2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)高一數(shù)學(xué)（上）10月考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年上海市復(fù)興中學(xué)高一數(shù)學(xué)（上）10月考試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.若。>6,C<Q,則下列不等式成立的是（）

,,?b,,

A.ac>beB.—>—C.a+c<b+cD.a>b-c

cc

2.已知全集，集合/={x|x（x+2）<0},B={x\\x\￡1},則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）

A.(-2,1)B.[-1,0)0[1,2)

C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

3.方程1+2"-a=0在區(qū)間（0/）和（1,2）各有一個根的充要條件是（）

A.aeB,

Cae1—§,（）］D.2,—1）

4.已知a,b,ceR,若關(guān)于x不等式OWxH--------------1的解集為［石,方］<->{演}（七>》2>否>0），

xx-

則（）

A.不存在有序數(shù)組（a,8c）,使得％-七=1

B.存在唯一有序數(shù)組伍,”c）,使得馬-西=1

C有且只有兩組有序數(shù)組伍,”c）,使得々-玉=1

D.存在無窮多組有序數(shù)組（a,仇c）,使得％-X=1

二、填空題：本題共10小題，共42分.

5已知集合0=11,^={x||2x-l|<l},則］=

6.已知集合/={1,一加},8加2},且/=3，則加的值為.

7.若46{-1,。,4一2。一4},則實(shí)數(shù)。=.

8.命題“a,6e&,若|a-l|+|Z)-l|=O,貝Ua=6=1”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為.

9.若集合2=何潑—3》+1=0}的子集只有兩個，則實(shí)數(shù)a=.

10.設(shè)命題p：集合/={x|—2W0},命題小集合8={x|2a+lVx<l—a},若pnq,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

11.設(shè)花、%是方程k+x—3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則X；-%+2020=

12.設(shè)關(guān)于x的方程|x—2|+|2x—3|=|ax+"(a,beR)解集為跖關(guān)于x的不等式(x—2)(2x—3)之0

的解集為N,若集合M=N,則“./>=.

e

13.集合/={%,電，…，見卜任取J(左A,aj+akeA,at+ak?4這三個式子中至

少有一個成立，則"的最大值為.

1,1

14.設(shè)aeR,機(jī)eZ,若存在唯一的僅使得關(guān)于x的不等式組一x2—-<加<x+a有解，則a的取值范

22

圍是.

三、解答題：本題共4小題，共42分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合2={%卜一2|<a},集合5=<x：

(1)若Q=2,求ZU5；

(2)若=求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

11

16.⑴當(dāng)X>1時，求證：9XH——>x-\—;

XX

22

⑵已知xGR,a=x-x+1,6二4-X9C=X-2X.試證明。，仇。至少有一個不小于1.

17.已知關(guān)于X的不等式(左2—41—5產(chǎn)+(左+1)》+1〉0(丘2的解集為.

(1)若左=1,求x的取值范圍；

(2)若M=R,求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)上，滿足：“對于任意正整數(shù)力都有〃eM；對于任意負(fù)整數(shù)加，都有加任屈”，若

存在，求出后的值，若不存在，說明理由.

2

kk

18.記&生=ai+a2+-”+4，Ipr=/倉以2以存在正整數(shù)〃，且“22.若集合/=佃,々，…，％}

片1t=\

滿足旨生二畝’,則稱集合/為“諧調(diào)集

片1/=1

（1）分別判斷集合￡={1,2}、集合/={-1,0,1}是否為“諧調(diào)集”;

（2）已知實(shí)數(shù)x、力若集合*/}為“諧調(diào)集”，是否存在實(shí)數(shù)z滿足z2=xy,并且使得{x,y,z}為“諧

調(diào)集”？若存在，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)z,若不存在，請說明理由；

（3）若有限集M為“諧調(diào)集”，且集合M中的所有元素均為正整數(shù)，試求出所有的集合

2024-2025學(xué)年復(fù)興中學(xué)高一數(shù)學(xué)（上）10月考試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.若C<°,則下列不等式成立的是（）

ab7

A.ac9>be91B.—>—C.a+c<bT+cD.a>b—c

cc

【答案】A

根據(jù)不等式的性質(zhì)求解

【詳解】對于A.02〉0,a>b,貝成立

-1,ab

對于B.—<0,a>b,—<一；

CCC

對于C.a>b,a+c>b+c；

對于D.若a=l,b=0,c=-2,則不成立

故選A.

2.已知全集，集合4={X|X（X+2）<0},B={X\\X\￡1},則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）

3

A.(-2,1)B.1,0)31，2)

C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再解絕對值不等式求出集合陰影部分表示的集合為

。〃（/口瓦），根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義計算可得;

【詳解】解：由x(x+2)<0,解得—2<x<0,所以/={x|x(x+2)<0}={x|-2<x<。},

又5={x||x區(qū)1}={X|—所以NU3=(—2,1],/n8=[—1,0),

所以陰影部分表示的集合為（ZA8）=（―2,—1）U[0,1],

故選：C.

