數(shù)學(xué)?？級狠S題華師版九年級專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法含答案及解析

專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會有兩個(gè)三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，D是上的點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，中，是上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，，求、的長．【變式訓(xùn)練2】（3-24九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）（1）如圖①，在中，，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖②，在中，，點(diǎn)D為邊上的點(diǎn)，于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F，若，求和的值；（3）在中，，點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），直線于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F，若，請直接寫出的所有可能的值（用含n的式子表示）．類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)例題：【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）【感知】如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應(yīng)用】如圖3，在中，，．點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)，作，與邊交于點(diǎn)E．（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的長【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．①求證：．②若，，E為AB的中點(diǎn)，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為多少？

壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試）已知，如圖，在中，．點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且．則長為．二、解答題2．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．3．（2024·山東濟(jì)南·三模）（1）如圖1，與，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，，則，（2）如圖2，在（1）的條件下，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接，，的值是否發(fā)生改變?若不變請給出證明，若改變請求出新的比值．（3）拓展：如圖3，矩形，E為線段上一點(diǎn)，以為邊，在其右側(cè)作矩形，且，，連接，，直接寫出的最小值．4．（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，若，，求的值．5．（23-24八年級下·山東東營·階段練習(xí)）（1）問題：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究：若將角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，則的長．6．（23-24八年級下·山東青島·期末）已知點(diǎn)為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：(1)如圖，若和均為等邊三角形，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(3)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(4)在（）的條件下，當(dāng)，，點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，__________．7．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，，分別過A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為E、F，，，，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E、F、M分別在上，，，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．（3）如圖3，在中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，若，求的長度．8．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．9．（2024·廣西南寧·二模）綜合與實(shí)踐【問題情境】在《綜合與實(shí)踐專題》課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）【數(shù)學(xué)思考】（1）當(dāng)時(shí)，延長DE交AC于點(diǎn)G，求證：四邊形BCGE是正方形；【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作交BE的延長線于點(diǎn)M，BM與AC交于點(diǎn)N，則有請你予以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，若，，求AH的長．請你思考此問題，并寫出求解過程．10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們展開了新的探究．(1)【問題初探】如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上，交于點(diǎn)E．繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），連接，，得到和，如圖2，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們發(fā)現(xiàn)．請你幫助他們證明這一發(fā)現(xiàn)．(2)【問題應(yīng)用】如圖3，中，，，，M，N分別為邊與的中點(diǎn)．繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，直線與直線交于點(diǎn)G．①如圖4，當(dāng)點(diǎn)E落在線段AF上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，直接寫出的長．(3)【問題拓展】如圖5，在（2）條件下，連接，取中點(diǎn)K，取中點(diǎn)H，請直接寫出的最大值為___________．

專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會有兩個(gè)三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，D是上的點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、重心的性質(zhì)，（1）證明，可得，可證，可得，即可得證；（2）利用重心的性質(zhì)可得，，由可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵E是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，中，是上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，，求、的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得結(jié)論；（2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，∴；（2）解：∵，，，．，，，．【變式訓(xùn)練2】（3-24九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）（1）如圖①，在中，，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖②，在中，，點(diǎn)D為邊上的點(diǎn)，于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F，若，求和的值；（3）在中，，點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），直線于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F，若，請直接寫出的所有可能的值（用含n的式子表示）．【答案】（1）見解析；（2），；（3）滿足條件的的所有可能的值為或或【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識．（1）根據(jù)題意可證，從而可得即；（2）過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)G，可得，結(jié)合可得，從而可知，同理（1）可得，，即可變換為，，最后根據(jù)，即可得出；（3）同理（2）考慮點(diǎn)D在線段上時(shí)、D在線段的延長線上時(shí)、點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)三種情況即可．【詳解】解：（1）證明：如圖①，，，，又，，，．（2）解：方法一：如圖②，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)G，，，．，，，又，，．同理（1）可得：，，，，．，．方法二：如圖③，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，，，．，，．同理（1）可得：，，，，，．（3）解：點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），有三種情況：（I）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖④所示：過點(diǎn)D作，交邊于點(diǎn)G．，，，．，，，，．同理（1）可得：，，；，，即，化簡得：；（II）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，如圖⑤所示：過點(diǎn)D作，交邊的延長線于點(diǎn)G．同理可求得：；（III）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，如圖⑥所示：過點(diǎn)D作，交邊的延長線于點(diǎn)G．同理可求得：．即滿足條件的的所有可能的值為或或．類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)例題：【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①，證明見解析；②；（3）度，，理由見解析．【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)等知識．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）①由“SAS”可證，可得；②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題．（3）結(jié)論：，．證明，可得，，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：∵和均為等邊三角形，∴，，∴，故答案為：；（2）如圖2中，

∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，設(shè)交于點(diǎn)．∵，∴，∴，故答案為：；（3）結(jié)論：，．理由：∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．【變式訓(xùn)練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）【分析】（1）證明，則；（2）證明，則，，證明，則，，由，可得，即；（3）如圖,過點(diǎn)C作，在上取點(diǎn)E使，連接．由（2）知：，則，，由勾股定理得，，則，即最大值為，進(jìn)而可求的最大值．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，∴，∴；（2）解：，證明如下：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即；（3）解：如圖,過點(diǎn)C作，在上取點(diǎn)E使，連接．

由（2）知：，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴最大值為，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識．熟練掌握了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、直角邊與斜邊的關(guān)系可證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比等于相似比即可解答；（3）根據(jù)、，可證，可得，在中，求出，在中，求出，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵和都是等邊三角形，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，即．（2）∵和是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)A的等腰直角三角形，，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．（3）∵，，∴，∴，即，∴，設(shè)，在中，，同理，在中，設(shè)，則，∴，，即，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）【感知】如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應(yīng)用】如圖3，在中，，．點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)，作，與邊交于點(diǎn)E．（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的長【答案】（1）見解析（2）或（3）4或．【分析】（1）證明即可．（2）根據(jù)，得，設(shè)，則，代入比例式，解答即可．（3）根據(jù)，得到，結(jié)合，得，證明，再對是等腰三角形進(jìn)行分類計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，設(shè)，則，∴，整理得，解得，∴或．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，設(shè)，則，∵是等腰三角形，且，故只有兩種情形解答，具體如下：當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)前面證明，得，∴，∴，解得，∴；綜上所述，的長為4或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的分類，分類思想，一元二次方程的解法，熟練掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．①求證：．②若，，E為AB的中點(diǎn)，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為多少？

