筆尖記為點D，且與桌沿的交點記為點C．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)若，求A到的距離及C、D兩點間的距離（結(jié)果精確到）；(2)老師發(fā)現(xiàn)小紅同學(xué)寫字姿勢不正確，眼睛傾斜至圖2的點E，點E正好在的垂直平分線上，且，于是要求其糾正為正確的姿勢．求眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離．（結(jié)果精確到）

專題08解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合 1類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合 5類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合 10類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合 14類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合 18類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合 22壓軸能力測評（15題） 26解題知識必備1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時“不破壞”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常見構(gòu)造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時，豎直作垂線與水平作垂線.壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合例題：（23-24九年級下·四川成都·階段練習(xí)）隨著春天的陽光越來燦爛，在青臺山中學(xué)小花園學(xué)習(xí)的同學(xué)被龐校抓拍到努力學(xué)習(xí)的場景，隨后龐校@霍校長可以購買太陽傘，為我們愛學(xué)習(xí)的青臺山學(xué)子，遮擋刺眼的陽光．如圖①是簡易太陽傘，為遮擋不同方向的陽光，太陽傘可以在撐桿上的點O處彎折并旋轉(zhuǎn)任意角，圖②是太陽傘直立時的示意圖，當(dāng)傘完全撐開時，傘骨與水平方向的夾角，傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，撐桿．(1)如圖②，當(dāng)傘完全撐開并直立時，求點到地面的距離．(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將太陽傘傾斜與鉛垂線成夾角，如圖③，若斜射陽光與所在直線垂直時，求在水平地面上投影的長度約是多少．（說明：，結(jié)果精確到）【答案】(1)(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，求得，結(jié)合，解答即可．（2）證明，利用三角函數(shù)解答即可．本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，∴，∴，∴，∵撐桿．∴，故點到地面的距離為．（2）解：根據(jù)題意，得，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，答：在水平地面上投影的長度約是．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具—桑梯，其簡單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔希瑢A角α調(diào)整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點、此時農(nóng)夫站在離頂端D處的E處時可以高效且安全地采桑．求此時農(nóng)夫所在的E處到地面的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，過點作于，先利用三角形內(nèi)角和等邊對等角求出，，解直角三角形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【變式訓(xùn)練2】（2024·貴州貴陽·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點E處（），C，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”,于點O，支桿與樹干的橫向距離．(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度；(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點E下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)遮陽寬度為；(2)點E下降的高度為．【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長即可解答；（2）過點E作于點F，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時的長即可解答．【詳解】（1）解：由對稱性可知，，在中，，，，，答：遮陽寬度為；（2）解：如圖，過點E作于點F，，，，，，，在中，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點E下降的高度為，答：點E下降的高度為．類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合例題：（23-24九年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖1，是一電動門，當(dāng)它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時它與出入口等寬，與地面的距離；當(dāng)它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅?，如圖3所示，此時，與水平方向的夾角為60°．(1)求點到地面的距離；(2)一輛高，寬的汽車從該入口進入時，汽車需要與保持的安全距離，此時，汽車能否安全通過，若能，請通過計算說明；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)汽車能安全通過【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點作于點，交于點，根據(jù)解直角三角形的知識進行解答即可；（2）根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，交于點，則，，，；（2）在上取，作于點，交于點，交于點，當(dāng)汽車與保持安全距離時，∵汽車寬度為，，，，，，∴汽車能安全通過.【變式訓(xùn)練1】（2024·寧夏銀川·二模）如圖1是某旅游景點的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形．得出．，在中，，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，．∴四邊形為平行四邊形．（2）過點作于，∵四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．在中，，即，∴．答：雕塑的高為．【變式訓(xùn)練2】（2024·江西吉安·二模）現(xiàn)如今，許多鄉(xiāng)村、社區(qū)都安裝了健身器材．如圖1，這是健身器材中的騎馬機，它是一種利用曲軸連桿機構(gòu)原理，模擬人體在騎馬狀態(tài)下前后“字”立體搖擺，從而達到全身有氧運動的新型健身器材，其側(cè)面的簡圖如圖2所示，已知，，．(1)若．求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，，求點到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是平行四邊形、三線合一、等邊對等角【分析】（1）根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和得，，繼而得到，即可得證；（2）如圖，過點作于點，延長，交于點，在中，得到，在中，得到，繼而得到，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過點作于點，延長，交于點，∵，，∴，∵，∴，∴點到的距離為的長，∵，，∴在中，，∵，，，∴，∴在中，，∴，∴，∴點到的距離約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定，等腰三角形性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線的判定和性質(zhì)等知識點．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合例題：（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知，，M，N，P，Q四點分別是的中點（N，P兩點也分別在和上），底座，垂足為O，經(jīng)測量，，，．(1)求證：四邊形為菱形．(2)求折疊資料架的高（點A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)見解析(2)折疊資料架的高約為【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線段中點的定義可得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形可得四邊形為菱形，即可解答；（2）先利用線段中點的定義可得，然后根據(jù)題意可得：，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵M是的中點，，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形；（2）解：如圖：∵點Q是的中點，∴，由題意得：，，，在中，，∴，∴，∴折疊資料架的高約為．【變式訓(xùn)練1】（2024·吉林·二模）如圖1是汽車內(nèi)常備的千斤頂，圖2是它的平面示意圖，四邊形是菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變線段的長度，同時改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋袋c與點之間的距離）．經(jīng)測量，．(1)當(dāng)時，求的長（結(jié)果保留整數(shù)）．(2)從增加到時，這個千斤頂高度升高了______cm（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)的長約為(2)13【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】（1）連接，交于點O，根據(jù)四邊形是菱形，得到，根據(jù)，解答即可．（2）連接，交于點O，根據(jù)四邊形是菱形，當(dāng)?shù)玫?，根?jù)，當(dāng)?shù)玫?，根?jù)，解答即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）連接，交于點O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴．故千斤頂升高了，故答案為：13．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門口搭建如圖1所示的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長的立柱上下移動，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動滑塊使，求棚寬的長（精確到）．(2)在遮陽棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測溫門（門高），門的頂端應(yīng)與點持平或低于點，試問此時最大為多少度？【答案】(1)(2)的最大值為【知識點】用勾股定理解三角形、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根據(jù)，由此即可求解；（2）如圖所示，，過點作于點，根據(jù)三角函數(shù)的計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如圖所示，，過點作于點，