3.方程1+2辦-a=0在區(qū)間（0/）和。,2）各有一個根的充要條件是（）

A.ae(-oo,-l)B.?e-T

C.ae-?0D.ae(-2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】令/（力=爐+2以-a,利用零點(diǎn)存在性定理，建立參數(shù)a所滿足的不等式，解不等式，即得

參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)橐辉畏匠桃?2狽-a=0在區(qū)間（0/）和。,2）各有一個根,

/(0)=-?>0a<0

4

令/(%)=X2+2ax—a,則由題意可得<f(1)=1+2a-a<0,即<Q<—1,解得一一＜加＜一1,

3

/(2)=4+4a-a>04

a>——

3

則方程/+2"—a=0在區(qū)間（0,1）和2）各有一個根的充要條件是ae

故選：B.

4

4.已知a,b,CGR,若關(guān)于x不等式3+—1的解集為[X],X2]u｛x3｝（X3＞々＞西＞0），

xx-

則（）

A.不存在有序數(shù)組｛a,b,c）,使得%-％=1

B.存在唯一有序數(shù)組伍,”c）,使得％-西=1

C.有且只有兩組有序數(shù)組伍,”c）,使得西=1

D,存在無窮多組有序數(shù)組伍,”c）,使得馬-芭=1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)西＞0,不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解的問題，利用兩個一元二次不等式解集有交集的

結(jié)論，得出兩個不等式解集的形式，從而再結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系確定結(jié)論.

【詳解】由題意不等式owf+bx+a＜c-x的解集為＞%＞占＞0），

X2++tz>0

即＜的解集是[4/卜卜｝

X+bx+a<c-x

則不等式/+/?%+a20的解是｛x|xV%或1之工3｝，不等式Y(jié)+Z?x+tz＜c-x的解集是

{x\xx<x<x3},

設(shè)占二加，x2=m+l,x3=n(m+l<n),

所以=0,n=c,

加+1和〃是方程+分工+Q=o的兩根，

則一人=加+1+〃=加+c+l,a=(m+V)n=mc+c,

Xm2+bm+a=m2+m(-m—c-V)+mc+c-c—m,

所以加是+Q=c—x的一根，

所以存在無數(shù)對(a,8c),使得、2-芯=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分式不等式的解集問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化一元二次不等式的解集，從而

結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得出結(jié)論.

5

二、填空題：本題共10小題，共42分.

5.已知集合0=11,^={x||2x-l|<l},則7=

【答案】(-8,0]U[l,+8)

【解析】

【分析】先解不等式，對集合/進(jìn)行化簡，再求出集合力的補(bǔ)集.

【詳解】|2x—1|<1即—l<2x—1<1解得0<x<l,

故Z={x[0<x<1},

又。=R,

所以Z=(-00,0]U[1,+8).

故答案為：(-℃,0]U[l,+oo)

6.已知集合/={1,一加},3加"，且/=5，則加的值為.

【答案】0

【解析】

【分析】本題根據(jù)題意先得到限制條件，再根據(jù)限制條件求加的值即可.

【詳解】解：因?yàn)?={1,一冽},B={l,m2},A=B，

-m=m2

所以<-m1,解得加=0,

加2w-1

故答案為：0

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合相等求參數(shù)的值，是基礎(chǔ)題.

7.若46{-1,。,"一2。一4},則實(shí)數(shù)。=.

【答案】—2

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解，利用集合中元素的互異性驗(yàn)證.

【詳解】當(dāng)。=4時，a2-2a-4=4,不滿足元素的互異性，舍去.

當(dāng)。2一2。一4=4時，解得。=一2或4,

6

當(dāng)a=4時，不符合題意，

當(dāng)a=—2時，集合為{-1廠2,4},符合題意，

所以a=—2.

故答案為：-2.

8.命題若|a-l|+|Z5-l|=0,則a=6=1”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為.

【答案】awl,或3Hl.

【解析】

【詳解】分析：利用a=6=l的否定為不都等于1,從而可得結(jié)果.

詳解：考慮a=6=l的否定，由于都等于1,故否定為a,b不都等于1,故答案為awl或bwl.

點(diǎn)睛：反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的

命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；

（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少.

9.若集合Z=卜|a/-3x+1=0}的子集只有兩個，則實(shí)數(shù)a=.

9

【答案】0或二

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意知道4有一個元素，然后討論。是否為0,然后得出。的值即可.

【詳解】???/的子集只有兩個，「.Z有一個元素，

①Q(mào)=0時，A-,滿足題意；

9

②awO時，A=9—4。=0,解得a=一,

4

…9

.?.4=0或一?

