河北省保定市示范高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高三年級期中考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（不含圓錐曲線、統(tǒng)計、概率）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集定義求解.【詳解】因為集合，所以.故選：C.2.設(shè)是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別從非充分性和非必要性兩方面分析.【詳解】非充分性：若的項為1，1，1，1，…，則的項為0，0，0，0，…．此時是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列．非必要性：若的項為1，1，1，1，…，則．此時是等比數(shù)列，但是公差為1的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．所以“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選：D．3.已知平面向量，滿足，且在上投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式得到方程，求出，進(jìn)而由向量夾角余弦公式求出，得到夾角.【詳解】因為在上的投影向量為，即，所以，又，，所以，且，則．故選：B．4.在棱長為2的正四面體中，為棱AD上的動點，當(dāng)最小時，三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將立體圖形展開為平面圖形可確定最小時，點E的位置，然后可得體積.【詳解】將側(cè)面如圖展開，由平面幾何性質(zhì)可得，當(dāng)為AD的中點時，滿足題意.又如圖，過A向平面BCD作垂線，垂足為O，則O為中心，連接OC，則OC為外接圓半徑，由正弦定理，.則正四面體的高為，又E為AD中點，所以．故選：A．5.已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性和奇偶性得到，根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解最小值，【詳解】的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增，由，得，則，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是．故選：B．6.若數(shù)列和滿足，，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，又由可得，即可得答案.【詳解】，，，即，又，是以2為首項，2為公比等比數(shù)列，，又，，，.故選：A.7.如圖，圓O與x軸正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標(biāo)為，．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義得到三角函數(shù)值，然后利用二倍角公式和輔助角公式計算.【詳解】，，圓的半徑為1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得，，又，為等邊三角形，則，且為銳角，．故選：A．8.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對任意的整數(shù)x，y均有，則（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】B【解析】【分析】由條件，利用賦值分別求出，，，并得到的圖象關(guān)于點對稱，得到函數(shù)的周期，進(jìn)而通過分類討論求解即可.【詳解】令，則，∴．令，則，又，．令，則，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．令，則，∴∴的圖象關(guān)于點對稱．∴，∴是周期的函數(shù)．又，，，，∴當(dāng)為偶數(shù)時，．當(dāng)為偶數(shù)時，也為偶數(shù)，此時；當(dāng)為奇數(shù)時，令，，則．．故選：B．【點睛】方法點睛：本題解題關(guān)鍵是通過對抽象函數(shù)關(guān)系進(jìn)行賦值法求出特殊函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期，利用函數(shù)周期性結(jié)合分類討論思想來求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，關(guān)于的方程有一個根為，為虛數(shù)單位，另一個根為，則（）A.該方程存在實數(shù)根 B.，C.對應(yīng)的點在第四象限 D.【答案】BCD【解析】【分析】將代入方程，再由復(fù)數(shù)相等得到方程組，即可求出、的值，即可判斷A、B；利用韋達(dá)定理求出，即可判斷C；再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，求出其模，即可判斷D.【詳解】由是方程的根，得，整理得，因此，解得，所以方程為，故B正確；對于A，根據(jù)方程，可得，所以方程無實數(shù)根，故A錯誤；對于C，D，方程，由韋達(dá)定理可知，得，對應(yīng)的點為，在第四象限，，所以，故C，D正確．故選：BCD．10.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，在點處的切線方程為B.當(dāng)時，有三個零點C.若有兩個極值點，則D.若，則正實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】A由題可得點處的切線方程的斜率和，即可得切線方程；B，由題可得，，即可判斷選項正誤；C，有兩個極值點等價于有兩個整根，即可得取值范圍；D，可化為，后由及單調(diào)性可得的取值范圍.【詳解】對于A，設(shè)切線方程為：.當(dāng)時，，則，，即切線方程為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，；或.則在上遞增，在上遞減，得，，又注意到當(dāng)趨近于負(fù)無窮大時，趨近于正無窮大，趨近于正無窮大時，趨近于負(fù)無窮大，則分別在上有一個零點，故B正確；對于C，，，令，因有兩個極值點，則有兩個不等正根，，故C錯誤；對于D，，即，可化為，令，因，則hx在0,+∞上單調(diào)遞增，即，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，則，即，故D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于三次函數(shù)零點個數(shù)問題，常利用函數(shù)極大值與函數(shù)極小值存在性及符號可判斷零點個數(shù)；極值點相關(guān)問題，常轉(zhuǎn)化導(dǎo)函數(shù)零點問題解決；指對函數(shù)含參問題，常利用指對互化以產(chǎn)生相同結(jié)構(gòu)，從而簡化問題.11.如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，（與點不重合）是平面內(nèi)的動點，下列說法正確的是（）A.平面平面B.若，則動點的軌跡為拋物線的一部分C.當(dāng)時，過點作該正方體的外接球的截面，其截面面積的最小值為D.線段AD繞旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與所成角的正切值的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】A選項：由線面垂直證明面面垂直；B選項：由角與角相等轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)，由平行于軸的平面與圓錐的截面是雙曲線的一支可知，動點的軌跡為雙曲線的一部分；C選項：由向量關(guān)系找到點的位置，因為球心到面的距離最大時，截面面積最小，所以為截面圓心，勾股定理求出得到截面圓半徑，求得最小截面面積；D選項：旋轉(zhuǎn)得到的圓錐與旋轉(zhuǎn)軸夾角恒為，在正方體中求出角的正切值，從而找到旋轉(zhuǎn)過程中形成的最大角和最小角，從而求出范圍.