∴，∴，∴，∴，即的最大值為．【點睛】本題主要考查直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)的計算的綜合，掌握直角三角形與勾股定理，三角函數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉(zhuǎn)得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長交水平地面于點，連接．利用正切函數(shù)求得的長，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長交水平地面于點，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點到水平地面的距離約為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式訓(xùn)練1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂的長．卸貨時，貨廂繞點處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．點處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點處）的水平距離叫做安全軸距，測得該車的安全軸距為．貨廂對角線，的交點可視為貨廂的重心，測得．假設(shè)該車在水平地面上進行卸貨作業(yè)．(1)若，求點B到的距離；(2)卸貨時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆事故．若，該貨車會發(fā)生上述事故嗎？試說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該貨車不會發(fā)生事故，理由見解析【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線．（1）過點作，垂足為，在中，，求出，進而求出；（2）分別過點，作，，垂足分別為，，四邊形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比較即可作答．【詳解】（1）過點作，垂足為，如圖，則，在中，，，，，兩點在垂直方向上的距離為；（2）該貨車不會發(fā)生事故，理由如下：分別過點，作，，垂足分別為，，則，四邊形是矩形，，在中，，，在中，，，，在中，，，貨車不會發(fā)生事故．【變式訓(xùn)練2】（2024·四川瀘州·一模）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，與水平地面垂直．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉(zhuǎn)動，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，邊上一點到的距離為米，到地面的距離為1.2米，求點到地面的距離的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點到地面的距離的長為0.2米(2)轎車能駛?cè)胄^(qū)，見解析【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建直角三角形解題是關(guān)鍵；（1）過點作，垂足為，證明，在中，米，，再進一步可得答案；（2）當(dāng)，米時，可得，求解米，在中，求解米，再進一步可得答案．【詳解】（1）解：過點作，垂足為，

