2024-2025學年上海市某中學九年級上學期數(shù)學期中考試試卷（含詳解）

徐匯中學2024學年初三年級第一學期

數(shù)學試卷

,選擇題（本大題共6小題,每題4分，共24分）

1.下列各組線段中，成比例線段的組是（)

A.0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB.1cm,3cm,4cm,8cm

C.3cm,4cm,5cm,8cmD.1.5cm,2cm,4cm,6cm

2.下列命題一定正確的是（）

A.兩個等腰三角形一定相似B.兩個等邊三角形一定相似

C.兩個直角三角形一定相似D.兩個含有30。角的三角形一定相似

3.把拋物線y=-x2+l向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）

A.y=-(x+3)2+1B.y=-(x+1)2+3

C.y=-(x-1)2+4D.y=-(x+1)2+4

4.如圖，在VABC中，DE//BC,AD=2,BD=3,AC=10,則的長為()

A.3B.6C.5D.4

5.如圖，梯形ABC。中，AB//CD,AC,瓦）交于O,下列等式正確的是（)

%AOD_A。SMOD_CDSAOD=DOSaAOQ_DO

A.B.D-------------

^/\AOBA5S^AOBA3OC

6.如圖，是二次函數(shù)y=以2+法+。圖象的一部分，直線x=—1是對稱軸，且經過點（2,0）.有下列判斷：①

2a-b=0,@16a-4b+c<0,?a-b+c=-9a,④若A(—3,%),3(1.5,%)是拋物線上兩點，則%〉內.其中正確

的是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

二,填空題：(本大題共12小題，每題4分，共48分)

7已知x：y=l：3,那么(尤+y):y=.

8.如果地圖上A,B兩處圖距是4c7〃，表示這兩地的實際距離是200^71,那么實際距離是500km的兩地在地圖上的

圖距是cm.

9.已知點尸是線段AB上的一點，且A。？如果AB=2,那么AP=.

10.若兩個相似三角形的周長比為2：3,則它們的面積比是.

BE

11.如圖，直線AD,交于點QAB〃跖〃CD,若49=5,OF=2,FD=3,則一的值為.

12.拋物線y=(x—1y+2與y軸交點的坐標為.

13.已知拋物線y=ax?+bx+c(a>0)的對稱軸是直線x=2,且經過點P(3,1)，則a+b+c的值為.

14.如圖，是VABC的中位線，點/在￡)6上，。歹=23p，連接所并延長，與CB的延長線交于點若

8C=8,則線段的長為.

15.如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖(數(shù)據(jù)如圖)，將該容器繞地面一棱進行旋轉傾斜后，水面恰好接觸到容

器口邊緣,如圖2所示,此時液面寬度AB=.

16.如圖，點P是VA3C的重心，點。是邊AC的中點，PE〃AC交BC于煎E,DF〃BC交EP于點、F.若四邊形

CDEE的面積為6,則_A3C的面積為

17.如圖,R3OAB的頂點A(-2,4)在拋物線y=ax2上，將Rt&OAB繞點0順時針旋轉90°,得到△OCD,邊CD與該

拋物線交于點P,則點P的坐標為.

18.如圖，在等腰直角VABC中，AC=2,加為邊3C上任意一點，連接AM,將"CM沿AM翻折得到△ACM,

連接BC并延長交AC于點N,若點N為AC的中點,則CM的長為.

三,解答題：(本大題共7題,共10+10+10+10+12+12+14=78分)

19如圖，AD\BE,BDCE.

(JAOB

⑴試說明二二

OB~oc

⑵若。4=4,47=12,求08的長.

20.在ABC中，AB=2,將，ABC繞點B逆時針旋轉得到，MBN,且CN〃BM,MA的延長線與CN交于點P,若

AM=3,CN=—.

2

(1)求證：_ABMs_CBN.

(2)求AP的長.

21.如圖,拋物線y=a(x-l)2+4與x軸交于點A,B,與】軸交于點C,過點C作CD〃x軸,交拋物線的對稱軸于點

D,連結BD,已知點A坐標為(-1,0).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)求梯形COBD的面積.

