高中數(shù)學復習專題03 概率與統(tǒng)計（理）（原卷版）

專題三概率與統(tǒng)計（理）【考生存在問題報告】（一）讀圖識圖能力弱學生面對一堆數(shù)據(jù)無從下手，主要原因是對數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象和積累儲備的知識經(jīng)驗不夠；沒有形成“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計觀念；對抽象數(shù)據(jù)的數(shù)字特征理解不到位．【例1】（2020·湖北荊州中學高三期末）為考察A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到等高條形圖如圖所示，根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（）A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果 B．藥物A、B對該疾病均沒有預防效果C．藥物A、B對該疾病均有顯著的預防效果 D．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果【評析】試題設計的實際背景源于生活，考生比較熟悉，試題表征是通過給出一種高中課本沒有介紹的新的統(tǒng)計圖——等高條形圖，要求考生讀懂統(tǒng)計圖的內(nèi)容．通過這樣的設計要求考生讀圖、識圖，對表征進行分析，從而得出結(jié)論．這是考查數(shù)據(jù)分析的最基本的問題．解答本題錯誤主要是讀圖識圖能力弱，對圖形的劃分認識不明確，不知所措，找不到解決問題的方法；其次，不會從圖表中讀取有用數(shù)據(jù)并進行判斷．（二）運算能力差運算求解能力主要是指會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算．本專題中，學生運算能力弱主要體現(xiàn)在不能根據(jù)問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，不能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算．【例2】（2020·安徽高三期末）某市為創(chuàng)建全國文明城市，推出“行人闖紅燈系統(tǒng)建設項目”，將針對闖紅燈行為進行曝光.交警部門根據(jù)某十字路口以往的監(jiān)測數(shù)據(jù)，從穿越該路口的行人中隨機抽查了人，得到如圖示的列聯(lián)表：闖紅燈不闖紅燈合計年齡不超過歲年齡超過歲合計（1）能否有的把握認為闖紅燈行為與年齡有關(guān)？（2）下圖是某路口監(jiān)控設備抓拍的個月內(nèi)市民闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計圖.請建立與的回歸方程，并估計該路口月份闖紅燈人數(shù).附：，參考數(shù)據(jù)：，【評析】求解線性回歸方程的3步驟【例3】【2017年全國卷Ⅰ文19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小（若，則可以認為零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)．．【評析】從運算方面看，學生不懂從中解出；不會計算的值，不懂根據(jù)保留小數(shù)點后兩位的要求，實施近似處理以簡化運算；不懂直接由采用放縮方法判斷是否滿足；不會由和計算出區(qū)間的端點值；計算時，不懂得先做相反數(shù)相消處理或各項統(tǒng)一分離后轉(zhuǎn)化為計算；計算時,不懂得轉(zhuǎn)化為，再利用簡化運算；計算，不懂得各項統(tǒng)一提取的技巧；計算時，不懂得在保證精確度要求的前提下作近似處理以簡化運算.（三）概念理解不透概念理解不到位的有事件、模型的判斷等；容易混淆的概念有互斥事件與對立事件、超幾何分布與二項分布、二項展開式的通項公式與次獨立重復試驗中事件發(fā)生次的概率等．【例4】（2020·山西省長治市第二中學校高三期末）某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求分數(shù)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的中位數(shù)；（3）若從第1組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.【評析】本題考查了利用樣本估計總體的綜合應用問題，以及古典概型及其概率的計算問題，對弈頻率分布直方圖，應注意：1、用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準確，直方圖比較直觀.2、頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.（四）知識缺漏較嚴重，特別是“冷門知識”缺失從學生認知的方面看，學生對相關(guān)的概念、公式理解掌握不到位，知識缺漏較嚴重，如對正態(tài)分布、條件概率等概念不清楚．另一方面由于老師淡化章節(jié)閱讀與思考、實習作業(yè)等教學，導致學生忽視了相關(guān)“冷門知識”的學習，如相關(guān)系數(shù)等．【例5】【2018年全國卷Ⅲ理】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，【評析】正態(tài)分布、非線性回歸轉(zhuǎn)化線性回歸、相關(guān)系數(shù)、莖葉圖的意義等，從教科書看，介紹較少，這個問題應值得引起我們關(guān)注．在復習過程中，應關(guān)注閱讀與思考、實習作業(yè)等教學，應注意對學生的認知進行補缺補漏，再如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果等知識．（五）審題析題不到位審題析題不清是本專題解答錯誤的主要原因，主要包括題意不清，茫然作答；閱讀膚淺，丟失信息；條件欠缺，魯莽下筆；圖形不準，缺乏嚴密；方向不明，目標模糊等情況．