結(jié)合題意得：，，，在中，米，（米），米，（米），點到地面的距離的長為0.2米；（2）轎車能駛?cè)胄^(qū)理由：當(dāng)，米時∵，米（米），在中，（米），（米），轎車能駛?cè)胄^(qū)．類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合例題：（2024·山東煙臺·一模）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M.如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H.經(jīng)測量，點A距地面，到樹的距離，.求樹的高度.【答案】樹的高度約為【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，由題意可知，，，易知，可得，進而求得，利用即可求解，得到是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：樹的高度約為．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·江蘇揚州·期中）在測量旗桿高度的活動課上，某興趣小組自制了一個測高儀測量旗桿高度，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量旗桿高度的示意圖，測高儀上的點B、A與旗桿頂點P在一條直線上，鉛垂線交于點N．經(jīng)測量，點A距地面，到旗桿的距離．(1)若點N于點C重合，則旗桿的高度為________；(2)若．求旗桿的高度(結(jié)果精確到)．【答案】(1)(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用；（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠，得到，求得，于是得到結(jié)論；（2）由題意可知，，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，答：旗桿的高度為；故答案為：；（2）由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：旗桿的高度．【變式訓(xùn)練2】（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結(jié)論；（2）作于點M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點M，

在中，，，得

，．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合例題：（2023秋·山東威?！ぞ拍昙壣綎|省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面l的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．【答案】(1)車后蓋最高點到地面的距離為(2)沒有危險【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點，

在中，，，，，平行線間的距離處處相等，，答：車后蓋最高點到地面的距離為．（2）沒有危險，理由如下：如圖，過作，垂足為點，

，，，，，在中，，．平行線間的距離處處相等，到地面的距離為．，沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機，如圖，是訂書機的托板，壓柄繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點D固定，點E從A向B滑動，在滑動過程中，的長保持不變，已知．

(1)如圖1，當(dāng)，B、E之間的距離為，求連接桿的長度．(2)現(xiàn)將壓柄從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座垂直，如圖2所示，求在此過程中點E滑動的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點D作交與點P，在中，通過解直角三角形可求出的長度，在中，利用勾股定理可求出的長度；（2）在中，利用勾股定理可求出的長度，結(jié)合（1）中的長度即可求出答案．【詳解】（1）解：在圖1中，過點D作交與點P，

在中，，在中，，∴，即連接桿的長度為；（2）解：在中，，∴，∴在此過程中點E滑動的距離為，【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2023秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)當(dāng)懸臂與桌面平行時，=___________°(2)問懸臂端點到桌面的距離約為多少？(3)已知攝像頭點到桌面的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂與連桿的夾角的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）作出對應(yīng)的圖，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過作與交于，過作與交于，可推出四邊形為矩形，；在中解出，即可求解；（3）過作，，在中解出即可求解．【詳解】（1）解：如圖：當(dāng)懸臂與桌面平行時，作

，懸臂也與桌面平行∴故答案為：（2）解：過作與交于，過作與交于

∴四邊形為矩形∴，∵∴在中∵∴∴（3）解：過作，，

∴在中∴∵∴∴【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．壓軸能力測評（15題）一、單選題1．（2024·吉林長春·一模）如圖是一把遮陽傘的示意圖，遮陽傘立柱垂直于，垂足為點D，米．當(dāng)遮陽傘撐開至如圖所示的位置時，，則此時傘內(nèi)半徑的長度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴米故選：B．2．（2024·浙江·二模）圖1是某款籃球架，圖2是其部分示意圖，立柱垂直地面，支架與相交于點A，支架交于點G，米，米，，則立柱的高為（