22.在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規(guī)律.如圖MN為一凸透鏡，尸是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主光軸上垂直

放置一小蠟燭透過透鏡后呈的像為CD.光路圖如圖所示：經過焦點的光線AE,通過透鏡折射后平行于主光軸，

并與經過凸透鏡光心的光線AO匯聚于C點.若焦距O尸=4,物距03=6,小蠟燭的高度AB=1,求蠟燭的像CD的

長度以及像C￡＞與透鏡MN之間的距離.

M

23.已知，如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,4CD=90。，對角線AC,相交于點E,且ACIBD.

⑵點廠是邊5c上一點，連接AF,與6D相交于點G,如果NBAF="8尸，求證：^=—.

AD2BD

24.如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=g?+bx+c(a>0)與無軸相交于點A(T,0)和點B,與y軸交于點

(1)求點C的坐標(用含。的代數(shù)式表示).

(2)連接AC,3C,若VA3C的面積為6,求此拋物線的表達式.

(3)在第(2)小題的條件下，點Q為無軸正半軸上一點，點G與點C,點尸與點A關于點0成中心對稱，當△CGR為

直角三角形時,求點Q的坐標.

25.在VABC中，NACB=45°,點D(與點2,C不重合?為射線3C上一動點，連接AD,以AD為一邊且在AD右

側作正方形ADEF.

圖①圖②

(1)如果AB=AC.如圖①，且點￡>在線段3c上運動.試判斷線段CV與之間的位置關系，并證明你的結論.

(2)如果AC,如圖②，且點D在線段3c上運動.(1)中結論是否成立，為什么？

(3)若正方形AD所邊DE所在直線與線段CE所在直線相交于點P,設AC=4后，BC=3,CD=x,求線段

CP的長.(用含x的式子表示)

徐匯中學2024學年初三年級第一學期

數(shù)學試卷

一,選擇題（本大題共6小題,每題4分，共24分）

1.下列各組線段中，成比例線段的組是（）

A.0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB.1cm,3cm,4cm,8cm

C3cm,4cm,5cm,8cmD.1,5cm,2cm,4cm,6cm

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)比例線段的定義可各選項分別進行判斷即可.

【詳解】解：A,02x6=0.3x4,是成比例線段，故本選項符合題意.

B,Ix8w3x4,不是成比例線段,故本選項不符合題意.

C,3x8*4x5,不是成比例線段,故本選項不符合題意.

D,1.5x6。2x4,不是成比例線段,故本選項不符合題意.

故選：A

【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段6,c,4如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比

相等，如a:b=c:d（即〃=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

2.下列命題一定正確的是（）

A.兩個等腰三角形一定相似B.兩個等邊三角形一定相似

C.兩個直角三角形一定相似D.兩個含有30。角的三角形一定相似

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法逐個分析,確定正確答案即可.

【詳解】解：A,等腰三角形的角度不一定相等，各邊也不一定對應成比例，故A不正確，

B,兩個等邊三角形的各角度都為60°,所以兩個三角形相似,故B正確，

C,兩個直角三角形只有一個直角可以確定相等,其他兩個角度未知,故C不正確，

C,兩個含30。角的三角形只有一對30。角可以確定相等,其他兩個角度未知故D不正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形形相似的判定方法,常見的判斷方法有如下幾個：①兩角對應相等兩三角形相似,②兩邊對

應成比例且夾角相等,兩個三角形相似,③三邊對應成比例，兩個三角形相似.

3.把拋物線y=-x2+l向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線解析式為（）

A.y=-（x+3）2+1B.y=-（x+1）2+3

C.y=-(x-1)2+4D.y=-（x+1）?+4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減,上加下減的平移規(guī)律進行求解.

【詳解】解：拋物線產-N+i向左平移1個單位，得：產一（x+1）2+1.

然后向上平移3個單位，得：產-（x+1）2+1+3.

即y=_（x+1）2+4.

故選D.

