高中數(shù)學復習專題05概率與統(tǒng)計綜合問題（原卷版）

《數(shù)學（文）概率統(tǒng)計二輪專項提升》專題05概率與統(tǒng)計綜合問題高考題型特點：這部分屬于高考必考內(nèi)容，一般以大題形式出現(xiàn)，是以統(tǒng)計材料為情景的概率綜合問題。難度中等偏上。重難點：試題以現(xiàn)實生活中常見問題為背景，精心編制與設問，不僅考查了考生運用所學的統(tǒng)計與概率知識和方法解決問題的能力，而且使考生領會統(tǒng)計與概率思想方法在現(xiàn)實生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領域的應用，形成自覺應用數(shù)學知識指導社會實踐的意識，提高解決問題的能力.三、易錯注意點：1.從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中分析題意；2.理解概率的本質(zhì)；3.分清概率與頻率四、典型例題：例1（2018天津）已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用，，，，，，表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；(ii)設為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件發(fā)生的概率．例2．(2017山東)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家，，和3個歐洲國家，，中選擇2個國家去旅游．(Ⅰ)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(Ⅱ)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括但不包括的概率．例3.（2016年全國II卷）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234頻數(shù)605030302010(Ⅰ)記為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”。求的估計值；(Ⅱ)記為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求的估計值；（III）求續(xù)保人本年度的平均保費估計值.例4.（2015北京）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（Ⅱ）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；（Ⅲ）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？五、強化提升訓練：1.(2019·豫北名校調(diào)研)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)的概率．2．(2019·石家莊調(diào)研)某出租車公司響應國家節(jié)能減排的號召，已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運營車輛．目前我國主流純電動汽車按續(xù)航里程數(shù)R(單位：千米)分為3類，即A類：80≤R＜150，B類：150≤R＜250，C類：R≥250.該公司對這140輛車的行駛總里程進行統(tǒng)計，結果如下表：類型A類B類C類已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù)104030已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù)202020(1)從這140輛汽車中任取一輛，求該車行駛總里程超過10萬千米的概率；(2)公司為了了解這些車的工作狀況，決定抽取14輛車進行車況分析，按表中描述的六種情況進行分層抽樣，設從C類車中抽取了n輛車．①求n的值；②如果從這n輛車中隨機選取兩輛車，求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率．3．某校為了了解A，B兩班學生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名學生進行調(diào)查，將他們觀看的時長(單位：小時)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)．(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學生平均觀看的時間較長；(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率．4．(2019·江西九校聯(lián)考)某校為了解學生對正在進行的一項教學改革的態(tài)度，從500名高一學生和400名高二學生中按分層抽樣的方式抽取了45名學生進行問卷調(diào)查，結果可以分成以下三類：支持、反對、無所謂，調(diào)查結果統(tǒng)計如下：支持無所謂反對高一年級18x2高二年級106y(1)①求出表中的x，y的值；②從反對的同學中隨機選取2人進一步了解情況，求恰好高一、高二各1人的概率；(2)根據(jù)表格統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為持支持態(tài)度與就讀年級有關(不支持包括無所謂和反對)．高一年級高二年級總計支持不支持總計附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.6355．NBA球員的比賽得分是反映球員能力和水平的重要數(shù)據(jù)之一，以下是2017～2018賽季NBA常規(guī)賽中，球員J和H在某15場常規(guī)賽中，每場比賽得分的莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖估計球員J在本賽季的場均得分以及球員H在本賽季參加的75場常規(guī)賽中，得分超過32分的場數(shù)；(2)效率值是更能反映球員能力和水平的一項指標，現(xiàn)統(tǒng)計了球員J在上述15場比賽中部分場次的得分與效率值如下表：場次12345得分x1821273031效率值y1920.526.528.830.2若球員J每場比賽的效率值y與得分x具有線性相關關系，試用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并由此估計在上述15場比賽中，球員J的效率值超過31的場數(shù)(精確到0.001)．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝3288.2，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3355.6．2018年非洲豬瘟在東北三省出現(xiàn)，為了進行防控，某地生物醫(yī)藥公司派出技術人員對當?shù)丶住⒁覂蓚€養(yǎng)殖場提供技術服務，方案和收費標準如下：方案一，公司每天收取養(yǎng)殖場技術服務費40元，對于需要用藥的每頭豬收取藥費2元，不需要用藥的不收費；方案二，公司每天收取養(yǎng)殖場技術服務費120元，若需要用藥的豬不超過45頭，不另外收費，若需要用藥的豬超過45頭，超過部分每頭收取藥費8元．(1)設日收費為y(單位：元)，每天需要用藥的豬的數(shù)量為n(單位：頭)，n∈N，試寫出兩種方案中y與n的函數(shù)關系式；(2)若該生物醫(yī)藥公司從10月1日起對甲養(yǎng)殖場提供技術服務，10月31日該養(yǎng)殖場對其中一個豬舍9月份和10月份豬的發(fā)病數(shù)量進行了統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表．9月份10月份合計未發(fā)病4085125發(fā)病652085合計105105210根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認為豬未發(fā)病與該生物醫(yī)藥公司提供技術服務有關．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828(3)當?shù)氐谋B(yǎng)殖場對過去100天豬的發(fā)病情況進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖．依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從節(jié)約養(yǎng)殖成本的角度去考慮，若丙養(yǎng)殖場計劃結合以往經(jīng)驗從兩個方案中選擇一個，那么選擇哪個方案更合適，并說明理由．7.2019年，在慶祝中華人民共和國成立70周年之際，又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為口號的第七屆世界軍人運動會(以下簡稱“軍運會”)．據(jù)悉，這次軍運會將于2019年10月18日至27日在美麗的江城武漢舉行，屆時將有來自100多個國家的近萬名軍人運動員參賽．相對于奧運會、亞運會等大型綜合賽事，軍運會或許對很多人來說還很陌生，所以武漢某高校為了在學生中更廣泛地推介普及軍運會相關知識內(nèi)容，特在網(wǎng)絡上組織了一次“我所知曉的武漢軍運會”知識問答比賽．為便于對答卷進行對比研究，組委會抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他們的成績(單位：分)頻率分布直方圖如下：(注：答卷滿分為100分，成績≥80的答卷為“優(yōu)秀”等級)(1)從現(xiàn)有1000名男生和1000名女生的答卷中各取一份，分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率；(2)求下面列聯(lián)表中a，b，c，d的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“答卷成績?yōu)椤畠?yōu)秀’等級與性別有關”？男女總計優(yōu)秀aba＋b非優(yōu)秀cdc＋d總計100010002000(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖，對他們的成績的優(yōu)劣進行比較．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.6358．(2018·洛陽模擬)霧霾天氣對人體健康有傷害，應對霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務是控制PM2.5，要從壓減燃煤、嚴格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點領域，嚴格指標考核．某省環(huán)保部門為加強環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，認真進行責任追究，派遣四個不同的專家組對A，B，C三座城市進行治霾落實情況檢查．(1)若每個專家組隨機選取一個城市進行檢查，四個專家組選取的城市可以相同，也可以不同，且每一個城市必須有專家組選取，求A城市恰有兩個專家組選取的概率；(2)在檢查的過程中專家組從A城市的居民中隨機抽取出400人進行是否戶外作業(yè)人員與是否患有呼吸道疾病進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下：分類患呼吸道疾病