）米A． B． C． D．【答案】A【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．先在中利用直角三角形的邊角間關(guān)系表示出，再利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：，．在中，，．．故選：A．二、填空題3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）長尾夾一般用來夾書或夾文件，因此也稱書夾．長尾夾的側(cè)面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一個長尾夾的側(cè)平面示意圖，已知．按壓該長尾夾的手柄，撐開后可得如圖2所示的側(cè)平面示意圖．測量得．求這時這個長尾夾可夾紙厚度為（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】如圖1，在，求得．如答圖2，在中，利用余弦函數(shù)求得，據(jù)此即可求解．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖1，作于點．∵，∴，．在，，∵，，∴．由題意可知：，．如答圖2，作于點，于點．在中，．∵，∴．同理可證：，∴．∵四邊形為矩形，∴．答案：這時這個長尾夾可夾紙厚度為．故答案為：4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入并水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）．為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了如圖2所示的實驗，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實驗的示意圖，四邊形為矩形，測得入射角，折射角，，則光斑移動的距離的長為．（用含，，的代數(shù)式表示）【答案】【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】延長交于，利用三角函數(shù)解答即可．本題考查了列代數(shù)式的知識，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：延長交于．，，，，．故答案為：三、解答題5．（23-24九年級下·四川綿陽·開學(xué)考試）某小區(qū)外面的一段長120米的街道上要開辟停車位，計劃每個停車位都是同樣的長方形且每個長方形的寬均為2.2米，如果長方形的較長的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）(1)如果長方形的邊與街道的邊緣成角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個停車位占用街道的長度各是多少？(2)如果按照圖2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？【答案】(1)2.2米，5.09米；(2)37輛【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長度；按圖2的方法停放，需要算出點A到路邊的距離；（2）在(1)的基礎(chǔ)上，只停1輛車時，需要的寬度，再求出每增加1輛車，增加的寬度，進而即可解答．【詳解】（1）解：按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長度即為長方形的寬，即2.2米；按圖2方法停放，如圖過點A作路沿于點B，過點D作于點C，由題意可得，車長（米），，，米，，∴，∴，∴（米），∵（米），∴（米），∴（米）答：按圖1停放，一個停車位占街道長2.2米，按圖2停放，一個停車位占街道長5.09米；（2）解：如圖，過點M作于點G，過點F作于點P，∴（米），（米），∴只停1輛車時，需要寬度（米），每增加1輛車，寬度增加（米），車位數(shù)為（輛），答：最多可停放37輛車．6．（2023·江蘇鹽城·一模）圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成，整個活頁門的右軸固定在門框上，通過推動左側(cè)活頁門開關(guān)；圖2是其俯視圖簡化示意圖，已知軌道，兩扇活頁門的寬，點B固定，當(dāng)點C在上左右運動時，與的長度不變．(1)若，求的長（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）；(2)當(dāng)點C從點A向右運動時，求點O在此過程中運動的路徑長（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：，?。敬鸢浮?1)的長約為；(2)點O在此過程中運動的路徑長約為．【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、求某點的弧形運動路徑長度【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，求弧長：（1）作于H，解直角三角形，求出的長，再利用線段的和差關(guān)系進行計算即可；（2）根據(jù)題意，點運動的路徑長為半徑為，圓心角為60度的弧長，利用等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，作于H，，，在中，，，，的長約為；（2），，，是等邊三角形，半徑為，圓心角為60度的弧長，點O在此過程中運動的路徑長約為．7．（2024·貴州畢節(jié)·三模）為建設(shè)美好公園休息區(qū)，增強民眾生活幸福感，如圖1，某公園服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于民眾休憩．在如圖2的側(cè)面示意圖中，遮陽篷靠墻端離地高度記為，遮陽篷AB長為6米，與水平面的夾角為．

(1)求點A到墻面的距離；(2)當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時，量得影長為米，求遮陽篷靠墻端離地的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點A到墻面的距離約為米(2)遮陽篷靠墻端的離地高度約為米【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線構(gòu)造直角三角形．（1）作，在中，根據(jù)三角函數(shù)，求出的長，即可求解，（2）作，依次求出，,的長，在中，根據(jù)三角函數(shù)，求出的長，即可求解，【詳解】（1）解：如圖，過點A作，垂足為F，