4.如圖，在VABC中，DE//BC,AD=2,BD=3,AC=10,則AE的長為（）

A.3B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例,正確記憶行線截兩條直線,所得的對應線段成比例是解題關鍵.根據(jù)平行線

分線段成比例由。石〃3c得到——=——,然后根據(jù)比例的性質可求出AE.

ABAC

【詳解】解：石〃5C.

.ADAE

*'AB-AC-

AD=2,BD=3,AC=10.

?2AE

"2+3"1F,

???AE=4.

故選：D.

5.如圖，梯形ABC。中，AB//CD,AC,BD交于。，下列等式正確的是（）

S&AOD_DO

SA。。_D0

D.

SBOAOBS&BOC一記

【答案】c

【解析】

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式,關鍵在于求出ABOsco。，推出相似比逐一

判斷即可.

【詳解】解：

Z.CDO=AOBA,ZDCO=ZOAB,SACD=SBCD.

,ABOsCDO.

.OPPCCD

"OB~OA~AB'

.SAOD_OD_CD"A。SCOD_(CDVSAOD_DOSAOQ_SA?！?SDOC_]

SAOBOBABABSAOB[AJBJBOAOBSBOCSBDC-SDOC

正確選項為c.

故答案為：c

6.如圖，是二次函數(shù)丁=以2+法+。圖象的一部分，直線％=—i是對稱軸，且經過點(2,0).有下列判斷：①

2a-b-0,@16a-4b+c<0,?a-b+c=-9a,④若A(-3,%),3(1.5,%)是拋物線上兩點，則丹〉內?其中正確

【答案】C

【解析】

b

【分析】本題考查了利用二次函數(shù)的性質判斷式子的正確性,①由對稱軸得--=-1,即可判斷,②由對稱軸及(2,0)

2a

得與x軸的另一個交點為(—4,0),即可判斷，③由①得b=2a,4a+2b+c=0,表示出c,代入即可判斷，④由a<0

時到越靠近對稱軸的點,對應的函數(shù)值越大，代入即可判斷.

能熟練利用二次函數(shù)性質進行求解是解題的關鍵.

【詳解】解：①?「直線x=—1是對稱軸.

2a

2a-b=0.

故此項正確.

②當無=T時.

y=16a-4b+c.

直線x=-1是對稱軸,且經過點(2,0).

二與x軸的另一個交點為(-4,0).

.?.當x=T時.

16a—4Z?+c=0.

故此項不正確.

③由①得：

b-2a.

?經過點(2,0).

:Aa-\-2b+c=0.

.,.4Q+4Q+C=0.

/.c=-8a.

a-b+c

=a—2d—8tz

——9〃.

故此項正確.

④?〃<0.

A到越靠近對稱軸的點,對應的函數(shù)值越大.

—1—(—3)<1.5—(—1)

廠?%>%.

故此項正確.

故選：C.

二,填空題：(本大題共12小題，每題4分，共48分)

7.已知％：y=1:3,那么(x+y):y=.

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質即可求出答案.

【詳解】解：=x:y=l:3.

.\3x=y,

4

(x+y):y=(%+3x):3x=—.

4

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查比例的基本性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵.

8.如果地圖上A,5兩處的圖距是4cm,表示這兩地的實際距離是200E1,那么實際距離是500km的兩地在地圖上的

圖距是cm.

【答案】10

【解析】

【分析】先設這個圖距是xcm,根據(jù)圖上距離比上實際距離等于比例尺,可得關于X的方程，即可求解.

【詳解】設這個圖距是

則4：20000000=x：50000000.

解得x=10.

故填：1。.

【點睛】本題考查了比例線段，解題關鍵是根據(jù)比例尺不變列出方程.

9.已知點P是線段上的一點，且A。？如果AB=2,那么AP=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】設"=%，則=2—羽再利用AP2=ABPB,建立方程,解方程并檢驗即可得到答案.

【詳解】解:設AP=x，點尸是線段的上的一點，AB=2.

：.PB=2-x,

AP2=ABPB-

x?=2（2—x）,

整理得：X2+2X-4=0,

.工=4—4xlx（T）=20X）,

.?.x=~2±2^=-1±75,

2

x>0,

AP=x=y/5—1.

