新高考數(shù)學二輪復習講練專題12 正余弦定理妙解三角形問題和最值問題（練習）（原卷版）

專題12正余弦定理妙解三角形問題和最值問題目錄01倍長定比分線模型 202倍角定理 303角平分線模型 404隱圓問題 605正切比值與和差問題 706四邊形定值和最值 807邊角特殊，構建坐標系 1008利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題 1209利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍 1310三角形中的幾何計算 1711三角形的形狀判定 1801倍長定比分線模型1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且滿足____．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．3．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期末）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求C；(2)若△ABC的面積為SKIPIF1<0，D在邊AC上，且CD=SKIPIF1<0CA，求BD的最小值．4．（2023·江蘇南京·高三統(tǒng)考期末）如圖，設SKIPIF1<0中角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的長度；(2)求SKIPIF1<0的面積；(3)點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（不含端點）分別交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．02倍角定理5．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答問題．在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，且________．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．6．（2023·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習）已知a，b，c分別為SKIPIF1<0三個內(nèi)角A，B，C的對邊，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0的取值范圍．7．（2023·湖南·高三校聯(lián)考期末）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為銳角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.03角平分線模型8．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0之間的等式關系；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．9．（2023·山東濟南·高三山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別a，b，c，且SKIPIF1<0(1)求角A的值；(2)若SKIPIF1<0，BC邊上的中線長為1，SKIPIF1<0為角A的角平分線，求SKIPIF1<0的長．10．（2023·河南·模擬預測）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0的面積記為S，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角A的角平分線，求CD的長．11．（2023?甲卷）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線，則SKIPIF1<0．12．（2023·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第一中學?？茧A段練習）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分線交BC于點D，求SKIPIF1<0的長．13．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得SKIPIF1<0，連接AD．已知SKIPIF1<0為銳角，且它的角平分線與AB交于點E，若SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0長．04隱圓問題14．（2023·湖南長沙·長郡中學?？寄M預測）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0的面積最大時，它的內(nèi)切圓的半徑為.15．（2023·江蘇南京·高三南京市雨花臺中學?？茧A段練習）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的面積最大時，則SKIPIF1<0的長為.16．（2023·四川·校聯(lián)考二模）阿波羅尼奧斯是古希臘時期與阿基米德、歐幾里得齊名的數(shù)學家，以其姓氏命名的“阿氏圓”，是“指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)SKIPIF1<0的動點軌跡”，設SKIPIF1<0的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，頂點C在以A，B為定點，SKIPIF1<0的一個阿氏圓上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習）材料一：已知三角形三邊長分別為SKIPIF1<0，則三角形的面積為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點SKIPIF1<0的距離的和等于常數(shù)（大于SKIPIF1<0）的點的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答：已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．205正切比值與和差問題18．（2023·江蘇南京·高三金陵中學?？计谥校┮阎鰽BC為銳角三角形，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．19．（多選題）（2023·湖北咸寧·高三統(tǒng)考期末）SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<020．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）銳角SKIPIF1<0中，角A所對的邊為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，給出以下結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0有最小值8.其中結論正確的是A．1 B．2 C．3 D．421．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）在SKIPIF1<0中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0．(1)求角B的大??；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．06四邊形定值和最值22．（2023·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學?？茧A段練習）廣州市從化區(qū)政府擬在云嶺湖建一個旅游觀光項目，設計方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界，沿線段AB，BC，CD，DA建一個觀景長廊，其中A，B，C，D是觀景長廊的四個出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P處和湖邊D處各建一個觀景亭，且它們關于直線AC對稱，在湖面建一條觀景橋APC．觀景亭的大小、觀景長廊、觀景橋的寬度均忽略不計，設SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求三角形區(qū)域ADC內(nèi)的湖面面積的最大值；(2)若CD=8百米且規(guī)劃建亭點P在三角形ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內(nèi)湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時SKIPIF1<0的值；若沒有，請說明理由．23．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.(2)求SKIPIF1<0的最大值.24．（2023·湖北·武漢市第三中學校聯(lián)考一模）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.

(1)求SKIPIF1<0的大??；(2)如圖，SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的右側取點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0為何值時，四邊形SKIPIF1<0面積的最大，并求出該最大值．25．（2023·遼寧·高三統(tǒng)考期中）如圖，已知SKIPIF1<0三個內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外一點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構成平面四邊形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．26．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學?？计谥校┤鐖D所示為某小區(qū)在草坪上活動區(qū)域的平面示意圖，在SKIPIF1<0四個點分別建造了供老年人活動的器械.SKIPIF1<0四個點所圍成的四邊形即為老年人的活動區(qū)域.為了便于老年人在草坪上行走，小區(qū)建造了SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六條步行道，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的面積.

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值:(2)求SKIPIF1<0的最大值，并求SKIPIF1<0取到最大值時SKIPIF1<0的值.27．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習）2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴槍開跑，比賽某補給站平面設計圖如圖所示，根據(jù)需要，在設計時要求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，四邊形ABCD面積為4，求SKIPIF1<0的值．07邊角特殊，構建坐標系28．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則△ABC的面積的最大值為．29．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值為．30．（2023·河北張家口·高三統(tǒng)考開學考試）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線，SKIPIF1<0，則該三角形面積最大值為．31．（2023·四川成都·高三川大附中?？茧A段練習）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的三邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.32．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0為等邊SKIPIF1<0內(nèi)一動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．33．（2023·湖北·高三黃岡中學校聯(lián)考開學考試）正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為三角形內(nèi)滿足SKIPIF1<0的動點，則SKIPIF1<0最小值為.34．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0，有以下四個命題中正確的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不可能是直角三角形C．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<035．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上的一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．25 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<008利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題36．（2023·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┰赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長.37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)當SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值，及取最值時對應的SKIPIF1<0的值；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．38．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，從上述三個條件中任選一個補充到下面問題中，并解答問題.在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，并且滿足__________.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的平分線，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.39．（2023·全國·高三專題練習）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求a的最小值；(2)若SKIPIF1<0，BC邊上的中線長為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．40．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考期末）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0.以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長.09利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍41．（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．42．（2022?上海）如圖，在同一平面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，曲線SKIPIF1<0上任一點到SKIPIF1<0距離相等，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0；（1）若點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，求SKIPIF1<0的大小；（2）SKIPIF1<0在何位置，求五邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0的最大值．43．（2020?新課標Ⅱ）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周長的最大值．44．（2022?新高考Ⅰ）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．45．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為鈍角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.46．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)若SKIPIF1<0，求角C；(2)若SKIPIF1<0的面積為S，求SKIPIF1<0的取值范圍．47．（2023·遼寧·高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試）已知H為銳角SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0為三角形的三條高線，且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值.(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.48．（2023·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面凸四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點．

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(2)求SKIPIF1<0的最大值．49．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(