在中，米，，，∴（米），∴點A到墻面的距離約為米．（2）解：如圖，過點A作，垂足為G．∵，，∴四邊形是矩形，∴，米，∵米，∴（米），在中，，，∴（米），∴米，在中，米，，，∴（米），

∴（米）．故遮陽篷靠墻端的離地高度約為米．8．（22-23九年級·浙江寧波·自主招生）如圖1是可調(diào)節(jié)高度和桌面角度的電腦桌，它的左視圖可以抽象成如圖2所示的圖形，底座長為，支架垂直平分，桌面的中點固定在支架處，寬為．身高為的使用者站立處點與點，在同一條直線上，．點到點的距離是視線距離．(1)如圖，當(dāng)，時，求視線距離的長；(2)如圖，使用者坐下時，高度下降，當(dāng)桌面與的夾角為時，恰有視線，問需要將支架調(diào)整到多少？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)視線距離的長為；(2)需要將支架調(diào)整到．【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、用勾股定理解三角形【分析】（）連接，延長交于點，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，再由勾股定理即可求解；（）連接，延長交于點，由題意可得：，，，，再由余弦即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用及正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，連接，延長交于點，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴視線距離的長為；（2）如圖，連接，延長交于點，由題意可得：，，，，在中，，即，∴，∴，∴需要將支架調(diào)整到．9．（2023·浙江寧波·一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋础⒅g的距離）．經(jīng)測量，可在和之間發(fā)生變化（包含和），．(1)當(dāng)時，求此時的長；(2)當(dāng)從變?yōu)闀r，這個千斤頂升高了多少？（精確到，，，）【答案】(1)(2)【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定：（1）連接交于點E，由四邊形是菱形得到，當(dāng)時，，由得到是等邊三角形，則；（2）當(dāng)時，在中，，則，則，當(dāng)時，中，則可得到，得到，即可得到答案【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點E，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)時，，∴是等邊三角形，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，當(dāng)時，在中，，∴，∴，∴，當(dāng)時，在中，，∴，∴∴這個千斤頂升高了，答：這個千斤頂升高了．10．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測量，，，．（結(jié)果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)“大碗”的口徑的長為；(2)“大碗”的高度的長為．【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）證明四邊形是矩形，利用，代入數(shù)據(jù)計算即可求解；（2）延長交于點，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，求得的長，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，答：“大碗”的口徑的長為；（2）解：延長交于點，如圖，∵矩形碗底，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，答：“大碗”的高度的長為．11．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖1是一款訂書機，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形由支撐桿垂直固定于底座上，其中，，壓桿，，使用過程中矩形可以繞點E旋轉(zhuǎn)．(1)訂書機不使用時，如圖2，，求壓桿端點到底座的距離；(2)使用過程中，當(dāng)點落在底座上時，如圖3，測得，求壓桿端點到底座的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到）【答案】(1)壓桿端點到底座的距離為(2)即壓桿端點到底座的高度為【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）過點作于點，延長交于點，根據(jù)題意可得，由，四邊形是矩形，，可得，進而得到，然后根據(jù)，求出，最后根據(jù)，即可求解；（2）過點作于點，過點作于點，過點作于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，可推出，然后求出，結(jié)合進而得到，，可得，推出，，根據(jù)周角求出，進而根據(jù)三角函數(shù)求出，最后根據(jù)線段的和差即可求解．【詳解】（1）解：如圖2，過點作于點，延長交于點，，，四邊形是矩形，，，，，，，又，，，，即壓桿端點到底座的距離為；（2）如圖3，過點作于點，過點作于點，過點作于點，四邊形是矩形，，，，，，，又，，，，，，，，，，，即壓桿端點到底座的高度為．12．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座固定，，且，連桿長度為，機械臂長度為．