【詳解】對于A，在正方形中，，在正方體中平面，∵平面，∴，∵，∵平面，平面，∴平面，同理可證平面，∵平面，平面，∴，，且，平面，平面，∴平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B，滿足條件的點應(yīng)在以AM為旋轉(zhuǎn)軸，繞其旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的側(cè)面上，旋轉(zhuǎn)軸AM與平面平行，又是平面內(nèi)的動點，所以動點的軌跡為雙曲線的一支的一部分，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，為線段上靠近點的三等分點，如圖1，易知正方體的外接球的球心為正方體的中心，過點作于點，連接，∵，，則，球的半徑若要截面面積最小，需球心到截面的距離最大，最大為OP，此時，故C正確；對于D，線段繞旋轉(zhuǎn)一周后得到一個母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為的圓錐，設(shè)，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，與所成的角在如圖2所示的軸截面內(nèi)分別取得最值，，，所以在旋轉(zhuǎn)過程中，與所成角的正切值的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：空間圖像中角的旋轉(zhuǎn)會形成一個圓錐，因為圓錐母線和旋轉(zhuǎn)軸夾角不變，所求的另一條直線與旋轉(zhuǎn)軸夾角也為固定值，所以三線共面時，兩直線夾角取最大和最小值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，．若的連續(xù)四項是集合，中的元素，則q的值為___________．【答案】##【解析】【分析】由，則數(shù)列的連續(xù)四項要么同號，要么兩正兩負(fù)，后由集合可得數(shù)列的連續(xù)四項必包含，，即可得答案.【詳解】因為數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的連續(xù)四項要么同號，要么兩正兩負(fù)．因為四項屬于集合，所以數(shù)列的連續(xù)四項一定兩正兩負(fù)，故，且數(shù)列的連續(xù)四項必包含，．公比，則．故答案為：．13.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，則函數(shù)的零點的最小正值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可得，即可根據(jù)對稱求解，進(jìn)而根據(jù)求解.【詳解】，，令，則，得，所以，所以，令，則，得，由可得．故答案為：．14.過曲線C上一點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若，則曲線C的方程為___________．【答案】（且）【解析】【分析】設(shè)及切線方程，由直線與圓相切得出關(guān)于斜率k的方程，由判別式得出，再由斜率關(guān)系計算即可.【詳解】設(shè)，則過點的切線方程為，即，所以，得，則，是此方程的兩根，，，即，所以，得，又，所以，即曲線的方程為（且）．故答案為：（且）.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，交AC于點，且．（1）若，求的面積；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式計算；（2）利用面積相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可.【小問1詳解】由，，可得．在中，由余弦定理得，即，可得．故．【小問2詳解】，，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．故的最小值為．16.如圖，四邊形為梯形，，，四邊形為矩形，且平面，，為FB的中點．（1）證明：平面．（2）在線段FD（不含端點）上是否存在一點M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為？若存在，求出BM的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）中坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法列式求解判斷即得.【小問1詳解】由，平面，得直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，于是，而平面，所以平面．【小問2詳解】假設(shè)在線段FD上存在一點M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為．設(shè)，，，則，由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BM與平面所成的角為，則，整理得，而，解得，所以存在滿足題意的點，此時．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若且在上有兩個極值點，求的極大值與極小值之和的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用基本不等式求最值即可；（2）根據(jù)對稱性得到的圖象關(guān)于點對稱，根據(jù)有兩個極值點得到，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性得到極值，最后結(jié)合對稱性求極大值和極小值之和的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，．單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立．令，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．，．【小問2詳解】，的圖象關(guān)于點對稱．，令，則，，單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．要使有兩個極值點，必有，即，得．令，，，．令，，，．當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，的圖象關(guān)于點對稱，，即的極大值與極小值之和的取值范圍為．18.已知數(shù)列的首項，其前項和滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用得到為等比數(shù)列，然后求通項即可；（2）利用錯位相減的方法得到，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析即可.【小問1詳解】當(dāng)時，由題意得，又，．由①，可知②，兩式相減可得，即．又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】由（1）知．①，兩邊同乘以，得②，①—②得．從而．于是．當(dāng)是奇數(shù)時，，當(dāng)是奇數(shù)時，為遞減數(shù)列，．當(dāng)是偶數(shù)時，，，因此．對任意恒成立，，即的最小值為．19.復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入的，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸被數(shù)學(xué)家接受．形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，而任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作argz．復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)的三角形式．由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，，則．其幾何意義是把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮埜鶕?jù)所學(xué)知識，回答下列問題：（1）試將寫成三角形式（輻角取主值）．（2）類比高中函數(shù)的定義，引入虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù)．已知復(fù)變函數(shù)，，．①當(dāng)時，解關(guān)于的方程；②當(dāng)時，若存在實部不為0，且虛部大于0的復(fù)數(shù)和實數(shù)，使得成立，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，點，以PA為邊作等邊，且在的上方，求線段的最大值．【答案】（1）（2）①；②3.【解析】【分析】（1）計算出，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得到，寫出答案；（2）①整理得到，由復(fù)數(shù)形式根公式計算即可求出兩根；②方法一：設(shè)，利用