審題不清的最主要原因在于學生的閱讀理解能力欠缺．【例6】【2018年理新課標I卷】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【評析】該題考查的是有關(guān)隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復試驗成功次數(shù)對應的概率公式，再者就是對其用函數(shù)的思想來研究，應用導數(shù)求得其最小值點，在做第二問的時候，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應的概率，應用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.面對試題中冗長的文字表述，學生方寸大亂，不知所措，從而失去讀題、解題信心；對概率模型不清，不能利用二項分布模型寫出；不能進行知識的交融運用，導致不能利用導數(shù)求最大值點或利用導數(shù)求后，不能合理的變形求最大值點；對于第（2）不能靈活運用期望性質(zhì)，導致無法求；未能準確題意，方向不明，目標模糊，導致回答問題含混不清、詞不達意．（六）解題規(guī)范性較差涉及本專題內(nèi)容的考查，學生失誤和失分最多的是會而不對、對而不全和全而不準，如不能用字母表示事件，導致在利用簡單事件表示復雜事件書寫混亂；解答過程缺失關(guān)鍵步驟，丟三落四，導致丟分等．【例7】（2020·全國高三專題練習（理））某校高三實驗班的60名學生期中考試的語文、數(shù)學成績都在內(nèi)，其中語文成績分組區(qū)間是：，，，，.其成績的頻率分布直方圖如圖所示，這60名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)之比如下表所示：分組區(qū)間語文人數(shù)243數(shù)學人數(shù)124（1）求圖中的值及數(shù)學成績在的人數(shù)；（2）語文成績在的3名學生均是女生，數(shù)學成績在的4名學生均是男生，現(xiàn)從這7名學生中隨機選取4名學生，事件為：“其中男生人數(shù)不少于女生人數(shù)”，求事件發(fā)生的概率；（3）若從數(shù)學成績在的學生中隨機選取2名學生，且這2名學生中數(shù)學成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【評析】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求解，其中解答中認真審題，熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及準確求解隨機變量對應的概率，得到隨機變量的分布列是解答的關(guān)鍵，但是事件可分為①2個男生，2個女生；②3個男生1個女生；③4個男生三種情況，有些同學可能考慮問題不全面，造成失分.2.求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.【命題專家現(xiàn)場支招】（一）加強閱讀理解能力培養(yǎng)與訓練統(tǒng)計與概率進一步強化應用意識的考查，已成高考命題改革的必然趨勢，試卷試題文字閱讀量的逐年增加，或成高考試卷的發(fā)展趨勢．復習中，應規(guī)范教學的閱讀指導．應該呈現(xiàn)讀題提取關(guān)鍵信息、析題形成解題思路、解題示范規(guī)范表達、反思積淀解題經(jīng)驗的“四步曲”完整過程，才能充分發(fā)揮解題教學的效益．其次，加強平時的閱讀訓練．需要適當增加平時作業(yè)習題的閱讀量，尤其是應用性試題的讀題訓練，提高學生的閱讀理解能力及應試心態(tài)．解答應用問題要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應的數(shù)學模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力．除以上過“三關(guān)”外，對于概率與統(tǒng)計應用問題還應再過三關(guān)，即文字關(guān)、圖表關(guān)、計算關(guān)．【例1】【2017年全國卷Ⅰ理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【評析】數(shù)學期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學概念，反應隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數(shù)學期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則.（二）強化圖表的識別能力高考試卷的解答題往往以頻率分布表、頻率分布直方圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖五個樣本頻率分布圖表為載體，理科側(cè)重考查隨機變量的分布列及期望，文科側(cè)重考查樣本數(shù)字特征的應用，突出了對應用意識、數(shù)據(jù)處理能力及創(chuàng)新能力的考查．復習過程中，應充分利用五個樣本頻率分布圖表以及常用的統(tǒng)計圖，如雷達圖、餅圖等，讓學生會從圖表中讀取有用數(shù)據(jù)，或根據(jù)問題需要選擇合適圖表，依據(jù)統(tǒng)計學中的方法對數(shù)據(jù)進行分析，作出合理的決策．【例2】（2020·全國高三專題練習）一個調(diào)查學生記憶力的研究團隊從某中學隨機挑選100名學生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間（分鐘）和答對人數(shù)的統(tǒng)計表格如下：時間（分鐘）102030405060708090100答對人數(shù)9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時間與答對人數(shù)的散點圖如圖：附：，，，，，對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）根據(jù)散點圖判斷，與，哪個更適宣作為線性回歸類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立與的回歸方程；（數(shù)據(jù)保留3位有效數(shù)字）（3）根據(jù)（2）請估算要想記住的內(nèi)容，至多間隔多少分鐘重新記憶一遍.