4

9

故答案為：0或二.

4

10.設(shè)命題夕：集合/={x|—2W0},命題g集合5={x|2a+lVxVl—力，若P=q,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

3

【答案】a<--

2

【解析】

7

【分析】根據(jù)題意，由條件可得命題〃是命題g的充分條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.

2a+1V—23

【詳解】因?yàn)橄q,則命題?是命題9的充分條件，貝1J]_Q〉0，解得5,即實(shí)數(shù)Q的取值

3

范圍是。《—.

2

3

故答案為：a<--

2

n.設(shè)占、%是方程必+x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則X；-%+2020=

【答案】2024

【解析】

【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求出國+%，再將X；-%+2020轉(zhuǎn)化后求出.

【詳解】；Xi，%是方程—+x-3=0的兩個根，

%1+x2=-1,X[X2=-3,

又X：+須_3=0,

>>X]—3—X],

X：-x2+2020=3-Xj-x2+2020=2023-(石+x2)=2024

故答案為：2024

12.設(shè)關(guān)于x的方程|》一2|+|2十一3|=|"+"(。]€"解集為跖關(guān)于x的不等式(x—2)(2x—3)之0

的解集為N,若集合M=N,則.

【答案】-15

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由(x—2)(2x—3)N0nx22或xwl.5,所以M=N={x|x22或x<1.5},

當(dāng)x22時，由|、一2|+|2、一3|二|辦+力|,可得|ax+Z?|=x—2+2x—3=3x—5,

當(dāng)xW1.5時，由|工一2|+12x-3|=|ax+Z?|,可得|ax+力|=-x+2-2x+3=-3x+5,

因此有13%-51=|ax+b\,

當(dāng)Q=3,Z?=—5時，=3x(-5)=—15；

8

當(dāng)a=-3,b=5時，Q.6=-3X5=-15,

故答案為：-15

13.集合/={%,%，…，4}，任取1<Z,〈/<左三〃，生+叫64%+為€4q+歿e/,這三個式子中至

少有一個成立，則〃的最大值為.

【答案】7

【解析】

【分析】假設(shè)丹〉。2〉一〉。"且集合人有4個正項{%,。2，。3，。4}，結(jié)合已知條件得到矛盾，即可確定

集合A中正項的個數(shù)，同理推出負(fù)項個數(shù)，即可確定〃的最大值.

【詳解】不妨假設(shè)為>a2〉—>%,若集合A中的正數(shù)個數(shù)大于等于4,故4,。2，。3，。4為正項，

則4+。3和a2+%均大于。2,于是有。2+。3=。2+。4=%,從而％=。4,矛盾!

所以集合A中至多有3個正數(shù)，同理集合A中最多有3個負(fù)數(shù)，取/={-3,-2,-1,0,1,2,3},滿足題意，

所以〃的最大值為7.

故答案為：7

14.設(shè)aeR,meZ,若存在唯一的根使得關(guān)于x的不等式組一/一一〈加<》+。有解，則°的取值范

22

圍是.

【答案】（-1,1-

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定加的最小值，再由函數(shù)不等式有解得當(dāng)冽=0時不等式組有解，當(dāng)加=1時

不等式組無解，求出a的范圍作答.

1,111911

【詳解】依題意，一x~—2—，由不等式一x—</〃有解知，Tn>—，而加eZ,因此加eN,

222222

因存在唯一的加使得關(guān)于x的不等式組工Y-4（加<%+。有解，

22

則當(dāng)且僅當(dāng)加=0時，不等式組工1_2.<0<》+4有解，且當(dāng)加=1時不等式組工必一,<i<x+a無

2222

解，

1,1[-1<x<1

由一x—<0<x+a有解得《有解，于是得—a<l,解得a>—1,

22[x>-a

9

1,1,—>/3<X<>/3r-1-

由彳x-彳<l<x+a無解得《無解，于是得1一。2百，解得。<1一百，因此

22[x>1-<7

-1<a<1--\/3>

所以。的取值范圍是(-1,1-G].

故答案為：(—1,1—6]

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=/")的定義區(qū)間為。，若上e￡>,使得加</(X)成立，則加</(X)max；

若*C￡),使得加>/(X)成立，則〃?〉/(X)min.

三、解答題：本題共4小題，共42分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合/=卜卜一2|<。},集合3=<xI2<1>,

(1)若Q=2,求ZljB；

(2)若=求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1){x|-2<x<4}

⑵(一0°川

【解析】

【分析】(1)當(dāng)a=2時，化簡集合/,集合3,再根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得解；

(2)2口8=2即抓住集合/是否為空集討論，再根據(jù)子集關(guān)系運(yùn)算得解.

