7.1《定義與命題》北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第2課時教案

第七章平行線的證明7.2定義與證明第2課時一、教學(xué)目標(biāo)1．了解真命題的證明，通過實(shí)例感受證明的過程與格式．2．初步感受公理化思想，并了解本套教科書所采用的基本事實(shí)．3．閱讀有關(guān)《原本》和公理化的資料，感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理．難點(diǎn)：體會命題證明的必要性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．三、教學(xué)用具多媒體課件。四、相關(guān)資《定義、命題的復(fù)習(xí)》動畫，《課本中學(xué)生的思考》動畫，《歐幾里得與原本介紹》動畫，《直線AB與直線CD相交與點(diǎn)O》圖片．五、教學(xué)過程【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】回憶我們上次學(xué)習(xí)到了哪些知識？對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義.判斷一件事情的句子，叫做命題.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題.一般地，每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问剑渲小叭绻币惶幍牟糠质菞l件，“那么”引出的部分是結(jié)論.正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.要說明一個命題是假命題，常?？梢耘e出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例.舉一個反例就可以說明一個命題是假命題，那么如何證實(shí)一個命題是真命題呢？【合作探究】在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題．公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量知識，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（公元前300前后）編寫了一本書，書名叫《原本》，為了說明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時進(jìn)行了大膽創(chuàng)新，挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其它命題的起始依據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理.除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.每個定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來證明.已學(xué)的八條基本事實(shí)有：1.兩點(diǎn)確定一條直線.2.兩點(diǎn)之間線段最短.3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡述為：同位角相等，兩直線平行）.5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.8.三邊分別相等的兩個三角形全等.另外一條基本性質(zhì)將在后面的學(xué)習(xí)中認(rèn)識到.此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).例如：“如果a=b，b=c，那么a=c”這一性質(zhì)可以作為證明的依據(jù)，稱為“等量代換”；又如“如果a＞b，b＞c，那么a＞c”，這一性質(zhì)同一可以作為證明的依據(jù).【典例精析】例1證明下面的定理：同角（等角）的補(bǔ)角相等.同角（等角）的余角相等.（在書寫證明過程的同時說明：符號“∵”讀作“因?yàn)椤?，“∴”讀作“所以”）（1）已知：∠B和∠C是∠A的補(bǔ)角,求證：∠B=∠C證明：∵∠B和∠C是∠A的補(bǔ)角,∴∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A.∴∠B=∠C（等量代換）.∴同角的補(bǔ)角相等.（2）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分別是∠A、∠B的補(bǔ)角.求證：∠C=∠D證明：∵∠C和∠D分別是∠A、∠B的補(bǔ)角.∴∠C=180°-∠A，∠D=180°-∠B.∵∠A=∠B（已知）.∴∠C=∠D（等量代換）.∴等角的補(bǔ)角相等.（3）已知：∠B和∠C是∠A的余角,求證：∠B=∠C證明：∵∠B和∠C是∠A的余角,∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A.∴∠B=∠C（等量代換）.∴同角的余角相等.（4）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分別是∠A、∠B的余角.求證：∠C=∠D證明：∵∠C和∠D分別是∠A、∠B的余角.∴∠C=90°-∠A，∠D=90°-∠B.∵∠A=∠B（已知）.∴∠C=∠D（等量代換）.∴等角的余角相等.例2已知：如圖，直線AB與直線CD相交與點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對頂角.求證：∠AOC=∠BOD.證明：∵直線AB與直線CD相交與點(diǎn)O，∴∠AOB與∠COD都是平角（平角的定義）.∴∠AOC=∠BOD都是∠AOD的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）.∴∠AOC=∠BOD（同角的補(bǔ)角相等）.由例題得到定理：對頂角相等.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步體會證明的思路與書寫的過程.【課堂練習(xí)】1.下列平行線的判定方法中是公理的是()A．平行于同一條直線的兩條直線平行B．同位角相等，兩直線平行C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線解析：A是由公理推出的定理；C是由B推出的平行線的判定定理；D是平行線的定義，只有B是由畫圖實(shí)踐得來的，符合公理的定義，故選B.方法總結(jié)：公理是不需要推理判斷的公認(rèn)的真命題；定理是需要用推理的方法來判斷其正確的命題．2.“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個語句是（）BA.定理B.公理C.定義D.只是命題3.“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”這個語句是（）CA.定理B.公理C.定義D.只是命題4.下列命題中，屬于定義的是（）DA.兩點(diǎn)確定一條直線；B.同角的余角相等；C.互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角；D.點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度.5.下列句子中，是定理的是（），是公理的是（）.BC,AA.若a=b，b=c，則a=c；B.對頂角相等C.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等6.證明定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.已知：△ABC，求證AC+BC＞AB證明：∵AB是點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離，AC+BC是連接點(diǎn)A、點(diǎn)C的一條曲線長度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得AC+BC＞AB∴三角形任意兩邊之和大于第三邊.7.求證：直角三角形的兩個銳角互余．解析：分析這個命題的條件和結(jié)論，根據(jù)已知條件和結(jié)論畫出圖形，寫出已知、求證，并寫出證明過程．已知：如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°.求證：∠A與∠B互余．證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形內(nèi)角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.∴∠A與∠B互余．方法總結(jié)：解此類題首先根據(jù)題意將文字語言變成符號語言，畫出圖形，最后再經(jīng)過分析論證，并寫出證明的過程．六、課堂小結(jié)今天這節(jié)課你學(xué)到了什么知識？1．公理：公認(rèn)的真命題