（參考數(shù)據(jù)：，）（三）重視樣本估計總體的思想復習過程中，應讓學生掌握，為了考察一個總體的情況，在統(tǒng)計中通常是從總體中抽取一個樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計總體的相應情況．這種估計大體分為兩類：用樣本的頻率分布估計總體的分布、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．其次，“預測與決策”與人們的生活休戚相關(guān)．隨著社會的不斷進步，人們對許多實際問題會有多種解決方案，但哪種方案最有利于解決問題，需要進行科學的決策．而通過期望、方差等的計算，并進行大小比較，就是其中的一種科學預測與決策的手段．【例3】（2020·河南高三月考）2017年3月鄭州市被國務院確定為全國46個生活垃圾分類處理試點城市之一，此后由鄭州市城市管理局起草公開征求意見，經(jīng)專家論證，多次組織修改完善，數(shù)易其稿，最終形成《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》（以下簡稱《辦法》）．《辦法》已于2019年9月26日被鄭州市人民政府第35次常務會議審議通過，并于2019年12月1日開始施行．《辦法》中將鄭州市生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類．為了獲悉高中學生對垃圾分類的了解情況，某中學設計了一份調(diào)查問卷，500名學生參加測試，從中隨機抽取了100名學生問卷，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從總體的500名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)不低于60的概率；（2）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)，（3）學校環(huán)保志愿者協(xié)會決定組織同學們利用課余時間分批參加“垃圾分類，我在實踐”活動，以增強學生的環(huán)保意識．首次活動從樣本中問卷成績低于40分的學生中隨機抽取2人參加，已知樣本中分數(shù)小于40的5名學生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同學各1人的概率是多少？【評析】1.用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準確，直方圖比較直觀.2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.（四）強化概率模型的識別與應用復習過程中，應關(guān)注概率模型的識別與應用，一定要注意弄清題意，找出題中的關(guān)鍵字詞，厘清各種概率模型及適用范圍．如超幾何分布和二項分布是教材中兩個重要概率分布，二項分布與超幾何分布的區(qū)別為，二項分布是有放回的抽樣，每做一次事件，事件A發(fā)生的概率是相同的；超幾何分布是不放回的抽樣，每做一次事件，事件A發(fā)生的概率是不相同的．【例4】【2018年理數(shù)天津卷】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【評析】本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．（五）厘清事件及其概率復習過程中，應厘清事件間的關(guān)系，準確計算相關(guān)事件的概率．特別要求學生能將復雜事件進行分解，先分解為互斥事件，每個互斥事件又分解為兩個相互獨立事件的積事件．【例5】（2020·遼寧高三月考）在2019年女排世界杯中，中國女子排球隊以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕獻上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝.在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊進行排球比賽：（1）若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為，得分者獲得下一個球的發(fā)球權(quán).設兩隊打了個球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應的概率p（x）.【評析】互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式:若A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).（六）重視樣本數(shù)字特征的含義在復習中，應關(guān)注眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（期望）、方差與標準差有的含義，并能根據(jù)解決問題的需要選擇合理的數(shù)字特征說明問題．【例6】（2020·河南高三期末）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶？【評析】該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計算變量落在相應區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結(jié)果.（七）關(guān)注“冷門”知識的復習高考是對高中階段學習結(jié)果的大檢閱，統(tǒng)計與概率的考查，在突出核心知識考查的同時，也關(guān)注知識點的覆蓋面．