故答案為：石-1

【點睛】本題考查的是成比例的線段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解題的關鍵.

10.若兩個相似三角形的周長比為2：3,則它們的面積比是.

【答案】4:9

【解析】

【詳解】解：???兩個相似三角形的周長比為2：3.

.,?這兩個相似三角形的相似比為2：3.

，它們的面積比是4：9.

故答案為：4：9.

考點：相似三角形的性質.

BE

11.如圖，直線AD,交于點Q〃即〃CD,若AO=5,OF=2,FD=3,則——的值為.

EC

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關

BFAF

鍵.由平行線分線段成比例可得，——=——，從而可得答案.

CEDF

【詳解】解：：AB〃EF〃CD,49=5,OF=2,ED=3.

BE_AF_5+2_7

,.CE-DF-3一3.

7

故答案為：—.

3

12.拋物線y=(x—+2與y軸交點的坐標為.

【答案】(0,3)

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，令x=o,求出y值,即可得出結果.

【詳解】解：：y=(x—1丫+2.

...當尤=0時，y=(O—iy+2=3.

???拋物線y=(x—I)?+2與y軸交點的坐標為(0,3).

故答案為：(0,3).

13.已知拋物線y=ax?+bx+c(a>0)的對稱軸是直線x=2,且經過點P(3,1)，則a+b+c的值為

【答案】1

【解析】

【分析】由二次函數(shù)的對稱性可知尸點關于對稱軸對稱的點為（1,1），故當x=l時可求得y值為1,即可求得答案.

【詳解】解：..,拋物線廣湛+6尤+。（。＞0）的對稱軸是直線x=2.

：.P（3,1）對稱點坐標為（1,1）,

/.當x=l時,y=l.

即a+b+c=l.

故答案為1.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，利用二次函數(shù)的對稱性求得點（1,1）在其圖象上是解題的關鍵.

14.如圖，是VABC的中位線,點歹在￡）6上，￡方=2正，連接所并延長，與CB的延長線交于點若

8C=8,則線段的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理,相似三角形性質和判定,熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判

定方法是解決問題的關鍵.根據(jù)三角形中中位線定理證得。石〃3C,求出?！?進而證得D即s,6M7,根據(jù)相似

三角形的性質求出比0,即可求出結論.

【詳解】解：QE是VA3C的中位線，3c=8.

,\DE//BC,DE=-BC=-x8=4.

22

:.&DEFs,.BMF.

?_D__E_=_D__F_=__2_B_F_=2-

,BMBFBF

：.CM=BC+BM=10.

故答案為：10.

15.如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖（數(shù)據(jù)如圖），將該容器繞地面一棱進行旋轉傾斜后，水面恰好接觸到容

器口邊緣,如圖2所示,此時液面寬度AB=.

圖1圖2

【答案】—cm

4

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質,平行線的判定與性質.熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

如圖，作3石上￡>石于E,則NS￡D=90。，由題意知，8￡>=17,BC=6,BE=8,ZC=90°,AB//DE,

snBCAB6

AC//BD,則ZCAB=ZDBA=ZBDE,證明CAB^￡Z汨，則一=——，即——=—，計算求解即可.

tBDBE178

【詳解】解：如圖,作鹿工DE于E,則NB￡D=90°.

圖2

由題意知，B￡>=17,BC=6,BE=8,ZC=90°,AB//DE,AC//BD.

：.ZCAB=ZDBA=ZBDE.

又：NC=ZBED=90。.

CABs..EDB.

.ABBCAB6

??=,即Hn=—?

BDBE178

解得，AB=—.

4

故答案為：—cm.

4

16.如圖，點尸是VABC的重心，點。是邊AC的中點，尸石〃AC交BC于點E,D/〃5c交EP于點?若四邊形

CDFE的面積為6,則4A5c的面積為

A

【答案】18

【解析】

力「1

【分析】連接BP,DP,CP,延長DF交AB于點G,連接PG,根據(jù)重心的性質推出一=一，通過證明

BC2

PDGs、PBC,.PDF^PBE,得出型=受=L則白H=~,—再證明.BPE^BDC,得出

PBBC2SPBE4BD3

S4

不也=3，設SPDF=X，則sPBE=4x,sOBC=9x,根據(jù)四邊形CDFE的面積為6,求出x=1,即可求解?

