數(shù)學?？級狠S題華師版九年級專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法含答案及解析

專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，D是上的點，E是上一點，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【變式訓練1】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，中，是上一點，，為上一點．(1)求證：；(2)若，，，，求、的長．【變式訓練2】（3-24九年級上·福建莆田·階段練習）（1）如圖①，在中，，于點D．求證：；（2）如圖②，在中，，點D為邊上的點，于點E，延長交于點F，若，求和的值；（3）在中，，點D為直線上的動點（點D不與B，C重合），直線于點E，交直線于點F，若，請直接寫出的所有可能的值（用含n的式子表示）．類型二、“手拉手”模型(旋轉模型)例題：【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數(shù)量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關系，并說明理由．【變式訓練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【變式訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和是兩個有公共頂點A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個有公共頂點A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個有公共頂點A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時與的數(shù)量關系．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內蒙古通遼·模擬預測）【感知】如圖1，在四邊形中，點P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點P在邊上（點P不與點A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應用】如圖3，在中，，．點P在邊上（點P不與點A、B重合），連結，作，與邊交于點E．（3）當是等腰三角形時，直接寫出的長【變式訓練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點，連結過點E作交于點F．①求證：．②若，，E為AB的中點，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點（點不與點A、B重合），連結CE，過點E作交于點F，當為等腰三角形時，的長為多少？

壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·四川成都·開學考試）已知，如圖，在中，．點D在邊上，點E為的中點，且．則長為．二、解答題2．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．3．（2024·山東濟南·三模）（1）如圖1，與，點D在上，點E在上，，，則，（2）如圖2，在（1）的條件下，繞點A逆時針旋轉一定角度，連接，，的值是否發(fā)生改變?若不變請給出證明，若改變請求出新的比值．（3）拓展：如圖3，矩形，E為線段上一點，以為邊，在其右側作矩形，且，，連接，，直接寫出的最小值．4．（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖①，在中，，，點為邊上的一點，連接，過點作于點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，若，，求的值．5．（23-24八年級下·山東東營·階段練習）（1）問題：如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．（2）探究：若將角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？請說明理由．（3）應用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，則的長．6．（23-24八年級下·山東青島·期末）已知點為和的公共頂點，將繞點順時針旋轉，連接，，請完成如下問題：(1)如圖，若和均為等邊三角形，線段與線段的數(shù)量關系是__________；(2)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關系為__________；(3)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關系為__________；(4)在（）的條件下，當，，點，，在同一直線上時，__________．7．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習）（1）如圖1，，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為E、F，，，，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形中，，，點E、F、M分別在上，，，當時，求四邊形的面積．（3）如圖3，在中，，，，點E、F分別在邊上，且，若，求的長度．8．（2023·湖南懷化·模擬預測）【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連接交于點G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．9．（2024·廣西南寧·二模）綜合與實踐【問題情境】在《綜合與實踐專題》課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）【數(shù)學思考】（1）當時，延長DE交AC于點G，求證：四邊形BCGE是正方形；【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在內部，并讓同學們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點A作交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N，則有請你予以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點A作于點H，若，，求AH的長．請你思考此問題，并寫出求解過程．10．（2024·遼寧·模擬預測）在學習完《圖形的旋轉》后，數(shù)學小組的同學們展開了新的探究．(1)【問題初探】如圖1，在中，點D在邊上，交于點E．繞點A逆時針旋轉得到（點D的對應點為點，點E的對應點為點），連接，，得到和，如圖2，數(shù)學小組的同學們發(fā)現(xiàn)．請你幫助他們證明這一發(fā)現(xiàn)．(2)【問題應用】如圖3，中，，，，M，N分別為邊與的中點．繞點C旋轉，點M的對應點為點E，點N的對應點為點F，直線與直線交于點G．①如圖4，當點E落在線段AF上時，求證：；②當點A，E，F(xiàn)三點在同一條直線上時，直接寫出的長．(3)【問題拓展】如圖5，在（2）條件下，連接，取中點K，取中點H，請直接寫出的最大值為___________．