因此，在復習教學中，要全面檢索高中階段的所有知識，特別是不能忽視對所謂的“冷門知識”的復習，如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果等．【例7】【黑龍江省哈爾濱市第六中學2019屆高三上期末】有如下四個命題：①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.②相關(guān)系數(shù)，表明兩個變量的相關(guān)性較弱.③若由一個22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得的觀測值,那么有95%的把握認為兩個變量有關(guān).④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進行殘差分析，相應于數(shù)據(jù)的殘差是指.以上命題“錯誤”的序號是_________________（八）規(guī)范答題表達形式規(guī)范答題，一方面，思考問題要規(guī)范．也就是從知識的源頭出發(fā)，弄清知識的來龍去脈．知識是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么寫，不能模棱兩可，要會運用知識進行思考；另一方面，書寫要規(guī)范．書寫規(guī)范是一個重要的高考增分點，這一點應引起足夠重視．如解題中應注意用字母表示事件，注意作答等．【例8】（2020·廣東高三期末）如表是我國2012年至2018年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）的數(shù)據(jù)：年份2012201320142015201620172018年份代號1234567國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）8.59.610.41111.112.113.6(1)從表中數(shù)據(jù)可知和線性相關(guān)性較強，求出以為解釋變量為預報變量的線性回歸方程；(2)已知美國2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為20.5萬億美元，用(1)的結(jié)論，求出我國最早在那個年份才能趕上美國2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值？參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，.【評析】1、判斷方程類型要注意充分利用散點圖聯(lián)想函數(shù)圖象特征作出判斷．2、求回歸方程時易計算失誤，注意要強化計算能力．3、注意借助于函數(shù)知識解決．【新題好題針對訓練】一、選擇題1．（2020·廣西柳州高級中學高三）某高校調(diào)查了320名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.根據(jù)直方圖，這320名學生中每周的自習時間不足22.5小時的人數(shù)是（）A．68 B．72 C．76 D．802．（2020·遼寧實驗中學高三期末）某學生5次考試的成績(單位:分)分別為85，67，，80，93，其中,若該學生在這5次考試中成績的中位數(shù)為80，則得分的平均數(shù)不可能為（）A． B． C． D．3．（2020·重慶巴蜀中學高三月考）新高考方案規(guī)定，普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù)，由高到低進行排序，評定為、、、、五個等級.某試點高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級結(jié)果，得到如下圖表：針對該?！斑x擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說法正確的是（）A．獲得A等級的人數(shù)減少了 B．獲得B等級的人數(shù)增加了1.5倍C．獲得D等級的人數(shù)減少了一半 D．獲得E等級的人數(shù)相同4．（2020·湖北高三期末）某地有兩個國家AAAA級旅游景區(qū)——甲景區(qū)和乙景區(qū).相關(guān)部門統(tǒng)計了這兩個景區(qū)2019年1月至6月的月客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖.關(guān)于2019年1月至6月這兩個景區(qū)的月客流量，以下結(jié)論錯誤的是（）A．甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人B．乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人C．甲景區(qū)月客流量的極差為3200人D．乙景區(qū)月客流量的極差為3100人5．（2020·四川高三期末）已知變量、之間的線性回歸方程為，且變量、之間的一-組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的是（）A．可以預測，當時， B．C．變量、之間呈負相關(guān)關(guān)系 D．該回歸直線必過點二、填空題6．（2020·廣東深圳中學高三期末）某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機抽取了100個樣本.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為16，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為______.7．【廣東省珠海一中等六校2018屆高三第一次聯(lián)考】一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個位的二進制數(shù)，其中的各位數(shù)字中，，出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為．若啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字為則稱這次實驗成功，若成功一次得分，失敗一次得分，則次重復實驗的總得分的方差為__________．三、解答題8．（2020·云南昆明一中高三期末）某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，在實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗.為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評分為80分及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.（1）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在兩塊實驗地隨機抽取3株花苗，求所抽取的花苗中優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學期望；（2）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計甲培育法20乙培育法10合計附：下面的臨界值表僅供參考.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（參考公式：，其中）9．（2020·四川高三期末）手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計了職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠足拉練活動，再從6人中選取2人擔任領(lǐng)隊，求這兩人均來自區(qū)間（150，170]的概率．10．（2020·河南高三期末）某品牌奶茶公司計劃在A地開設若干個連鎖加盟店，經(jīng)調(diào)查研究，加盟店的個數(shù)x與平均每個店的月營業(yè)額y(萬元)具有如下表所示的數(shù)據(jù)關(guān)系：x246810y20.920.21917.817.1(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果分析，為了保證平均每個加盟店的月營業(yè)額不少于14.6萬元，則A地開設加盟店的個數(shù)不能超過幾個?參考公式:線性回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，11．（2020·廣東高三期末）某房產(chǎn)中介統(tǒng)計了深圳市某高檔小區(qū)從2018年12月至2019年11月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖，如下圖所示，圖中月份代碼1至12分別對應2018年12月至2019年11月的相應月份.根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年5月份購買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）.若該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應支付的購房金額.（購房金額＝房款＋稅費；房屋均價精確到0.01萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按照房屋的計稅價格進行征收.（計稅價格＝房款）征收方式見下表：購買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關(guān)指數(shù).12．（2020·湖南長沙一中高三月考）政府工作報告指出，2018年我國深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，創(chuàng)新能力和效率進一步提升；2019年要提升科技支撐能力，健全以企業(yè)為主體的產(chǎn)學研一體化創(chuàng)新機制.某企業(yè)為了提升行業(yè)核心競爭力，逐漸加大了科技投入；該企業(yè)連續(xù)6年來的科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：科技投入24681012收益根據(jù)散點圖的特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理，如下表：其中，.(1)（i）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；（ii）根據(jù)所建立的回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億，則科技投入的費用至少要多少（其中）？(2)乙認為樣本點分布在二次曲線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關(guān)指數(shù)：.13．（2020·重慶高三期末）某地區(qū)在“精準扶貧”工作中切實貫徹習近平總書記提出的“因地制宜”的指導思想，扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研，綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點，決定向當?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗種植.工作小組根據(jù)市場前景重點考察了A，B兩種景觀樹苗，為對比兩種樹苗的成活率，工作小組進行了引種試驗，分別引種樹苗A，B各50株，試驗發(fā)現(xiàn)有80%的樹苗成活，未成活的樹苗A，B株數(shù)之比為1：3.（1）完成2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為樹苗A，B的成活率有差異？AB合計成活株數(shù)未成活株數(shù)合計50501000.050.0100.0050.0013.8416.6357