【詳解】解：連接延長。/交AB于點G,連接PG.

??點P為7ABe重心，點。為AC邊中點.

?.WB,P,D同一直線上.

?,DF//BC.

.ADAG

'CD~BG'

??點。為AC邊中點.

??點G為AB邊中點.

?.點C,P,G在同一直線上.

?,點。為AC邊中點，點G為AB邊中點.

?.DG=-BC,即空=L

2BC2

/DF//BC.

PDGsPBC,PDFPBE.

.PDDG_1

'PB~BC~2'

?S四：產T：1PB=2

；

.SPBE{PBJ4BD3,

/PE//AC.

?.一BPE^BDC.

sDBC^BD)9'

設SPDF=X,則SPBE=4x,SDBC=9x.

?e?S四邊形PECO=SDBC-SPBE=5x.

???四邊形CDEE的面積為6.

，SPDF+S四邊形PEC。=X+5x=6,解得：x=1.

SDBC=9x=9.

???點。為AC邊中點.

*e,SABC=2sDBC=18.

故答案為：18.

【點睛】本題主要考查三角形重心的性質,相似三角形的判定和性質,解題的關鍵是掌握三角形

的三條中線相交于一點,這一點是三角形的重心,三角形的中線將三角形面積平均分為2分,相似三角形對應邊成比例,

面積比是相似比的平方.

17.如圖,Rt&OAB的頂點A(-2,4)在拋物線y^ax2上將Rt4OAB繞點0順時針旋轉90°,得到△OCD,邊CD與該

拋物線交于點P,則點P的坐標為.

【解析】

【詳解】?點A(-2,4)在拋物線產以2上.

4=4a.

解得：＜2=1.

?.?將RtX048繞點。順時針旋轉90°,得到△0CD.

0D-0B=2.

當y=2時，2=爐.

解得：x=或1=—g'（舍去）.

.??點P的坐標（叵2）.

故答案為：（女,2）

18.如圖，在等腰直角VABC中，AC=2,M為邊3C上任意一點，連接AM,將沿AM翻折得到△ACM,

連接BC并延長交AC于點N,若點N為AC的中點，則CM的長為.

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，翻折變換，解一元二次方程，過C'作

C'C5C于。，作。旭人AC于E,利用勾股定理和相似三角形，即可得到c'M的長,進而得出CM的長,熟練掌握

知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】如圖所示，過C作CDL5C于。，作?？杖薃C于E.

A

四邊形DCEC'是矩形.

設C'￡>=x,則CE=x,AE=2-x.

：CD//CN.

sBDCs.BCN.

NC1

——=—,即5￡)=2。'。=2].

"BDBC2

CD=2-2x=CE.

RtAACE中，AE2+C'E2=C/,即（2—%）2+（2-=22.

2

解得玉=2（不合題意），x2=-.

C'D=~,C'E=-.

55

,/ZDCE=ZMC'A=90°.

ZDCM=ZECA.

又ZCDM=ZC'EA=90°.

.DCMs_ECA.

2

CDC，M

.Hn5C'M

"C'E~C'A'62'

5

2

C'M=-.

3

2

由折疊可得，CM=C'M=—.

3

故答案為：—.

3

三,解答題：（本大題共7題,共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19.如圖，ADBE,BDCE.

（1）試說明空=竺.

OBOC

⑵若OA=4,AC=12,求08的長.

【答案】（1）證明見解析,（2）08=8.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理進行推導即可得.

（2）由題意可求得OC的長,然后將OA,AC,OC的長代入（1）中的結論即可求得答案.

【詳解】（1）VAD//BE.

.OAOD

'OB-OE-

?/BD//CE.

.OBOP

"OC-OE-

.OAOB

*'OB-OC'

(2)解：?.?OA=4,AC=12.