專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24九年級上·上海·期中）如圖，在中，D是上的點，E是上一點，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的性質與判定、重心的性質，（1）證明，可得，可證，可得，即可得證；（2）利用重心的性質可得，，由可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵E是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【變式訓練1】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，中，是上一點，，為上一點．(1)求證：；(2)若，，，，求、的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得結論；（2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解．本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是本題的關鍵．【詳解】（1）證明：，，∴；（2）解：∵，，，．，，，．【變式訓練2】（3-24九年級上·福建莆田·階段練習）（1）如圖①，在中，，于點D．求證：；（2）如圖②，在中，，點D為邊上的點，于點E，延長交于點F，若，求和的值；（3）在中，，點D為直線上的動點（點D不與B，C重合），直線于點E，交直線于點F，若，請直接寫出的所有可能的值（用含n的式子表示）．【答案】（1）見解析；（2），；（3）滿足條件的的所有可能的值為或或【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，平行線的性質與判定，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．（1）根據(jù)題意可證，從而可得即；（2）過點C作交的延長線于點G，可得，結合可得，從而可知，同理（1）可得，，即可變換為，，最后根據(jù)，即可得出；（3）同理（2）考慮點D在線段上時、D在線段的延長線上時、點D在線段的延長線上時三種情況即可．【詳解】解：（1）證明：如圖①，，，，又，，，．（2）解：方法一：如圖②，過點C作交的延長線于點G，，，．，，，又，，．同理（1）可得：，，，，．，．方法二：如圖③，過點D作，交于點G，，，．，，．同理（1）可得：，，，，，．（3）解：點D為直線上的動點（點D不與B、C重合），有三種情況：（I）當點D在線段上時，如圖④所示：過點D作，交邊于點G．，，，．，，，，．同理（1）可得：，，；，，即，化簡得：；（II）當點D在線段的延長線上時，如圖⑤所示：過點D作，交邊的延長線于點G．同理可求得：；（III）當點D在線段的延長線上時，如圖⑥所示：過點D作，交邊的延長線于點G．同理可求得：．即滿足條件的的所有可能的值為或或．類型二、“手拉手”模型(旋轉模型)例題：【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數(shù)量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①，證明見解析；②；（3）度，，理由見解析．【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定以及性質，相似三角形的判定以及性質等知識．（1）由等邊三角形的性質可求解；（2）①由“SAS”可證，可得；②由全等三角形的性質可得，即可解決問題．（3）結論：，．證明，可得，，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：∵和均為等邊三角形，∴，，∴，故答案為：；（2）如圖2中，

∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，設交于點．∵，∴，∴，故答案為：；（3）結論：，．理由：∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．【變式訓練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）【分析】（1）證明，則；（2）證明，則，，證明，則，，由，可得，即；（3）如圖,過點C作，在上取點E使，連接．由（2）知：，則，，由勾股定理得，，則，即最大值為，進而可求的最大值．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，∴，∴；（2）解：，證明如下：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即；（3）解：如圖,過點C作，在上取點E使，連接．

由（2）知：，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴最大值為，∴的最大值為．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系等知識．熟練掌握了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系是解題的關鍵．【變式訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和是兩個有公共頂點A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個有公共頂點A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個有公共頂點A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時與的數(shù)量關系．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，證明，再根據(jù)全等三角形的性質即可解答即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質、直角邊與斜邊的關系可證明，再根據(jù)相似三角形的性質對應邊的比等于相似比即可解答；（3）根據(jù)、，可證，可得，在中，求出，在中，求出，再證，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：（1）∵和都是等邊三角形，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，即．（2）∵和是兩個有公共頂點A的等腰直角三角形，，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．（3）∵，，∴，∴，即，∴，設，在中，，同理，在中，設，則，∴，，即，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查等邊三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識點，掌握三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內蒙古通遼·模擬預測）【感知】如圖1，在四邊形中，點P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點P在邊上（點P不與點A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應用】如圖3，在中，，．點P在邊上（點P不與點A、B重合），連結，作，與邊交于點E．（3）當是等腰三角形時，直接寫出的長【答案】（1）見解析（2）或（3）4或．【分析】（1）證明即可．（2）根據(jù)，得，設，則，代入比例式，解答即可．（3）根據(jù)，得到，結合，得，證明，再對是等腰三角形進行分類計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，設，則，∴，整理得，解得，∴或．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，設，則，∵是等腰三角形，且，故只有兩種情形解答，具體如下：當時，∴，∴，∴；當時，則，∴，∴，設，則，根據(jù)前面證明，得，∴，∴，解得，∴；綜上所述，的長為4或．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質，等腰三角形的分類，分類思想，一元二次方程的解法，熟練掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性質是解題的關鍵．【變式訓練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點，連結過點E作交于點F．①求證：．②若，，E為AB的中點，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點（點不與點A、B重合），連結CE，過點E作交于點F，當為等腰三角形時，的長為多少？