【小問1詳解】

若a=2,由W一2|<2,解得0<x<4,則2={》[0<》<4},

2Y_1y_a

又-----<1,即——<0等價于(x+2)(x—3)<0,解得—2<x<3,

x+2x+2

則B-|x|-2<x<3},

AB=1x|-2<x<4}.

【小問2詳解】

由等價于4=3,

10

當(dāng)時，集合/=0,符合4=5；

當(dāng)?！?時，由,一2|<。，解得2—Q<X<2+Q,

即/={x|2-a<x<2+a},又5={1卜2Vx<3},

2-(2>-2

，解得0<QW1,

2+。<3

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,1].

11

16.⑴當(dāng)X〉1時，求證：X9H——>x-\—;

XX

22

⑵已知xGR,a-x-x+\,b=4-x9c=x-2x.試證明。至少有一個不小于1.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：

22

,021z1x（X—I）（X+X+1）

⑴由/+_（X+:3——-------------!，

XXX

當(dāng)X〉1時，可得（％-1）2>0,%2>0,工2+%+[>0,即可證明結(jié)論;

⑵可用反證法：假設(shè)名”。都小于1,即。<1力<1,。<1,可得Q+6+C<3,

進(jìn)而。+6+。=2（1-1>+323,即可得到矛盾，即可作出證明.

試題解析:

2

a)x2+4-fx+-l(x-l)(X?+X+1)

XIX)

*.*x>1(x-1)2>0,%2>0,x2+x+1>0

11

.?X2H....->XH---

XX

⑵假設(shè)a,b,C都小于1,即av1,6<l,c<1

則有Q+6+C<3①

而a+6+c=2x?-4x+5=2(x-1)+323②

①與②矛盾

故a,b,c至少有一個不小于1.

11

17.已知關(guān)于X的不等式（左2—4左—5產(chǎn)+（左+i）x+i〉o（丘R）的解集為.

（1）若左=1,求x的取值范圍；

（2）若/=R,求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)左，滿足：“對于任意正整數(shù)小都有〃eM；對于任意負(fù)整數(shù)機(jī)，都有加eM"，若

存在，求出后的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）三,

42

（2）（-oo,-l]U（7,+oo）

（3）存在，k=5

【解析】

【分析】（1）直接求解不等式，即可得到結(jié)果.

（2）討論二次項系數(shù)產(chǎn)-2k-3=0及不為0時，求出原不等式的解集為R時上的取值范圍.

（3）根據(jù)題意得出解集M,討論產(chǎn)-4k-5的取值，求出原不等式的解集，判斷是否滿足條件即可.

【小問1詳解】

當(dāng)左=1時，不等式為-8,+2x+l>0,即（4x+l）（2x—1）<0,解得一a<x<5，

即x的取值范圍為<x――<x<—>.

42

【小問2詳解】

當(dāng)嚴(yán)一4左一5=0時,解得k=5,或左=一1,

①當(dāng)人=—1時，不等式化為1>0,.?"=—：（時，解集為R；

②當(dāng)左=5時，不等式化為6x+l>0,對任意實(shí)數(shù)x不等式不成立；

左~一4左一5〉0]后e（—OO,-1）D（5,+OO）

③當(dāng)/、2小\時，可得，1rt

A=（k+1）—4化~—4左一5）<0左e（―8,—l）u（7,+oo）

則左的取值范圍為左e（-叫T）U（7,+co）；

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍為（-叫-l]U（7,+s）.

【小問3詳解】

根據(jù)題意，得出解集M=（f,+oo）,Ze[-1,1）

12

當(dāng)左2—4左一5二0時，解得左=5,或左=一1,

左=5時，不等式的解集為滿足條件，

左=-1時，1>0恒成立，不滿足條件，

當(dāng)左2—4左—5〉0時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是&+。）的形式，不滿足條件，

當(dāng)左2—4左—5<0時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是”,+。）的形式，不滿足條件，

綜上，存在滿足條件上的值為5.

kk

18.記占生=%+。2+=/倉也%存在正整數(shù)〃，且〃22.若集合/=｛%,。2,…，4｝

Et=\

滿足5為=宙，則稱集合/為“諧調(diào)集”.

片1t=\

（1）分別判斷集合E=｛1,2｝、集合廠=｛—1,0,1｝是否為“諧調(diào)集”；

（2）已知實(shí)數(shù)X、乃若集合｛》/｝為“諧調(diào)集”，是否存在實(shí)數(shù)z滿足z2=xy,并且使得｛x,、z｝為“諧

調(diào)集”？若存在，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)z,若不存在，請說明理由；

（3）若有限集M為“諧調(diào)集”，且集合M中的所有元素均為正整數(shù)，試求出所有的集合

【答案】（1）E不是，F(xiàn)是

（2）不存在，理由見解析

（3）｛1,2,3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可判斷；

（2）若存在符合題意的實(shí)數(shù)z,根據(jù)題意可得x，N，z的關(guān)系式，求解