AOC=16.

..OAOB

,OB-OC

.4OB

"OB

OB=8.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理,結合圖形熟練應用是解題的關鍵.

20.在ABC中，A5=2,將.ABC繞點B逆時針旋轉得到.MBN,且CN〃BM,MA的延長線與CN交于點P,若

AM=3,CN=—.

2

M

(1)求證：ABM'CBN.

(2)求AP的長.

【答案】(1)見解析(2)2

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握相關判定定理和性質是解題的關鍵.

(1)根據(jù)旋轉的性質得出A5=MB,BC=BN,=進而得出絲=遜=1,NABM=/CBN,

BCBN

即可求證.

(2)根據(jù):ABMs.CBN,得出ZBMA=N5NC,根據(jù)OV〃5W,得出ZBMA=NAPN,則

NAPN=NBNC,進而得出NAPN=/BCN,通過證明四邊形BCPM為平行四邊形,得出BC=,再根據(jù)

ABAM

-BN,得出一=——，求出CB=5=PM,即可求解.

CBCN

【小問1詳解】

證明：???將一ABC繞點8逆時針旋轉得到MBN.

：.AB=MB,BC=BN,NABC=NMBN.

.ABMB，

BCBN

：.NMBN+NABN=NABC+NABN,即ZABM=/CBN.

；?.ABMs_CBN.

【小問2詳解】

解:由（1）知，-ABMSjCBN.

:.NBMA=NBNC.

-：CN//BM.

：.NBMA=NAPN.

：.NAPN=NBNC.

又：BC=BN.

:.NBNC=NBCN.

；?/APN=NBCN.

/.BC//MP.

.??四邊形5cpM為平行四邊形.

BC=PM.

「ABMs-CBN.

23

.ABAM——=—

?----------,即nnCB15.

CBCN—

：.CB=5=PM.

：.AP=PM-AM=5-3=2.

21.如圖,拋物線y=a(x-l)2+4與X軸交于點A,B,與J軸交于點C,過點C作CD//x軸,交拋物線的對稱軸于點

D,連結BD,已知點A坐標為(-1,0).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)求梯形COBD的面積.

【答案】(1)y=-(x-D2+4(2)S梯形℃DA=a+7*3=6

【解析】

【分析】(1)將A坐標代入拋物線解析式，求出a的值,即可確定出解析式.

(2)拋物線解析式令x=0求出y的直求出OC的長,根據(jù)對稱軸求出CD的長,令y=0求出x的值,確定出OB的長,

根據(jù)梯形面積公式即可求出梯形COBD的面積.

【詳解】(1)將A(—1,0)代入y=a(x-I)?+4中，得：0=4a+4,解得：a=-1.

該拋物線解析式為y=—(X—+4.

(2)對于拋物線解析式,令x=0,得到y(tǒng)=3,即OC=3.

:拋物線y=—(x—if+4的對稱軸為直線x=l,.-.CD=1.

VA(-1,0),：.B(3,0)，即OB=3.

.q_(1+3)X3

."?梯形0CDA_2一0,

22.在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規(guī)律.如圖為一凸透鏡，尸是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主光軸上垂直

放置一小蠟燭透過透鏡后呈的像為CD.光路圖如圖所示：經過焦點的光線AE,通過透鏡折射后平行于主光軸，

并與經過凸透鏡光心的光線AO匯聚于C點.若焦距OF=4,物距03=6,小蠟燭的高度A3=1,求蠟燭的像CD的

長度以及像CD與透鏡MN之間的距離.

【答案】蠟燭的像的長度為2,像與透鏡之間的距離為12

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵.

根據(jù)題意可得，OE=CD,AB±BO,EO±BO,CD，OD,從而可得NA5O===，然后證明

_ABEs_EOE,從而利用相似三角形的性質可求出OE的長,這證明一從而利用相似三角形的性質可

求出0。的長,即可解答.

【詳解】解：OE=CD,AB±BO,EO±BO,CD±OD.

ZABO=ZEOB=ZCDO=90°.