【答案】（1）①見解析；②;（2）或【分析】本題考查了相似三角形的常見模型-“一線三等角”，熟悉相關模型的構成及求證是解題關鍵．（1）①根據(jù)可得即可求證；②根據(jù)可得，即可求解；（2）證得，分類討論，，兩種情況即可求解；【詳解】（1）①證明：由題意得：∴∴∴②解：∵，∴∵E為AB的中點，∴∴∴（2）解：∵，，∴∵∴∴∴∴∵，，∴∵為等腰三角形且∴若，則；若，則，∴；綜上所述：或壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·四川成都·開學考試）已知，如圖，在中，．點D在邊上，點E為的中點，且．則長為．【答案】6【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據(jù)相似三角形的性質得出，，結合，即可判定，根據(jù)相似三角形的性質得到，進而求出即可．【詳解】解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，點E為的中點，∴，∴，∴（負值已舍），∵，∴，∴，故答案為：6．二、解答題2．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當在上時，，對應邊成比例即可求長度；不可能在上．【詳解】（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當時，，，，即是邊上的高，當時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解“理想點”的定義．3．（2024·山東濟南·三模）（1）如圖1，與，點D在上，點E在上，，，則，（2）如圖2，在（1）的條件下，繞點A逆時針旋轉一定角度，連接，，的值是否發(fā)生改變?若不變請給出證明，若改變請求出新的比值．（3）拓展：如圖3，矩形，E為線段上一點，以為邊，在其右側作矩形，且，，連接，，直接寫出的最小值．【答案】（1），；（2）的值沒有發(fā)生變化，證明見解析；（3）【分析】（1）由題意得，得到，又由得到，令，則可以表示出的長，再再求出，，的長，在進行計算即可得到答案；（2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理計算出的長，從而得到，由旋轉可知，從而得到，即可得到的值；（3）連接，作，連接，延長交的延長線于，過作，交的延長線于，通過，可求出，作平行四邊形，是關于的對稱點，連接、，交于，從而得到，再通過，即可求得，從而可得到的長，再由勾股定理求出的長，最終可求出的最小值．【詳解】解：（1），，∴，，，設，則，，，，，，∵，∴，∵，故答案為：，；（2）的值沒有發(fā)生變化，證明：由（1）得：，，令，則由題意得：，，，，，，，，，，的值沒有發(fā)生變化；（3）解：，，，如圖4，連接，作，連接，延長交的延長線于，過作，交的延長線于，，，，，，作平行四邊形，是關于的對稱點，連接、，交于，，，，，，，，，，，，，，的最小值為：．【點睛】本題考查了三角形相似的性質與判定與勾股定理解三角形，熟練掌握并運用三角形相似的性質與判定，正確地作出輔助線是解題的關鍵，此題難度較大，屬于壓軸題．4．（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖①，在中，，，點為邊上的一點，連接，過點作于點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，若，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，證明；（2）過點B作交的延長線于H，根據(jù)相似三角形的性質得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質得到，進而證明結論；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質求出CD，根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式，計算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖①，過點B作交的延長線于H，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：在中，，，，則，，設，則，在中，，則，∵，，∴，∴，即，解得：(舍去)，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判斷定理是解題的關鍵．5．（23-24八年級下·山東東營·階段練習）（1）問題：如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．（2）探究：若將角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？請說明理由．（3）應用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，則的長．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）4【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形外角的性質，證明相似是解題的關鍵．（1）由可得，即可證到，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（2）由可得，即可證到，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（3）證明，得出，根據(jù)是等腰直角三角形，得出，根據(jù)，求出即可．【詳解】解：（1）證明：，，，，，又，，，；（2）結論仍成立；理由如下：，又，，，，又，，，；（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，．6．（23-24八年級下·山東青島·期末）已知點為和的公共頂點，將繞點順時針旋轉，連接，，請完成如下問題：(1)如圖，若和均為等邊三角形，線段與線段的數(shù)量關系是__________；(2)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關系為__________；(3)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關系為__________；(4)在（）的條件下，當，，點，，在同一直線上時，__________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（）由和均為等邊三角形，可得，，，故，即得，從而；（）由，，可得，，故，即得，從而，；（）由，，可得，，故，有，從而；（）根據(jù)在同一直線上，可得，故，由（），可得．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為:；（3）∵，，∴，都是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（4）∵在同一直線上，∴，∵，，∴，由（）知，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形判定與性質，相似三角形判定與性質，勾股定理及應用，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．7．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習）（1）如圖1，，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為E、F，，，，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形中，，，點E、F、M分別在上，，，當時，求四邊形的面積．（3）如圖3，在中，，，，點E、F分別在邊上，且，若，求的長度．【答案】（1），（2）；（3），【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質．（1）根據(jù)一線三垂直模型容易證明，進而由相似三角形性質即可求解；（2）過點作垂足為H，根據(jù)（1）可知，根據(jù)相似三角形性質結合已知求出，，，，再由四邊形的面積=矩形的面積即可求解；（3）延長到點P使，連接，過點C作，利用等腰三角形三線合一和解三角形求出，再證明，得即可求解．【詳解】解：（1）∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，故答案為，（2）如圖，過點作垂足為H，同理（1）得：，∴，∵在矩形中，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即：，∴，解得：，∴，，，∵四邊形的面積=矩形的面積，∴四邊形的面積=．（3）延長到點P使，連接，過點C作，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，∵且，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，（不合題意舍去）∴【點睛】本題涉及了相似三角形的判定和性質、解直角三角形、矩形的性質和判定、等腰三角形的判定和性質、勾股定理解三角形等知識點，解題關鍵是根據(jù)一線三等角模型構造和證明三角形相似．8．（2023·湖南懷化·模擬預測）【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連接交于點G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)得到，求出，即可證明結論；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質進行求解即可；（3）根據(jù)角平分線的特點，在上截取，連接，構造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性質即可得到答案．【詳解】解：（1）平分，，，，，，，平分；（2），，，，，，，，；（3）在上截取，連接，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，添加輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．9．（2024·廣西南寧·二模）綜合與實踐【問題情境】在《綜合與實踐專題》課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）【數(shù)學思考】（1）當時，延長DE交AC于點G，求證：四邊形BCGE是正方形；【深入探究】