【答案】（1）①見解析；②;（2）或【分析】本題考查了相似三角形的常見模型-“一線三等角”，熟悉相關(guān)模型的構(gòu)成及求證是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)可得即可求證；②根據(jù)可得，即可求解；（2）證得，分類討論，，兩種情況即可求解；【詳解】（1）①證明：由題意得：∴∴∴②解：∵，∴∵E為AB的中點(diǎn)，∴∴∴（2）解：∵，，∴∵∴∴∴∴∵，，∴∵為等腰三角形且∴若，則；若，則，∴；綜上所述：或壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試）已知，如圖，在中，．點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且．則長為．【答案】6【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，結(jié)合，即可判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴（負(fù)值已舍），∵，∴，∴，故答案為：6．二、解答題2．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）由是的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)在上時(shí)，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時(shí)，，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．【詳解】（1）解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）①在上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時(shí)，，，，即是邊上的高，當(dāng)時(shí)，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點(diǎn)”不可能在邊上，③在邊上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，，又，，，即，，綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．3．（2024·山東濟(jì)南·三模）（1）如圖1，與，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，，則，（2）如圖2，在（1）的條件下，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接，，的值是否發(fā)生改變?若不變請給出證明，若改變請求出新的比值．（3）拓展：如圖3，矩形，E為線段上一點(diǎn)，以為邊，在其右側(cè)作矩形，且，，連接，，直接寫出的最小值．【答案】（1），；（2）的值沒有發(fā)生變化，證明見解析；（3）【分析】（1）由題意得，得到，又由得到，令，則可以表示出的長，再再求出，，的長，在進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理計(jì)算出的長，從而得到，由旋轉(zhuǎn)可知，從而得到，即可得到的值；（3）連接，作，連接，延長交的延長線于，過作，交的延長線于，通過，可求出，作平行四邊形，是關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，交于，從而得到，再通過，即可求得，從而可得到的長，再由勾股定理求出的長，最終可求出的最小值．【詳解】解：（1），，∴，，，設(shè)，則，，，，，，∵，∴，∵，故答案為：，；（2）的值沒有發(fā)生變化，證明：由（1）得：，，令，則由題意得：，，，，，，，，，，的值沒有發(fā)生變化；（3）解：，，，如圖4，連接，作，連接，延長交的延長線于，過作，交的延長線于，，，，，，作平行四邊形，是關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，交于，，，，，，，，，，，，，，的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定與勾股定理解三角形，熟練掌握并運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)與判定，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵，此題難度較大，屬于壓軸題．4．（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，若，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，證明；（2）過點(diǎn)B作交的延長線于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明結(jié)論；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖①，過點(diǎn)B作交的延長線于H，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：在中，，，，則，，設(shè)，則，在中，，則，∵，，∴，∴，即，解得：(舍去)，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判斷定理是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·山東東營·階段練習(xí)）（1）問題：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究：若將角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，則的長．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）4【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明相似是解題的關(guān)鍵．（1）由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）證明，得出，根據(jù)是等腰直角三角形，得出，根據(jù)，求出即可．【詳解】解：（1）證明：，，，，，又，，，；（2）結(jié)論仍成立；理由如下：，又，，，，又，，，；（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，．6．（23-24八年級下·山東青島·期末）已知點(diǎn)為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：(1)如圖，若和均為等邊三角形，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(3)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(4)在（）的條件下，當(dāng)，，點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，__________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（）由和均為等邊三角形，可得，，，故，即得，從而；（）由，，可得，，故，即得，從而，；（）由，，可得，，故，有，從而；（）根據(jù)在同一直線上，可得，故，由（），可得．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為:；（3）∵，，∴，都是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（4）∵在同一直線上，∴，∵，，∴，由（）知，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用．7．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，，分別過A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為E、F，，，，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E、F、M分別在上，，，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．（3）如圖3，在中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，若，求的長度．【答案】（1），（2）；（3），【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)一線三垂直模型容易證明，進(jìn)而由相似三角形性質(zhì)即可求解；（2）過點(diǎn)作垂足為H，根據(jù)（1）可知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)結(jié)合已知求出，，，，再由四邊形的面積=矩形的面積即可求解；（3）延長到點(diǎn)P使，連接，過點(diǎn)C作，利用等腰三角形三線合一和解三角形求出，再證明，得即可求解．【詳解】解：（1）∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，故答案為，（2）如圖，過點(diǎn)作垂足為H，同理（1）得：，∴，∵在矩形中，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即：，∴，解得：，∴，，，∵四邊形的面積=矩形的面積，∴四邊形的面積=．（3）延長到點(diǎn)P使，連接，過點(diǎn)C作，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，∵且，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，（不合題意舍去）∴【點(diǎn)睛】本題涉及了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、矩形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解三角形等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是根據(jù)一線三等角模型構(gòu)造和證明三角形相似．8．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)得到，求出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)角平分線的特點(diǎn)，在上截取，連接，構(gòu)造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：（1）平分，，，，，，，平分；（2），，，，，，，，；（3）在上截取，連接，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2024·廣西南寧·二模）綜合與實(shí)踐【問題情境】在《綜合與實(shí)踐專題》課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）【數(shù)學(xué)思考】（1）當(dāng)時(shí)，延長DE交AC于點(diǎn)G，求證：四邊形BCGE是正方形；【深入探究】