ZAFB=ZEFO.

：.ABF^cEOF.

AB_BF

,OE-OF-

.1_6—4

'^OE~4

解得：OE=2.

:.OE=CD=2.

ZAOB=ZCOD.

AOBsCOD.

AB_OB

五一五,

1_6

2-OD

.-.00=12.

蠟燭的像CD的長度為2,像CD與透鏡MN之間的距離為12.

23.己知，如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,N3CD=90。，對角線AC,相交于點E,且AC/BD.

(1)求證：CD1=BCAD.

AG2BG

(2)點F是邊3C上一點，連接AF,與3D相交于點G,如果NBAF=NDBF,求證:

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】(1)先證明AC*"C可得券=要，進而證明結論.

CDBC

(2)先證明△ABGsZ\DfiA可得生=絲，進而得到絲=駕，再由△ABGsADfiA可得％■=絲，即

ADBDADBDABBD

A3?最后代入即可證明結論.

【小問1詳解】

證明：AD//BC,ZBCD=90°.

\1ADC?BCD90?.

又?AC±BD.

:.ZACD+ZACB^ZCBD+ZACB=90°.

:.ZACD=ZCBD.

:.一ACD^_DBC.

ADCD,

=U，即Bn8=3CxAD.

CDBC

【小問2詳解】

解：AD//BC.

:.ZADB=NDBF.

ZBAF=/DBF.

:.ZADB=ZBAF.

ZABG=ZDBA.

ABGs,DBA.

AG_AB

"AD"50'

AG"AB-

AD2~BD2'

X-.^ABG^^DBA.

BGAB

一瓦一茄,

:.AB2=BGBD.

AG?_AB^_BGBD_BG

"AD2~BD2—BD2~BD'

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確證得△ABGs△DBA是解答本題的關鍵.

24.如圖,在平面直角坐標系x&y中,拋物線y=a^+bx+c（a>0）與無軸相交于點A（-l,0）和點3,與y軸交于點

（1）求點C的坐標（用含。的代數(shù)式表示）.

（2）連接AC,3C,若VA5C的面積為6,求此拋物線的表達式.

（3）在第（2）小題的條件下，點。為無軸正半軸上一點，點G與點C,點B與點A關于點。成中心對稱，當△CGR為

直角三角形時,求點Q的坐標.

【答案】（1）C（0,-3a）,

（2）y=x2-2x-3,

（3）點Q的坐標為（4,0）或（9,0）.

【解析】

【分析】（1）由A點坐標和二次函數(shù)的對稱性可求出3點的坐標為（3,0）,根據(jù)兩點式寫出二次函數(shù)解析式，再令

y=0,求出y的值,即可的點C的坐標.

（2）由4（—1,0）,5（3,0）,C（0,—3a）,求出AB,OC的長，然后根據(jù)VA3C的面積為6,列方程求出a的值.

(3)設點。的坐標為(m0).過點6作8，》軸，垂足為點H,如圖，分兩種情況求解：當RtQGHsRtGFH時,

求得m的一個值，當R.GFHs氏FCO時,求得m的另一個值.

【小問1詳解】

解：：拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x=l.

而拋物線與x軸的一個交點4(—1,0)

拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3,0)

設拋物線解析式為y=a(x+l)(x—3).

即y=ax2-2ax-3a.

當x=0時，y=13a.

/.C（0,-3a）.

【小問2詳解】

W：VA（-1,O）,B（3,o）,C（0,-3?）.

."-AB=4,OC=3a.

?*.SAC?=—AB.OC=6.

*'-6a=6,解得a=l.

拋物線解析式為y=x2-2x-3.

【小問3詳解】

解：設點。的坐標為（加,0）?過點6作8，1軸，垂足為點H,如圖.

:點G與點C,點尸與點A關于點。成中心對稱.

QC=QG,QA=QF=tQO=QH=m,OC=GH=3.

JOF=2m+l,HF=1.

當NCG尸=90。時.

?.,ZQGH+ZFGH=90°,ZQGH+ZGQH=90°.

.??ZGQH=ZHGF.